专题07 位置与坐标相关解答题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07位置与坐标相关解答题分类训练(6种类型48道)》 考点归纳 考点01平移与坐标变化 考点02轴对称与坐标变化 考点03平面直角坐标系中面积求解 考点04最值问题 考点05存在性问题 考点06探究数量关系 考点专练 考点01平移与坐标变化 1.ABC的位置如图所示，现将ABC平移，使点A移到点A'(-2,2)的位置. B A (1)请画出平移后的。A'B'C',并写出点C的对应点C的坐标一； (2)若ABC内部一点M的坐标为(x,y),则点M的对应点M'的坐标是 2.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为1,2)， 1/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'（点A与A、点B与B、点 C与C对应)，请画出△A'B'C',并写出点A、点B的坐标； (2)直接写出△A'B'C'的面积_- 3.如图，己知点A4,5)、B(0,、C(6,3,ABC经过平移后得到△A'B'C'.若点P(x,y)为ABC内任一 点，经过平移后得到P'(x-3,y-2 6 5 3 2 -7-6-54-32-1 01234567x (1)画出平移后的。A'B'C',并写出点B的坐标 (2)求ABC的面积. 4.如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'是由ABC经过某种平移得到的，点A与点A,点B与点B,点 C与点C分别对应. R 5-4-3 21O 12345x (1)分别写出各点的坐标：A-,B-,C- 2/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点P(x,y)是ABC内部一点，则其在△A'B'C'内部的对应点P的坐标为一 (3)求ABC的面积. 5.如图，在平面直角坐标系x0y中，A-1,5),B(-1,0),C(-4,3). V 4 3 2 B 5.4-3-2-19 2345 (1)在图中画出ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位的△A,B,C: (2)写出点A,B,C的坐标：A，B (3)在△A,B,C外部能否找到一点P,使A,P∥AB且A,P=AB,如果能，请直接写出点P的坐标，如果不能 请说明理由. 6.如图，在平面直角坐标系中，知ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,1),C(0,-2). B (1)将ABC向右平移4个单位再向下平移2个单位后得到△AB,C,请画出△A,B,C,并写出点A、G的坐 标： (2)求出ABC的面积. 7.如图，△A'B'C'是由ABC经过某种平移得到的，点A与A点，点B与点B,点C与点C分别对应，且 这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： 3/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 4-32-1 01.2.3.4.5x (1)分别写出点B和点B的坐标；B(一，)；B（一，一） (2)若点M(a-1,2b-5)是ABC内一点，它随ABC按如图方式平移后得到的对应点为N(2a-7,4-b),求 a和b的值， 8.在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C',位置如图所示 A 5 -4-3-2- 10 (1)分别写出点A,A的坐标：A-,A-· (2)请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的. (3)若点M(m,4-n是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为(2m-8,n-4),求m和n的值. 考点02轴对称与坐标变化 9.如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上， A(-3,3),B(-4,-2),C(0,-1). 4/21 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)直接写出△ABC的面积为」 (2)△ABC关于x轴对称的△AB,C三顶点的坐标分别为A(),B(),C(). (3)画出△ABC关于y轴的对称△DEC(点D与点A对应)，点E的坐标为一· 10.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A1,4),B(4,1),C(3,5,请回答下列问题： 4 3 2 543210 1 23 4 5 (1)写出ABC关于x轴的对称三角形AB,C的顶点坐标（点A,B,C的对应点分别为点A,B,C,): (2)求ABC的面积. 11.如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-3,1),C(-1,0),直线1上各 点的纵坐标都为-1. 5-4-3-21012345x +2 -3 5 (1)在网格中画出与ABC关于y轴对称的△AB,C; 5/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若△A,B,C,与ABC关于直线1对称.请直接写出A,B,C,的坐标， 12.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,1,C(0,-) -B (1)画出ABC关于x轴对称的△A,B,C: (2)点A的坐标为 ,点B的坐标为」 (3)点P与点A关于直线y=-2对称，则点P的坐标是 13.如图，在正方形网格中，直线1与网格线重合，点A,C,A,B均在网格的格点上 A (1)已知ABC和△A'B'C'关于直线1对称. ①请在图中把ABC和aA'B'C'补充完整： ②在以直线1为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为（α，-2b),则点4的坐标为 (2)己知网格中每个小正方形的边长为1，求ABC的面积. (3)在1上求作一点P,使点P到A、C两点的距离和最小，请标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）. 14.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点A(1,-4),B(5,-4),C(4,-1. 6/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m X B (1)作ABC关于直线m(直线m上各点的纵坐标为1)的对称图形△AB,C,其中点A,B,C的对称点分 别为A,B,C; (2)四边形A,ACC,的面积为-： (3)若规定在平面直角坐标系中，将一个图形先关于直线m对称，再向下平移2个单位长度记为1次“R变换”， ABC内有一点P(a,b),经过2025次“R变换”后的对应点Po2s的坐标为。 15.在平面直角坐标系中，A1,2),B(3,1),C(-2,-1. 5 4 3 2 B -5-4-3-24 2345x (1)在图中作出ABC关于y轴的对称△A,B,C1: (2)写出ABC关于y轴对称△A,B,C的各顶点坐标：A一，B,G (3)点C关于直线x=-1对称的点坐标为 16.如图，在平面直角坐标系中，直线1是第一、三象限内两坐标轴夹角的平分线. 7/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【问题背景】 (1)由图可知点A(0,2)与点A(2,0)关于直线1对称，请你在图中标明点B(3,5),C(3,-5),D(-3,-5),E(-5,0)关 于直线1对称的点B,C,D,E,的位置，并写出它们的坐标： 【探索归纳】 (2)结合图形并观察以上五组点的坐标，你会发现：坐标平面内任意一点P(α，b)关于直线1对称的点？的 坐标为 ； 【拓展应用】 (3)若点M(4,x)与点N(-3,2y)关于直线1对称，求点(x,y)的坐标. 考点03平面直角坐标系中面积求解 17.如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A2,4,B(1,1),C(3,2). 5-4-3-210 1 2345x -4 (1)请画出与ABC关于x轴对称的△A,B,C1; (2)写出点A和B的坐标： (3)求△A,B,C的面积 18.如图，已知ABC的三个顶点分别为A2,3)、B(3,1、C(-2,-2). 8/21 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 ……3 A 2 5 54-3-2 -012345x C …………-3 ……… 4 5 (1)请在图中作出ABC关于x轴对称的图形aDEF(A、B、C的对应点分别是D、E、F） (2)直接写出ADEF顶点坐标：D一，E一’F一； (3)求四边形ABED的面积， 19.ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)作出ABC关于y轴对称的三角形△AB,C,并写出G的坐标. (2)线段AB的中点坐标是 (3)求出ABC的面积， 20.己知点A坐标为-2,4)，点B坐标为-2,0)，点C坐标为(0,1. V◆ 3 2 -543-2-11012345x -2 -3 -4 -5H (1)在平面直角坐标系xOy中描出点A、点B及点C的坐标， (2)作出A、B两点关于y轴对称的对称点A、B的坐标，作出C点关于x轴对称的对称点C的坐标. 9/21 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)连接AB、B,C、AC,直接写出△A,B,C的面积. 21.如图：A2,3),B3,1 2 -543-2-10 12345家 2 人3 十-4 (1)作△A'B'0,使它与△AB0关于x轴对称，并写出A,B坐标. (2)作△A"B"0,使它与△AB0关于y轴对称，并写出A”,B坐标. (3)若坐标轴上1个单位长度代表1cm,求出△AB0的面积. 22.如图所示，学校计划在教学楼点A、图书馆点B、实验楼点C之间铺设一块三角形草坪△ABC,已知 实验楼点C的坐标为(L,). 教学楼A 图书馆B 实验室C (1)为了美观，在关于x轴对称的位置铺设另一块三角形草坪△A'B'C',画出三角形AB'C',则A的坐标是 点B的坐标是 ,点C的坐标是 (2)请计算两块草坪的面积一共是多少？ 23.如图，在直角坐标系中，点0(0,0)，点A(2,3),点B(5,4),点C(8,2). E D A (1)根据题意及图像提供的信息，直接写出点D、E、F、H的坐标； (2)分别求出aOAD,△OCH,△BCF及梯形DABE的面积； 10/21 专题07 位置与坐标相关解答题分类训练（6种类型48道） 考点01 平移与坐标变化 考点02 轴对称与坐标变化 考点03 平面直角坐标系中面积求解 考点04 最值问题 考点05 存在性问题 考点06 探究数量关系 考点01 平移与坐标变化 1．的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． (1)请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； (2)若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查坐标系中图形的平移与坐标变化，熟练掌握坐标系中图形的平移规律是解题的关键， （1）根据点移到点，得到平移规律，从而得到答案； （2）根据（1）中的平移规律即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：，，， ∵点移到点， ∴平移规律为：横坐标向左平移5个单位，纵坐标向下平移2个单位， ∴，， 依次连接，即可得到，如图所示： 故答案为： （2）解：∵点为内部的点， ∴根据（1）中的平移规律可得：， 故答案为：． 2．如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． (1)将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到（点与、点与、点与对应），请画出，并写出点、点的坐标； (2)直接写出的面积 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移作图，确定点的坐标，割补法求几何图形的面积，正确掌握平移的性质作出平移的图形是解题的关键． ()根据点的位置直接得到点的坐标; ()根据所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是，点B的坐标是； （2）解：的面积为， 故答案为：． 3．如图，已知点、、，经过平移后得到．若点为内任一点，经过平移后得到 (1)画出平移后的，并写出点的坐标______； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)8 【分析】本题考查了利用平移变换作图，根据已知点的坐标确定出平移方法，然后熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据点P与确定出平移方法，再根据规律找出点平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接可得，再写出点的坐标即可； （2）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为， ∴平移规律为向左平移3个单位，向下平移2个单位， ∴、、， 如图所示； 故答案为：． （2）解：的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，是由经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应． (1)分别写出各点的坐标： ， ， ． (2)若点是内部一点，则其在内部的对应点的坐标为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（）根据平面直角坐标系写出各点坐标即可； （）根据对应点的坐标得出的平移方式，进而即可求解； （）利用割补法解答即可； 本题考查了坐标与图形，图形的平移，三角形的面积，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，点与点是对应点， ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到， ∴若点是内部一点，则其在内部的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； (2)写出点的坐标：___________，___________，___________； (3)在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，解题的关键是得到平移后对应点的坐标． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点，，的坐标，描出，，并顺次连接，，即可； （2）根据解析（1）中的作图，写出点，，的坐标即可； （3）由，，，可知点的横坐标，再由可知点的纵坐标，即可得解． 【详解】（1）解：作出三个顶点向右平移5个单位，再向下平移4个单位的，，，顺次连接，则即为所求，如图所示： （2）解：由（1）图可得，，；， 故答案为：；；． （3）解：∵，，，， ∴点的横坐标为4， 又∵， ∴点的纵坐标为6或（不符合题意）， ∴点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向右平移4个单位再向下平移2个单位后得到，请画出，并写出点、的坐标： (2)求出的面积． 【答案】(1)图见解析，； (2) 【分析】本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据点平移的坐标变化规律写出、、的坐标然后描点连线，再直接写出坐标即可； （2）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示； ；； （2）解：的面积． 7．如图，是由经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标；（___，___）；（___，___） (2)若点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为，求和的值． 【答案】(1)2；1；；； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化轴对称，正确根据点B和点的坐标判断出平移方式是解题的关键． （1）根据坐标系中点的位置即可得到答案； （2）根据点B和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴平移到的平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ∵点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为， ∴， ∴． 8．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形面积公式，得出对应点位置是解题关键． （1）根据已知图形可得答案； （2）由的对应点得平移规律，即可得到答案； （3）由（2）平移规律得出m、n的方程． 【详解】（1）解：由图知，， 故答案为：，； （2）解：的对应点得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到， 三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）解：内平移后对应点的坐标为， ∵的坐标为， ∴， ∴． 考点02 轴对称与坐标变化 9．如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，． (1)直接写出的面积为______． (2)关于轴对称的 三顶点的坐标分别为 （  ），（  ），（  ）． (3)画出关于轴的对称（点 与点对应），点的坐标为______． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析， 【分析】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形； （1）把三角形的面积看成长方形面积减去周围三个三角形面积即可； （2）根据关于轴对称的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解； （3）根据轴对称的性质画出关于轴的对称，根据轴对称的性质，写出点的坐标； 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解：； 故答案为：，，． （3）∵，与关于y轴的对称 ∴点， 如图所示，画出如下图： 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请回答下列问题： (1)写出关于轴的对称三角形的顶点坐标（点的对应点分别为点）； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，求网格三角形的面积，解题关键是掌握坐标与图形变化——轴对称． （1）根据关于轴的对称的特点求解； （2）根据所在的矩形的面积减去周围的三个三角形的面积求解． 【详解】（1）解：∵的三个顶点坐标分别为，关于轴的对称三角形， ∴； （2）解：的面积为． 11．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线l上各点的纵坐标都为． (1)在网格中画出与关于y轴对称的； (2)若与关于直线l对称．请直接写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握上述知识及其应用． （1）根据三点的位置，画出关于y轴对称的； （2）根据三点的坐标，写出关于关于直线l对称的的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，与关于直线l对称， ∵，，，直线l上各点的纵坐标都为， ∴，，． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点的坐标为________，点的坐标为_________； (3)点与点关于直线对称，则点的坐标是_________． 【答案】(1)图见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）首先确定，，三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可； （2）根据（1）所画图形写出对应点坐标即可； （3）根据点与点关于直线对称即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，，， 故答案为：，； （3）解：∵点与点关于直线对称，， ∴点的坐标为， 故答案为： 13．如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格的格点上． (1)已知和关于直线l对称． ①请在图中把和补充完整； ②在以直线l为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为________； (2)已知网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． (3)在l上求作一点P，使点P到A、C两点的距离和最小，请标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①见解析；② (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面直角坐标系中点的对称变换、三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握轴对称的特征及割补法求三角形面积． （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可； （2）根据割补法求解即可； （3）利用轴对称性质找最短路径． 【详解】（1）解：①如图，和即为所求， ②由题意知：的坐标为， 故答案为：； （2）解：; （3）解：如图，P点即为所作． ． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点． (1)作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为； (2)四边形的面积为 ； (3)若规定在平面直角坐标系中，将一个图形先关于直线m对称，再向下平移2个单位长度记为1次“R变换”， 内有一点，经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)21 (3) 【分析】本题考查作图——轴对称变换、规律型∶点的坐标，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据梯形的面积公式计算即可．（3）根据题意可知每经过2次“R变换”为一次循环，根据，可知经过2025次“R变换”后的对应点与经过1次“R变换”后的对应点的坐标相同，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：四边形的面积为； 故答案为：21 （3）解：根据题意得：经过1次“R变换”后的对应点的坐标为， 经过2次“R变换”后的对应点的坐标为， ∴每经过2次“R变换”为一个循环， ∵， ∴经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为． 故答案为： 15．在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴的对称； (2)写出关于轴对称的各顶点坐标：______，______，______； (3)点C关于直线对称的点坐标为______ 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查坐标与轴对称，做对称作图，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据图形，直接写出相应点的坐标即可； （3）根据轴对称得性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知：； （3）点C关于直线对称的点坐标为． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限内两坐标轴夹角的平分线． 【问题背景】 （1）由图可知点与点关于直线l对称，请你在图中标明点关于直线l对称的点的位置，并写出它们的坐标； 【探索归纳】 （2）结合图形并观察以上五组点的坐标，你会发现：坐标平面内任意一点关于直线l对称的点的坐标为________； 【拓展应用】 （3）若点与点关于直线l对称，求点的坐标． 【答案】（1）图见解析，；（2）；（3）点的坐标为 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及轴对称的性质，熟练掌握平面直角坐标系及轴对称的性质是解题的关键； （1）根据平面直角坐标系先标出点关于直线l对称的点的位置，然后根据坐标系可得点的坐标； （2）由（1）可直接进行求解； （3）由（2）可知，然后问题可求解． 【详解】解：（1）点关于直线l对称的点的位置如答图． ∴． （2）由（1）可知：坐标平面内任意一点关于直线l对称的点的坐标为； 故答案为； （3）由（2）可知：因为点与点关于直线l对称，所以， ∴， ∴点的坐标为． 考点03 平面直角坐标系中面积求解 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点和的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查轴对称与坐标，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）先得出点关于轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据（1）坐标系可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由图可知：点的坐标为，点的坐标为； （3）解：． 18．如图，已知的三个顶点分别为、、． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（、、的对应点分别是、、） (2)直接写出顶点坐标： ______， ______， ______； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积公式，解题的关键是数形结合． （1）分别画出、、三点关于轴的对称点、、即可解决问题； （2）根据所作图形即可求解； （3）根据四边形是等腰梯形，利用梯形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知，，，， 故答案为：，，； （3）四边形的面积为． 19．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的三角形，并写出的坐标． (2)线段的中点坐标是_____． (3)求出的面积． 【答案】(1)图见详解， (2) (3)7 【分析】此题考查了利用轴对称的性质作图，割补法求三角形面积，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据中点坐标公式解答即可． （3）利用割补法可得的面积等于长方形的面积减去周围3个直角三角形的面积， 再求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，． （2）解：∵， ∴线段的中点坐标是． （3）解：． 20．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为． (1)在平面直角坐标系中描出点、点及点的坐标． (2)作出、两点关于轴对称的对称点、的坐标，作出点关于轴对称的对称点的坐标． (3)连接、、，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了作图--轴对称变换，写出直角坐标系中点的坐标，关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律． （1）根据坐标点结合坐标系确定点A、点B及点C的位置； （2）根据关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标相反；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标相反可得点的坐标，点的坐标，然后再描出点的位置即可； （3）首先画出图形，再利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图：即为所求； （3）如图：连接、、， ． 21．如图：，． (1)作，使它与关于轴对称，并写出，坐标． (2)作，使它与关于轴对称，并写出，坐标． (3)若坐标轴上1个单位长度代表，求出的面积． 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析，， (3)的面积为 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，三角形的面积公式，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，结合图形即可写出，坐标； （2）根据轴对称的性质作图，结合图形即可写出，坐标； （3）利用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： 由图可得，，； （2）解：如图所示，即为所求： 由图可得，，； （3）解：的面积 ． 22．如图所示，学校计划在教学楼点、图书馆点、实验楼点之间铺设一块三角形草坪△，已知实验楼点的坐标为． (1)为了美观，在关于轴对称的位置铺设另一块三角形草坪△，画出三角形，则的坐标是_______，点的坐标是_______，点的坐标是_______； (2)请计算两块草坪的面积一共是多少？ 【答案】(1)作图见解析；；； (2) 【分析】本题考查作图——轴对称变换，关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）分别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到三角形即为所求，根据平面直角坐标系即可得到各点坐标； （2）借助网格分别求出两个三角形的面积，相加即可． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到，即为所求； 由图可得，，，． 故答案为：；；． （2）解：如下图所示，把分成两个三角形， 由对称可知， 两块草坪的面积一共是． 23．如图，在直角坐标系中，点，点，点，点． (1)根据题意及图像提供的信息，直接写出点、、、的坐标； (2)分别求出，，及梯形的面积； (3)试求出四边形的面积． 【答案】(1)，，，． (2)；；；． (3)． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的确定以及图形面积的计算，熟练掌握三角形、梯形的面积公式并能将不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差是解题的关键． （1）根据图像中各点在坐标轴上的位置及与已知点的关系确定坐标． （2）利用三角形和梯形的面积公式，结合各点坐标计算面积． （3）通过将四边形的面积转化为几个规则图形（三角形、梯形等）的面积之和或差来计算． 【详解】（1）解：∵点，点，点，点, ∴，，， ∴，，，． （2）解：； ； ； ． （3）解： ． 24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上． (1)写出点的坐标； (2)将三角形向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到三角形，写出点的坐标； (3)求出三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了作图：平移变换，三角形的面积等知识点，掌握平移变换是解答本题的关键． （1）直接写出点A的坐标，即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据题意画出三角形，再结合网格图求出面积，即可． 【详解】（1）解：点的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为，将三角形向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到三角形， ∴点的坐标为，即； （3）解：如图， 三角形的面积． 考点04 最值问题 25．已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)画出关于x轴对称的； (3)点P在y轴上，并且使得的值最小，请写出最小值______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理． （1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）作点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时的值最小，利用勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， ∵点关于y轴的对称点， ∴， ∴ ， ∴的最小值为． 故答案为：． 26．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且a，b满足． (1)求点A、点B的坐标． (2)为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且． ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，求点R的坐标（用含t的式子表示）． ②连接，探究当取最小值时，线段的数量关系和位置关系． 【答案】(1)， (2)①②，且 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算． （1）直接根据平方的非负性和绝对值的非负性求出a、b的值即可； （2）①先根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定和性质求出，最后根据点P在y轴正半轴上作答即可； ②过点M作轴于N，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到，求出，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， 解得， ∴，； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵为y轴上一动点， ∴； ②如图3，过点M作轴于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴M点在过B点且与y轴正半轴成夹角的直线上运动； 如图4，设直线与x轴交于点D，当时，最小， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，且， 又∵， ∴均是等腰直角三角形， ∴，∠MOD=∠BAO， ∴，且． 27．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． (1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)画出关于y轴对称的； (3)已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）由图可得出答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）使的周长最小，即最小，连接，交y轴于点P，连接，此时满足最小，最小值为的长，利用勾股定理分别求出，的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． ； （3）解：∵使的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴使最小， 连接，交y轴于点P，连接， 此时满足最小，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 28．读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题．      【基础强化】 （1）如图①，点，，，平行于轴，平行于轴，则_____，_____； 【问题解决】 （2）如图②，点，，连接，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，点，，连接，点为上的任意一点，若，，求的最小值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）10 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可得，则由勾股定理可得的长； （2）过点A作轴，过点B作轴交于C，则，求出，再由勾股定理求解即可； （3）取，连接，由勾股定理得，，则，故当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∴， ∴； （2）如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （3）如图所示，取，连接， ∴，，且B、D、E三点共线， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ∴的最小值为10．   【点睛】 29．如图，网格中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．图中，，三点都是格点，若，． (1)在网格中画出符合要求的直角坐标系，并写出点的坐标为______； (2)将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位，得到三角形，在此网格中画出三角形点，，分别与点，，对应，直接写出点的坐标为______； (3)已知点，，点是线段上的一个动点，求出线段的最小值． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】本题考查基本网格作图，涉及平移性质、点的坐标、三角形的面积公式，垂线段最短，熟悉网格特点是解答的关键． （1）可根据点A、C坐标画出平面直角坐标系，进而可得点B坐标； （2）利用平移性质画出平移图形，进而可得点坐标； （3）利用垂线段最短可知，当时，最短，利用平移的性质得到，再利用等面积法求解，即可解题． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：则点B的坐标为． （2）解：如图，三角形即为所求： 由图可得，点的坐标为； （3）解：当时，线段取得最小值．设线段最小值为ℎ， 由平移得，， ∵的面积为， ∴，解得 ， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 30．△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）． (1)请画出关于y轴对称的图形（、、分别是A、B、C的对应点，不写画法），并写出坐标：（________）， (2)的面积是________； (3)在x轴上找一点，使的值最大，则最大值为________． 【答案】(1)见解析， (2) (3)作图见详解； 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称-最短路线问题、勾股定理、三角形面积等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可完成作图，然后直接写出的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）如图：延长交轴于点，即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得：； （2）解：的面积是． 故答案为：． （3）解：如图：延长交轴于点， 此时，有最大值，即： ∴点即为所求，有最大值为． 故答案为：． 31．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出的三个顶点、、的坐标； (2)直线过点且平行于轴，在直线上找出一点，使得的值最大，则最大值为_____． 【答案】(1)见详解， (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接，即可作答； （2）根据题意可得直线l即为直线， 根据，即可得当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴． （2）解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线l即为直线， 如图： ∵， ∴当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 32．阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点，直线与x轴的交点即为所求的点P． ∵， ∴， ∴， 即为的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：， 故答案为：． 考点05 存在性问题 33．如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键． （1）根据点，判断轴经过点，且右侧的点就是原点，建立坐标系即可； （2）先求出，分三种情况：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图的直角坐标系即为所求； （2），， ， 当时， 点的坐标为，即； 当时，， 点的坐标为，即； 当时，取格点，则，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或或． 34．如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 35．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)若在轴上存在点，使得的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)或 【分析】本题考查在平面直角坐标系中进行轴对称变换作图及网格图中三角形的面积计算．熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同这一规律是正确解题的关键． （1）由关于轴对称的性质得点，，的对称点为，描点、画图即可； （2）点的坐标为，再根据三角形的面积公式，计算即可． 【详解】（1）解： 如图所示， （2）设点的坐标为， 的面积为， ，解得或， 点的坐标为或 36．如图直角坐标系中为原点、、坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)_____，_____； (2)当的面积等于时，求的值； (3)过作垂直于直线交于，交轴于．在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质、绝对值的非负性，全等三角形的性质． （1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 解得，，， 故答案为：；； （2）由（1）可得，， 当点在线段上时，， 则， 解得，， 当点在线段的延长线上时，， 则， 解得，， 当或时，的面积等于； （3）如图1，当点在线段上时， ， ，即， 解得，， 如图，当点在线段的延长线上时， ， ，即， 解得，， 当或时，与全等． 37．如图，点，均在轴上，点在第一象限内，且点到轴的距离是3，到轴的距离是4，连接，交轴于点，连接，且点的坐标是，． (1)分别求出点，的坐标； (2)若线段上存在一点，使得，求点的纵坐标； (3)若在轴上存在一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点D的纵坐标为2 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、点到坐标轴的距离、绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题． （1）首先确定，结合点A在x轴负半轴上，可知点坐标；再根据点B在第一象限，B点到x轴，y轴的距离，可确定点坐标； （2）首先计算的面积，得出，进而计算点D的纵坐标即可； （3）设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A，C均在x轴上，C点坐标为， ∴， ∵线段， ∴， 又∵点A在x轴负半轴上， ∴， ∵点B在第一象限，B点到y轴的距离是3，到x轴的距离为4， ∴． （2）∵， 又∵， ∴，即，解得， ∵点D在第一象限， ∴，即点D的纵坐标为2； （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． 38．如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在．点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由（1）得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）解：存在．∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 40．如图，点A，B的坐标分别为、，点C为x正半轴上一个动点． (1)当时，写出线段　　，_________； (2)求的面积（用含m的代数式表示） (3)当点C在运动时，是否存在点C使为直角三角形，若存在，请求出这个三角形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，面积为或或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）直接利用两点距离计算公式求解即可； （2）过点作轴于，分点C在线段上（不包括点O）和点在线段的延长线上两种情况，讨论求解即可； （3）利用两点距离计算公式分别求出，再分， 和三种情况，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，点C的坐标为 点，点， ，， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于，当点C在线段上（不包括点O）时， 点，点，点 ，，，， ； 当点在线段的延长线上， ∴ ； 综上所述：； （3）解：点，点，点， ∴，， ； 当时，由勾股定理得， ∴，   ， ； 当时，由勾股定理得， ∴， 解得 ； 当时，由勾股定理得， ∴， ， ； 综上所述，存在点C使为直角三角形，为直角三角形时，其面积为或或． 考点06 探究数量关系 41．如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴正半轴上一个动点，连接，过点作，且． (1)如图，当时，连接交轴于点，求点的坐标； (2)如图，轴于点，且，连接交轴于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； (3)如图，在延长线上，过作轴于，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)在点运动过程中，长保持不变，； (3)，见解析． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． （）过点作轴于，由同角的余角相等得，证明，所以， ，然后代入即可求解； （）过点作轴于，由（）可知：，则， ，再证明，所以，从而得 ； （）延长交的延长线于，过点作于，交于，证明，则，，又，，， 得，根据性质得出即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴； （2）解：在点运动过程中，长保持不变，理由： 如图，过点作轴于， 由（）可知：， ∴，， ∵，轴 ， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由： 如图，延长交的延长线于，过点作于，交于， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 42． 在平面直角坐标系中，等腰的三个顶点的坐标，其中a，b是二元一次方程组的解， (1)求的面积 (2)点P是线段上一个动点，连接，点D是线段中点，连接，若点P的横坐标为m，设的面积为y，求y与m的关系式，并直接写出m的取值范围． (3)在（2）的条件下， 当时， 在上有一点E，使得， 求此时点P的坐标，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)， 【分析】本题考查了 二元一次方程组，坐标与平面综合，中点坐标公式，函数关系式的建立，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点． （1）先解二元一次方程组求出，再由三角形面积公式求解； （2）先由中点坐标公式表示，再由即可求解； （3）由得到，则，故，根据三角形的外角性质以及结合已知条件得到，由，得到，故，则． 【详解】（1）解：， 解该方程组得：， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵，点D是线段中点， ∴， ∴， ∴y关于m的关系式为：； （3）解：结论：，理由如下：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 43．如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． (1)填空：点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系； (3)如图2，若点N在线段上，且，连接，，，当的面积等于的面积时，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）根据点为射线上一动点，当点在点右边时，当点在点左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）利用，列方程即可解答． 【详解】（1）解：∵，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ∴，， 故答案为：，； （2）解：当点在点右边时，如图， 过点作， ∴， ∵平移， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 当点在点左边时，如图， 同理可得，，， ∴， 即， 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴，， ， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， 如图， 可得， 设，则， 可得方程， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为． 44．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)或 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的定义等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由非负性可求，的值，即可求点坐标和点坐标； （2）设，由面积关系可求的值，即可求点坐标； （3）由角平分线的定义和平行线的性质可得， ， 由余角的性质可求解. 【详解】（1） ∴ ∴ ∴点 ∵轴， 故答案为： （2）若点在轴上时，设 ∵ ∴= 解得，或 ∴或 若点在轴上时不成立 （3）    ∵平分    ∴ ∵轴    ∴，即 ∵    ∴    ∴    ∴ 45．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P为射线上一动点． (1)点C的坐标为______，点D的坐标为______； (2)如图，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P在射线上运动时（点P不与点D重合），连接，，，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)或；理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，平行线的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）根据点P为射线上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵将线段沿x轴向右平移12个单位得到线段， ，， 故答案为：，； （2）解：当点P在点D右边时，如图，过点M作， ， ∵，， ，， ， ∵，， ∴， ， ， ， ； 当点P在点D左边时，如图，过点M作， 同理可得，，， ， 即， 综上所述，或 46．已知线段两端点坐标，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C． (1)点D的坐标为__________，线段平移到线段扫过的面积为__________． (2)点是y轴上的动点，连接． ①若点是y轴正半轴上的动点，三角形的面积为__________．（用含m的式子表示） ②若点是y轴上的动点，三角形的面积为8，求点P坐标． ③如图，线段与线段相交于点E，三角形的面积为，三角形的面积为与之间的数量关系__________． 【答案】(1)，20 (2)①；②或；③ 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键 （1）先根据线段向下平移5个单位可得B的纵坐标减去5，横坐标不变，可得D的坐标，再求解的长度，乘以平移距离即可得到平移后线段扫过的面积； （2）①根据（1）所求可得轴，，而，据此求解即可；②同理可得，则，解方程即可得到答案；③用三角形的面积公式得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． ∴，，， ∴线段平移到线段扫过的面积为， 故答案为：，20； （2）解：①∵，， ∴轴，， ∴； ②∵，， ∴轴，， ∴， ∵三角形的面积为8， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或； ③根据题意，得，， ∴． 47．已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标______． (2)如图2，过点作轴于，求证：； (3)如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）作轴于H，证明，即可求解； （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）设和的延长线相交于点D，先证明，再证明，推出，再证，推出，即可得出． 【详解】（1）解：作轴于H，如图1： 点A的坐标是，点B的坐标是， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）解：．理由如下：如图2， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 而， ； （3）解：．理由如下： 如图3，设和的延长线相交于点D， ， ， ， ， 而， ， 在和中， ， ， ， x轴平分，轴， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 48．在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关判定定理的内容推出全等三角形即可； （1）证得，即可； （2）过点作轴于点，证即可； （3）过点作轴，分别过点，作，，交轴于点，设交轴于点，连接，证推出，再证推出；在轴上取点，使，证即可求解； 【详解】（1）证明：点在的平分线上，、， ， 在和中， ， ∴ ， ； ； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作轴，分别过点，作， ，交轴于点，设交轴于点，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点在第四象限且纵坐标为， ， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， 在轴上取点，使， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $