(23)计数原理、排列组合、二项式定理-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (二十三)计数原理、排列组合、二项式定理 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.A8+Ci= A.65 B.160 C.165 D.210 2.(x-y)(x十y)8的展开式中x2y的系数为 A.20 B.-20 C.28 D.-28 3.甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两 人听同一个讲座的方法种数为 A.6 B.12 C.18 D.24 4.把3个相同的红球与4个相同的白球排成一排，则不同的放法种数有 A.24 B.32 C.35 D.42 5.方程xy=2160的非负整数解的组数为 A.12 B.22 C.28 D.40 6.某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后 他能得到的本利和约为（单位：万元，结果保留一位小数） A.12.6 B.12.7 C.12.8 D.12.9 7.6名同学排成一排，其中一班、二班、三班的同学人数分别为1,2,3，若同一班级的同学不相邻， 则不同的排法数共有 A.90 B.120 C.144 D.180 8.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）. 甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠 军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为 A.44 B.46 C.48 D.54 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.现安排甲、乙、丙等5名同学到A,B,C,D四个社区参加志愿者服务活动，且每人只安排去一个 社区，则 A.不同的安排方案有625种 B.若每个社区均有志愿者，则不同安排方案的种数为240 C.若A社区有2人参加，则不同安排方案的种数为270 D.若甲、乙不去同一社区，乙、丙不去同一社区，则不同安排方案的种数为1200 10.若(2-3.x)2024=a0十a1x十a2x2十…十a224x2024,则 A.a0=22024 B.a|+a1l+|a2|+…+a224|=1 C++学+…+器=》-2m D.a1+2a2十3a3+…+2023a2023+2024a224=6072 11.如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则（不同的图形指两个图形中至 少有一个顶点不同) A.可以围成20个不同的正方形 B.可以围成24个不同的长方形（邻边不相等） C.可以围成516个不同的三角形 D.可以围成16个不同的等边三角形 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1卫在(：一启》的展开武巾，有理项的个数为 13.正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为 .(用数字作答) 14.若(x十a)(x-2)(x-3)(x一4)(x十b)的展开式中，x5项的系数为一8，则ab的最大值 为 三一轮复习周测卷二十三 数学第2页（共4页） ® 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）》 15.(本小题满分13分) 某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五 人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加 比赛 (1)高二年级一共有多少不同的分组方案？ (2)若甲、乙两位男老师和丙、丁、戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左 到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 16.(本小题满分15分) 已知有09共10个数字. (1)可组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)可组成多少个无重复数字的大于或等于30000的五位数？ (3)在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几？ 17.(本小题满分15分) 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨 辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分 内容，图2为杨辉三角的改写形式. 袁 本积Q 第0行 商积白 第1行 平方日 第2行 1 2 立方E食食白 第3行 33 1 三乘四@口 第4行 4641 四乘团⊕中团白 第5行 510105 1 五乘G份百 第6行 1615201561 中 谦 而 乘 除 商 者 左乃 第n-l行1C1C21…CC1…CiCg子1 之 廉 数 第n行1Cc…C%…C-2Cl 1 方 图2 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数 之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这 三个数；若不存在，请说明理由. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 在(1十x十x2)”=D?十Dx十Dx2十…十Dx+…+Dm1x2m1+Dx2m中，把D%,D,D,…, D”称为三项式系数. 11 121 1331 14641 (1)当n=2时，写出三项式系数Dg,D2,D号，D,D的值； (2)(a十b)"(n∈N)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当0≤n≤4，n∈N时，类 比杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数的数阵表； (3)求D216C8o16-D216C216十D号o16C号o16-Do16C3o16十…十D号88C号818的值.（用组合数作答） 19.(本小题满分17分) 因受到中国八卦图和《周易》阴阳理论的启发，德国数学家莱布尼茨提出二进制记数法.用二进 制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一.例如：自然数1在二进制中就表示为 (1)2,2表示为(10)2,3表示为(11)2,5表示为(101)2.若n∈N可表示为二进制表达式 (aoa1a2ag-1a6)2,k∈N,则n=a0·2十a1·2-1十…十ak-1·21十ak,其中a=1,a:=0或 1(i=1,2,…,k). (1)记S(n)=ao+a1+…十ak-1+as,k∈N,n∈N*,求证：S(2n十1)=S(n)+1; (2)记I(n)为整数n的二进制表达式中的0的个数，如I(2)=1,I(3)=0. (ⅰ)求I(66)的值： 511 (i)求∑21)的值. 三一轮复习周测卷二十三 数学第4页（共4页） B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二十三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 排列数、组合数的 1 选择题 5 易 0.94 计算 选择题 5 求指定项的系数 易 0.85 分步乘法计数原理 3 选择题 5 易 0.80 及简单应用 4 选择题 相同元素排列问题 易 0.73 代数中的组合计数 选择题 5 中 0.70 问题 6 选择题 5 近似计算问题 V 中 0.65 1 选择题 5 不相邻问题 中 0.60 元素（位置）有限制 8 选择题 5 中 0.55 的排列问题 / 分类计数原理与排 9 选择题 6 中 0.65 列组合的综合应用 二项展开式各项的 10 选择题 6 中 0.60 系数和 11 选择题 6 分类加法计数原理 √ / 中 0.40 12 填空题 5 求有理项的个数 易 0.94 13 填空题 5 几何组合计数问题 易 0.80 多项展开式与基本 14 填空题 难 0.30 不等式综合 排列组合的综合 15 解答题 13 易 0.75 应用 分步乘法计数原理 16 解答题 15 及简单应用、数字排 中 0.70 列问题 组合数的计算、组合 17 解答题 15 数的性质及应用、杨 中 0.60 辉三角 ·137· ·数学· 参考答案及解析 三项展开式的系数 18 解答题 17 中 0.55 问题 组合数的性质及应 19 解答题 17 难 0.30 用、新定义 昏考答案及解析 一、选择题 排法，则有2×1×A=12:③甲排第三、四位，乙不排 1.c【解析】A+C-A+C-6X5X4+9 第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排 法，余下2人有A号种排法，则有2×2×2×A号=16. 165.故选C 综上，该5名同学可能的名次排列情况种数为18十 2.B【解析】依题意，x2y的系数为1×C8-C=C一 12十16=46种.解法二：间接法：甲不排首尾，有三种 C8=CA-C=8-28=-20.故选B. 情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有 3.A【解析】甲、乙两人听同一个讲座，方法数有3种， A种排法，共有3×3×A=3×3×3×2×1=54种 丙、丁两人听不同的讲座，方法数有2种，所以恰好只 不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、 有甲、乙两人听同一个讲座的种数为3×2=6种.故 四名2种情况；再排乙，也有2种情况：余下2人有 选A. A种排法，故共有2×2×A号=2×2×2×1=8种不 ④C【解析】相同元素问题除法处理，有4 同的情况，则该5名同学可能的名次排列情况种数为 54-8=46种.故选B. 35(种).故选C 二、选择题 5.D【解析】因为2160=2×3×5，所以2160的因 9.BC【解析】对A,若每人只安排去一个社区，每人有 数有5×4×2=40个，故方程xy=2160的非负整数 4种安排方法，则不同安排方案的种数为45=1024， 解的组数为40.故选D. 故A错误：对B,若每个社区均有志愿者，则不同安排 6.B【解析】存入大额存款10万元，按照复利计算，每 方案的种数为CA=240,故B正确；对C,先安排A 年末本利和是以10为首项，1十3%为公比的等比数 社区有C=10,再安排其余3人，有33=27，所以共 列，所以本利和S=10(1十3%)8=10[C8+C8× 有种数为10×27=270，C正确：若甲、丙在同一社区， 0.03+C×0.032十…十C8×0.037+C8×0.0387≈ 则有A?4=192种；若甲、丙不在同一社区，则有 12.7.故选B. A4=384种，故共有192十384=576种，D错误.故 7.B【解析】记一班同学为A,二班同学分别为B, 选BC. B2,三班同学分别为C,C2,C3,先排一班和二班同 10.ACD 【解析】对于A,令x=0,得a=2221,故A 学，再排三班同学，有两类：第一类，若二班同学在一 正确；对于B,|a|+|a1|+|a2|+…十|a224|= 班同学异侧，有A=2种，再将三班同学插空，有A a一a1十a2-…十a2024,令展开式中的x=-1,得 =24种，此时有2×24=48种：第二类，若二班同学 a一a1十a2一…十a224=522,故B错误：对于C, 在一班同学同侧，有2A=4种，再安排一名三班同 学在二班两名同学中间，有C=3种，最后安排剩余 令展开式中的x=合，得aw十受十婴+号十…十 的两名三班同学，有A=6种，此时有4×3×6=72 2器=（分）》，所以号十尝+会+…+婴0 22024 种，所以共有48十72=120种.故选B. 8.B【解析】解法一：甲、乙都不是第一名且甲不是最 (公)》-2，故C正确：对于D,展开式的两边 后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为 求导，得-3X2024(2-3x)223=a1+2a2x+3a3x 优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3 十…+2023a2023x202+2024a224x2023,令x=1,得 种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的 a1+2a2十3a+…+2023a2023十2024a2024=6072, 余下3人有A种排法，则有1×3×A=18:②甲排 故D正确.故选ACD. 第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有A种11.ABC【解析】不妨设两个钉子间的距离为1，对于 ·138· 高三一轮复习B ·数学· A,由图知，边长为1的正方形有3×3=9个，边长 四、解答题 为2的正方形有2×2=4个，边长为3的正方形有1 15解：(1丙组都是3女2男的情视有xC 个，边长为√2的正方形有2×2=4个，边长为5的 60(种)， (2分) 有2个，共有20个，所以A正确：对于B,由图知，宽 一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有C· 为1的长方形有3×3=9个，宽为2的长方形有4× C=60(种)， (4分) 2=8个，宽为3的长方形有5个，宽为√2的有2个， 所以总情况数为60+60=120（种）， 共有24个，所以B正确；对于C,由图知，可以围成 故一共有120种不同的分组方案。 (6分) C1。一10C?一4C=516个不同的三角形，所以C正 (2)视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右 确：对于D,由图可知，不存在等边三角形，所以D错 端，有C种， (8分) 误.故选ABC. 再排余下两个及丙，有A种，而丁和戊的排列有A 三、填空题 种， (11分) 126【（） 10 的展开式的通项公式为T+ 所以不同排列方式的种数是CAA=36.(13分) 16.解：(1)当0在末位时，有A=3024个： -G(2广-C(-2r,当 当0不在末位时，从2,4,6,8，选一个放在末位， =0,2,4,6,8,10时为有理项，共6项 故有AAA=10752个， 13.12【解析】作出正八面体，如图，正八面体共有6 故五位偶数共有3024+10752=13776个，(4分) 个顶点，其中有3组不同的四点共面，则以正八面体 (2)大于或等于30000的五位数，首位从3,4,5,6， 顶点为顶点的三棱锥的个数为C一3=12. 7,8,9任选一个，其它的任意排， 故有AA=21168个. (9分) (3)比50000大的数，有AA=15120个， 比50000大比50124小的数，前四位为5,0,1,2，最 后一位为3，只有50123， 故在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第 15120-1=15119个. (15分) 17.解：(1)第10行的各数之和为C。+C。+C。+…+ C8=210=1024. (3分) 14.日【解析】(x+a)2(x-2)x-3)x-0x+b) (2)杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和 =(x十a)2(x+b)(x-2)(x-3)(x-4),又 为C号十C+C十Cg+…十C (x-2)(x-3)(x-4)=x3-9x2十26x-24,故 =C十C3+C十C号十…十C (x十a)2(x-2)(x-3)(x-4)(x十b)=(x+ =C1.=16X15X14=560. (7分) 3×2×1 a)2(x+b)(x3-9x2+26x-24),x3可由(x十a)2, (3)存在，理由如下： (x十b),(x3-9x2十26x-24)分别提供x,x,x2 设在第n行存在连续三项C1,C,C+1,其中n∈ 得到，或提供x2,x°，x3得到，或者提供x,x,x3得 N*且n≥2，k∈N*且k十1≤n, 到，故含x5的项为x2x(-9x2)十xb(x3)十 2axx(x3)=(-9+b+2a)x5,故-9+b+2a= 一8，即b十2a=1,要使ab最大，则a,b需为正数，因 (11分) 此6+2a=1≥2V2a,故ab≤g,当且仅当2a=6 化简得，一会行且出合 3n+3=11k 即〈 =合时取等号，即a山的最大值为令 22k-8n+14=0 解得k=3,n=10, 所以C。=45,C1。=120,C1。=210, ·139· ·数学· 参考答案及解析 故这三个数依次是45,120,210. (15分) 所以Dgo16C8o16-D5o16C2016十Do16C2o16一 18.解：(1)因为(x2十x+1)2=x+2x3十3x2+2x十1， D3o16Co16十…十D818C2818=Cg7品6. (17分) 所以Dg=1,D5=2,D3=3,D月=2，D=1.(4分) 19.解：(1)根据题意有n=a。·2十a1·2-1十…十 (2)因为(1+x十x2)°=1， ak-1·21十ak, (1十x十x2)=1+x十x2, 2n十1=a。·2+l+a1·2+…十ak·2+1, (1+x十x2)2=1+2x+3x2+2x3+x, ∴.S(2n十1)=a十a1+…+as+1=S(n)+1. (1十x+x2)3=1十3x+6x2+7x3十6x+3x5+x, (4分) (1+x+x2)=1+4x+10x2+16.x3+19x+16.x (2)(i)66=64+2=1×2+0×2+0×2+0×2 十10x5+4x2十x8, +0×22+1×2+0×2°=(1000010)2， 所以三项式的n(0≤n≤4，n∈N)次系数的数阵表 .1(66)=5. (8分) 如下： (i)1=1×2°=(1)2， 511=1×28+1×27+1×26+1×25+1×24+1×23 111 +1×22+1×2+1×2°=(111111111)2，(10分) 12321 故从n=1到n=511中， 1367631 1(n)=0有(1)2，(11)2，…，(111111111)2，共 14101619161041 9个： (8分) I(n)=1有C十C造十…+CW个， (3)(1十x十x2)216·(x-1)216 由C十C十…十C=Cg,即共有C个； =(D816十D5o16x十D号o16x2十…十D5o16zx十…十 I(n)=2有C号十C号+…十C个， D号8x031十D8器x032)X(C3016x2o16-C3o16x2o15十 由C号十C十…十Cg=C,即共有Cg个； C3016x2014-C经016x2018十…十(-1)C5016x2018-k十… -Cx十C288), I(n)=8有C8=C=1个， (14分) 其中x2o16的系数为D3o16C2o16一D2o16Co1B十 511 D吃o16C2o16-D2o16C2o16十…十D5818C号88，(10分) 则∑2”=9×2°+Cg×2+C×22++C8×2 =1 又(1+x十x2)2016·(x-1)216=(x3-1)2016, =C到×2+Cg×22+C8×2+…+CX2 而二项式(x3一1)216的通项公式为T+1= 2 (-1)C览o16(x2)2o16-k(0≤k≤2016且k∈N), =C9×2+C×2+C%X2+C8×23+…+C8×2”-1 由3×(2016-k)=2016, 2 解得k=1344, =1+2)°-1=9841. (17分) 所以x2o16的系数为C=C66, (14分) 由代数式恒成立， ·140·