(23)计数原理、排列组合、二项式定理-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (二十三)计数原理、排列组合、二项式定理 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.(x一y)(x+y)8的展开式中x2y的系数为 A.20 B.-20 C.28 D.-28 2.甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两 人听同一个讲座的方法种数为 A.6 B.12 C.18 D.24 3.下列数中，与A不相等的是 A.A·C B.Am-1十2A-1 c m! D.m-3)1 4.把3个相同的红球与4个相同的白球排成一排，则不同的放法种数有 A.24 B.32 C.35 D.42 5.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款α，元，按照复利计算10 年后得到的本利和为a1o,下列各数中与a1°最接近的是 A.1.31 B.1.32 C.1.33 D.1.34 6.6名同学排成一排，其中一班、二班、三班的同学人数分别为1,2,3，若同一班级的同学不相邻， 则不同的排法数共有 A.90 B.120 C.144 D.180 7.已知不等式x1十x2十x3≤12，其中x1,x2,x3是非负整数，则使不等式成立的三元数组 (x1,x2,x3)的组数为 A.560 B.455 C.91 D.55 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 8.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）. 甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠 军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为 A.44 B.46 C.48 D.54 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.现安排甲、乙、丙等5名同学到A,B,C,D四个社区参加志愿者服务活动，且每人只安排去一个 社区，则 A.不同的安排方案有625种 B.若每个社区均有志愿者，则不同安排方案的种数为240 C.若A社区有2人参加，则不同安排方案的种数为270 D.若甲、乙不去同一社区，乙、丙不去同一社区，则不同安排方案的种数为1200 10.若(2-3x)2024=a十a1x十a2x2十…十a2024x2024,则 A.a=22024 B.ao+|a1|+a2+…+a2o24|=1 号++器+…+器=)“ -22024 D.a1+2a2+3a3+…+2023a2o2+2024a2o24=6072 11.某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至 多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转的次数为 A.96 B.98 C.104 D.102 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在(x- 》”的民开式中，有理项的个数为 13.若(x十a)2(x-2)(x-3)(x-4)(x十b)的展开式中，x5项的系数为-8，则ab的最大值 为 14.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A,B, C,D,E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不 A B 同的种法共有 种 D 三一轮复习周测卷二十三 数学第2页（共4页） A 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知有0~9共10个数字. (1)可组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)可组成多少个无重复数字的大于或等于30000的五位数？ (3)在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几？ 16.(本小题满分15分) 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨 辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分 内容，图2为杨辉三角的改写形式. 轰有 本积 第0行 商积白 第1行 1 1 平方Q) 第2行 21 立方二口 第3行 1331 三乘四途@只 第4行 14641 四乘⊕⊕团白 第5行 15101051 五乘G④①白 第6行 1615201561 实 中 谦 左表乃 第n-l行1C1C2.1…CCn1…CC1 除 商 廉 第n行1C月C2…C%…C-2C11 图1 图2 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数 之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这 三个数；若不存在，请说明理由. 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 在(1十x十x2)”=D》十Dx十Dx2十…十Dx十…十Dm-1x2m1十D"xm中，把D,D以，D%,…, D”称为三项式系数. 1 11 121 1331 14641 (1)当n=2时，写出三项式系数D8,D2,D号，D,D的值； (2)(a十b)"(n∈N)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当0≤n≤4，n∈N时，类 比杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数的数阵表； (3)求D316C216-D2o16C216十D号o16C16-D216C3o16十…+D号818C818的值.（用组合数作答） 18.(本小题满分17分) 某中学举行了教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五 人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加 比赛 (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1,2,3,4,5号位站好， 为争取最好成绩，高二年级选择了A,B,C,D,E,F六名女老师进行训练，经训练发现E不能站 在5号位，现安排A,B同时上场，且必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 19.(本小题满分17分) 因受到中国八卦图和《周易》阴阳理论的启发，德国数学家莱布尼茨提出二进制记数法.用二进 制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一.例如：自然数1在二进制中就表示为 (1)2,2表示为(10)2,3表示为(11)2,5表示为(101)2.若n∈N*可表示为二进制表达式 (aa1a2…ak-1a6)2,k∈N,则n=a0·2十a1·2-1十…十ak-1·21十ak,其中a0=1,a;=0或 1(i=1,2,…,k). (1)记S(n)=a,十a1+…+ak-1+a,k∈N,n∈N*,求证：S(2n十1)=S(n)+1; (2)记I(n)为整数n的二进制表达式中的0的个数，如I(2)=1,I(3)=0. (i)求I(66)的值； )求21c)的值， n=1 三一轮复习周测卷二十三 数学第4页（共4页） A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二十三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 求指定项的系数 易 0.94 分步乘法计数原理 2 选择题 5 易 0.85 及简单应用 排列数、组合数的 选择题 5 易 0.80 计算 4 选择题 5 相同元素排列问题 易 0.73 5 选择题 近似计算问题 √ 中 0.70 6 选择题 5 不相邻排列问题 中 0.65 代数中的组合计数 选择题 5 中 0.60 问题 元素（位置）有限制 8 选择题 5 中 的排列问题 0.55 分类计数原理与排 选择题 6 / 中 0.65 列组合的综合应用 二项展开式各项的 10 选择题 6 V 中 0.60 系数和 11 选择题 6 城市道路问题 中 0.40 12 填空题 5 求有理项的个数 别 0.94 多项展开式与基本 13 填空题 5 中 0.60 不等式综合 有限制的排列问题、 14 填空题 5 难 0.30 几何组合计数问题 分步乘法计数原理 15 解答题 13 及简单应用、数字排 L 易 0.75 列问题 组合数的计算，组合 16 解答题 15 数的性质及应用、杨 中 0.70 辉三角 ·151· ·数学· 参考答案及解析 三项展开式的系数 17 解答题 15 中 0.60 问题 排列组合的综合 18 解答题 17 中 0.55 应用 组合数的性质及应 19 解答题 17 0.30 用、新定义 考答案及解析 一、选择题 学在二班两名同学中间，有C=3种，最后安排剩余 1.B【解析】依题意，x2y2的系数为1×C-C=C 的两名三班同学，有A=6种，此时有4×3×6=72 C=C8-C8=8-28=-20.故选B. 种，所以共有48+72=120种.故选B. 2.A【解析】甲、乙两人听同一个讲座，方法数有3种， 7.B【解析】设x1'=x1十1，x2=x2十1，x3'=x3十1， 丙、丁两人听不同的讲座，方法数有2种，所以恰好只 则不等式x1十x2十x≤12有多少组非负整数解的问 有甲、乙两人听同一个讲座的种数为3×2=6种.故 题，转化为3≤x'十x2'十x'≤15的正整数解的组 选A. 数.因为方程x'十x2'十x'=3的解的组数为C;x1' 3.B【解析】A=(m3)万 m! =m(m-1)(m-2),对于 十x十x'=4的解的组数为C;…:'十x2'十x3 =15的解的组数为C4,所以原不等式解的组数为C m! m! A,AC=(3I）·31m3m=3=A:对 +C+C+…十C=C十C号+C号十…十C,=C1= 于B,A-1+2A1=m-1+2m-1)1 455.故选B. (m-4)!(-3)！ =(m-1)· 8.B【解析】解法一：甲、乙都不是第一名且甲不是最 (-2)(m-3)+2(m-1)(n-2)=(n-1)2(m-2) 后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为 ≠：对于C点 m! =(m-3) =A:对于D, 优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3 种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的 ml (m-3)I =A.故选B. 余下3人有A种排法，则有1×3×A=18;@甲排 第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有A种 4.C【解析】相同元素问题除法处理，有AA A 排法，则有2×1×A=12:③甲排第三、四位，乙不排 35(种).故选C. 第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排 5.D【解析】存入大额存款a。元，按照复利计算，可得 法，余下2人有A种排法，则有2×2×2×A=16. 每年末本利和是以a。为首项，1十3%为公比的等比 综上，该5名同学可能的名次排列情况种数为18十 数列，所以a(1十3%)10=a0,=(1+3%)0=C 12十16=46种.解法二：间接法：甲不排首尾，有三种 情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有 ×0.0310+C1。×0.03+·+C8。×0.032+C。×0.03 A种排法，共有3×3×A=3×3×3×2×1=54种 +C8≈0.0405十0.3+1≈1.34.故选D. 不同的情况：但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、 6.B【解析】记一班同学为A,二班同学分别为B, 四名2种情况；再排乙，也有2种情况：余下2人有 B2,三班同学分别为C,C,C3,先排一班和二班同 A种排法，故共有2×2×A=2×2×2×1=8种不 学，再排三班同学，有两类：第一类，若二班同学在一 同的情况，则该5名同学可能的名次排列情况种数为 班同学异侧，有A=2种，再将三班同学插空，有A 54-8=46种.故选B. =24种，此时有2×24=48种：第二类，若二班同学 二、选择题 在一班同学同侧，有2A=4种，再安排一名三班同9.BC【解析】对A,若每人只安排去一个社区，每人有 ·152· 高三一轮复习A ·数学· 4种安排方法，则不同安排方案的种数为45=1024， =0,2,4,6,8,10时为有理项，共6项 故A错误：对B,若每个社区均有志愿者，则不同安排 13.8 【解析】(x+a)2(x-2)(x-3)(x-4)(x十b) 方案的种数为C号A=240,故B正确：对C,先安排A =(x十a)2(x十b)(x-2)(x-3)(x-4),又 社区有C=10,再安排其余3人，有33=27，所以共 有种数为10×27=270，C正确；若甲、丙在同一社区， (x-2)(x-3)(x-4)=x3-9x2十26x-24,故 (x十a)2(x-2)(x-3)(x-4)(x十b)=(x十 则有A4=192种：若甲、丙不在同一社区，则有 A4=384种，故共有192十384=576种，D错误.故 a)2(x+b)(x3-9x2+26.x-24),x5可由(x+a)2, (x十b),(x3-9x2十26x-24)分别提供x2,x,x 选BC. 10.ACD【解析】对于A,令x=0,得a=2224,故A 得到，或提供x2,x°，x3得到，或者提供x,x,x3得 正确；对于B,ao|+|a1|十|a2|十…十|ago2| 到，故含x5的项为xx（-9x2)十xb(x3)十 a。-a1十a2-…十a224,令展开式中的x=-1,得 2axx(x3)=（-9+b+2a)x5,故-9十b+2a= a。一a1十a2一…十a221=52024,故B错误；对于C, -8,即b+2a=1,要使ab最大，则a,b需为正数，因 令展开式中的x=合，得a十号十十受十…十 此b+2a=1≥2V2a6,故ab≤日，当且仅当2a=b 2器=（号）“所以号++受+…+器 -之时取等号，即a山的最大值为子 22024 (兮)》-2，放C正确：对于D,展开式的两边 14.18【解析】分两步进行：①对于A,B,C区域，三个 区域两两相邻，种植的植物都不能相同，将3种不同 求导，得-3X2024(2-3x)2023=a1十2a2x十3a4x 的植物全排列，安排在A,B,C区域，有A=6种种 十…十2023a2023x222+2024a2024x223,令x=1,得 法；②对于D,E区域，若C,E相同，D有2种种法， a1十2a2+3a3+…+2023a2o2十2024a224=6072, 若C,E不相同，D只有1种种法，故D,E区域不同 故D正确.故选ACD. 的种法共有2+1=3（种）.由分步乘法计数原理可 11.AC【解析】总体的路线形成一个多边形，如果出 得所有种法的种数为6×3=18种。 发点在多边形的边上，左转、右转的次数差一定是4 四、解答题 的倍数；如果出发点在多边形的顶点上，左转、右转 15.解：(1)当0在末位时，有A=3024个： 的次数差一定奇数，因此只有A,C有可能.下面两 当0不在末位时，从2,4,6,8，选一个放在末位， 图的路线分别对应右转96次和104次的情形.故 故有AAA=10752个， 选AC. 故五位偶数共有3024十10752=13776个.(3分) 出发点 (2)大于或等于30000的五位数，首位从3,4,5,6， 7,8,9任选一个，其它的任意排， 故有AA=21168个 (8分) (3)比50000大的数，有AA=15120个， 出发点 比50000大比50124小的数，前四位为5,0,1,2，最 (左转、右转各96次后， (右转、左转各100次后， 后一位为3，只有50123， 再左转4次) 再右转4次) 故在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第 三、填空题 15120-1=15119个. (13分) 12.6【解析】(层) 的展开式的通项公式为T+ 16.解：(1)第10行的各数之和为C。十C。十C6十…十 C8=2=1024. (3分) =C路。(-2)·x0-警，当k (2)杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和 ·153· ·数学· 参考答案及解析 为C+C号十C号+C+…+C 而二项式(x3一1)216的通项公式为T+1= =C十C十C+C器十…十C (-1)C造16(x3)216-(0≤k≤2016且k∈N), =C.=16X15X14=560. (7分) 由3×(2016-k)=2016, 3×2×1 解得k=1344, (3)存在，理由如下： 所以x2o16的系数为C=C7览6， (13分) 设在第n行存在连续三项C1,C片，C+l,其中n∈ 由代数式恒成立， N且n≥2，k∈N且k十1≤n, 有=3 所以D3o16C2o1:一D2o16C5o16+D吃o16C号o16一 C 8 C 8且前 D2o1C2o6十…+D818C号88=C876 (15分) 18.解：(1)队伍分配方案可分为：两组都是3女2男： (11分) -组是1男4女，另一组是3男2女， /3n+3=11k ①若两组都是3女2男， 22k-8n+14=0 则先将6女平均分成两组共C:C种方式， 解得k=3,n=10, A 所以C。=45,C1。=120,C1。=210, 再将4男平均分成两组共C,C种方式， A 故这三个数依次是45,120,210. (15分) 17.解：(1)因为(x2+x+1)2=x十2x3+3x2+2x+1, 所以两组都是3女2男的情况有C,C.C,C. A A 所以D9=1,D%=2,D=3,D=2,D%=1. (4分) 2=60种： (2分) (2)因为(1+x+x2)°=1， ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有 (1+x+x2)1=1+x+x2, C·C·C·C号=60种， (3分) (1+x十x2)2=1+2x十3x2+2x3+x, 所以总情况数为60十60=120种， (1十x+x2)3=1+3x十6x2十7x3+6x+3x5十xi, 故一共有120种不同的分组方案. (4分) (1+x十x2)1=1+4x+10x2+16.x+19x+16.x (2)①若E不上场： +10x+4x2十x°， 先将AB全排列，共有A种方式， 所以三项式的n(0≤n≤4，n∈N)次系数的数阵表 再把AB捆绑后和CDF全排列共有A种方式， 如下： 所以AB上场且E不上场共有A:×A=48种不同 1 的排列方式； (6分) 111 ②若E上场： 12321 1367631 (I)若E在1号位， 1410161916104 1 先将AB全排列，共有A种方式， (8分) 再从CDF中选两人，有C种方式， (3)(1十x+x2)216·(x-1)2016 则AB捆绑后和CDF中的两人全排列，有A种 =(D8o1B十D时o1Bx十D吃o16x2十…十D吃016x十…十 方式， Dg83x031十D58器x4032)X(C3o16x2016-Co16x2015十 所以E在1号位共有A号×C×A=36种不同的方 C3016x2014-C316x2013十…十(-1)5C5o16x2018-k十… 式； (8分) 一C品x十C388), (Ⅱ)若E在2号位， 其中x2o16的系数为D3o16C2o16一Do16C号o16十 再将AB全排列，且AB可位于3,4号位或4,5号 D号16C3o16-D316C8o16十…十D588C号88，(10分) 位，共有A×2种方式， 又(1十x十x2)2016·(x-1)2016=(x3-1)2016, 再从CDF中选两人进行排列，有A?种方式， ·154· 高三一轮复习A ·数学· 所以E在2号位共有A×2×A号=24种不同的方 (2)(i)66=64+2=1×2+0×2+0×2+0×2 式； (10分) +0×22+1×2+0×2°=(1000010)2， (Ⅲ)若E在3号位， .I(66)=5. (8分) 再将AB全排列，且AB可位于1,2号位或4,5号 (i)1=1×2°=(1)2， 位，共有A号×2种方式， 511=1×28+1×22+1×2+1×2+1×24+1×2 再从CDF中选两人进行排列，有A种方式， +1×22+1×2+1×2=(111111111)2,(10分) 所以E在3号位共有A×2×A=24种不同的方 故从n=1到n=511中， 式； (12分) 1(n)=0有(1)2，(11)2，…，(111111111)2，共 (N)若E在4号位， 9个： 将AB全排列，且AB可位于1,2号位或2,3号位， I(n)=1有C十C+…+Cg个， 共有A×2种方式， 由C十C十…十C=C,即共有C个； 再从CDF中选两人进行排列，有A种方式， I(n)=2有C十C十…十C8个， 所以E在4号位共有A号×2×A=24种不同的 由C号+C十…十C=C,即共有C子个： 方式 …y 所以AB上场且E也上场共有36十24+24+24= I(n)=8有C=C#=1个， (14分) 108种不同的方式. (15分) 综上所述，共有48+108=156种排列方式.(17分) 则22u=9x2+G×2+G×2+…+G×2 19.解：(1)根据题意有n=a。·2十a1·2-1十…十 C×2+C8×22+C号×23+…+C×2” 2 ag-1·21十as, C9×2°+C×2+C×22+C×23+…+C×2"-1 2n十1=a0·2+1十a1·2+…十ak·2+1, ∴.S(2n十1)=a。十a1+…十a4十1=S(n)十1. =1+2)-1=9841. (17分) 2 (4分) ·155·