(14)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 数列与充要性的 1 选择题 5 易 0.80 综合 2 选择题 5 并项求和法 易 0.78 等差数列与正切函 3 选择题 易 0.75 数的综合 等比数列、等差数列 4 选择题 5 易 0.72 与对数运算的综合 等差数列的实际 5 选择题 5 中 0.65 应用 等比数列与不等式 6 选择题 5 中 0.50 恒成立问题的综合 与等差数列有关的 选择题 5 中 0.45 新定义题 8 选择题 5 分期付款问题 难 0.28 等差、等比数列前n 9 选择题 6 中 0.65 项和的综合 平面向量与数列的 10 选择题 6 中 0.55 综合 递推数列的实际 11 选择题 6 中 0.35 应用 等比数列的性质与 12 填空题 一元二次方程的 √ 易 0.72 综合 与数列有关的新定 填空题 中 0.65 义题 14 填空题 5 分段数列问题 中 0.40 裂项相消法求和，证 15 解答题 13 易 0.82 明问题 等差数列与等比数 16 解答题 15 中 0.60 列的综合 ·81· ·数学· 参考答案及解析 等比数列的证明，错 17 解答题 15 中 0.45 位相减法求和 等差、等比数列与不 18 解答题 17 中 0.35 等式的综合 与数列有关的新定 19 解答题 17 难 0.25 义题 叁考答案及解析 一、选择题 2am-1,即a”=2(n≥2)，所以数列{an}是以2为首 1.A【解析】当am>0时，则Sm-S.-1=am>0(n≥2，n an- ∈N“),所以S>S1,即数列{Sm}是递增数列，所 项，2为公比的等比数列，所以an=2,由Aan≥ 以“对任意正整数n,均有an>0”是“{Sm}为递增数 2ga.十8，即22恒成立，令6,2，则 2 列”的充分条件；取数列{an}为-1,1,2,3,4，…，显 然数列{Sn}是递增数列，但是am不一定大于零，所 (cm）mm,而ca+1一cn= 1十2<0，所以c+1<c,即 2n+1 以“对任意正整数n,均有an>0”不是“{S}为递增 5 数列”的必要条件，因此“对任意正整数，均有am> 数列(cm}单调递减，故(c)mx=G=之，所以入≥ 0”是“{S}为递增数列”的充分不必要条件.故选A 号，所以入的最小值为号故选D, 5 2.C【解析】由a+1十am=n十3可知，S。 (a1十ag)+(a十a4)十(a5十a6)十(a,十ag)+ 7.B【解析】由三个非零且互不相等的实数x,x2,x (a4十a16)=4十6+8十10十12=40.故选C. 2x2=x1十x3 3.C【解析】由等差数列的性质可知，在等差数列 成等差数列且满足+女名得上十上一2： xI2 x3 {am}中S,S-S,S,一S仍为等差数列，所以 消去x2并整理得(2x1十x)(x1一x)=0,所以x1= 2(S,-S)=S,+S,-S,所以S,=21,故anS·r 4 五（合去）或=一2，则有=-，在集合M =tan2=tan(5x+平)=l,故选C ={x|x|≤100，x∈Z}中，三个元素组成的所有数 4.D【解析】设等比数列{am〉的公比为g(q>0).因为 列必为整数列，所以x必为2的倍数，又 4ai,2a,3a:成等差数列，可得4a十3a2=a,即 -<<-2l∈M,所以 4a1十3a1q=a1g,整理可得g-3q-4=0,解得g=4 |-2x1≤100，则|x1≤50，即x1∈[-50,50]，x ≠0，x∈Z,故这样的数组共50组.故选B. 或g=-1(舍去)，所以loga1。-loga1=loga= 8.C【解析】设小胡每月月底还款钱数为x元，根据等 logg4"=log3218=6.故选D. 额本息还款法可得：第1次还款后欠银行贷款为A 5.B【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数 =a(1十t)一x,第2次还款后欠银行贷款为A2= 按从小到大排列所得的数列记为{an},则a,一1既 a(1十t)2-x(1十t)一x,…,第12次还款后欠银行 是3的倍数，也是4的倍数，故am一1为12的倍数， 贷款为A12=a(1十t)12-x(1十t)1-x(1+t)1o 所以{am-1}是首项为0，公差为12的等差数列，所 …-x(1+t)-x=a(1+t)12-x[(1+t)山+ 以am=12n-11,令1≤am≤2200，即1≤12n-11≤ (1+t)+…+(1+t)+1]=a(1+t)12 2200,且n∈N,解得1长n<77,且n∈N,又184 -1)=a1+)+1=q+)] 1-(1+t) t <7<185,所以拾好获得1对春联的人数为18 因为贷款12个月还清，所以A2=0,即a(1十t)12+ 故选B 1-+)]=0,所以x=at1t) (1十t)e故选C. 6.D【解析】由Sa=2am一2，令n=1,解得a=2,当n 二、选择题 ≥2时，由/S=2a,-2 9.ACD【解析】对于A,由am=-2n十11，可得{an}是 Sm-1=2an-1-2 ,得am=Sn-Sn-1=2an 递减数列，a:>0,a6<0,故数列{am}的前5项和最 ·82· 高三一轮复习A ·数学· 大，故A正确：对于B,当a1<0,q>1时，等比数列 {an》也是递减数列，故B错误；对于C,S225= 13.8【解折】：x0)=号-2x+号x十1，了(x 2025(a十a25）=2025a11a,若S:62s>0,则a1o13 =-4x十号，∴f(x)=2x-4,令(x)=0,解 2 >0,故C正确；对于D,若{am}为等差数列，则S= 得x=2,而f2)=-8+令×2+1=1，故函数 ax叶n"d是-号ta号则器-各 2 f(x)关于点(2,1)对称，∴.f(x)十f(4-x)=2,am =2n-7,∴a1=-5,ag=9,∴.f(a1)+f(ag)=2,同 =号为常数，数列（停}也是等差数列，故D正确。 理可得f(a2)+f(a?)=2,f(aa)+f(as)=2,f(a,) 故选ACD. +f(a5)=2,.f(a1)+f(ag)+…十f(ag)=2X4 l0.ABD【解析】因为AB⊥AC,所以AB·AC=a =8. 2msin受-3=0，即a.=2asin受+3，所以a 14.603(214-2028)【解析】由a1=0,得a2=0, 进而得a3=2;当n为奇数时，a+1=2a,令n=2k 2sin号+3=5，a=6sin经+3=-3，A,B正确：由 1,k∈N,则a2k=2a24-1,当n为偶数时，aw+1=an十 2,令n=2k,k∈N“,则a张+1=a2十2=2a2s-1十2，则 通项公式a.=2sin"受十3可知《a,}不是周期数 a2+1+2=2(a2k-1十2)，又a1十2=2，所以 列，C错误；因为a4k+1十a4k+2十a4k+3十ak+t= {a张-1十2}是以2为首项，2为公比的等比数列，所 以a-1十2=2，即a2k-1=2-2,则a2k=2a2k-1= 2(4h+1)sin4k+1)r+3+2(4k+2)sin[(2k+ 2 2+1一4，当n为奇数时，由n=2k-1,k∈N",则k= 1)]+3+2(4k+3)sin4k牛3)r+3+2(4k+4)· 2 ”,所以a,=2学-2：当n为偶数时，由m=2,k sin[(2k+2)π]+3=8k十2十3+0+3 ∈N,则友=号，所以a.=2学-4，所以an= (8k十6)十3十0十3=8，k∈N,所以数列{am}的前 10项和为19×8=20，D正确，故选ABD, 12号-2(n为奇数) 所以a16=2一4=60，所以 2生-4(n为偶数) 11.BCD【解析】“斐波那契数列”为0,1,1,2,3,5,8， S22s=(a1十a3十…十a225)十(a2十a4十…十a2o24 13,21,34,55,89,…,因为a2=a,所以该数列不是 十a226)=(2-2+22-2十…十2113-2)+(22-4十 一个递增数列，故A错误；因为a12=89,即89是该 20-4十…+264-4)=21-2o3)-2×1013十 数列的一项，故B正确：因为a1=0,a2=a=1,aa+2 1-2 =am+1十am(n≥1)，所以ai=a2·a,ai=a2· 4(1-201)-4X1013=3(244-2028). 1-2 (a-a1)=ag·a3-a2·a1,ai=a4·(a4-ag)= 四、解答题 a3·a4一a3·a2,…,a=am·(am+l-aa-l)=an· a+1一an·a-1,所以af十ai十…十a2=am·a+1, 1,解：（①油题点知，当≥2时是 故C正确；因为am+2=a+1十an(n≥1)，两边同时 a,=aX…XaX2Xa 除以a+1(a1≥0).可得=1十又随者n an-1 a2 al @n+l (3分) 的增大，。逐渐趋近于一个常数，所以-1十 当n=1时，a1=2满足am=2, ,解得=5,1（负值已舍去），故D正确.故 综上所述，an=2n. (5分) 2 44 选BCD. (2)(1)由(1)知，6.=a·a+e Γ2n·2(n十2) 三、填空题 (7分) 12.一1【解析】在等比数列{an中，由题意知a4十a20 =-3,a4·a20=1,a4<0,a20<0,所以aie=a4·a20 8=(1-+-+-++ =1,由等比数列的性质可知a12=a4g<0,所以a12 1 =-1. ·83· ·数学· 参考答案及解析 =号(1+点中) 所以am-2=3”, 即a=3"十2. (7分) 2n十3 4一 2(n十1)(n+2)1 (10分) (3)由(2)得，b.=(2n-1)·(am-2)=(2n-1)· （)南1)加5=是n5< 2n+3 3”, (8分) 所以T.=3+3×32+5×33+…+(2n-1)3", (11分) 3Tn=32+3×3+5×3+…+(2n-3)3”+ 又6.=m+2>0, (2n-1)3+1, 两式相减得-2T.=3十2(32十33十…十3”)一 ∴.{Sm}单调递增， (2-1)3m+ 5≥5=6= =3+2×32(1-3）-（2m-1）3* 1-3 即子<s,< (13分) =(2-2)3+1-6, 16.解：(1)设{am}的公差为d, 所以Tn=(n-1)3+1十3. (15分) 由s=6+544=35, 18.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 所以a1十2d=7. 因为a=1,S=7a1+791=7+21d=70, 又因为a1,a4,a1a成等比数列， 解得d=3, 所以ai=aXa13, 所以am=a1+(n-1)d=1十3(n-1)=3n-2. 即(a1+3d)2=a1×(a1+12d), (3分) 即3d=2a1d, (4分) 设{b}的公比为q, 又因为d≠0， 因为b2=a；=3×6-2=16, 所以3d=2a1, (5分) b2+b=b2(1+q)=16(1+g)=80, 所以a1=3,d=2, (6分) 解得q=4, 所以am=2n十1. (7分) 所以bn=b2q”-2=16×4"-2=4. (5分) (2)由题意可得2=1+1 (2)因为a号+1-a=(a+1一an)(a+1十an)=3(am 十an+1), (6分) 所以品=+ (9分) 当n为偶数时，Tm=(-a十a)+(-a十a)十 (-a十a)十…十(-a1十a) 因为=日十十>甘 1 =3(a十a:十a十…+an)=3n.a十a 2 所以m<号， (12分) =3m.3n-1_9m2-3m 2 (8分) 又m∈N”,所以m=1或m=2, (13分) 2 当m=1时，n=1,与m<n矛盾， 当n为奇数时，T,=T。-1一a 当m=2时，n=7,符合条件， =9(n-1)_3(m-1)-(3m-2) 所以m=2,n=7. (15分) 17.解：(1)当n=1时，2a1+9=3a1十4，即a1=5, =-9m2+3n+4 2 (10分) 当n≥2时，2Sm+9=3an+4n①， 9n2-3n n为偶数 2S-1十9=3am-1十4(n-1)②， 2 所以T, (11分) ①-②，得2an=3am-3am-1十4， -9m2+3n+4 即an=3am-1一4， 2 n为奇数 所以am-2=3(am-1一2) (3分) (3)因为c=b.6=4十，】 因为a1-2=5-2=3, (4分) 所以数列{an-2}是首项为3，公比为3的等比数 -：=(+)广-(4“+)=2.2分) 列. (5分) (2)因为{am一2}为等比数列， 令d,=a-4=3m-6 c-c22X4m ·84· 高三一轮复习A ·数学· 则当≥2时d,-d1-驭裂是 (k十1)(2十k)-k=log29 2X4-1 即〈 (k+1)(3k十4)-k=1og2q =3n-6-4(3n-9)_30-9n 2X4”, (13分) 解得k=一1,9=2. 2×4m 当2≤n≤3时，dm>dn-1,即d<d<d, 又由a1=a1十log2b, 即4=2+logb1, 当n>3时，dn<dn-1,即d>d>d>…, 所以数列{d)的最大项为d,= 得b=4, (15分) 所以b,=2+1 因为≥4。一4恒成立， 检验可知k=一1符合要求， CM一C2m 故数列{b,的通项公式为b,=2+1. (10分) 、3 所以≥d=128, (3)因为{am}为“k数列”， 所以a+1一Tm=k, 即实数入的取值范围为[品十) (17分) 即am+1=a1a2ag·…·a,十k对任意的n∈N”恒 19.解：(1)若a=1, 成立， 则a+1=1,Tm=1, 因为a1>1,k>0, 故am+1-Tm=1-1=0, 所以a2=a1十k>1. 所以此数列是“k数列”，其k值为0. (3分) 再结合a1>1,k>0,a2>1,反复利用a+1=a1a2a· (2)设数列{bn}的公比为g(q>0), …·an十k, 由bn=2mTn, 可得对任意的n∈N“,am>1. (13分) 得Gn=T.十log:b., 设函数f(x)=lnx-x十1， 即G,= 则f(x)=1-1. a5=a1a2a3·…·am十log2bn, 由f(x)=0,得x=1 则Ga+1= a=a1a2a3·…·amaa+1十log2b+l 当x>1时，f(x)<0, 所以f(x)在(1，十∞)上单调递减 两式相减得ai+1=a1a2a·…·am（am+1一1)十 所以当x>1时，f(x)=lnx-x+1<f(1)=0, log2 b+1-logz ba, 即lnx<x-1(x>1. 即a+1=a1a2a3·…·an(an+1-1)+log2g.(6分) 因为{an}是首项为2的“k数列”， 又am>1, 所以lnan<an-1. (15分) 所以am+1一Tn=k, 可得lna1<a1-1,lna2<a2-1,…,lnan<an-1, 即a1a2a3·…·a,=aa+1-k, 累加可得ln1十lna2十…十lnan<a1十a2十…十an 所以a+1=(am+1-k)(am+1-1)十log2q, 一n, 即(k十1)am+1=k十log2g对任意的n∈N”恒成立. 即ln(a1a2·…·am)<Sa-ny (8分) 即lnTn<Sn-n, 因为a2=T1十k=a1十k=2十k, 所以Sm>lnTn十n. (17分) a3=T2十k=a1a2十k=2(2十k)+k=3k+4, (k+1)a:-k=log:q 则 (k+1)aa-k=log2q ·85·高三一轮复习周测卷/数学 (十四)数列求和、数列的综合应用 （考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.记Sn为数列{an}的前n项和，则“任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知数列{an}(n∈N)满足a1=1,前n项和为S,对任意正整数n都有an+1十am=n十3，则 S10= A.18 B.28 C.40 D.54 3.在等差数列{am}中，S3=3,S6=10,则tan Sg·r= 4 A.-1 B.0 C.1 D.2 1 4.已知{a,}是正项等比数列，若4a1,2ag,3a2成等差数列，则logsa10一logsa= A.3 B.4 C.5 D.6 5.2025年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天 内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1 的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2200人，则恰好获 得1对春联的人数为 A.183 B.184 C.185 D.186 6.已知Sm为数列{an}的前n项和，且Sn=2am一2，若am≥2log2am十3对任意正整数n恒成立，则 实数入的最小值为 A.4 C.3 5 0.2 7.若三个非零且互不相等的实数，成等差数列且满足】十1=2 ,则称x1,x2,x3成一个 TI T2 x3 “B等差数列”.已知集合M={x|x≤100，x∈Z},则由M中的三个元素组成的所有数列中，“B 等差数列”的个数为 A.25 B.50 C.75 D.100 数学第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 8.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款α元用来购买该电 动汽车，银行贷款的月利率是t,并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4 月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款 A.a(1+t)12元 B.a(1+t) 一元 12 C元 at(1+t)12 D.12La+t-1万元 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若数列{am}的前n项和为Sn,则 A.若an=一2n十11，则数列{am}的前5项和S5最大 B.若等比数列{an}是递减数列，则公比q满足0<q<1 C.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S225>0,则a1o13>0 D.已知a为等差数列则数列也是等差数列 10.已知向量AB=(a.,-1),AC=1,2sin+3）,n∈N,AB⊥AC,则 2 A.a1=5 B.a3=-3 C.数列{an}是周期数列 D.数列{an}的前100项和为200 11.斐波那契数列指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，在数学上，斐波那契数列以 递推的方法定义如下：F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n一1)+F(n-2)(n≥2，n∈N*).在现代 物理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出 版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上 描述，以下说法正确的是 A.该数列是一个递增数列 B.89是该数列的一项 C.从前l0项可以看出，设第n项为am,则a十a十…十a2=anam+1 D.设第n项为a,随着n的增大，逐渐趋近于一个常数k,则=51 an+l 2 班级 姓名 分数 题号 2 6 10 11 答案 三一轮复习周测卷十四 数学第2页（共4页） A 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知数列{an}是等比数列，a4和a2o是方程x2十3.x十1=0的两根，则a12= 13.设f(x)是函数y=f(x)的导数，f"(x)是f'(x)的导数，若方程f'(x)=0有实数解x,则称点 (x,f(xo)为函数y=f(x)的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就 是对称中心.设fx)=32-2r+令x十1，数列{a的通项公式为a.=2n一7，则fa)十 f(a2)+…+f(a8)= ∫2an,n为奇数 14.已知数列{an}满足am+1= a1=0,则a10= ;设数列{an}的前n项和为 a,十2，n为偶数 Sn,则S2026= ·(第二个空结果用指数幂表示)（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列(an}满足a1=2,am+1=n十] an n (1)求数列{am}的通项公式； (2)设b,=4 an·ant2 (i)求数列{bn}的前n项和Sm; (1)求证：写<S,< 16.(本小题满分15分) 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sm,S5=35,a1,a4,a13成等比数列. (1)求{an}的通项公式； (2)若m<,且上，上，上成等差数列，求出所有的正整数，n. a am an 17.(本小题满分15分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,且2Sm十9=3an十4n. (1)证明：数列{an一2}为等比数列； (2)求数列{am}的通项公式； (3)记bn=(2n-1)·(am一2)，求数列{bn}的前n项和Tm 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知{an}是首项为1的等差数列，其前n项和为Sn,S,=70,{bn}为等比数列，b2=a6,b2十b3 =80. (1)求{am}和{bn}的通项公式； (2)求数列{（一1）”a}的前n项和Tn; (3)记c,=,+,若A≥对任意n∈N"恒成立，求实数入的取值范围。 c2-C2n 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}的前n项积为Tm定义：若存在k∈Z,使得对任意的n∈N*,an+1一Tn=k恒成 立，则称数列{an}为“k数列” (I)若an=1,判断数列{an}是不是“k数列”，若是，求出k的值；若不是，试说明理由； (2)若a1=2,且{an}为“k数列”，{an}的前n项的平方和为Gn,数列{bn}是各项均为正数的等比 数列，满足bn=2G。-T,求k的值和〈bn}的通项公式； (3)若a1>1,k>0,且{am}为“k数列”，{am}的前n项和为Sm,证明：Sm>lnTm十n. 三一轮复习周测卷十四 数学第4页（共4页）】 A