(21)解析几何的综合(含圆与圆锥曲线)-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (二十一)解析几何的综合（含圆与圆锥曲线） (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.直线a.x+y+a=0与圆x2+y2=4的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.与a的取值有关 2.如图，某双曲线型笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为2√2且焦距为4√6cm的双曲线的一 部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为 A.√3cm B.2√3cm C.2√5cm D.2√6cm 3.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F且斜率大于0的直线l交C于A,B两点，若AB= 6,则1的斜率为 A号 B.√3 c号 D.√2 4.已知M是一个动点，MA与直线y=x垂直，垂足为A,MB与直线y=一x垂直，垂足为B.若四 边形OAMB(O为原点)的面积为1，则动点M的轨迹方程为 A.x2-y2=2(x>0) B.x2-y2=2(x<0) C.x2-y2=2 D.|x2-y2|=2 5.已知圆(x一2)十y=1与双曲线若-芳=1(a>0,6>0)的一条新近线交于A,B两点，且 |AB=1,则该双曲线的离心率为 A.2 B.√13 C.2③ 13 n 6.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是 半圆，已知半椭圆器+若=1(2≥0a>>0且为常数)和半圆2十了=(y<0)组成的曲线C 如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点G,点M是半圆上任意一点， 当点M的坐标为（停，一号）时，△AGM的面积最大，侧则半椭圆的方程是 A.号+苦=1（≥0） B1+号-1(20) c2+号-1≥0 D号+2等-1(0≥0) 图 图2 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.已知焦点在y轴上的椭圆C,直线x十2y一m=0与C交于A,B两点，若线段AB的中点是M (1,4),则C的离心率为 A号 B号 c号 D 8.已知抛物线x2=8y的焦点为F,准线为直线1，过点F的直线交抛物线于A,B两点，分别过A, B作花物线的切线交丁点P.则AB的最小值为 A.1 B.√2 C.2 是 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) .已知点P是左，右焦点分别为F,F:的椭圆C:写+苦-1上的动点，则 A.△FPF2的周长为4√2+2 B.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为4 C.使△FPF2为直角三角形的点P有4个 D.PF-2PF2的最大值为6-2√2 10.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问 题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这 种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中A(一2,0)，B(2,0),满足PA=2PB的点P的 轨迹为C,则 A点P的轨迹是以C号，0)为圆心，-号为半径的圆 B.轨迹C上的点到直线3x一4y十5=0的最小距离为号 C.若点(x,y)在轨迹C上，则x十√3y的最小值是一2 D.圆x+(y-a)=4与轨迹C有公共点，则a的取值范围是-4yE≤a≤4y6 3a≤ 3 11.某学习小组用函数图象：C:y=4十√一x2十4z,C2:y=4十√一x2-4x和抛物线C3:x2=2y (p>0)的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C焦点F的直线1交C(包含边界点)于 A,B两点，P是C1或C2上的动点，则 A.抛物线C3的方程为C3:x2=4y B.IPB十|FB的最小值为4 CAB的斜率的取值范围为[一是，] D.△PAB面积的最大值为2 三一轮复习周测卷二十一 数学第2页（共4页） ® 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 1 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）》 2.设椭圆C:二十芳1(@>b>0)的左、右顶点为AA2,左、右焦点为F,F2,上、下顶点为B B2.若|A1F|=1,四边形AB,F2B2的面积为3√3，则C的离心率为 13.已知抛物线方程为C:y=2px(p>0),其焦点为F.①过F作直线交抛物线于A,B两点，以 AB为直径的圆与直线x=一1相切；②过F作斜率为√3的直线，与抛物线在第一象限内交于 A点，AF=4,以AF为直径的圆与y轴相切.在以上两个条件中任选一个，则p= 14.已知双前线C:x2一号-1的左、右顶点分别为A,B,点P是第一象限内双所线C上一点，直线 PA,PB的倾斜角分别为a,B,则2tana十tanB的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) y 已知双曲线C:京1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,C的右顶点D在圆立2士 =4上，且DF1·DF2=-1. (1)求C的方程； (2)点P在C上，且PF2⊥x轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B,求 |PA·IPB. 16.(本小题满分15分) 已知点F为抛物线C:x2=2py(0<<6)的焦点，P(4,y1),Q(1,y2)为抛物线C上两点，且 |PF1=5. (1)求C的方程； (2)求直线PF与QF的斜率之和； (3)若A为抛物线C上一动点，直线1：y=kx一是，且1∥PF,求点A到直线1距离的最小值 17.(本小题满分15分) 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=k.x-1. (1)若1与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若1与C交于A,B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为√2，求实数k的值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知离心率为的稍圆C:若+芳=1a>公>0)的右焦点为下，点P为稻倒上第一象限内的一 点，清见PF1x轴，且PF= (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率存在的直线1交椭圆C于A,B两点，A,B,F三点不共线. (i)若l的倾斜角为60°，且过C的左顶点，求|AB; (ⅱ)若直线AF和直线BF关于直线PF对称，证明：直线l过定点. 19.(本小题满分17分) 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的 交点G的轨迹是以椭圆的中心为圆心，√a十b(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长)为 半径的圆，这个圆被称为装日圆.已知辅圆C:亏+-1，FR,分别为辅圆C的左、右焦点，椭 圆C的蒙日圆为圆E. (1)求圆E的方程； (2)已知点A是椭圆C上的任意一点，点O为坐标原点，直线OA与圆E相交于S、T两点，求 证：AS·AT=AF·AF2; (3)过点B(1,0)作互相垂直的直线1，l2,其中1交圆E于P,Q两点，l2交椭圆C于M,N两 点，求四边形PMQN面积的取值范围. 三一轮复习周测卷二十一 数学第4页（共4页）】 B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二十一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 直线与圆的位置 1 选择题 5 易 0.94 关系 2 选择题 5 双曲线的焦距，实轴 易 0.85 直线与抛物线交点 3 选择题 易 0.78 弦问题 4 选择题 5 轨迹方程 易 0.73 选择题 求双曲线的离心率 中 0.70 直线与椭圆的位置 6 选择题 5 中 0.60 关系，椭圆方程 椭圆与直线，椭圆的 选择题 5 中 0.55 离心率 直线与抛物线，切 8 选择题 中 0.40 线，最值 椭圆中焦点三角形， 9 选择题 6 易 0.75 最值问题 直线与圆，轨迹问 10 选择题 6 中 0.55 题，阿波罗尼斯圆 创新题，抛物线中的 11 选择题 6 中 0.40 最值问题 椭圆的方程与离 12 填空题 易 0.85 心率 抛物线焦点弦有关 13 填空题 5 中 0.60 的几何性质 14 填空题 5 双曲线中的最小值 难 0.25 双曲线的方程和 15 解答题 13 易 0.80 性质 直线与抛物线，最值 16 解答题 15 中 0.70 问题 ·125· ·数学· 参考答案及解析 直线与双曲线的位 17 解答题 15 置关系，求参数或 / 中 0.60 范围 椭圆的标准方程、求 18 解答题 17 弦长，直线过定点 中 0.40 问题 蒙日圆，椭圆弦长， 19 解答题 17 难 0.15 面积的取值范围 ① 昏考答案及解析 一、选择题 1.A【解析】直线ax十y十a=0恒过定点(-1,0)，而 G 点(-1,0)在圆x2十y2=4内，所以直线与圆相交.故 选A. 2.B【解析】依题意可得2c=4V6m,=22,所以 c=2√6cm,a=√3cm,所以该笔筒中间最窄处的直 径为2a=2√3cm.故选B. M 3.C【解析】依题意F(0,1),设直线AB的方程为y= 要使△AGM的面积最大，可平行移动AG,当AG与 kx+1(k>0),由{ 自)=6红十得一4x-4=0,所以 半圆相切于M(停，一合)时，M到直线AG的距离 xA十xB=4k,所以|AB|=yn十yg十p=k(xA十xB) 最大，此时OM⊥AG,即kaM·kG=一1，又kM= +2+2=铁+4=6，解得6-号放速C 2 4,D【解析】设M(x,y),所以点M到直线y=x的距 号k如=，所以-号·号=-1，解得 2 离d=,到直线y=-x的距离d, 2 义，Saaw=dd,=士之=1，即1x =√2b= ,所以半椭圆的方程为号+等=1 3 √2 2 (y≥0).故选D. y2|=2.故选D. 5.D【解析】圆(x-2)2十y2=1的圆心为(2,0)，半 7.B【解析】设C:兰+ 62 =1(a>b>0),A(x1,y1), 径=1，双曲线后一芳=1a>0,>0)的渐近线方 B(x2,y2),则 /x十x2=2 +- 程为y=土，即bz士ay=0,因为|AB1=1,所以 y十=8，因为 a + ,两式 =1 a 圆心(2,0)到双曲线的渐近线的距离d= 相被可得二正+立=0，整理可得兰 √-（兮）-当，解得6即分 a b x-xi 62+a x1一x2x1十x2 2-。=,所以=1区，即该双商线的离心 13 =宁所以C的离心率为=√吾-号故 率为4 2.故选D. 选B. 6.D【解析】由点M(停，-号)在半圆上，所以6 8.D【解析】依题意焦点F的坐标为(0,2)，准线为直 线l:y=一2，不妨设A(x1,y1),B(x2,y2), 1OM=号，由椭圆方程可知图中G(0,a),A(一b,0), 2 ·126· 高三一轮复习B ·数学· C(号0)为圆心，=号为半径的圆，故A正确：圆 心c(9,0)到直线3x-4y十5=0的距离d 3×9-0+5 =3>1=8 ,所以轨迹C上的点到 直线3x-4十5=0的最小距离为4-=3-号 P-2 直线AB的方程为y=kx十2，联立y=kx十2与x2 号，故B错误：设t=x十5y,易知圆心C(90)到 8y,得x2-8kx-16=0,从而x1十x2=8k,x1x2= -16,y1+y2=kx1+2+kx2+2=8k2+4,所以|AB 直线t=x十√y的距离d, =十为十4=8服十8，由题意y=名2，所以y 则：∈[-2，]，故C正确：易知圆r+(y-a) x,故抛物线过点A,B的切线方程分别为y一= 1 4的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题 (x)y=十（红一），解得点P的 1 意，则周心距d:-√四+G∈[号，号+2]，解得 坐标为(4k,一2)，所以1PF|=√16k+16= ≤a<,故D正确.枚选AD 4W6 4屋干T,从而AB+-张+8=2屋+T十 3 PF4√+I 1 4+1 令=干打≥1，由函数y=21+在 [1,十∞)上单调递增，所以当t=1,即k=0时，函数 取最小值，故D正确，故选D, 二、选择题 .D【解折】A选项，由椭圆方程后十兰-1，所以。 x=-5y-2 =8,6=4,所以c2=a2-6=4,所以△F1PF2的周 长为2a十2c=42+4,故A错误；B选项，△F1PF 11.ACD【解析】C:y=4十√一x十4z可变形为(x 的面积为S=6an∠E,PE-4,故B正确：C选项， -2)+(y-4)2=4(y≥4)，表示以C1(2,4)为圆 2 心，2为半径的圆的上半部分；C:y=4+ 当PF⊥FF,或PF2⊥FF2时，△FPF2为直角三 /一x-4x可变形为(x+2)2+(y-4)2=4(y≥ 角形，这样的点P有4个，设椭圆的上、下顶点分别为 4),表示以C(一2,4)为圆心，2为半径的圆的上半 S,T,则|FF2|=4,|OS|=2,所以1OS|= 部分.对于A,抛物线C3:x2=2py过点(4,4)，解得 是FR,同理OT=Er,知∠ESF, p=2,C:x2=4y,故A项正确；对于B,抛物线C: x2=4y的准线为l':y=-1,过点B作BB⊥1，垂 ∠F,TF2=90°，所以当P位于椭圆的上、下顶点时 足为B1, △FPF2也为直角三角形，其他位置不满足，综上， 满足条件的点P有6个，故C错误；D选项，由于 |PF1|-2|PF2|=2a-IPF2|-2|PF2|=4V2- 3|PF|,所以当|PF2|最小，即|PF2|=a-c 22-2时，|PF|-2|PF2|取得最大值6-2√2， 故D正确，故选BD, 10.ACD【解析】设P(x,y),由|PA|=2|PB|,得 (x十2)2十y2=4[(x-2)十y2],整理得 B1 (罗)广+=等，显然点P的轨迹是以 则|BF|=IBBI,则IPB|十FB|=|PB|+ ·127· ·数学· 参考答案及解析 |BB|≥dp-t≥4十1=5，故B项不正确；对于C,设 AB的斜率为，由图知，己。<k<吕司：即一号 在R△ABF中，由已知条件可得，∠AFB=号， <k≤，故C正确：对于D,由对称性只考虑k∈ 1AF|=4,所以BF=之|AF=2,则x=号十 [0,是]的情况，不妨设1：y=kx+1(k≥0)，显然离 2,所以4-号=号+2，解得p=2. l最远的点在C,上，且dp-1≤d,1十r= 14.2W6 【解析】因为双曲线C:r-苦-1.所以a 器+联立湖去理得史 1,设P(m,n)(m>0,>0),则m2- √+I =1，可得 -4kx-4=0,则xA十xB=4k,xA·xB=-4,则 2=3(m2-1),又因为A,B分别为双曲线C:x2 |AB|=√1+k√(xA十xB)-4xAxB 3 =1的左、右顶点，可得A(-1,0),B(1,0),所 4(+1),所以S6B=合1AB|Xd-1≤2 1 以tana·tanB=kp·kp= n=n m十‘m=m 4s+1(+)-2T+ =3. 4(k2+1),设h(k)=2√+1(2k十3)+ 4(+1),易得6)在[0，子]上单调递增，所以 Sa心的最大值为h()=,故D项正确，故 选ACD. 三、填空题 12号 a-c=1 【解析】由题意可得， ,又因为 (a+c)b=33 c=1 a2=十c2,解得 a=2,所以C的离心率为2 1 又由tana>0,tanB>0,所以2tana+tanB≥ b=√3 2√2 tan atan B=26,当且仅当2tana=tanB=√6 13.2 【解析】若选择条件①：设A(xy), 时等号成立，所以2tana十tanB的最小值为2√6. B(xy),则以AB为直径的圆的半径R=1十型 四、解答题 2 15.解：(1)由题意D(2,0), 十1，根据焦点弦的弦长公式可得，以AB为直径的 又D(a,0),即a=2, (1分) 圆的直径2R=十十p,所以半径为4十型十 又F(-c,0),F2(c,0), 2 台则5士+多-产+1，解得♪=2.若选择 由DF·DF2=-(c+a)(c-a)+0=-b=-1, 2 2 2 即8=1， (5分) 条件②：因为以AF为直径的圆与y轴相切，所以圆 所以c,若-y=1. (6分) x十乞 的半径为2，则2之=2，即x1=4-号过点A (2)由(1)知，F2(W5,0), 作x轴的垂线，垂足为B,如图， 将x=5代入双曲线，得y=士， (8分) y个 令p(5,2) 又双曲线渐近线为x士2y=0, (9分) 如下图示， ·128· 高三一轮复习B ·数学· 所以k的取值范围是(-√2，-1)U(-1,1)U (1,W2). (7分) (2)设A(x1y1),B(x2y2), 由(1)知双曲线C与直线1联立的方程为(1一k)x 十2kx-2=0. 2k 2 由韦达定理得西十戏=一x=一1二友， 则|AB|=√1+|1-x2 所以PA=51,PB1=E+1 =√/1十k·√/(x1十x2)-4x1x √5 则IPA·PB=专 =·(汽)-() (13分) 16.解：1D由题意可得y=68。 =√1十. 8-4k 1-2T, (10分) 2p p 所以号十专=5，解得力=2或p=8(舍去)， 又0到直线1的距离d=一1 √I+k2 D 所以C的方程为x2=4y. (4分) 所以△OAB的面积Sas=号AB·d (2)由(1)知，F0,1),P(4,4),Q(1,) /2-k =E, 1 3 解得=0或k= 2 则直线PF与直线QF的斜率之和为O. (8分) 又因为一√2<k<√2且k≠士1， (3因为1/PF且直线1：y=-号， 所以k=0或k= 2 (15分) 所以1的方程为y=子：一亭，即3一y一6=0 18.解：)因为椭圆C的离心率为分， (11分) 所以台=之 设A(,n),则m2=4n, 点A到直线l的距离d=3m一4n-6 又PF=,PFLx轴， /32+(-4) =3m-m2-6 所以点P(c,号)在椭圆C上， 5 9 -(m-是-| 代入椭圆方程，有 4 a+ =1, 5 解得=3， 4 5 ≥子，当m=时等号成立， 且=a2-c2=a2-g=3a 44 可得a2=4, (14分) (5分) 则点A到直线1距离的最小值为子 所以椭圆C的方程为号+芳=1，. (15分) 17.解：(1)直线1与双曲线C有两个不同的交点， 则方程组一y=1 {V=红一】有两组不同的实数根， 整理得(1-k2)x2+2kx-2=0. 则△=4k-4(1-k2)·（-2)>0’ 解得一√2<k<√2且k≠土1， ·129· ·数学· 参考答案及解析 (2)(i)由题意得l:y=(x十2)， 设A(x0,y), y=3(x+2), 联立 则号+对=1， +苦-1 得5x2+16.x+12=0, 所以-1一吾， 解得x=-2或x=- 6 又F(-√2,0)，F2(2,0), 所以1AB1=B)百×-2+号=号 所以|AF:|=√/(x十√2)'+8 (8分) -√+)+1-号 (i)由(1)得F(1,0), 设直线l的方程为y=kx十， =√36+2Ex+3=5+ 2 30, (4分) (y=kx十m, 联立专+号- 同理|AF:|=3- 320, 整理得(3十4k2)x2十8kmx十4m2-12=0,(9分) 所以AR,·AE:=3-号， (6分) 因为直线（交椭圆C于A,B两点， 所以△=48(4k2-m2+3)>0, |AS·|AT|=(2+|OA|)·(2-IOA|) 设A(x1,y),B(x,y2), =4-|OA|2=4-x8-y8 所以x1十x2= 3十4- 8km 4m2-12 =4-店-(1-合)=8-子， 3+4k2 ,(12分) 因为直线AF和直线BF关于直线PF对称， 所以|AS|·IAT|=|AFI·|AF2|. (8分) (3)①当1斜率不存在，2斜率为0时， 所以w十=气十兴 l的方程为x=1, =kx1十m+kx十" 原点到4的距离为d=1, x1-1 x2-1 所以|PQ|=2√/4-d=25,|MN|=23, =2kx+(m-k)(x十x)-2m=0, (x1-1)(x2-1) (14分) 所以四边形PMQN的面积S=号IPQ· 所以2kx1x2十(m-k)(x1十x2)-2m |MN|=6: (9分) =2k×是2+(m-k)×3于0 -8k1m 3+4k2 -2m=0, ②当4斜率存在，2斜率不为0时， 所以8kn2-24k-8km2+8k2m-8mk2-6m=0, 设l2的方程为x=my十1， 解得m=一4k. (16分) 则l1的方程为y=-m(x-1), 所以直线I的方程为y=kx一4k=k(x一4)， 即mx十y-m=0, 所以直线（过定点(4,0）. (17分) 则原点到（的距离为d山，=m 19.解：1D在椭圆C:亏+=1中，a2=3,6= √m2+1 所以|PQ|=2√/4-d 所以所求圆E的方程为x2十y=4. (3分) 3m2+4 (2)如图， =2√4 m2+1 =2√m+1 (11分) 设M(xy),N(x,y), (x=y+1 联立2与C的方程，即 号+- 消去x得(m+3)y2十2my-2=0, 由于B(1,0)在椭圆C内部， 0 21 y1十y2= m2+3 所以直线2与C必相交，且 -2 yIy:=- m2+3 所以|MN|=√1+m2|y一y2 ·130· 高三一轮复习B ·数学· =√1+m√/(y十y)-4yy2 2m 42 -2√层+3 n2+3 =2V5()-F, =2V3(1十m)(m+22 m2+3 因为t≥3， 因为4⊥l2, 所以c(0,], 所以四边形PMQN的面积S=PQ·MN 令u=,则ue(o,号]， 3m+4.23(m+1D)(m+22 =入m+1 m2+3 则s=25V5(u-台)广-于在ue(o,]上单调 =23(3m+4)(m+2) 递减， m2+3 =2 3(3m+4)(m+2) (14分) 当u=时，45 3 (m2十3)2 当u=0时，S=6, 令t=m十3(t>3), 则n2=t-3, 所以s∈[5.6 放s=|PQ·MN =2√D0D 综上s∈[56 即四边形PMQN面积的取值范围 [6] =2√/m8+西 (17分) ·131·