(20)椭圆、双曲线、抛物线-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二十） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 椭圆的方程，焦点 1 选择题 易 0.94 坐标 抛物线的定义、与抛 选择题 物线焦点弦有关的 0.85 几何性质 根据离心率求双曲 3 选择题 5 易 0.78 线的标准方程 双曲线的标准方程， 4 选择题 5 易 0.73 求参数范围 抛物线的定义、最值 5 选择题 5 中 0.70 相关问题 圆与双曲线的综合， 双曲线的儿何性质 6 选择题 5 中 0.60 及圆的切线性质 问题 抛物线与球结合求 7 选择题 5 中 0.50 最值 求双曲线的离心率， 8 选择题 5 与抛物线的焦半径 中 0.40 公式有关 双曲线中焦点三角 形问题、渐近线问 9 选择题 6 中 0.65 题、直线与双曲线位 L 置关系 求椭圆的离心率、椭 10 选择题 圆的焦点三角形 中 0.55 问题 新定义题，抛物线的 11 选择题 6 标准方程、直线与抛 J 中 0.40 物线 ·129· ·数学· 参考答案及解析 实际问题中的抛物 12 填空题 5 易 0.85 线方程 结合双曲线的几何 13 填空题 5 中 0.60 性质求面积 椭圆的定义及离 14 填空题 难 0.30 心率 根据抛物线上的点 求标准方程、抛物线 15 解答题 13 易 0.80 中的三角形面积 问题 椭圆的标准方程，求 16 解答题 15 弦长，由椭圆中三角 中 0.70 形的面积求参数 抛物线与向量的综 17 解答题 15 中 0.60 合，定点问题 18 解答题 17 椭圆中的定值问题 √√ 中 0.40 双曲线的标准方程， 19 解答题 17 双曲线中的证明 难 0.15 问题 香考答案及解析 一、选择题 3.B【解析】设双曲线的下焦点为(0，一c),一条渐近 1.A【解析】设椭圆C的焦距为2c,则由题意得2 线方程为y=号1，即ax一y=0,则焦点到渐近线的 4,又C的方程为后+关=1，所以8-k=4,解得k k 距离为 bc =2,又离心率e=C=2,a2十b= 4.故选A. √a2+6 a 2.C【解析】如图所示，过点A作AB垂直于C的准线 ,联立解得。2-专6=4，“双曲线的方程为3Y 于点B,过焦点F作FE垂直于AB于点E,由题意可 知p=2,∠AFx=∠FAE=晋，根据抛物线的定义可 苦-1.故莲B 知|AF|=|AB|=|AE|+|EB|,在Rt△AFE 4.D 【解析】因为方程 上少=1表示双曲线， m十2十3-m 中AE=|AF·cOs号=号|AF,又IBE1= 则(m十2)(3-m)<0,解得m>3或m<-2.故选D. 5.B【解析】如图，F为抛物线的焦点，m为抛物线的 D=2,所以|AF=|AB|=号|AF|+2,解得1AFI 准线，作AC⊥m于点C,PN⊥m于点N,BD⊥m于 点D,连接AF,BF, =4.故选C. B m C N D 由抛物线的定义知，2|PN|=|AC+|BD= ·130· 高三一轮复习A ·数学· |AF|+|BF|≥AB|=6,所以|PN|≥3，当且仅 当F在AB上时等号成立，则点P到x轴的最小距 或y=2一器无效，考虑到抛物线不可能在x轴下 离是2，故y的最小值为2.故选B. 方，所以<0不成立，即y=2r <0，所以2，一沿 81 6.A【解折】由双曲线C后芳-1，可得a2=15,心 <0,解得≤部，所以r的最大值为影故选℃ =25,则a=4,b=5且c=√a2+=√4I,设F是 8.C【解析】由题意可得x>0且抛物线E上的 双曲线C的右焦点，连接PF,OT,因为M,O分别为 M(x,3)到其焦点的距离是，十号，它到y轴的距 FP,FF的中点，所以MO=号|PFI,又FT为圆 离是x。,所以。十之=2，解得=号，即 的切线，则OT⊥FT,则在Rt△OFT中，|FT|= √TOF-OT下=5，又由双曲线的定义，可得 M(号，3)，将M(2,3)代入E:y=2px(p>0),得 |PF|-|PF|=2a=8,所以1MO|-|MT|= 3=2pX号(p>0),解得p=3,所以E:y=6x,焦 IPFI-IMFI+IFTI-(IPFI-IPFD +|FT|=-4十5=1.故选A. 点为F(号，0)，所以a+6=是，又A(-a,0). B(a,0),双曲线渐近线方程为bx士ay=0,不妨假设 是过A,B作C的同一条渐近线bx十ay=0的垂线， 垂足分别为P,Q,则由双曲线的对称性可知A和B 到渐近线bx十ay=0的距离相等，均为|AP|= Va2+62 1ba=e,所以|PQ=2|0P =2√/ToA-AP平=2√a-(g) 7.C【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 2N -2√厚--g=-2所 3 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 2 以。-是，即a-√厚-，则双曲线的离心率为 3 =C_ a _E,故选C 62 2 依题意可得A的坐标为（号，4）设抛物线的标准方 程为2=2(p>0).则 =8p,解得p= 韶·散该 抛物线的标准方程为广一品，设小球大圆圆周方程 为x2十(y-r)2=2,联立方程组 x+(y-r)= 二、选择题 -0 解得y=0或y=2一器医使 9BC【解析】对于双曲线C2-兰-1，a=1,6=厄 小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只 c=√3，A选项，根据双曲线的定义，由 有一个交点，就是抛物线的顶点，所以y=2r一=0 |IRF|-IRF2|I=I4-|RFz||=2,解得 16 |RF2|=2或|RF2|=6,所以A项错误；B选项，双 ·131· ·数学· 参考答案及解析 曲线的一条渐近线方程为y=√Ex,即√2x一y=0, F650)到直线x一y=0的距离为后-厄，所以 销的距离为h,所以号×2=0，解得么-，故 C正确；因为PM是∠FPF2的平分线，所以 B项正确：C选项，设P(s,t),s>1,则s2-号 2 1, |ME="=a+女=E+,所以IME, MF2-n-a-b-√5-1 即2s2-t=2,又A(-1,0),B(1,0),所以kA·k% MPMT×IREI=5共×2=(1+ MF =,本·片导-2，所以C项正确D 25 选项，设M(y),N(x2y2)(x1≠x2)关于点 ),则1oM1=MR1-1or1-=2@, 5 5 Q(1,1)对称，则x1十x2=2,y1十y2=2,又 故D正确.故选ACD -=1 11.ABD【解析】对于A,由题意，开口向右的抛物线 ,两式相减并化简得十业·少二业三 x1十x2x1一x2 方程为C:y=2x,顶点在原点，焦点为F(号，0)， 将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点 2,则4二业=2，即k=2,则直线MN的方程为y 为F(0,),则其方程为x=2,即y=,故 y=2x-1 -1=2(x-1),即y=2x一1，联立 y2=2x A正确；对于B,根据A项分析，由 x2=2y 解得x 简得2x2-4x十3=0，△=(-4)2-4×2×3=-8< =0或x=2,即xA=2,代入可得yn=2,由图象对称 0,无解，这与M,N是双曲线上不同的两点矛盾，所 性，可得A(2,2),B(2,-2),故|AB=4,故B正 以D项错误.故选BC. 确；对于C,如图，设直线x十y=t与第一象限花瓣 10.ACD【解析】如图，设|PF|=m,|PF2|=n,延 分别交于点M,N, 长OQ交PF2于点A. y=-x十t 由 解得w=t+1-V2+T ,由 由题意知OQ∥PF,O为FF2的中点，则A为PF2 y2=2x yM=√2t+I-1 的中点，又∠QPA=∠FPQ=∠AQP=号，所以 2-2y解得=V2+-1 y=-x十t ,即得M(t十 m十n=2a, w=t+1-√/2t+I △AQP是等边三角形，则 11解得 b+2n=2m, 1-√2t+1,√2t+1-1),N(√2t+I-1,t+1- √2t+I),则弦长为|MN|=√/2(t+2-2√2t+I) (m=a十b:在△FPF,中，由余弦定理得m++ n=a-b, =√2|t+2-2√/2t+11,由图知，直线x十y=t经过 mn=4c2,所以(a十b)2+(a-b)2+ 点A时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，即 (a十b)(a-b)=4c2,即3a2十b=4c2.因为=a 在第一象限部分满足0<t<4,不妨设u=√2t十1， 4 2/5 -c2,所以2=4B,4a2=5c2,所以e=5,e= 则1<u<3,且t= 。1,代入得|MN1= 5 2 故B错误：△PF,F,的面积为号mnsin 2- w2+2-2 2 |(u-2)2-1|,则当u=2 尽(a2-b)-BC=56,故A正确：设点P到x 4 时，MN取得最大值为号，故C错误；对于D,根据 4 ·132· 高三一轮复习A ·数学· 对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 14. 【解析】将y=-c代入兰+若-1，得 名部分面积的近似值，如图， ±仁，故ABl-2安=酷则A1=会=号又 a |AF|+|AF2|=2a,得|AF|=2a-|AF2| 2a-32=68,解得a=10,则2=64，故c2=a2-b 5 5 =36,即c=6,所以e==6=3 a105 四、解答题 15.解：(1)因为抛物线过点M,|MF|=3, 所以1+号=3，所以p=4。 (4分) 在抛物线y=r(x≥0)上取一点P,使过点P的 所以抛物线的方程为y2=8x (6分) 切线与直线OA平行，由y=x=1,可得切点坐标为 (2)由(1)可知M(1,22),F(2,0), P(1,号)，因为ox-y=0,则点P到直线OA的 所以直线MF的方程为y=-2√2(x-2), 与y2=8x联立得x2-5x十4=0， 距离为d= -9，于是= 所以x=1或x=4, X√22+2X 故P点坐标为(4，一4√2) (8分) 学一之，由图知，半个花瓣的面积必大于，故原图 1 (3)因为M(1,2√2)与N关于点F对称， 则N(3,-2/2), (10分) 中的阴影部分面积必大于8X 1 =4,故D正确.故 所以S6=之1OF1×|3m-w=号×2X4V厄 1 选ABD, =42, 三、填空题 即△OMN的面积为4√2. (13分) 12.50【解析】以P为坐标原点建立平面直角坐标系， 16.解：(1)由题意得2c=22,c=√2， (1分) 依题意可知B(200,一100)，设抛物线方程为x2= -2py(p>0),D(100√2，-h),其中h为点P到水 又e=￡=号，则a=2.=a-2=2, a 2 2002=2×100p, 面CD的距离，则 解得p=200,h 所以C的标准方程为号+苦=1， (3分) (100√2)2=2hp, =50. (2)过C的右焦点且倾斜角为亚的直线为y=一(x 13.2√5 【解析】由题可得F(3,0),a=2,b=√5，c=3,渐 -√2)， 近线方程为y=土 ,不妨取y=5 ，即6x-2y 代入千+苦=1，得3x-4Ex=0, 0,所以1PF1=35 =5=b,|PQl=2|P0|=2a 解得x=0或x=4y2 3； w/5+4 (7分) =4,所以S△ax= 2 ×4×5=25. 所以MN=E×(色g9-0)=号 (3)由题意设E(x1,y1),F(x2,为)，如图所示： 上 ·133· ·数学· 参考答案及解析 x=ty+之 3 为y轴，建立平面直角坐标系. 联立 ,整理得(t+2)y2+3ty 7 片+ 4 =1 设桶圆的方程为号+芳-1a>6>0、 则2a=2√2,2c=2, 0,△>0， 3t 7 所以a=√2，c=1, 则y十=一十2业= 4(+2)' (9分) 则=a2-c2=1, 故|y1-y2=√(y+y2)-4y12 所以点E的轨迹r的方程为号+y-1. (6分) 79t2 7 _/16t+14 =V(e+2)+F+2 (10分) t+2 (2)由(1)得F2(1,0), 设直线1与x轴的交点为D(号，0)， 当直线41的斜率存在时，如图1，设4：y=k(x一1)， A(x1,y),B(x2,y2), 又A(-号，0)，则|AD=是-(-号)=4， 联立+=1 ,可得(1十2k2)x2-4kx+2k2 故Sr=|AD·l-为 y=k(x-1) -2=0, =2×16+14-s t+2 2 显然△>0， 结合t>0,解得t=√E, (15分) 则x1十x2= 1+2R=2k-2 4k2 1+2k21 (10分) 17.解：(1)将圆M配方得(x-之)广+y=子， 由已知得M(2,0),则k1=。 x2-2 即M(20, (2分) 所以1十k:=”。十” 1-2x2-2 所以号-号即p=1 (3分) _(x1-1)+(x-1) 1-2 x2-2 所以C的方程为y2=2x. (4分) k(x1-1)(x2-2)+k(x-2)(x2-1) (2)当直线AB垂直于x轴时，|AB|最小，AB|m (x1-2)(x2-2) =2p=2. (6分) k[2x1x2-3(x1十x2)十4] (3)由题可知，l的斜率不为0，设直线l:x=ty十n, （x1-2)(x2-2) 联立方程=2x ,化简可得y2-2ty一2=0， 2(2k2-2)3X4k k lx=ty十 1+21年20+4 (x-2)(x2-2) 所以△=4t+8n>0,y1十y2=2t,y1y2=-2n, 厂42-4-12k2+4(1+2k2) (7分) 1+2k2 叉P,Q在抛物线C上，故八=2 (14分) (9分) (x1-2)(x2-2) yi=2x2 即k1十k2为定值0. (15分) 则0市.00=十=()+1=3， 1 当直线1斜率不存在时，直线⊥x轴，如图2， 显然∠AMF:=∠BMF2,可得k1=一k2,即k:十k2 即n2-2n-3=0,解得n=-1或n=3, (12分) =0. 因为y1y<0, 综上所述，k:十kg为定值. (17分) 所以y1y2=-2n<0,即n>0, 故n=3, 所以直线1过定点(3,0). (15分) 18.解：(1)由已知可得|EF|+|EF2 =|EF|+|QE=|Q|=2√2， 又|F1F2|=2<2√2， 所以点E的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.(3分) 以FF2所在直线为x轴，线段F:F2的垂直平行线 图 ·134· 高三一轮复习A ·数学· (3)设T(分n,直线MN的方程为y-n=(x 2）M()N(), y-=(x-号 联立 ,化简得(16-2)x2十 图2 (k2-2kn)x- 18,解：1设双曲线E的方程为号一 子-分+6m-16=0, =1(a>0,b≥ 16-k2≠0， 0), △=16(4n2-4kn-3k2+64)>0, k2-2kn a=1 则x1十x2= 16-k2 则 (2)242 =1解得6=4 9 a c=/17 中-+知-16 x1x2= (11分) c2=a2+b9 16-k2 所以E的方程为x 161. (4分) 故1M=中E-, (2)M(),N(2,2),H(o,y), ITNI=V1* 引 因为M,N两点都在双商线一荒=1上， 则|TM|·ITN xi- 16 =(1十)西 引引 所以 两式作差，得x。(x一x2) x- 161 =(1十k) x1x- （十）+ =b（y一） 4k2-n2+kn-16 =(1十2) 16 1.-2k+1 16-k2 一十 16-k2 则k1·k:=51二=16. (8分) =1+)(12+2) x0(x1一x2） k2-16 (15分) 由ka十kN=O,所以kPQ=一k, 从而|TP|·1TQ1=[1+(-)]12+n) (-k)2-16 =1+2)(12+m) -16 所以1M·TN1=Tp·Q1,即0 TN TQ (17分) ·135·高三一轮复习周测卷/数学 (二十)椭圆、双曲线、抛物线 （考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1,已知精圆C:专+苦=1的一个焦点为(2,0)：则的值为 A.4 B.8 C.10 D.12 2.设F为抛物线C:y=4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为罗，则 |AF|= A.2 B.3 C.4 D.5 3.南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一 段近似看成双曲线装一1(Q>0,b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离 为2，离心率为2，则该双曲线的方程为 A益置=I B-- 4.已知方程 y2 m+2 3-m =1表示双曲线，则m的取值范围是 A.(3,+∞) B.(-2,3) C.(-∞，-2) D.(-∞，-2)U(3,+∞) 5.已知A,B为抛物线x2=4y上的动点，P(xo,yo)为AB的中点，若AB=6,则y,的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6如图，过双商线C需盖-1的左焦点F作圆+广=16的切线，切点为T,延长FT交C的 右支于点P,若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO一MT= A.1 B是 c D.2 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的 曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为4cm,往杯盏里面放入一个半径为 rcm的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则r的最大值为 27 A.16 9 cm 图1 图2 c别 n 8.已知抛物线E:y2=2px(p>0)上的点M(xo,3)到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍.若抛物 线E的焦点与双曲线C:若一苦=1(a>0,6>0)的右焦点重合，过双曲线C的左、右顶点A,B 作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P,Q,且PQ=2,则双曲线的离心率为 A.√3 B.2 c. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) ,已知A,B分别为双曲线C:一兰-1的左、右顶点，F,F分别为双前线C的左，右焦点，则 A.若R为双曲线C上一点，且|RF=4,则RF2=6 B.F2到双曲线C的渐近线的距离为√2 C.若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线PA,PB的斜率之积为2 D.双曲线C上存在不同的两点M,N关于点Q(1,1)对称 10.已知P是位于椭圆C:后+苦=1a>6>0)第一象限上的一点，F,R是C的无、有焦点， ∠FPF,-否，点Q在∠FPE,的平分线上，∠FPF,的平分线与x轴交于点M,0为坐标原 点，OQ∥PF1,且OQ=b,则 A.△PFF2的面积为√3b BC的离心率为号 C.点P到x轴的距离为 D.IOM]=2/56 5 三一轮复习周测卷二十 数学第2页（共4页） A 11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这 是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角 花瓣的图案，它可看作由抛物线C:y2=2x(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后 所得的三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A,B为C与其中两条曲线的交点，若p=1,则 A.开口向上的抛物线的方程为y= B.AB=4 C.直线x十y=t截第一象限花瓣的弦长最大值为子 D.阴影区域的面积大于4 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图1，图中为抛物线型拱桥.如图2，将拱桥的主拱看作抛物线，水面看作水平的直线，主拱的 顶端P到水面AB的距离为100m,且水面AB的宽为400m,若水位上涨到水面CD,CD的宽 为200√2m,则顶端P到水面CD的距离为 m. -----。---------- 图1 图2 13已知双面线置-苦=1的右焦点为r,过F作PF垂直于一条新近线：垂足为P若点P,Q关 于原点对称，则△PQF的面积为 4.设椭圆C:光+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为P,P,过F作平行于zx轴的直线交C A,B两点，若E,A-.AB=,则C的离心率为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知抛物线y2=2x(p>0)过点M(1,t)(t>0),其焦点为F,且MF=3. (1)求抛物线的方程； (2)直线MF与抛物线交于另一点P,求点P的坐标； (3)若点N与M关于点F对称，求△OMN(O为坐标原点)的面积. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 16.(本小题满分15分) 心知网C若+若=1(a≥6-0)的熊距为2区，离心率为 2 (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点且倾斜角为x的直线与C交于M,N两点，求MN: (3若A-号0)，直线：x=+多>0)交椭圆C于E,F两点，且△AEF的面积为，求 t的值. 17.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点恰好为圆M:x2+y2一x=0的 圆心. (1)求C的方程； (2)过焦点的直线与C交于A,B两点，求AB的最小值；（不需要说明理由） (3)若直线1与抛物线C交于P(x1,y1),Q(x2,2)两点，yy<0,且Op·OQ=3,试探究直线1 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由 18.(本小题满分17分) 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图所示.四根等长的杆用铰链首 尾链接，构成菱形LF2KQ.带槽杆QF1的长为2√2，点F,F2间的距离为2，转动杆QF1一周 的过程中始终有QE=|EF2,点M在线段F,F2的延长线上，且MF2|=1. (1)求出点E的轨迹Γ的方程； (2)过点F2的直线L1与T交于A,B两点，记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,证明：k1十k2 为定值. M 19.(本小题满分17分) 已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为√17，且过点(2,4)，直线l1与双曲线E交于M,N 两点，11的斜率存在且不为0，直线2与双曲线E交于P,Q两点。 (1)求E的方程； (2)若MN的中点为H,直线OH,MN的斜率分别为k1,k2,O为坐标原点，求k1·k2; (3)若直线，与直线：的交点T在直线x=上，且直线4与直线&的斜率和为0证明： TP-TN 三一轮复习周测卷二十 数学第4页（共4页） 囚