专题03 勾股定理相关最值问题分类训练（5种类型30道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03勾股定理相关最值问题分类训练(5种类型30道) 考点归纳 考点01求线段和的最值 考点02求周长和面积的最值 考点3求线段的最值 考点04网格中利用勾股定理求最值 考点05最短路径问题 考点专练 考点01求线段和的最值 1.如图，己知A、B两村分别距公路1的距离AA'=10km,BB'=30km,且A'B'=30km,在公路1上建一中转 站P使AP+BP最小，则AP+BP的最小值为() B B' A.30km B.40km C.50km D.60km 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=6,M为AB的中点，D在AC边上，AD=1,P,Q分 别为AC,AB边上的动点，则DQ+PQ+PM的最小值为() B A.10 B.√0 3 C.25 D.2+5 3,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=4,AC的中垂线DE交AC于D,交BC于点E,交直线 AB于点F.若点P为直线DE上一动点，点Q为直线AB上一动点，则BP+PQ的最小值为(). 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0 A. B.9 c号 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12,如果点D、E分别为BC,AB上的动点，那 么AD+DE的最小值是() A.12 B.120 13 C.13 D.5+2W13 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D,E分别是AB,BC上的动点，且 AD=BE,连接CD,AE,则CD+AE的最小值是(). D B A.5 B.34 C.6 D.√4 6.如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AB=√5BC=2√3且EF=BC,点G是边AB 上的中点，连接GE、DF.当GE+DF取最小值时，线段CF的长是() C E G B A.1 B.√5 D.25 考点02求周长和面积的最值 7.如图，ABC中，边BC=6,面积是24，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,交AB于点E,D是BC 的中点，M是线段EF上一动点，连接BM,DM,AD,则△BDM的周长最小值为· 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 8.在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=3√，BC=1,在AD、CD上分别找 一点E、F,使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值为」 D 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上的点，且CD=2,连接AD,并将△ACD沿直线AD翻 折后点C恰好落在AB边上的点E处，此时∠CAD=I5°，F是直线AD上的一动点，连接BF,EF,则 △BEF周长的最小值是 B D 10.如图，在ABC中，AB=AC,∠A=30°，其中D,F分别是AB,AC边上的动点，在运动过程中始终保 持AD=CF,连接DF,并将DF绕点D逆时针旋转30°得到DE,连接EF,CE,BE.已知BC=4,且G为 BC中点，连接EG,则aCEG周长的最小值为 A 11.如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点（不与端点重合）， 若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,则四边形EFGH周长的最小值等 于 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B H G 12如国，8C和DE是以点4为直角顶点的等腰直角三角形，且治-分分别作射线B0、CE,宫 们交于点M,以点A为旋转中心，将ADE按顺时针方向旋转，若AE的长为2，则△MBC面积的最小值 是() A.4 B.8 C.22+2 D.15V5 4 考点03求线段的最值 13.如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是() A A.3.6 B.4 C.4.5 D.4.8 14.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6,AC=8,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于 F,动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是() E A.4.8 B.5 C.3.6 D.4.5 15.如图，在ABC中，AB=8,AC=6,BC=10,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F, 求EF的最小值为() 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.5 B.4.8 C.2.4 D.4 16.如图，在长方形ABCD中，AB=12,BC=16,将长方形ABCD沿直线AE折叠，使点B落在长方形 ABCD内部的点F处，则CF的最小值是() D E A.4 B.8 C.12 D.16 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,点D、E分别在BC、AC边上.现将△DCE沿 DE翻折，使点C落在点H处.连接AH,则AH长度的最小值为() H B D A.0 B.2 C.4 D.6 18.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB, 则PB的最小值是() D C P A.4 B.8 C.42 D.22 考点04网格中利用勾股定理求最值 19.综合探究：“"在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5,0，√3，求这个三角形的面积.” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不用求△ABC的高，而借用网格就 能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法， m 图1 图2 (1)直接写出图1中。ABC的面积是 (2)若△MNP的边长分别为Vm2+16n2,V9m2+4n2,√4m2+4n2(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法在 图2中画出相应的△MNP,并求出△MNP的面积 (3)拓展应用：求代数式√x2+256+√(27-x)2+400(0≤x≤27)的最小值. 20.如图，点A,B,C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形.利用格点和直尺 画图并填空： M (1)画出ABC关于直线MN轴对称的aA'B'C'; (2)直线MN上是否存在一点P,使AP+BP的值最小，若存在，请求出AP+BP的最小值 21.无理数的大小比较可以采用平方法，还可以采用“数形结合”的方法：在正方形网格纸（每个小正方形的 边长为1)中，通过构造图形比较无理数大小。 B 图1 图2 图3 (1)如图1，正方形方格纸中，线段AB的长为2，线段AC的长度为√2.请结合.图形，直接比较大小： 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2+210: (2)在图2中，请尝试构造图形，并比较5+√5与√34的大小 (3)已知两正数m,n,满足m+2n=8,则√m2+4+2√m2+1是否有最小值？如果有，请尝试在图3中构造 图形，直接写出这个最小值，如果没有，请说明理由 22.下图是由小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点均为格点，仅用 无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）. 图1 图2 (1)如图1，画ABC的中线CD; (2)如图1，在BC上画一点E,使得LBAE=45°； (3)如图2，己知BC=5,画ABC的角平分线BF; (4)如图2，在(3)的条件下，P是AB上的一点，在BF上画一点H,使AH+PH的值最小 23.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上， 仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1AC的长为-； (2)画△BAC的角平分线AD: (3)E是AC与网格线的交点，画出点E关于AD的对称点F: (4)P为AD上一动点，PE+PC的最小值为- 24.已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A,点B,点C都在格点（正方形的顶 点)上： 7/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)ABC的面积等于 个平方单位： (2)画出ABC关于直线1的对称图形； (3)在直线1上找一点P,使PA+PB的长最短； (4)求PA+PB的最小值， 考点05最短路径问题 25.如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm,高为4cm,点P在边BC上，BP=lcm.若一只蚂蚁从A 点开始经过3个侧面爬行一圈到达P点，则妈蚊爬行的最短路径长为c. B 4cm 2cm A 1cm 26.如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和3cm,高为5cm.若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬 行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm. cm 4 cm P 27.如图，长方体的长、宽、高分别为8cm,6cm,5cm,一只妈蚁从顶点A沿长方体表面爬到顶点B,则它 爬行的最短路径长为」 cm. 6 8 28.现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为8cm,高为10cm,在杯子内壁离容 器底部2.5cm的点B处有一滴峰蜜，与峰蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿2.5cm的点A 8/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 处，则妈蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 cm. B 29.如图是一个长2cm、宽1cm、高1cm的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计） 卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴峰蜜，果盘内部顶点A处的小 蚂蚊想去吃峰蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径 长为 30. 如图是一个长方体，其中AB=4,BC=2,CD=2,点E是CD的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿长 方体的表面按如图所示的路径到点E处觅食，则它爬行的最短路径长为_ 9/9 专题03 勾股定理相关最值问题分类训练（5种类型30道） 考点01 求线段和的最值 考点02 求周长和面积的最值 考点03 求线段的最值 考点04 网格中利用勾股定理求最值 考点05 最短路径问题 考点01 求线段和的最值 1．如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，两点之间线段最短，勾股定理． 作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小，由直角三角形的两个锐角互余，可得，从而可得，根据勾股定理计算，即可得的最小值． 【详解】解：如图（1），作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小， 如图（2），此时． ∵，， ∴， ∴, 易知， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 3．在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点．若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，连接，，在上截取，由垂直平分，则，，证明，所以，从而证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，即的长，设，则，由勾股定理求出，则，最后通过等面积法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，在上截取， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，即的长，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴的值最小为， 故选：． 4．如图，在中，，，，如果点、分别为，上的动点，那么的最小值是（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．如图所示，作点A关于的对称点，作交于点D，连接，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作，交于点D，连接，如图： 则， ， 即最小值即为的长， ， ， ， 即最小值为， 故选：B． 5．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）． A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点B作，且使，连接， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点F，E，A共线时，为最小，最小值是， 的最小值是 故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AB＝BC＝2且EF＝BC，点G是边AB上的中点，连接GE、DF．当GE+DF取最小值时，线段CF的长是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】取BC的中点H，根据三角形中位线定理证明四边形EGHF是平行四边形，推出GE+DF= HF +DFDH，得到当H、F、D 共线时，GE+DF有最小值，最小值为DH，再利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：取BC的中点H，连接GH、HF、HD， ∵在矩形ABCD中， AB=BC=2且EF=BC， ∴BC=2，EF=BC=2， ∴AC=， ∵点G是边AB上的中点，点H是边BC上的中点， ∴GH=AC=2，GH∥AC， ∴GH= EF =2，GH∥EF， ∴四边形EGHF是平行四边形， ∴EG=HF， ∴GE+DF= HF +DFDH， ∴当H、F、D 共线时，GE+DF有最小值，最小值为DH，如图： 在矩形ABCD中，CH∥AD，CH=BC=AD，∠DAC=∠HCF， ∴△CFH△AFD， ∴， ∵AC=4， ∴CF=， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，得到当H、F、D 共线时，GE+DF有最小值，且最小值为DH是解题的关键． 考点02 求周长和面积的最值 7．如图，中，边，面积是，腰的垂直平分线交于点，交于点是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键，连接，由等腰三角形三线合一的性质及面积得，再利用线段垂直平分线的性质得出，即可得出，进而可得出当点三点共线时，有最小值，最小值．最后根据三角形的周长计算即可． 【详解】解：如图所示： 连接， 是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是的垂直平分线， ∴． ∴． ∴当点三点共线时，有最小值，最小值为8． ∴的周长的最小值为． 故答案为：11 8．在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，由轴对称的性质可得，，，表示出的周长，由两点之间线段最短，此时的周长最小，为，过点作，交的延长线于点，则为等腰三角形，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，则此时的周长最小， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴的周长， ∵两点之间线段最短， ∴此时的周长最小，为， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 9．如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、折叠问题、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质推出，，连接、、，将的周长转化为，其中的长度为定值，得到当、、三点共线时，有最小值，进而解题． 【详解】解：如图，连接、、， 由轴对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 由题意知，、关于对称，即垂直平分， ∵F是直线上的一动点， ∴， ∴，其中， 当、、三点共线时，有最小值， 即周长的最小值为； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为： ． 10．如图，在中，．其中分别是边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．已知，且为中点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，轴对称，勾股定理，熟练掌握“一线三等角”和“将军饮马”模型是解题的关键．根据题目中给出的和，且顶点在同一条直线上，作辅助线构造，通过角度转化找出动点E与成60度角的射线上移动，再通过轴对称发现当三点共线时，的周长最小，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在线段上取一点H，使得，连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 结合题意可知动点E在与成60度角的射线上移动， 如图，作点G关于直线对称的点P，连接，延长，过点P作的垂线，交于点Q， 由轴对称可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得， 根据图形可知， ∴当C、E、P三点共线时，值最小，此时，同时，的周长最小，为， 故答案为：． 11．如图，在矩形中，点、、、分别是边、、、上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足、，且、，则四边形周长的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质、平行四边形判定及最短路径问题，解题关键是准确作对称点并转化线段，易错点是对称点的位置或勾股定理计算失误；解题思路是运用对称思想与勾股定理，通过作对称点将折线转化为直线，利用两点之间线段最短求周长最小值． 【详解】解：由、及矩形性质， 可证是平行四边形，因此周长； 作点关于的对称点，关于的对称点； 则，； 周长; 当 、 、 、 、共线时，最小， 因为、，利用勾股定理可得： 最短周长 故答案为：． 12．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 考点03 求线段的最值 13．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 14．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：A． 15．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用勾股定理逆定理推出，证明四边形为矩形，进而得到，结合垂线段最短得到当于点时，最小，即最小，再结合等面积法求解，即可解题． 【详解】解：连接， 在中，，，， 又，即， ， 于E，于F， ， 四边形为矩形， ， 当于点时，最小，即最小， 有， 故选：B． 16．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理求出，可得结论．确定的最小值为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴，即， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 17．如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论． 【详解】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小， ∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm， ∴AB=10cm， 由折叠的性质知，BH=BC=6cm， ∴AH=AB-BH=4cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】取CD中点H，连接AH，BH，根据矩形的性质题意得出四边形AECH是平行四边形，可知，然后根据三角形中位线的性质得，得出点P在AH上，然后判断BP的最小值，再求出值即可. 【详解】如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，， ∵点E是AB中点，点H是CD中点， ∴CH＝AE＝DH＝BE＝4， ∴四边形AECH是平行四边形， ∴， ∵点P是DF的中点，点H是CD的中点， ∴PH是△CDF的中位线， ∴， ∴点P在AH上， ∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值， ∵AD＝DH＝CH＝BC＝4， ∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，， ∴∠AHB＝90°， ∴BP的最小值为. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P的位置是解题的关键． 考点04 网格中利用勾股定理求最值 19．综合探究：“在中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不用求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的边长分别为（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式（）的最小值． 【答案】(1)3.5 (2) (3)45 【分析】本题主要考查“勾股定理”，理解题意中的构图法，并运用构图法构造问题中所求式子对应的三角形是解题关键． （1）通过作差法，用大正方形的面积减去三个小三角形的面积即可； （2）根据根号下式子的特征，确定横、纵格子的个数，来确定顶点的位置，画出对应的三角形，再通过作差法求面积即可； （3）构造两个直角三角形，使斜边长等于式子中每个根式的值，再通过将军饮马求最值的方法求解出线段和的最值，即可求出该式子的最值． 【详解】（1）由图，得， 故答案为：3.5． （2）如图，根据题意构造， ∴． （3）如图，构造图形如下，则线段，线段， 作点M关于直线的对称点，连接，则为的最小值，即的长为代数式的最小值， ∴， ∴的最小值为45． 20．如图，点，，都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．利用格点和直尺画图并填空： (1)画出关于直线轴对称的； (2)直线上是否存在一点，使的值最小，若存在，请求出的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，存在，的最小值为． 【分析】本题考查轴对称图形的画法，最短路线的求法，能够正确作图是解题关键． （1）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点即可； （2）直接利用轴对称求最短路线的方法，直接画出点即可，并结合勾股定理计算最短路径长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接，与得交点，即为点． 直线是的垂直平分线， ， ， 根据“两点之间，线段最短”，当为与的交点时，， 此时取得最小值，即的长度， 通过网格可知，到的水平距离为5个单位长度，垂直距离为4个单位长度，由勾股定理得：， 故的最小值为． 21．无理数的大小比较可以采用平方法，还可以采用“数形结合”的方法：在正方形网格纸（每个小正方形的边长为1）中，通过构造图形比较无理数大小． (1)如图1，正方形方格纸中，线段的长为2，线段的长度为．请结合．图形，直接比较大小：_____； (2)在图2中，请尝试构造图形，并比较与的大小 (3)已知两正数，，满足，则是否有最小值？如果有，请尝试在图3中构造图形，直接写出这个最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，，图见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． （1）根据三角形的三边关系进行判断即可； （2）构建边长为，，的三角形即可判断； （3）将原式化简为，取线段，令，则，然后作图，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵在中，，线段的长为2，线段的长度为， ∴， 故答案为：； （2）根据题意，画图如下： ，，， ∵在中，， ∴； （3）∵， ∴ ， 构造图形如下： 取线段，令，则， ∴， 当点E、G、F三点共线时，即点G在店处时， 取得最小值，即， ∴有最小值，最小值为． 22．下图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）． (1)如图1，画的中线； (2)如图1，在上画一点，使得； (3)如图2，已知，画的角平分线； (4)如图2，在（3）的条件下，是上的一点，在上画一点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，找到的中点，连接即可； （2）观察图形发现，根据等腰直角三角形的性质，过点作，连接交于点即可； （3）将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点即可； （4）作点关于线段的对角线，连接，线段于的交点为所求的点． 【详解】（1）解：观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，连接中点所在的由两个小正方形构成的的长方形的对角线，该对角线与的交点即为所求的点，连接，如图： （2）解：观察图形发现，过点作，连接交于点，如图： （3）解：将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点，即为的角平分线，如图： （4）解：作点关于线段的对角线，连接，线段与的交点为所求的点，如图： 23．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1)AC的长为 ； (2)画△BAC的角平分线AD； (3)E是AC与网格线的交点，画出点E关于AD的对称点F； (4)P为AD上一动点，PE+PC的最小值为 ． 【答案】(1) (2)见解析； (3)见解析； (4) 【分析】（1）利用勾股定理求AC即可； （2）取格点M，连接BM，确定BM的中点N，连接AN交BC于点D即可； （3）过点E作AD的垂线，垂足为H，过H作线段HG=AB，且HG⊥AB于F； （4）连接CF交AD于一点即为点P， PC+PE的值最小，此时PC+PE=CF，根据勾股定理求出AE得到AF，再根据勾股定理求出CF即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）∵AM=，AB= ∴AM=AB， ∵MN=，BN=, ∴MN=BN， 根据等腰三角形三线合一得AN平分∠MAB， 如图，AD即为所求； （3）过点E作AD的垂线，垂足为H，过H作线段HG=AB，且HG⊥AB于F, 如图，点F即为点E关于AD的对称点； （4）如图，连接CF交AD于一点即为点P， PC+PE的值最小，此时PC+PE=CF， ∵AF=AE=， ∴CF=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理与网格，等腰三角形的三线合一的性质，旋转的性质，最短路径问题，综合掌握各部分的知识是解题的关键． 24．已知∶如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，点B，点C都在格点(正方形的顶点)上； (1)的面积等于____________个平方单位； (2)画出关于直线l的对称图形； (3)在直线l上找一点P，使的长最短； (4)求的最小值， 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是网格作图——轴对称变换及线段最短问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． （1）用长方形面积减去周围三个三角形的面积即可得的面积； （2）分别作出A，B，C三点关于l的对称点，C，即可得到所求三角形； （3）连接，交直线l于点P，此时的长最短； （4）用勾股定理求出的长，即得的最小值． 【详解】（1）解：． 故答案为：3． （2）解：取点，使，点到l的距离等于点A到l的距离，点到l的距离等于点B到l的距离， 连接，得到， 即为所求作． （3）解：连接交直线l于点P， ∵点，A关于l对称， ∴， ∴，的值最小． （4）解：的最小值，． 考点05 最短路径问题 25．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 26．如图，长方体的底面长和宽分别为和，高为．若一只蚂蚁从顶点开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了长方体展开图、勾股定理，以及两点之间，线段最短，根据“两点之间，线段最短”，可得蚂蚁爬行的最短路径长就是线段． 【详解】解：根据题意，展开长方体，如图所示， ，， ． 故答案为：． 27．如图，长方体的长、宽、高分别为．一只蚂蚁从顶点沿长方体表面爬到顶点，则它爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查长方体表面爬行最短路径问题，涉及勾股定理，根据题意分三种情况展开求解是解决问题的关键． 根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． 【详解】解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②下与右：； ③前与上：； ， 它爬行的最短路径长为， 故答案为：． 28．现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将圆柱体水晶杯侧面展开，作A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图是圆柱体水晶杯侧面展开图的一半， 作A关于的对称点，连接，交于点F，连接，则，， 作交的延长线于点D，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴即为最短距离， ∵底面周长为， ∴， ∵高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处， ∴， ∴． 故答案为：． 29．如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 则小蚂蚁所走的最短路径长， 故答案为：． 30．如图是一个长方体，其中，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，则它爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，最短路径问题，根据题意画出展开图是解题的关键．先根据题意画出平面展开图，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将蚂蚁爬行的两个面展开，如图所示， 则， ，，，点是的中点， ，， 在中，由勾股定理得： ， 它爬行的最短路径长为． 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $