专题03 幂函数与二次函数（高效培优期末专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题03 幂函数与二次函数（13个题型） 考点01 幂函数的定义、求值以及解析式 考点02 幂函数的定义域、值域问题 考点03 幂函数的图象及应用 考点04 幂函数以及与幂函数相关的复合函数单调性的判断 考点05 由幂函数的单调性比较大小 考点06 利用幂函数的单调性解不等式 考点07 幂函数性质的综合应用 考点08幂函数与其他章节的融合 考点09 二次函数的解析式 考点10 二次函数的图象、单调性与最值 考点11 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 考点12 二次函数最大值的最小值问题 考点13 二次函数与其他章节的融合 考点01 幂函数的定义、求值以及解析式 1．下面的函数中是幂函数的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 2．函数是幂函数，则实数的值是（  ） A． B． C．或 D．且 3．已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（  ） A． B． C．3 D．9 4．若函数是幂函数，且，则______． 5.己知幂函数的图象过点，则 . 6.若幂函数为奇函数，则该函数的表达式 . 考点02 幂函数的定义域、值域问题 7．函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 8．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 9．（多选）对幂函数，下列结论正确的是（  ） A．的定义域是 B．的值域是 C．的图象只在第一象限 D．在上递减 10．（多选）若幂函数的图像经过点，则（  ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数的值域为 11.已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 12.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________ 13.已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若，都有成立，求实数的取值范围. 考点03 幂函数的图象及应用 14．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（  ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 15.下列图象中，最符合函数的图象的是（  ） A． B． C． D． 16.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（  ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 17．已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 18.已知函数，若，则函数的图象是（  ） A．   B．   C．     D．   19.若函数与图象关于对称，且，则必过定点（  ） A． B． C． D． 20．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 21.(多选)下列幂函数中满足条件的函数是（  ） A． B． C． D． 22．已知幂函数的图象如图所示，则的解析式可能为（  ） A. B. C. D. 考点04 幂函数单调性以及与幂函数相关的复合函数单调性的判断 23.下列函数是幂函数且在是增函数的是（  ） A． B． C． D． 24.已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 25.函数的增区间为（  ） A． B． C． D． 26．(多选)下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（  ） A． B． C． D． 27.(多选)下列函数中，在区间单调递减的是（  ） A． B． C． D． 28.函数的单调减区间为 ； 29.已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 考点05 由幂函数的单调性比较大小 30.已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 31.如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（  ） A． B． C． D． 32．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 33.设，，，则（  ） A． B． C． D． 34.已知，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 考点06 利用幂函数的单调性解不等式 35.满足的实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 36.已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 37．不等式的解为 . 38．实数满足，则实数的取值集合为 . 39．已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 40．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 41．设函数，如果，则的取值范围是 . 42．已知幂函数过点，若恒成立，则 ；实数的取值范围是 ． 43.知幂函数在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数a的取值范围． 考点07 幂函数性质的综合应用 44．幂函数在上是减函数，则的值为（  ） A. 1 B. 2 C. 或 D. 1或2 45．已知，若幂函数为偶函数，则（  ） A. B. C. D. 46.已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（  ） A． B．0 C．1 D．2 47.已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（  ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 48．（多选）幂函数，则（  ） A．f（x）的图象过点（-1，1） B．f（x）的图象过点 C．f（x）为奇函数 D．f（x）为偶函数 49.（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（  ） A．为增函数 B．若，则 C．为偶函数 D．若，则 50．（多选）已知函数为幂函数，则（  ） A．函数为奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减 51.已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数 . 考点08幂函数与其他章节的融合 52．已知集合，，则的子集的个数为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 53.若函数，则“”是“是幂函数”的（  ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 54．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（  ） A. B. C. D. 55．函数的值域为 ． 56．幂函数在单调递减，则 . 57.已知函数，若，则 . 58.已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 59.已知函数  其中 ．那么 的零点是 ；若 的值域是 ，则c的取值范围是 ． 60.已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 考点09 二次函数的解析式 61．已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 62．已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ． 63．写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ． ①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数． 64．已知函数，当时，都有恒成立，则 . 65.已知是二次函数，，且，则 . 考点10 二次函数的图象、单调性与最值 66．已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（  ） A． B． C． D． 67．若函数在上单调，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 68.函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 69．（多选）已知函数则下列结论正确的是（  ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 70．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 71.已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________． 72.函数的值域为_____. 73.若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 考点11 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 74．已知函数，其中是实数． (1)在区间上的最大值记为，求的表达式； (2)在区间上的最小值记为，求的表达式； (3)若，求实数的值． 75．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 76.已知函数． （1）解不等式； （2）求在上的最小值； （3）若，，求实数的取值范围． 考点12 二次函数最大值的最小值问题 77．记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（  ） A． B． C． D．1 78.已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为（  ） A． B．1 C．2 D．3 79．已知函数，若对任意的，使得，求实数的取值范围是 ． 80.二次函数为偶函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)，记函数在上的最大值为，求的最小值． 81.已知函数， (1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； (2)当时，记函数的最大值为，求的最小值． 考点13 二次函数与其他章节的融合 82．已知函数，若存在最小值，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 83．已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）设函数在区间上恒成立，求实数的取值范围. 84.已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，，． （1）求，的值； （2）若函数． （i）当时，求函数的最大值； （ii）是否存在，，使得关于的不等式的解集为?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 85.设． （1）当时，若关于x不等式恒成立，求m的取值范围； （2）当时，若值域为，求m的取值范围； （3）当时，给出命题p：存在使，以及命题q：任意使．若p为真命题且q为假命题，求a的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂函数与二次函数（13个题型） 考点01 幂函数的定义、求值以及解析式 考点02 幂函数的定义域、值域问题 考点03 幂函数的图象及应用 考点04 幂函数以及与幂函数相关的复合函数单调性的判断 考点05 由幂函数的单调性比较大小 考点06 利用幂函数的单调性解不等式 考点07 幂函数性质的综合应用 考点08幂函数与其他章节的融合 考点09 二次函数的解析式 考点10 二次函数的图象、单调性与最值 考点11 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 考点12 二次函数最大值的最小值问题 考点13 二次函数与其他章节的融合 考点01 幂函数的定义、求值以及解析式 1．下面的函数中是幂函数的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【解析】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 2．函数是幂函数，则实数的值是（  ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求解. 【解析】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 3．已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（  ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义与性质求得，进而得到的解析式，从而得解. 【解析】因为是幂函数，则，解得， 因为的图象经过原点，则，得，则， 所以. 故选：D. 4．若函数是幂函数，且，则______． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【解析】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 5.己知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案. 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得， 又幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 6.若幂函数为奇函数，则该函数的表达式 . 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用幂函数的定义，结合性质求解作答. 【解析】由为幂函数，得，解得或， 当时，，函数是偶函数，不符合题意， 当时，，函数是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为： 考点02 幂函数的定义域、值域问题 7．函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【解析】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 8．幂函数图象过点，则的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A. 9．（多选）对幂函数，下列结论正确的是（  ） A．的定义域是 B．的值域是 C．的图象只在第一象限 D．在上递减 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的图象和性质，可判断答案. 【解析】对幂函数，的定义域是，因此A不正确 的值域是，B正确 的图象只在第一象限，C正确 在上递减，D正确 故选: ． 10．（多选）若幂函数的图像经过点，则（  ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数的值域为 【答案】BD 【分析】根据幂函数解析式求出,得出解析式,再分别求出定义域值域判断即可. 【解析】因为是幂函数,所以,解得,故B正确; 所以,又因的图像经过点,所以,所以,解得,故A错误; 因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确. 故选:BD. 11.已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【答案】. 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域. 【解析】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 12.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________ 【答案】 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为: 13.已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意得在上恒成立，可得，代入数据，化简整理，即可得答案. （2）根据题意可得，即时恒成立，整理可得，设，分离可得的单调性，即可求得的最小值，即可得答案. 【解析】（1）由题意可知在上恒成立，故 可得，解得 （2）由题意可得，，即时恒成立 可化为， 设，，只要即可， 所以在为增函数， 所以， 所以 考点03 幂函数的图象及应用 14．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（  ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【答案】D 【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值. 【解析】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点 则，又 则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上， 点C在幂函数图像上， 则曲线对应的指数分别为 故选：D 15.下列图象中，最符合函数的图象的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【解析】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 16.下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（  ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案. 【解析】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应； 函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应； 的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应； ，其图像应与④对应． 故选：A． 17．已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义域，对称性和单调性，逐项验证，即可求解. 【解析】由图象可得函数的定义域为，选项不满足； 选项，当，函数的定义域满足，而且为偶函数，满足图象特征. 故选:C. 18.已知函数，若，则函数的图象是（  ） A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】根据各选项中函数图象特征，再观察幂函数图象判断即得. 【解析】作出函数的图象如下图所示： 因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示： 故选：C. 19.若函数与图象关于对称，且，则必过定点（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得，再确定函数的图象过定点，再由函数与图象关于对称即可求解. 【解析】，，， 所以，函数的图象过定点， 又函数与图象关于对称， 因此，函数必过定点. 故选：D. 20．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值. 【解析】由于为幂函数，则，解得：，则； 函数，当 时，， 故的图像所经过的定点为， 所以，即，解得：, 故选：B. 21.(多选)下列幂函数中满足条件的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可. 【解析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线. 对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意； 对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意； 对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意； 对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意. 故选:BD. 22．已知幂函数的图象如图所示，则的解析式可能为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数图象，获知函数的定义域和奇偶性，单调性等信息，可判断A,B两项，对于C,D两项，则需要函数的增长速度与比较，结合图象即可判定. 【解析】由图可知：幂函数的图象关于轴对称，故该函数为偶函数. 对于A，函数的定义域为，不是偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，而图中有，故B错误； 对于C，函数为偶函数，且在第一象限中，其图象的增长速度比平缓，故 C正确； 对于D，函数为偶函数，且在第一象限中，其图象的增长速度比要快，不合题意,故D错误. 故选：C. 考点04 幂函数单调性以及与幂函数相关的复合函数单调性的判断 23.下列函数是幂函数且在是增函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确. 【解析】由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而在是减函数，在是增函数， 故选：C. 24.已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【解析】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 25.函数的增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可. 【解析】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. 26．(多选)下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得函数是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，然后逐个分析判断即可. 【解析】由，知函数是偶函数， 由，都有，知在上单调递增， 所以在上单调递减. 对于A：不满足为偶函数，故A错误； 对于B:，符合题意，故B正确； 对于C：不满足为偶函数，故C错误； 对于D:符合题意. 故选：BD. 27.(多选)下列函数中，在区间单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由复合函数的单调性、指数函数、幂函数及对勾函数单调性判断各个选项即可. 【解析】对于A项，由幂函数性质知，在上单调递减，故A项正确； 对于B项，令（），则（）， 因为在上单调递增，在在上单调递增， 所以在上单调递增，故B项不成立； 对于C项，由对勾函数性质可知，在上单调递减， 在上单调递增，故C项不成立； 对于D项，因为，所以在上单调递减，故D项正确. 故选：AD. 28.函数的单调减区间为 ； 【答案】 【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可. 【解析】令，则可以看作是由与复合而成的函数. 令，得或. 易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为：. 29.已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【解析】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 考点05 由幂函数的单调性比较大小 30.已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数在上的单调性即可求得结果. 【解析】幂函数在上是减函数     ，即： 故选：C 31.如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【解析】由题意结合图象可知. 故选：B. 32．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【解析】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 33.设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【解析】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 34.已知，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的单调性比较大小即可. 【解析】, 幂函数在上单调递增， 因为, 所以, 即, 所以, 故选：D. 考点06 利用幂函数的单调性解不等式 35.满足的实数m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于的一次不等式组，求解即可. 【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正， 在为减函数，且函数值为负， 等价于， 或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 36.已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【解析】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 37．不等式的解为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【解析】幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 38．实数满足，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】，其定义域为，且在定义域上单调递减， 因为，所以，解得 故答案为： 39．已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】因为的定义域为，且在上单调递增， 所以由可得：，解得： 故答案为： 40．已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分析出幂函数的定义域和单调性，然后可解出不等式. 【解析】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得，解得. 故答案为: 41．设函数，如果，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过分和两种情况进行讨论，从而可求出的取值范围. 【解析】因为，所以或， 解得或，所以的取值范围是. 故答案为：. 42．已知幂函数过点，若恒成立，则 ；实数的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据函数的单调性与奇偶性得到，解之即可求得的取值范围． 【解析】因为幂函数过点， 所以，故， 所以，易得其定义域为，关于原点对称，且在上单调递增， 又，故是奇函数， 因为，所以， 则，解得， 所以；. 故答案为：；． 43.知幂函数在定义域上不单调． (1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)为奇函数；理由见解析 (2)或 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根，由此确定 的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【解析】（1）由题意，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，不合题意； 当时，， 函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递减， 但， 所以函数在定义域上不单调，符合题意， 所以， 因为函数的定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数； （2）由及为奇函数， 可得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或． 考点07 幂函数性质的综合应用 44．幂函数在上是减函数，则的值为（  ） A. 1 B. 2 C. 或 D. 1或2 【答案】A 【分析】直接由幂函数的定义及性质可得. 【解析】因为幂函数在上是减函数， 所以，，解得. 故选：A． 45．已知，若幂函数为偶函数，则（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】逐一分析集合中每个对应的幂函数的定义域及与的关系，筛选出满足偶函数条件的. 【解析】当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 当时，幂函数为，满足，是奇函数，非偶函数. 当时，幂函数为，定义域为，且，是偶函数. 当时，幂函数为，其定义域为，不关于原点对称，非偶函数. 故选：C 46.已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数的单调性得到，代入验证函数的奇偶性得到答案. 【解析】幂函数在区间上是单调增函数，故， 解得，， 当时，不满足条件； 当时，满足条件； 当时，不满足条件； 故选：C. 47.已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（  ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】由题意知可判断为上单调递增的奇函数可得答案. 【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 48．（多选）幂函数，则（  ） A．f（x）的图象过点（-1，1） B．f（x）的图象过点 C．f（x）为奇函数 D．f（x）为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的解析式分析函数的奇偶性，判断点是否在图象上即可求解. 【解析】因为， 所以， 故AB正确； 因为，关于原点对称， ， 所以是偶函数,故C错误，D正确. 故选：ABD 49.（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列结论正确的有（  ） A．为增函数 B．若，则 C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据幂函数经过点，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选 项A，C，D正误；对于选项B，根据函数解析式分别表示出，再利用不等式的性质比较大小即可. 【解析】由幂函数的图像经过点，得，所以. ，定义域为， 对于A选项：因为，由幂函数的性质得A选项正确； 对于B选项：若，则 ， 所以， 又， 所以，故B选项正确； 对于C选项：由于定义域不关于数字0对称，故C选项不正确； 对于D选项：因为为增函数，若，则，故D选项正确； 故选：ABD. 50．（多选）已知函数为幂函数，则（  ） A．函数为奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减 【答案】BC 【分析】由幂函数的定义求，根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，根据幂函数的性质判断其单调性. 【解析】因为为幕函数， 所以，即， 所以． 函数的定义域为，， 所以函数为偶函数， 又函数在为增函数． 故选：BC. 51.已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数 . 【答案】（答案不唯一）(形如，为正奇数，为正偶数，均可) 【分析】由条件结合幂函数的性质确定函数的解析式即可. 【解析】因为是幂函数，且在上单调递增， 故可设，（，互质）， 又，所以为奇数，为偶数， 故为符合条件的一个函数， 故答案为：(形如，为正奇数，为正偶数，均可). 考点08幂函数与其他章节的融合 52．已知集合，，则的子集的个数为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】化简集合，求，再确定其子集个数. 【解析】因为，， 所以， 所以有2个子集． 故选：B． 53.若函数，则“”是“是幂函数”的（  ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的解析式可得，可得的值，再根据充分不必要的定义即可得结果. 【解析】由是幂函数，得， 即，解得或， 则“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：C. 54．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【解析】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 55．函数的值域为 ． 【答案】/ 【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可 【解析】当时，在上单调递减， 所以； 当时，在上单调递减， 所以； 所以函数的值域为， 故答案为： 56．幂函数在单调递减，则 . 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义与性质求出函数解析式，进而可得出答案. 【解析】幂函数在单调递减， ， . 故答案为：. 57.已知函数，若，则 . 【答案】-3 【分析】先根据幂函数范围确定，进而可得出答案. 【解析】令，得，令，得（舍去），所以. 故答案为：-3 58.已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】先根据幂函数过定点确定，进而利用基本不等式可得出答案. 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 59.已知函数  其中 ．那么 的零点是 ；若 的值域是 ，则c的取值范围是 ． 【答案】 0,-1 . 【分析】作图，根据函数图像以及相应的计算可以求解. 【解析】依题意作下图： 令 ，得x=0，令 ，得x=0或x=-1， ∴ 的零点为x=0，x=-1； 由于当时，， 所以当时，是增函数，所以其值域为， 由题意可知： ； 故答案为：0，-1， . 60.已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，求得的可能取值，再根据在上的单调性求得的准确值. （2）首先求得的值域，然后根据得到，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2. 当时，在上单调递增，满足题意. 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去. ∴. （2）由（1）知，. ∵在上单调递增，∴. ∵，，∴，∴解得. 故实数的取值范围为. 考点09 二次函数的解析式 61．已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 【答案】 【分析】根据二次函数的定义及性质即可求解 【解析】因为对恒成立， 所以的图象关于对称. 又的图象在轴上截得的线段长为2， 所以的两根为或， 所以二次函数与轴的两交点坐标为和， 因此设. 又点在的图象上， 所以，则，故. 故答案为： 62．已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义及性质即可求解 【解析】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12， 所以，所以 故答案为： 63．写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ． ①是二次函数；②是奇函数；③在上是减函数． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义及性质即可求解 【解析】因为是二次函数，所以令，， 令， ，故满足条件②； 令在上是减函数，满足条件③， 故答案为： 64．已知函数，当时，都有恒成立，则 . 【答案】 【分析】根据二次函数的定义及性质即可求解 【解析】因为当时，都有恒成立， 所以，即， 所以，解得， 所以， 由图象可知，要满足题意，则图象的对称轴为直线x=0， 所以，解得m=2， 所以， 所以. 故答案为： 65.已知是二次函数，，且，则 . 【答案】36 【分析】根据二次函数的定义及性质即可求解 【解析】由，可设， 则由得， 所以且，整理后即为， 由得， 若则必有，此时与矛盾， 所以且， 整理后为， 与相加即得， 即，所以， 所以， 又由于在原不等式中令可得，所以，由此解得. 所以. 故答案为：36. 考点10 二次函数的图象、单调性与最值 66．已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像及性质即可求解 【解析】设，又， 分别画出这两个函数的图象， 其中的图象可看成是由的图象向上平移1个单位得到，如图， 由图可知：． 故选：A． 67．若函数在上单调，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像及性质即可求解 【解析】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 68.函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像及性质即可求解 【解析】由题意，令，即或， 根据二次函数性质知：在上递减，在上递增 又在定义域上递增，故的单调递增区间为. 故选：C 69．（多选）已知函数则下列结论正确的是（  ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【解析】由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则，得，B正确； 若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 70．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的图像及性质即可求解 【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 71.已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问分区间去绝对值，转化为二次函数后，结合对称轴与开口方向确定单调递减区间；第二问分与讨论，利用函数单调性与判别式分析不等式成立条件，调整的取值要求以适配的限定. 【解析】（1）当时，. 时，，在上单调递增； 时，，其对称轴为，开口向下， 故函数在上单调递减，在上单调递增， （2）当时，即. 若，因，故，不等式化为. 令，其对称轴为，故在上单调递增， 需， 即，解得. 若，则当时（此时满足），，不满足在上恒成立，故不符合题意， 故的取值范围是. 故答案为：； 72.函数的值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法（）可将原函数变形为，结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【解析】由，得，所以该函数的定义域为， 令，则， 所以， 是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，且当时，， 所以， 即函数的值域为. 故答案为： 73.若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的图像及性质即可求解 【解析】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象， 由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 考点11 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 74．已知函数，其中是实数． (1)在区间上的最大值记为，求的表达式； (2)在区间上的最小值记为，求的表达式； (3)若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）；（3）或 【分析】（1）、（2）、（3）根据二次函数的图像及性质即可求解 【解析】（1），对称轴为， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. （2）当，即时，函数在区间上单调递增，， 当，即时，函数在区间上单调递减，， 当，即时，， 综上，. （3）当时，，， 由，得，解得（舍）； 当时，，， 由，得，即， 解得或（舍）； 当时，，， 由，得，即， 解得（舍）或； 当时，，， 由，得，解得（舍）， 综上，或. 75．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值． 【答案】（1）； （2）或 【分析】（1）解不等式即可求解；（2）根据二次函数的图像及性质即可求解 【解析】（1）当时，不等式， 即为， 即，所以， 所以或， 所以原不等式的解集为． （2）， 由题意或，这时解得， 若，则，所以； 若，即， 所以，则， 综上，或． 76.已知函数． （1）解不等式； （2）求在上的最小值； （3）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 ；（2） ； （3） 【分析】（1）求出方程的根，分两个根的大小讨论，可得不等式的解集； （2）分对称轴与区间的位置可得函数的最小值的解析式； （3）将不等式整理可得，换元后由对勾函数的单调性可得的范围． 【解析】（1）函数， 因为方程，即，解得或， 当，即，不等式即为，则不等式的解集为； 当，即，不等式的解为或； 当，即，不等式的解为或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； （2）函数，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增，所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述：； （3）若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则由对勾函数性质可知上，单调递减，上，单调递增， 又因， ， 所以， 所以恒成立，所以． 所以实数的取值范围为． 考点12 二次函数最大值的最小值问题 77．记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】以下只分析函数在上的图象及性质，分类讨论如下： ①当时，函数在区间上单调递增， 即，此时单调递减，； ②当时，， 所以， 易知当时，， 当，， 此时； ③当时，， 即， 易知当时，， 当，， 此时； 而，综上可知的最小值为. 故选：A 78.已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为（  ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】， 上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，,与函数，,图象上点的纵向距离， 则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值， 作出函数图象，如图， 由图象可知，当函数的图象刚好为时此时，取得最小值为2. 故选：C 79．已知函数，若对任意的，使得，求实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令，则， 取三点控制得，进而， 化简得，可得， 即，解得． 故答案为： 80.二次函数为偶函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)，记函数在上的最大值为，求的最小值． 【答案】（1） （2）. 【解析】（1）依题设， 由，得， ，得恒成立， ∴， 得， 所以，又， 所以， ∴； （2）由题意可得：，， 若，则，则在[0,1]上单调递增， 所以； 若，当，即时，在[0,1]上单调递增， 当，只须比较与的大小， 由，得：，此时， 时，，此时， 综上，， 时，， 时，， 时，， 综上可知：的最小值为． 81.已知函数， (1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； (2)当时，记函数的最大值为，求的最小值． 【答案】（1）函数单调递增区间为和， 函数在区间的值域为 （2）. 【解析】（1）当时，函数， 当时，函数， 此时，函数在上单调递增， 当时，函数， 此时，函数在上单调递增， 所以函数单调递增区间为和； 因为函数单调递增区间为和， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，， 因为，， ，， 所以函数在区间的值域为； （2）由已知可得，， 当时，即时，，对称轴为， 当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 当时，即时，若，，若，， 因为当时，，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，所以， 当，即时，此时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 若，即时，， 若，即时，， 综上所述，， 函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， 所以. 考点13 二次函数与其他章节的融合 82．已知函数，若存在最小值，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 83．已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）设函数在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【分析】(1)利用幂函数的系数特征求，结合偶函数定义筛选得解析式； (2)分析二次函数的对称轴位置，分情况讨论区间内最小值，结合恒成立条件求解参数范围. 【解析】（1）因是幂函数，故系数满足， 即，解得或. 当时，指数为，，是偶函数，符合条件； 当时，指数为，， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，舍去. 故 （2），其开口向上，对称轴为， 分三种情况讨论： 情况1：（即） 在上单调递增，最小值为， 由，结合，显然满足. 情况2：（即） 在对称轴处取最小值， 最小值为： 由，化简得，解得， 结合，得. 情况3：（即） 在上单调递减，最小值为， 由得，与矛盾，舍去. 综合得的取值范围为. 84.已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，，． （1）求，的值； （2）若函数． （i）当时，求函数的最大值； （ii）是否存在，，使得关于的不等式的解集为?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）（i）答案见解析；（ii）存在，， 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求出值，根据定义在上的奇函数的性质求出值后检验即可； （2）（i）在求出的表达式后，设，得，函数化成，利用二次函数在给定区间上的图象性质即可求得其最大值；（ii）依题意，的解集为等价于关于的不等式的解集为，利用三个二次的关系建立方程组，求解即可. 【解析】（1）因为为偶函数，则恒成立，即， 即， 因为，所以，即，所以，因为对所有都成立，所以； 因为函数为奇函数，且定义域为，所以，即，所以， 即，因为，所以符合题意； （2）因为，， 则， 令，则， （i）因为，且是关于的增函数，所以， 的对称轴为直线， 当时，所以； 当时，所以， （ii）因为，则， 所以若的解集为， 则关于的不等式的解集为， 则是方程的两根，且需， 由， 解得，，满足，即恒成立， 所以当，时，不等式的解集为． 85.设． （1）当时，若关于x不等式恒成立，求m的取值范围； （2）当时，若值域为，求m的取值范围； （3）当时，给出命题p：存在使，以及命题q：任意使．若p为真命题且q为假命题，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）对不等式进行变形化简，然后根据二次函数的性质求解即可 ，注意考虑的情况. （2）要使值域为，只需的值域覆盖所有正数，进而建立不等式，求解参数范围即可. （3）根据命题的真假和二次函数的性质求出答案即可. 【解析】（1）当时，不等式在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，要使不等式恒成立，则， 解得，所以的取值范围是. （2）当时，的值域为，令， 所以要使的值域为，则的值域必须覆盖区间， 当时，，值域不为，不符合题意； 当时，可得， 令，则对称轴为且过定点， 所以只需要二次函数开口向上，且最小值小于等于0，确保能覆盖所有正数， 即，，解得，所以的取值范围是. （3）当时，，最小值为，令， 则，且. 命题：任意使为假，即使得为真， 即存在，，开口向上，判别式，则， 此时根为， 要满足题意，需的取值范围与有交集， 即，化简得，解得； 命题：使得为真，因可趋向， 故必存在大于0的值，所以恒真. 综上，的取值范围为. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $