(25)离散型随机变量及其分布列、数字特征、二项分布与超几何分布、正态分布-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (二十五)离散型随机变量及其分布列、 数字特征、二项分布与超几何分布、正态分布 （考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 合题目要求的) 1.下列叙述中，是离散型随机变量的是 A.某电子元件的寿命 B.某人早晨在车站等出租车的时间 C.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D.测量某零件的长度产生的测量误差 2.已知随机变量X的分布列如下表所示，则P(X≤8)= X 6 7 8 9 10 0.05 0.007 0.08 吃 2m 0.23 A.0.652 B.0.559 C.0.441 D.0.348 3.已知随机变量X~B(n,p),Y~B(n,p2),若D(2X)=E(3Y),则p= A后 1 B.12 C.g D. 4.已知a>1,随机变量X的所有可能取值-a,一1,0,1，a是等可能的，且E(X2)=4,则a A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 5.某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N(1 已知P(90≤X≤100)=0.1，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数约为 A.784 B.490 C.392 D.294 6.已知离散型随机变量X的分布列如下，则D(X)的取值范围是 X 0 1 2 P a+b a-b A(号》 B[日] c[号] n[号，g] 数学第1页（共4页） 衡水金卷 7.柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从 柯西分布C(Y,xo),其中当Y=1,xo=0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)= 万已知XC1.0.PIX≤号=3P5X≤)=则PX>1) 1 A吉 R号 c是 n号 项是符 8.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木 钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的 过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格子从左到 右的编号分别为0,1,2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X=k)≤P(X=k), 则k,三 A.4 B.5 C.6 D.7 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知变量X服从正态分布N(0,o2),当。变大时，则 AP(-<X<)变小 B.P(-2<X<2)变大 C.正态分布曲线的最高点下移 D.正态分布曲线的最高点上移 10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以y1=0.8x1十20，y2= 0.75x2十25的方式赋分，其中x1,x2分别表示甲、乙两班原始考分，y,y2分别表示甲、乙两班 考后赋分.已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则 A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高 B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高 00,62), C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数 D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学 的原始分数高 11.如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方 向旋转150°，若出现反面则时针按逆时针方向旋转150°，用Xn表示次后时针指向的数字，则 A.E(X)=6 BP(X:=12)= CPX,=)=费 D.E(X)=33 3 4 66 ”先享题·高三一轮复习周测卷二十五 数学第2页（共4页） 班级 姓名 分数 题号 2 3 5 6 7 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.统计学中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[4一3o,4十3o]中的值，简称为 3。原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布V(400,6) (单位：g),某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g,他立即判断生 产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，σ的最大值是 3,泊松分布的概率分布列为P(x=k)一e(=0,1,2,),其中e为自然对数的底数，是酒 松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当很大且卫很小时，二项分布近似于泊松分布， 其中A=np,即X~B(,p),P(X=》=ep)(n∈N).已知某种元件的次品率为0.01，现 il 抽检100个该种元件，则次品率小于3%的概率约为 (参考数据：。=0.367879…，结 果保留两位小数》 14.若随机变量X.Y分别服从成功概率为号，的两点分布，则E(X)的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言 来进行对话.聊天机器人模型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时， 如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回 答被采纳的概率为50%. (1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中 抽取4个，用表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数. (ⅰ)求=3时的概率； (ⅱ)求的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%， 求p的值 16.(本小题满分15分) 一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：2)服从正态分布N(1000,5). (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间 [995,1000]和(1005,1010]内各一只的概率；（精确到0.001） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布V(4,o)的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本 的平均数服从正态分布N(,),某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为： 1000,1007,1012,1013,1013(单位：2).你认为这时生产线生产正常吗？请说明理由. 参考数据：若X~N(4,o),则P(u一o≤X≤十o)≈0.6827，P(u一2o≤X≤十2o)≈ 0.9545,P(4-3o≤X≤μ+3o)≈0.9973，√5≈2.236. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 将号码为1,2,3,4的4个小球等可能地放入号码为1,2,3,4的4个盒子中，每个盒子恰放1个 小球， (1)求1号球不在1号盒中的概率； (2)求恰有一个小球号码与所放盒子号码相同的概率； (3)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X,不同的个数为Y,求证：E(X)E(Y)> E(XY). 18.(本小题满分17分) 小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为子，小郅胜小睿的胜率为 ,第一场比赛等概率选取一人轮空，调余两人对弈，胜者继绞与上一场轮空者比赛，另一人轮 空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.每场比赛的结果相互独立. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要进行第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率； (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率. 19.(本小题满分17分) 设离散型随机变量X和Y的分布列分别为P(X=as)=x,P(Y=a)=y,x>0,y>0,k= 0,1,2,…n, 空x=之=L定义DXI)=空h费用来刻后X和Y的相似程度， 设XB(n,p),0<p<1. (若=3p=3Y~B3,号)求D(X: (2)若n=2,且Y的分布列为 0 2 P 1 1 3 求D(X‖Y)的最小值： (3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y,证明：D(X‖Y)的值不可能为负数. 三一轮复习周测卷二十五 数学第4页（共4页）】 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二十五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④⑤ ⑥ 档次 系数 离散型随机变量的 1 选择题 易 0.94 辨析 离散型随机变量的 2 选择题 5 0.85 分布列性质 二项分布的均值与 3 选择题 5 L 易 0.78 方差 由离散型随机变量 4 选择题 5 易 0.73 的均值求参 正态分布的实际 5 选择题 5 中 0.70 应用 离散型随机变量的 6 选择题 5 中 0.60 方差 新定义随机变量在 选择题 中 0.55 指定区间的概率 服从二项分布的随 8 选择题 5 机变量概率最大 中 0.50 问题 9 选择题 6 正态曲线的性质 中 0.65 10 选择题 6 标准差、均值的性质 中 0.60 独立重复试验的概 11 选择题 6 中 0.50 率问题 12 填空题 5 3。原则 易 0.85 建立二项分布模型 13 填空题 中 0.60 解决实际问题 14 填空题 5 两点分布 / 难 0.30 超几何分布的均值 15 解答题 13 与分布列，全概率公 」 易 0.80 式的应用 6 解答题 15 正态分布的应用 / 中 0.70 ·163· ·数学· 参考答案及解析 与离散型随机变量 的均值有关的证明 17 解答题 15 问题、计算古典概型 中 0.60 问题的概率 利用条件概率、独立 事件的乘法公式以 18 解答题 17 中 0.40 及互斥事件的概率 解决实际问题 新定义题，二项分布 19 解答题 17 难 0.15 与导数的综合 昏考答条及解析 一、选择题 1,C【解析】A选项，某电子元件的寿命可为任意值， +子∈[号，]，所以DX)∈[号，号]故选D 不能一一列举出来，不是离散型随机变量，A错误：B 7.D 选项，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出， 【解析】函数f(x)=十)关于y轴对称， 不是离散型随机变量，B错误；C选项，一小时内经过 的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，C 由P(1x≤5)=子，可知P(≤X≤)=合， 正确；D选项，测量误差不能一一列出，不是离散型随 机变量，D错误.故选C 且P(9<X<1)-=2,则P(X1)=-吉-是 2.D【解析】由题得0.05+0.007十0.08+m+2n十 0.23=1,解得m=0.211,所以P(X≤8)=1 子，所以P(X>1)=2×=,故选D = P(X=9)-P(X=10)=1-0.211×2-0.23= 8.B【解析】每下落一层向左或向右落下等可能，概率 0.348.故选D. 3,D【解析】由D(2X)=E(3Y),得4D(X)= 均为2，每一层均要乘以2，共做10次选择，故X服 3E(Y),所以4mp(1-p)=3p,解得p=号(D=0 从二项分布B(10,),则E(X)=10×号=5，由题 舍去).故选D 得P(X=k。)最大，则 4.A【解析】由题得P(X=a)=子P(X=0) 1P(X=k)≥P(X=k-1) P(X=6,)>P(X=k+1)即 合，P(X=D=号，所以E(X)=号a+0X号+1 f(合)(3)≥（日）卢'（合）” ×号=4，解得a=3(a=-3舍去).故选A (侵）)（合）≥（合）"（安） 5.C【解析】因为X~N(100,o2),且P(90≤X≤100) =0.1,所以P(100X110)=P(90X100)= 解得号<<号，又因为0≤，<10，k:∈Z,所以 0.1,所以P(X>110)=0.5-P(100X110)=0.5 =5.故选B. 一0.1=0.4，又因为高一有学生980人，所以该校高 二、选择题 一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980× 9.AC【解析】变量X服从正态分布N(0,2),当σ变 0.4=392.故选C. 大时，峰值逐渐变小，正态曲线逐渐变“矮胖”，随机变 6.D【解标】由题知a十a十b十a-b=l,解得a=子， 量X的分布逐渐变分散，因此P(一是<X<)变 由题得0<号+6≤号，0≤号-长号则-合<区 小，正态分布曲线的最高点下移.故选AC. 3,所以E(X)=a十b+2a-2b=3a-b=1-b, 10.ACD【解析】对A,B,由题知E(y)=E()=60, √D(M)=16,√D()=15,因为y=0.8.x1十20， D(X)=31-6)+(号+b)b+(号-b)1+ =0.752十25，所以0.8E(x)十20=60,0.75E(x2)十 25=60,0.8√D(x)=16,0.75√D(x2)=15,解得 6)=-6-6+子号，因为-号<6≤号，所以-&-0 E(x1）=50,E(x2)≈46.7，√/D(x1)=20, ·164· 高三一轮复习A ·数学· √D(x2)=20,所以E(x1)>E(x2),√/D(x1)= 13.0.92 【解析】依题意，n=100,p=0.01,泊松分布 √/D(x2),故A正确，B错误；对C,因为y一x= 可作为二项分布的近似，此时入=100×0.01=1，则 20-0.2x1,1∈[0,100]，所以0≤20-0.2x1≤20， PX=)=有e,于是P(X=0)=e= 即y-x≥0，所以C正确；对D,作出函数y=0.8x 十20，y=0.75x十25的图象，如图所示： pX=D=e=P(X=2)=京et=名所 e y个 y=0.8x+20/ 以次品率小于3%的概率约为P=P(X=0)十P(X 100--------- y=0.75x+25 =D+P(X=2)=++2=是92， 1[] 【解析】因为随机变量X,Y分别服从成 功概率为号，子的两点分布，则P(X=0)=子， x2x1100 PX=1D=号，PY=0)=子，PY=1D=,所以 XY=0或1，所以E(XY)=0×P(XY=0)十1× 由图可知，当y=y2<100时，有x2<x,又因为y P(XY=1)=P(XY=1)=P(X=1,Y=1)=P(X= =0.8x十20单调递增，所以当y1>y2时必有x> x2,D正确.故选ACD, 1D+PY=1D-P(X=1或y=1)=吕-p(X=1 11,ACD【解析】A选项，X的可能取值为5,7，且 或Y=1),因为P(X=1或Y=1)≤1，且P(X=1或 P(X=7)=P(X,=)=放E(X)=5X 1 Y=1≥maxP(X=1D,P(Y=1)》=子，所以-1≤ 十7×号=6，A正确：B选项，X,=12,即2次旋转 -PX=1或Y=D<-是，所以<是-P(X= 中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，故 P(X=12)=C×号×号=名，B错误：C选项， 或Y=1D≤号，即Xn的取值范周是[是号] 四、解答题 X,=7,即顺时针走了210°或逆时针走了150°，设硬 币正面朝上的次数为x,则反面朝上的次数为(7 15解：(1)(i)P(=3)=CC=4 C71 (3分) 0,150-150(7-x)=210,解得x=号（合去： (ⅱ)由题可知的所有可能取值为2,3,4，且专服从 超几何分布， 150°(7-x)-150°x=150°，解得x=3,故 P(=2)=CC 2 P(X=)=C()广×（兮）-费C正确：D =7 选项，若硬币4次均正面朝上，此时X=8,故 P(=4)= C 7 (6分) P(=8)=C(合)×（兮）'-若硬币3次 由(1)知P(=3)=号， 正面朝上，1次反面朝上，此时X4=10,故 故的分布列为： P(X=10)=C(号)×（号）=，若硬币2次 2 3 正面朝上，2次反面朝上，此时X=12,故 P 2 4 P(X=12)=C(分)）广×（合）=冬，若硬币1次 7 7 7 正面朝上，3次反面朝上，此时X=2,故P(X=2) 则E()=2号+3X号十4×=9 0 (8分) =C(公）广×(2)）'=子，若硬币0次正面朝上，4 (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“输入 的问题有语法错误”为事件B,“回答被采纳”为事 次反面朝上，此时X=4,P(X,=4)=C(号）× 件C, 由已知得P(C)=0.8,P(CA)=0.9,P(CB)= (2)广=6，故E(X,)=8×6+10×号+12×号 0.5,P(B)=p,P(A)=1-p, 十2X子十4X六-空，D正确，赦选ACD, 由全概率公式得P(C)=P(A)·P(CA)十 P(B)·P(C|B) 三、填空题 =0.9(1-p)+0.5p=0.8, 12.5【解析】依题意，μ=400，由3o原则，得400十3o 解得p=0.25. (13分) ≤415，解得≤5，所以σ的最大值是5. ·165· ·数学· 参考答案及解析 16.解：(1)电阻阻值X服从正态分布N(1000,52), 所以=1000,0=5. (2分) P(XY=3)= 所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取 当X=2时，Y=2,此时XY=4, 1只，这只电阻阻值在[995,1000]和在 1 P(XY=4)=4· (13分) (1005,1010]的概率分别为 P1=P(995≤X≤1000) 则E(XY)=0X是+3×号+4×=2， (14分) =P(以-o≤X≤u) 因为E(X)E(Y)=1×3=3, 2P(h-≤X≤H十g)≈0.34135， (5分) 所以E(X)E(Y)>E(XY). (15分) P2=P(1005<X≤1010) 18.解：(1)第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获 胜，第三场小睿获胜，满足题意； =P(u十o<X≤u十2o) 第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场 =(P(-2≤X≤+2o)-P(r-o≤X≤r十 小郅获胜，满足题意， o)≈0.1359. (8分) 所以需要进行第四场比赛的概率为分×子×十 因此这两只电阻的阻值在区间[995,1000]和 1 (1005,1010]内各一只的概率P=2PP2≈2× (4分) 0.34135×0.1359=0.09277893≈0.093.(10分) (2)由题意，最终小金获胜的情况如下， (2)生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布 当小金第一场轮空， N(100,号）) 第一场小郅胜小容输，第二场小金胜小郅输，第三场 小金胜小睿输， 即服从正态分布N(1000,(5)), 记g=5, 此时×××-品 可得元=号×100+107+1012+1013十 第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场 小金胜小郅输， 1013)=1009, (13分) 而1009>1000+3√5， 此时号×号××是-品· 即x>u十3o', 则小金我胜的概率P=品十品一品 (7分) 因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这 时生产线生产不正常. 当小容第一场轮空， (15分) 第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场 17.解：(1)记“1号球不在1号盒中”为事件A, 小金胜小容输，第四场小金胜小郅输， 则P(A)=CA=3 (5分) 此时号××号××是=品： (2)记“恰有一个小球号码与所放盒子号码相同”的 第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场 事件为B, 小郅胜小容输，第四场小金胜小郅输， 则p(B)=R-了 81 (6分) 此时时×子××× (3)X的可能取值为0,1,2,4，且X+Y=4, 第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小容输， P(X=0)=是=号 此时宁×子×子-高 PX=1D=子 所以小容第一场轮空，小金获胜的概率P,=十 3 P(X=2)=X=车， 31315 12816-641 (11分) P(X=4)=A-24' 11 同理，当小郅第一畅轮空，小金获鞋的概率B-品， 所以E(X)=0×号+1X号+2X+4×员=1， (12分) (9分) 故小金获胜的概率为P=P+P十P二： 所以E(Y)=E(4一X)=4一E(X)=3,(10分) (13分) 当X=0时，Y=4,X=4时，Y=0,此时XY=0, (3)设事件A:小金最终获胜；事件B:小郅第一场未 则P(XY=0)=8+24=12' 315 轮空且获胜， 当X=1时，Y=3,此时XY=3, 则P(AIB)=PCAB) P(B)' ·166· 高三一轮复习A ·数学· 结合2)如P(AB)=是+品品 +(2-4p)ln[3p(1-p)]+2-4p+2pln(6p2) 十2p =(-2+4p)ln6-2ln(1-p)+2lnp+ (2-4p)n3 所以P(AB)-PCAB)=5 =21np-2ln(1-p)+(4p-2)ln2, P(B)32 (17分) 令g(p)=2np-2ln(1-p)+(4p-2)n2, 19,解：(1)因为X~B(3,号)， 则Ep)=号+。十2 所以=P(X=)=C(兮)广（号）=C 因为0<p<1, (k=0,1,2,3), 所以g'(p)>0, 因为Y~B(3,号)， 故g(p)在(0,1)上单调递增， 又s(2)=0, 所以u=PY=)=C(号)广（合）=C器达 1 =0,1,2,3), 所以当0<p<2时，g(p)<0,即∫(p)<0: 23- ·27 当2<p<1时，g(p)>0,即f(p)>0, 所以= k =23-(k=0,1,2,3), (3分) C·27 所以f(p)在(0，号)上单调递减，在（号，1）上单 调递增， 所以D(XD=24h号 所以f(p)m=f(安)=多n号 (13分) =G×号×n2+C×号Xh2+G×号Xh2 27 (3)令g(x)=lnx-x+1, +G×号×n21=n2 (6分) (2)因为x=P(X=k)=Cp(1-p)2-*(k=0,1, 易得当x∈(0,1)时，9(x)>0, 2), 当x∈(1，十o∞)时，9(x)<0, 1 故(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调 =P(Y=0)=6,M=P(Y=1)= 3’ 递减， PY=2)=, 所以Vx∈(0，十∞)，9(x)≤g(1)=0, 所以lnx≤x-1, 所以D(X‖Y)= 在=ln十xln y 所以n士<分-1， 十xln y2 所以n≥-士 =(1-p)2ln[6(1-p)2]+2p(1-p)ln[3p(1 p)]+p2ln(6p2). (9分) 所以Xn=2h产>空(1兴) 令f(p)=(1-p)ln[6(1-p)]+2p(1-p)· ∑(a-)=∑-∑%=1-1=0， = ln[3p(1-p)]+pln(6p), 则f(p)=-2(1-p)ln[6(1-p)2]-2(1-p) 即D(X∥Y)的值不可能为负数 (17分) ·167·