专题06 实数相关压轴题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题06 实数相关压轴题分类训练（6种类型48道） 考点01 复合二次根式化简 考点02 分母有理化 考点03 实数相关定义新运算 考点04 实数相关规律性问题 考点05 整数部分与小数部分 考点06 海伦——秦九韶公式应用 考点01 复合二次根式化简 1．观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设，，得，或，． ． （2）解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． （3）解： ． 3．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 4．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ． （3）在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 5．观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 6．按要求进行二次根式的有关计算： (1)阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． (2)阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． (3)阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】（）根据小芳同学的计算方法解答即可； （）①先对进行分母有理化得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解；②先化简方程，再解方程求出的值即可； （）根据阅读材料的方法解答即可； 本题考查了二次根式的化简及求值，解一元一次方程，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：，， ∵， ∴； ， ∵， ∴， 故答案为：，． 7．综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）； 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键。． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，，，均为正整数， ∴， 故答案为：，；   （3）∵， ∴，    ∴， ∴，   ∴． 8．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 考点02 分母有理化 9．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质及二次根式加减运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化的计算步骤是解决问题的关键． （1）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程直接求解即可得到答案； （2）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程先逐项分母有理化，再消去中间项，最后由二次根式性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 10．已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化． （1）先进行分母有理化，再进行加减即可； （2）利变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 11．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 12．阅读： ； ； (1)归纳：_______，_______（n为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)2112 (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的大小比较，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）分别对分母和分子乘以，，再利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算； （3）先分母有理化，再比较大小即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 13．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化，例如： ； (1)将分母有理化． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化． （1）仿照题干分母有理化即可； （2）将各二次根式分母有理化，进而相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 14．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)505． 【分析】本题考查二次根式的有理化，无理数的估算，完全平方公式和平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分母分别乘以它的有理化因式化简后合并即可； （2）先求出，再得出的小数部分，即的值，代入求解即可； （3）先将分母有理化，再算出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∴； （3）解：， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 15．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；    ① ；        ② ．    ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．    ④ (1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． (2)【拓展应用】化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）先分母有理化，再和并即可求解． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解： 16．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)________； (2)（为正整数）________； (3)化简：________； (4)化简下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)4 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理化，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ； （4） ． 考点03 实数相关定义新运算 17．阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”为，的“最近整数区”为． 材料二：有趣的；，年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)的“最近整数区”是 ；的“最近整数区”是 ； (2)若无理数为正整数）的“最近整数区”为，的“最近整数区”为，求的值； (3)实数，，满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据材料一的定义求出最近整数区； （2）利用最近整数区求出，的取值范围，得出的具体值，求出结论； （3）先根据，得出，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“最近整数区”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， 的“最近整数区”是， ， 的“最近整数区”是， 故答案为：，； （2）解：最近整数区为 ， 最近整数区”为， ， ， ， 为正整数， ， ； （3）解：，，得出， ， ① ② ②①，得， ， ， 的算术平方根是， ， 的算术平方根的“最近整数区”是． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根、不等式、无理数估值、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“最近整数区”的定义． 18．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）①根据新定义可得，，而，据此代值计算即可；②设，则可推出，即；再根据题意可得，则，即． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵，， ∴， ， ∴ ； ②设， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 19．对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【答案】(1) (2)＝ (3)满足，理由见解析 【分析】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可． （1）即可计算； （2）根据题意的运算规则，即可进行判断； （3）对于实数，则交换，位置有． 【详解】（1）解：； （2）解：由运算规则得， ， ， 故， 故答案为：＝； （3）解：满足 理由如下： ∵对于实数， ， ∴这种运算“”满足交换律 20．对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 【答案】 【分析】本题考查实数的新定义运算，先根据非负数的性质得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 即的值为． 21．现定义运算“★”，对于任意实数，，都有，如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) 26 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及新定义，正确理解新定义，能根据新定义的意思列出算式是解题的关键． （1）根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算； （2）根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算 【详解】（1） （2） ， ， ， . 22．用“”表示一种新运算，对于任意非负实数和任意实数都有，例如，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，根据新定义运算的法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 23．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 24．定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 考点04 实数相关规律性问题 25．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 26．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 27．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 28．（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查二次根式的化简计算，规律总结，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）逐个计算，最后根据算术平方根计算即可； （2）根据（1）中的①②③，找出规律，并总结出即可； （3）根据（2）中的规律计算，即可解答． 【详解】解：（1）①  ， ②， ③， …… （2）由（1）得 ①  ， ②， ③， …… 按此规律，可得 第n个根式为； （3） ． 29．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题中规律可得； ． （2）解：根据题中规律可得； （3）解：原式 ． 30．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 31．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 32．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 考点05 整数部分与小数部分 33．通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算； （1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是 故答案为：． （2）∵，设的小数部分为x， ∴ ∴ 34．已知a的平方根是，b是27的立方根，c是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)若x是的小数部分，求的值． 【答案】(1)3 (2)7 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，无理数的估算，实数的混合运算．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据a的平方根是，b是27的立方根，得出又因为，则，然后代入进行计算，得出9，最后求出的算术平方根是，即可作答． （2）先由，得，即，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵a的平方根是，b是27的立方根， ∴ ∵， ∴， ∵c是的整数部分． ∴， ∴， 则的算术平方根是， ∴的算术平方根是； （2）解：∵， ∴， ∵x是的小数部分， ∴， ∴． 35．阅读下面的材料，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数部分是1，小数部分是．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值． 【答案】(1)2； (2)3 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，定义新运算，熟练掌握夹逼法判断出无理数的整数部分和小数部分，是解题的关键： （1）夹逼法求出的范围，进而求出整数部分和小数部分即可； （2）根据算术平方根的定义求出，根据无理数的估算求出，根据新定义的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，即：， ∴的整数部分是2，小数部分为； （2）由题意，， ∵，即：， ∴， ∴． 36．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．于是小明用来表示的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)设的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则，是解题的关键： （1）夹逼法求出的整数部分和小数部分即可； （2）夹逼法求出整数部分和小数部分，再利用二次根式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 37．阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为．类似的：因为，所以的小数部分就是． 解决问题： (1)初步运用：的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)综合拓展：如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题考查与无理数整数部分有关的计算，熟练掌握夹逼法进行无理数的估算是解题的关键： （1）夹逼法求出的范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是10，小数部分为，即． ∵， ∴， ∴的整数部分是7，即， ∴． 38．数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求出的取值范围即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出和的取值范围，进而确定a、b的值，再代值计算即可； （3）估算出的取值范围，进而确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为，的整数部分为1， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为9，小数部分为， ∴， ∴ ． 39．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)15 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 40．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算，找到无理数的整数部分是解题的关键． （1）因为，从而知道的整数部分为，用减去得到其小数部分； （2）先求得的小数部分，的整数部分，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，则， ∵，则， ∴． 考点06 海伦——秦九韶公式应用 41．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1)3 (2)中最长边的长度为的面积为 【分析】（1）依据题意，由时，先求出p，再代入公式计算可以得解； （2）①依据题意，由，则，从而可以判断得解； ②依据题意，由，则，从而，可得，且x为整数，故当时，三边为，1，4，再分类讨论计算可以得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ， ， ， 三角形的面积为3； （2）解：①由题意，， ， 中最长边的长度为3； ②， ， ， ，且x为整数， 当时，此时三边为，1，4， ， 不合题意舍去， 当时，三边为2，2，3， ， ， ， 的面积为． 42．项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】任务一：11，；任务二： 【分析】本题考查二次根式的应用，正确计算是关键． 任务一：把数值代入直接计算即可； 任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可． 【详解】解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴， 根据海伦公式可得 ， 故答案为：11，； 任务二：设三角形的三边长分别是，，， ，，， 秦九韶公式： ． 43．【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． (1)____________； (2)求的面积； (3)过点作，垂足为，求线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积，勾股定理，也考查了阅读理解能力． （1）利用阅读材料，把数值代入公式中即可计算出的值； （2）根据海伦——秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，，， ． 故答案为：12． （2），，， ． （3）， ． ． 在中，，， ． 44．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 45．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解“海伦公式”及“秦九韶公式”；因此此题可根据“海伦公式”及“秦九韶公式”直接代值求解即可． 【详解】解：的三边长分别为，，，， 则 ； 的三边长分别为，，， 则 ． 计算的面积时，由于三边长为整数，且为整数，使用海伦公式计算较为简便；计算的面积时，由于三边长为二次根式，使用秦九韶公式可以先对边长进行平方运算，从而简化计算． 46．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． (2)如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】(1)I．；II． (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）I．直接代入海伦公式计算即可； II．直接代入秦九韶公式计算即可； （2）连接，先利用勾股定理求出的长度，进而求出的面积，再利用秦九韶公式算出的面积，两者相加即可． 【详解】（1）I．三角形的三边长分别为7，8，9， 假设，根据海伦公式，得． 所以该三角形的面积 II．三角形的三边长分别为， 假设， 根据秦九韶公式，得． 所以该三角形的面积 （2）如图，连接． 在中，， 所以． 在中，假设， 根据秦九韶公式，得． 所以． 所以． 47．秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查二次根式的实际应用，勾股定理，熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键： （1）直接利用公式求出三角形的面积即可； （2）利用等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 48．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法如下：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．若三角形三边满足条件，且周长为9，请根据上述给定的公式计算这个三角形的面积． 【答案】/ 【分析】本题考查平方根的计算，根据比的性质，求出三角形各边长，再运用公式计算是解题的关键．先求出、、的值，再代入所给的面积公式即可． 【详解】解：，， ，，， ， 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 实数相关压轴题分类训练（6种类型48道） 考点01 复合二次根式化简 考点02 分母有理化 考点03 实数相关定义新运算 考点04 实数相关规律性问题 考点05 整数部分与小数部分 考点06 海伦——秦九韶公式应用 考点01 复合二次根式化简 1．观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 2．【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 3．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 4．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 5．观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 6．按要求进行二次根式的有关计算： (1)阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． (2)阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． (3)阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 7．综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 8．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 考点02 分母有理化 9．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 10．已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 11．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 12．阅读： ； ； (1)归纳：_______，_______（n为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 13．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化，例如： ； (1)将分母有理化． (2)计算：． 14．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 已知，． (1)化简x，y； (2)，．的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料，若的小数部分为a，求的值； (3)若m是正整数，，，且，求m的值． 15．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；    ① ；        ② ．    ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．    ④ (1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． (2)【拓展应用】化简：． 16．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)________； (2)（为正整数）________； (3)化简：________； (4)化简下列式子的值：． 考点03 实数相关定义新运算 17．阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”为，的“最近整数区”为． 材料二：有趣的；，年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1)的“最近整数区”是 ；的“最近整数区”是 ； (2)若无理数为正整数）的“最近整数区”为，的“最近整数区”为，求的值； (3)实数，，满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 18．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 19．对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 20．对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 21．现定义运算“★”，对于任意实数，，都有，如：． (1)求的值． (2)求的值． 22．用“”表示一种新运算，对于任意非负实数和任意实数都有，例如，，求的值． 23．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 24．定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 考点04 实数相关规律性问题 25．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 26．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 27．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 28．（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 29．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 30．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 31．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 32．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 考点05 整数部分与小数部分 33．通过学习我们知道无理数是个无限不循环小数，例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．请完成下面问题： (1)的整数部分是________． (2)若设的小数部分为x，求的值． 34．已知a的平方根是，b是27的立方根，c是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)若x是的小数部分，求的值． 35．阅读下面的材料，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数部分是1，小数部分是．请解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值． 36．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．于是小明用来表示的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)设的整数部分为，小数部分为，求的值． 37．阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为．类似的：因为，所以的小数部分就是． 解决问题： (1)初步运用：的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)综合拓展：如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 38．数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 39．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的值． 40．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 考点06 海伦——秦九韶公式应用 41．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 42．项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 43．【阅读材料】 如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”． 【材料应用】 如图，在中，，，． (1)____________； (2)求的面积； (3)过点作，垂足为，求线段的长． 44．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 45．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为，，，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）． 已知的三边长分别为，，；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积，并说说你选择的理由． 46．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． (2)如图，在四边形中，，求四边形的面积． 47．秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 48．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法如下：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．若三角形三边满足条件，且周长为9，请根据上述给定的公式计算这个三角形的面积． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $