精品解析：江苏扬州市江都区仙城中学2027届高三上学期9月阶段测试数学试题

扬州市仙城中学2026~2027学年第一学期9月阶段测试 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角满足，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 6. 若函数及其导函数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一函数 B. 奇函数的图象一定过点 C. 对于任何一个函数，如果因变量的值不同，则自变量的值一定不同 D. 函数在其定义域内是单调递减函数 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（ ） A. 函数必有极值 B. 函数必有最值 C. 函数必有零点 D. 函数必为非奇非偶函数 11. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角α的终边上有一点，则的值为___. 13. 定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________ 14. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 端午节吃粽子是我国的传统习俗之一．设一个盘子中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到的豆沙粽个数，求的期望． 17. 如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明； （3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围． 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市仙城中学2026~2027学年第一学期9月阶段测试 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若角满足，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数四个象限符号确定. 【详解】为第二，三象限角或者轴负半轴上的角； 又为第二，四象限角 所以为第二象限角. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式求值，即得集合A，再利用并集的定义求解. 【详解】因为，， ，即集合，且集合， 所以. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取判断充分性不成立，再结合不等式性质判断必要性成立即可. 【详解】取，此时满足，但不满足； 反之，若，则，又，故， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数、对数函数的单调性，以及适当的中间量，即可得出答案. 【详解】因为,，， 所以， 故选：C 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于基础题. 5. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】方法一：由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 方法二： ，得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 6. 若函数及其导函数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，可得，结合已知即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，解得， 所以，令，可得，解得. 故选：D. 7. 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 则， 令，则， 所以，函数在上为增函数，且. ①当时，即当时，对任意的恒成立， 所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意； ②当时，即当时，则存在使得， 当时，，此时，则函数在上单调递减， 当时，，此时，则函数在上单调递增， 由于函数有两个零点， 当时，；当时，. 可得， 可得，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 是偶函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的偶函数条件得到的对称关系并求导判断B，再用反例排除A、C、D. 【详解】因为为偶函数，所以. 令，则，所以，即. 两边关于求导，得. 又，所以，即， 因此的图象关于点对称，B正确. 为排除A、C、D，取，则为偶函数， 且为奇函数，满足题设条件. 此时，，所以的图象不关于直线对称，A不正确. 又，所以不为偶函数，C不正确. 当时，依次为，并以为周期. 因为，所以，D不正确. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一函数 B. 奇函数的图象一定过点 C. 对于任何一个函数，如果因变量的值不同，则自变量的值一定不同 D. 函数在其定义域内是单调递减函数 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，定义域与对应法则均相同，为同一函数； B选项，举出反例； C选项，根据函数的定义做出判断； D选项，的单调减区间为和，故D错误. 【详解】与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确； 奇函数的图象不一定过点，如，故B错误； 函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确； 的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误． 故选：AC 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（ ） A. 函数必有极值 B. 函数必有最值 C. 函数必有零点 D. 函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图得出导数正负情况，进而可得函数单调性情况，再结合极值、最值、奇偶函数和零点定义即可得解. 【详解】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定. 故选：ABD 11. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角α的终边上有一点，则的值为___. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，得解. 【详解】由题可得，， 所以. 故答案为：. 13. 定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知不等式得函数是增函数，即得是增函数，又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为的函数不等式，利用奇偶性变形，再由单调性可解． 【详解】设， 因为对任意的，恒有， 所以函数在上为增函数，则在上为增函数， 又，而，所以， 所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数， 所以不等式等价于， 即，亦即， 可得，解得． 故答案为：． 14. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法和分离参数的方法，对不等式进行变形判断． 【详解】由可得； 设，则； 则，即，即； 由可得，， 因为，，故； 则，； 则；由可得； 故有；当且仅当，即时，等号成立； 此时，即． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）6；（2）4 【解析】 【分析】（1）由对数运算法则和性质即可求解； （2）先由诱导公式化简题设条件得，再弦化切即可求解. 【详解】（1） ； （2）， 故. 16. 端午节吃粽子是我国的传统习俗之一．设一个盘子中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到的豆沙粽个数，求的期望． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据排列组合求解个数，即可由古典概型的概率公式即可求解， （2）根据超几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【小问1详解】 令事件表示“三种粽子各取到1个”，则有； 【小问2详解】 的所有可能值为0、1、2，且，，． 综上知，的分布为，故． 17. 如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 连接，，则且为的中点， 又∵为的中点，∴， 又平面，平面， 故平面． （2）. 【解析】 【详解】（1）略； （2）由平面，得，． 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，，， ，，． 取平面的一个法向量为， 由，得： ，令，得 同理可得平面的一个法向量为 ∵平面平面，∴ 解得，得，又， 设直线与平面所成角为，则 . 所以，直线与平面所成角的正弦值是． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明； （3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （2） 由（1）知：； 要证，只需证，即证； 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 又，，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据正负可得单调性； （2）由（1）可知，可知需证，将不等式转化为；令，利用导数可求得，由此可得结论； （3）设，将已知不等式转化为，从而可构造函数，知在上单调递增，即恒成立；采用分离变量的方法得到，利用导数可求得在上的最大值，根据可求得结果. 【小问1详解】 由题意得：定义域为，； 当时，，，在上恒成立， 在上单调递增； 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，则由得：， 即， 令，则在上单调递增， 在上恒成立， 即，又，； 令，则， 令，解得：（舍）或， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，，解得：； 的取值范围为. 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，，且． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时 ，在上单调递减，在上单调递增. （2）①； ②证明： 由①知，，，所以， 要证，即证， 令， 则， 当时，，在上单调递增， 因为，所以， 即，即， 又因为，所以， 又因为且在上单调递减， 所以，即， 原命题得证. 【解析】 【分析】（1）求导得，分为，，和四种情况，分别讨论的符号，从而得到函数的单调性； （2）①分为，，，和五种情况，结合函数的单调性分别讨论，即可求出答案；②由①知，，即，要证，只需证，通过构造函数，判断在上单调递增，从而证明，继而得到，再结合函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 ， （ⅰ）当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； （ⅱ）当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； （ⅲ）当时，，在上单调递增； （ⅳ）当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时 ，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①， （ⅰ）当时，，令，解得， 此时函数只有一个零点，不符合题意，舍去； （ⅱ）时 ，在上单调递减，在上单调递增， 则， 又， 取且， 则， 所以有两个零点，其中，，符合题意； （ⅲ）当时， 在上单调递增， 当时，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅳ）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去； （ⅴ）当时， 当时，， 又在上单调递减，在上单调递增，， 所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围为. ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $