(15)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (十五)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列说法中，正确的是 A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 C.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 2.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如 图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为 A.44π B.46元 C.48π D.50π 3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=6,若仅侧棱AA1在水平桌面内放置时，液面 恰好过点M和点N,且满足AM=号MC,BN-专NC.则当底面ABC水平放置时，液面高为 A.4 B.8 C.3 D.2 A1 4.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的， 如图所示，若被截去的每个正三棱锥的侧棱长均为20c,则石凳的表面积为 A.(3200+16005)cm B.(4800+16003)cm C.(3200+2400√3)cm D.(4800√2+2400√3)cm2 5.已知某三棱台的高为2√5，上、下底面分别为边长为4√和6√3的正三角形，则该三棱台的体 积为 A.114√15 B.57√/15 C.38√15 D.27√15 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 6.已知以A,B为顶点且底面重合的两个圆锥内接于半径为R的球O,圆锥底面圆的半径为r,若 两圆锥的侧面积之和与球O的表面积之比为，则 A.2Rr+2r5=R5 B.2Rr+2r5=R5 C.4R2r+4r3=R3 D.4Rr2+4r3=R3 7.已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1，下底面半径为2，母线AB长为2，E为母线AB 的中点，则 A.圆台的高为2 D B.圆台的侧面积为4π C.圆台外接球的体积是32 D.在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为7 8.在正四棱柱ABCD一AB,C,D,中，AB=√2，AA,=2,设四棱柱的外接球的球心为O,动点P在 正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M,现点P从点A出发，沿着A→B→C→D →A运动一次，则点M经过的路径长为 A.42x B.2√2π C.82x D.4√2π 3 3 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，则下列可能是该几何体的 截面的为 A. B. C. D. 10.如图，在长方体ABCD一A1B,C1D1中，按平面ABC,D1斜切一分为二，得到两个一模一样的三 棱柱，再沿三棱柱的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥D,一ABCD与三棱锥D1一BCC1,且 AB=2,BC=3,AA1=4,则 3 C D A.四棱锥D,一ABCD与三棱锥D,一BCC的体积之比A1 为3：1 B.四棱锥D,一ABCD的四个侧面都是直角三角形 C.三棱锥D1一BCC1的最长棱长为2√7 D.三棱锥D1一BCC1的体积为4 三一轮复习周测卷十五 数学第2页（共4页） 囚 11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始 时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的 一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8c,当细沙全部在 上部时，其高度为圆锥高度的子（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm的沙， 且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则 A,沙漏中的细沙体积为1024πcm 81 B.沙漏的体积是128πcm3 C.细沙全部漏人下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cm D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π≈3.14） 班级 姓名 分数 题号 3 5 6 7 9 10 17 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'CD',已知A'B'=6,CD'=4,则四 边形ABCD的腰BC的长为 y D O4) B' 图1 图2 12题图 13题图 13.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶， 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3,∠BEC=120°，则该几何体的体积为 14.已知一个圆锥的轴截面△SAB是边长为8√3的正三角形，在该圆锥侧面与底面之间的空间部 分放入一个正方体，正方体可以任意转动，则正方体的最大体积为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 如图，在棱长为a的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为DD1的中点. D (1)求三棱锥A一DEC的体积； B (2)求点D到平面AEC的距离； (3)若球O与该正方体的12条棱均相切，求该球的表面积. D 16.(本小题满分15分) 如图，正四棱台ABCD一A1B1C1D1是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm,O1, O分别是上、下底面的中心，棱台的高为60cm. D C (1)求正四棱台ABCD-A1B1CD1的表面积； A1 01 (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积. D2--1--- 0 B 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 如图，在几何体ABCDEF中，EA⊥平面ABCD,FC∥EA.在四边形ABCD中，AB∥CD,AB AD,AB=AD=AE=2,CD=CF=4. (1)求点C到平面BDF的距离； (2)请从下列问题中选一个作答， (ⅰ)求几何体ABCDEF的表面积： E (iⅱ)求几何体ABCDEF的体积. D 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(本小题满分17分) 下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径OA=1,母线SA=3. (1)A,B是圆O的一条直径的两个端点，D为母线SB的中点，用软尺沿着圆锥面测量A,D两 点的距离，求这个距离的最小值； (2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落 在原工件的一个面内，求这个正方体的体积. A长0B 19.(本小题满分17分) 据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功 (如图1)，标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业 结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念， 它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球 冠的高.球冠的面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球 冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺 的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的几何体，称 作“球锥”（如图2）.当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如 图2，设一个“球锥”所在球的半径为R,其中球冠的高为h(h<R). R,A△S △V “球锥” 图1 图2 图3 (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图3），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球维”巾，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求是的值： (3)已知一个棱长为a的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的α 有且只有一个，求爱的取值范围。 三一轮复习周测卷十五 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 几何体的概念 易 0.88 圆柱和圆锥的表 2 选择题 5 易 0.81 面积 3 选择题 5 三棱柱的体积 易 0.78 4 选择题 5 组合体的表面积 易 0.73 5 选择题 三棱台的体积 中 0.70 6 选择题 5 球与圆锥的表面积 中 0.68 7 选择题 圆台的综合问题 中 0.60 8 选择题 5 四棱柱与外接球 中 0.50 9 正方体中组合体的 选择题 6 中 0.65 截面问题 10 选择题 6 棱锥的综合问题 中 0.55 11 选择题 6 生活中的圆锥问题 中 0.46 12 填空题 5 斜二测画法 易 0.85 13 填空题 5 组合体的体积 中 0.60 圆锥的内接正方体 14 填空题 5 问题 难 0.30 点面距，球的切接 15 解答题 13 易 0.80 问题 正四棱台的表面积， 16 解答题 15 中 0.70 圆台的体积 组合体的表面积或 17 解答题 15 中 0.60 体积 18 解答题 17 最值问题，切接问题 中 0.50 球的新概念题，体积 19 解答题 17 难 0.30 及综合问题 ·87· ·数学· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】对于A:棱锥有一个面是多边形，其余各 面都是有一个公共顶点的三角形，故A不正确：对于 C B:圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，当这两点 的连线与圆柱的轴平行时，这两点的连线才是圆柱的 母线，故B不正确：对于C:如图所示，若以腰CD为 旋转轴旋转一周，则形成的几何体不是圆台，故C不 正确； 02 B D 上底面正△A,BC的面积为号×45X4×写 12,下底面正△ABC的面积为号×6V×6× =273,由正三棱台的体积公式可得该三棱台的 2 B C 对于D:由棱台的定义知各侧棱延长线交于一点，故 体积V=号×(125+27+2B×275)× D正确.故选D. 2.C【解析】由题意可知该陀螺的表面有上底面圆面、 25=38/15.故选C. 圆柱的侧面和圆锥的侧面，且圆锥的母线长为 6.D【解析】作出图象如图所示，设以A,B为顶点的 √/32+4平=5，所以该陀螺的表面积为π×32十2π×3 圆锥的母线分别为1,2，圆锥的底面圆心为O1, ×4十π×3×5=48π.故选C. B 3.C【解析】设三棱柱的体积为V,仅侧棱AA,在水 平桌面内放置时液面以上部分的体积为号V,故水的 体积为号V,设当底面ABC水平放置时液面的高为 、2 04 、R ，则合--解得=3放选C 01---.--- 4.B【解析】由题意，该几何体是由棱长为40cm的正 方体截去八个全等的正三棱锥，同时儿何体是由8个 边长为20√2cm的等边三角形和边长为20W2cm的 6个正方形组成的一个十四面体，所以该几何体的表 易得AB=2R,∠ACB=90°，所以片+=(2R)2,即 面积为S=8×号×20/2×20VE×sin60°+6X202 片十号=4R①，又因为∠COB=90°，所以△ABC∽ ×20√2=(4800+1600W3)cm.故选B. △CB0,则瓷-品即4-，所以4=2R@, 由圆锥侧面积公式可得两圆锥的侧面积之和为π +πrl2=πr(L十l2),球O的表面积为4πR2,故 本-子，即4+4-花，由①+@×2得 4元R2 ++244=R+4R=(十6)=尽，化简得 4R2+4r3=R3.故选D. 5,C【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱 7.C【解析】对于A,如图所示，过A作AF⊥BC交 台ABC一A1B1C,如图， BC于点F,过D作DG⊥BC交BC于点G, ·88· 高三一轮复习A ·数学· D 02 根据题意在△AFB中，BF=1,AB=2,则AF √/AB-BF=√22一1严=√5，故A错误；对于B,圆 01 台的侧面积为π×(1十2)×2=6π，故B错误；对于 C,设圆台外接球的球心为O,半径为R,下底面圆心 易得F,0,0共线，因为0A=0,B,所以0A为 为O,上底面圆心为O2,连接OO2,OA,OB,由题意 △FOB的中位线，所以FA=AB=2,FB=4,设圆锥 可得O1B=2,02A=1,OO2=3.设O0=a,则O02 FO的侧面展开图的圆心角为a,则aX4=2π×2，解 得α=π，则圆台的侧面展开图如下图所示， =3-a或OO:=√3十a,由R=OA=OB,即 B √12+(W3-a)2=√/22+a2或√/12+(W3+a)2 √2+a,解得a=0,即O,O1重合，所以R=2,圆台 A 外接球的体积是专x×R=3,故C正确； 3 0 B 在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为 0 CE.由题意可得FB=FC=4,AB=2,由E为AB的 01 中点，所以FE=3,所以CE=√FE+FC=5,故D 错误.故选C. 03 8.A【解析】因为正四棱柱ABCD-AB,C1D外接 球的直径为其体对角线的长，故2R=√2+2+4= 2√2(R为正四棱柱ABCD一A1B:CD:外接球的半 径)，解得R=√2，所以△AOB为等边三角形，所以 ∠A0B=60,所以劣教AB的长为，所以点M经 01 过的路径长为4×=1故选A 3 二、选择题 9.BCD【解析】截面中间是矩形，如果可能的话，那么 D 0 一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并 且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间 应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面：当从 正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好 通过四棱锥顶点，如图1，此时截面形状如选项B,故 B可能是该几何体的截面； C 对于D,延长CD,BA,使CD与BA交于点F,连 接O2F, ·89· ·数学· 参考答案及解析 D B 图1 当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组 棱平行去剖开正方体时，如图2中截面PDGH位置， 截面形状就会如选项C,故C可能是该儿何体的 三棱锥D一BCC的最长棱长就是长方体的体对角 截面： 线D,B=√2+3+4平=√29，所以C错误.故 选BD. D 11.ACD【解析】对于A,根据圆锥的截面图可知：细 沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之 比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面 半径=号×4=令m,体积V=子·r,当 图2 号×6g×1-12红m,A选项正确：对于B,沙 9 3 81 如图3，按图中截面ABC的位置去剖开正方体，截 面就会如选项D,故D可能是该几何体的截面.故 漏的体积V=2x号×x×(台)×h=2×号×元 3 选BCD. ×4×8=256rcm,B选项错误，对于C,设细沙流 3 入下部后的高度为h1,根据细沙体积不变可知 1024元= 81 子×(（合）)XA,解得A= 64 3 2.37cm,C选项正确；对于D,因为细沙的体积为 1024rcm,沙漏每秒钟漏下0.02cm的沙，所以 81 1024r B 图3 一个沙时为0.02 81 1024×3.14×50≈1985秒，D 81 10.BD【解析】如图，把三棱锥D,一BCC还原到长方 选项正确.故选ACD, 体中，四棱锥D,一ABCD的体积V=了×2X3X4 三、填空题 =8,三棱锥D-BCC的体积V,=3×2X3X4 1 1 12.2√3【解析】由题意知在直观图等腰梯形AB'C'D 中，A'B'=6,CD'=4,∠D'OB'=45°，则A'D'= ×2=4,则体积之比为2：1，所以A错误，D正确； 6-4 ∠D1DA=∠D1DC=∠BCD1=∠BAD1=90°，所 2 以B正确： c0s45 =√2，将直观图复原为原图，如图所示： O(A) 则AB=6,CD=4,AD=2V2,作CF⊥AB交AB于 ·90· 高三一轮复习A ·数学· 点F,则FB=2,CF=2√2，所以BC=√4+8= 所以AE=CE=√+-号a 2√3. 13.27【解析】如图所示，该几何体可视为直三棱柱 因为AC=√2a, BCE-ADF与两个三棱锥S-MAB,S-NCD拼接 所以S△E= 而成.记直三棱柱BCE-ADF的底面BCE的面积 为S,高为A,所求儿何体的体积为V,则S=子BE (5分) 设点D到平面AEC的距离为d, ·CE·in120°=号×3X3x5=9y5,因为两个 由VD-AcE=Va-Dac, 2 2 4 -Xd=a 直三棱柱相同，故h=CD=BC=33,所以V 4 2,解得d=6 , V三故柱WE-ADF十V三枚维s-AB十V三枚维S-ND=Sh十 35.1 则点D到平面AEC的距离为5。 6a. (8分) +号56=s%=27 (3)设球的半径为R, 则该球的直径为面对角线长，即2R=√2a, 解得R= 2a, 所以该球的表面积为4πR=2aπ. (13分) 16.解：(1)如图，正四棱台ABCD-ABC1D1的每个 侧面皆为全等的等腰梯形，分别取BC,BC的中点 为M,N,连接OM,ON,MV, 14512 过点M作MH⊥ON交ON于H, 【解析】依题意，要使正方体可以任意转动 9 O=MH=60 cm,O M=20 cm,ON=40 cm, 时，正方体体积最大，需使该圆锥的内切球恰为正方 HN=20 cm, 体的外接球.如图，作出圆锥轴截面和内切球的轴 故MN=√MH+HN严=20√10(cm),(3分) 截面， 所以正四棱台ABCD-AB1CD1的表面积为40 +80+4×2×(40+0)×20而=(800+ 4800√/10)(cm2). (8分) D B 设内切球的半径为，则可由San=×(83 0◆---1 =3X号×8Br,解得r=4,即此时正方体的外接球 直径为2r=8,设正方体的棱长为a,则有3a=8,解 (2)若将这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 得a=83 ，于是所求正方体的最大体积为V 则圆台OO的上下底面圆与正四棱台的上、下底面 正方形相切，高为正四棱台的高， ()-5 则圆台的上底面半径为20cm,下底面半径为 9 40cm,高为60cm, (11分) 四、解答题 15.解：(1由题知，V,1=子×号×号×aXa= a 则圆台0,0的体积为V1=号x(20+40+20X40) ×60=56000元(cm3). (15分) (3分) 17.解：(1)过B作BG⊥CD交CD于点G, (2)因为正方体的棱长为a,E为DD的中点， 则BG=AD=2,CG=2, ·91· ·数学· 参考答案及解析 则BC=√BG+GC=2√2， =18+4V2+4√3+2√/1Π. (15分) 则在Rt△BCF中，FB=√FC+BC=2√6， 若选(i): 在Rt△DCF中，DF=√DC+CF=4V2, VABCDEF =VB-ACFE+VD-ACFE 在Rt△ABD中，BD=√AD+AB=2√2， 四边形ACFE为梯形， 则BD十BF=DF,即BD⊥FB, .Sx(AE+FC)XAC 设点C到平面BDF的距离为d, 又Vc-BDF=VF-n, =2×(2+40x25=66. 即号×号×2Ex26×d=号×号×4X2X4,解 又EA⊥平面ABCD, ∴.平面ACFE⊥平面ABCD, 得d4 3 又：平面ACFE∩平面ABCD=AC, ∴过点D作AC的垂线即为四棱锥D-ACFE的 即点C到平面BDF的距离为4 3 (6分) 高，设为h, 过点B作AC的垂线即为四棱锥B一ACFE的高， 设为hg, .S△AcD= ADCD=AC H 即3×2×4= ×2V6XA,解得=5,0分) 1 E 又cOs∠ABC=AB+BC-AC D 2AB·BC C 2+(22)-(25)=- 2 ,∠ABC∈(0，)， (2)若选(1)： 2X2X2√2 取FC的中点H,连接AC,EH, 如∠Ac-号， 根据题意可知，四边形ACHE为平行四边形，BE= 2√2，ED=2√2，EH=AC=25, Sax=2AB·BC·sim∠ABC= zAC·h, ∴EF=V√EHF+FF=√(25)+2=26， 则DE+EF=DF,即DE⊥EF, 即宁X2X2厄×号=合X2后×，解得如 5ae=×2X2=2。 25 5 (12分) Sm=7×2EX4=4E, aV,-cE=子×6v5×45=8, 5 Sm=2×4X4=8, (10分) Sm=7×2E×26=45, V-=子×65×25=4， 5 则V ABCDEF=8+4=12. (15分) SamE=立X2X2=2,S#后做D=号×(2+4)X2 1 1 18.解：(1)将圆锥SO的侧面自母线SA剪开展开在平 面内，得到扇形ASA', =6. 则点B为弧AA'的中点，如图， 又EF=BF=2√6，BE=2√2， ∴△FEB的BE边上的高为√(26)-（√2） =√22， ∴Sam=×2EX2厘=2T, ∴.几何体ABCDEF的表面积为S△ABE十S△rCB十 S△FCD十S△FED十S△ADE十S△FEB十S格形ABCD =2+4√2+8+43+2+2√I+6 依题意，弧AA'的长为2π·OA=2π， ·92· 高三一轮复习A ·数学· 则∠A5A=-, 则子Rh=号x(2Rh-公)(R-), 则∠ASB=∠ASA'=吾， 整理得R2-3Rh十h=0, 又D为SB的中点， 因为<R,所以后-3 2 (10分) 则在△ASD中，由余弦定理得AD =√SA+SD-2SA·SDeos-号 =√3+(g)-2×3x多 2 2 R-h 所以A,D两点的距离的最小值为3 (8分) R 2 (2)依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方 体的一个面在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正 方体， O (3)设正四面体P一ABC内接“球锥”，顶点P与球 设正方体的棱长为x,沿正方体的对角面作圆锥SO 心重合，棱长为a, 的轴截面，如图， 则△ABC的外接圆半径为尽。 a,正四面体的高为 3a, 显然a>R时不满足条件， 当顶点A,B,C在圆锥底面圆周上时，a=R,R-h= A 0 G B 则EF=√Ex,FG=x, 显然△SSEF△SAB,有需 SO-FG SO 当？=1一时，作平行于圆锥底面的平面截正四 而S0=√/32-1严=2√2， 面体P一ABC,所得棱长小于R的正四面体均可内 接该“球锥” 因此-2，解得=22 2 2√2 3 (15分) 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”， 则正方体工件的体积V=-( -16√2 则京1-，且顶点A,B.C在球冠上， 27 (17分) 即a=R,且R-R 19,解：(1)把“球锥”切割成无数个小锥体， 由题意得球冠面积为S=2πRh, 义因为A<R,所以1-否<京<1 所有小锥体的底面积之和即球冠面积， 结合锥体体积公式得“球锥”的体积为V球雕=3 即会的取值范国为(1-，)。 (17分) 2aRM·R=号Rh (4分) (2)设圆锥的底面半径为r, 则r=R2-(R-h)2=2Rh-h, 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，V球=2V网维， 即号Rh=2X3x产(R-h, ·93·