(19)直线与圆、圆与圆-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 两直线平行与充要 1 选择题 5 0.88 条件的综合 易 选择题 5 圆的方程，圆的切线 易 0.85 直线与圆的位置关 3 选择题 5 易 0.80 系、弦长最值 两圆的位置关系，圆 4 选择题 5 易 0.73 的弦长 判断圆与圆的位置 选择题 中 0.70 关系 由圆与圆的位置关 6 选择题 系求参 L 中 0.60 直线与圆，圆与圆的 7 选择题 5 位置关系、求角度的 √ 中 0.55 最值 判断圆与圆的位置 8 选择题 5 关系、两圆的公共弦 中 0.40 长，求最值 由直线的方向向量 求直线方程、直线的 9 选择题 6 √ 中 0.65 倾斜角、直线的点斜 式方程 切线长、直线与圆的 10 选择题 6 位置关系，距离的 L 中 0.55 最值 创新题型，直线与圆 11 选择题 6 的位置关系，求距离 中 0.40 的最值 12 填空题 5 轨迹方程 易 0.85 与圆有关的最值 13 填空题 中 0.60 问题 ·111 ·数学· 参考答案及解析 14 填空题 5 直线的方程，最值 难 0.30 由直线与圆的位置 15 解答题 13 关系求圆的方程与 易 0.80 参数的值 16 解答题 15 直线与圆，圆的方程 中 0.70 圆的方程、弦长的 17 解答题 15 中 0.60 最值 情境题，多圆相切问 18 解答题 17 中 0.40 题、圆的弦长 轨迹问题，直线与圆 19 解答题 17 的位置关系、弦长， 难 0.15 坐标法的应用 考答案及解析 一、选择题 圆M的半径分别为1=号=2，又-1<PQ 1.C【解析】由l1∥l2,可得a2-1=0,解得a=1或a =-1,当a=1时，两直线重合，不合题意；当a=-1 <r1十r2,所以点M的轨迹与圆Q相交.故选D. 时，两直线平行.故选C. 6.B【解析】以原点为圆心，以m为半径的圆的方程为 2.A【解析】由题得C(3,3),|PC1= x2十y2=m2,则点A、B,点P在该圆上，当两圆有公 共点时，圆C上一定存在点P,使得∠APB=90°，由 √3-（一1）+(3-0)产=5，圆的半径为r=2√2， 圆C:(x十5)2十(y-12)2=9,则圆心C(-5,12), 所以1PQ=√TPC=F=√/25-8=√I7.故 半径r=3,10C|=√25+144=13，则|0C|-r≤m 选A. ≤|OC十r,解得10≤m≤16.故选B. 3.C【解析】直线l过点P(1,2),圆C:(x-2)2+ 7.C【解析】由圆C:(x-3)2十(y-3)=2可得圆 (y+1)2=14的圆心为C(2,-1),半径为r=√14， 心C(3,3),半径为√2，由圆O:x2+y2=1,可得圆心 且P在圆内，当CP⊥1时，圆心C到直线l的距离最 0(0,0),半径为1,0C|=√3+32=3√2>1+ 大为d=|PC=√0，此时，直线1被圆C截得的弦 2,即两圆相离，示意图如下，连接OP,则在 长最小，最小值为2√-正=4.故选C. 4.C【解析】由题意可知MN|=2√，则点O到MN R△A0P巾，如号=80=，当a取最大值 的距离d=√22-（√3）2=1，又点P到MN的距离 时，IOP取最小值，则当P为线段OC与圆C的交点 时，两切线所成角最大，此时|OP|=|OC一√2= 为25×号=3，则0P的长度为4，而0P的长度为 4的点有且仅有两个，即满足条件的点P有2个.故 2E.n号-0n2万所以osa-1-2m号 选C. =1-2×日=是故选C 5.D【解析】设点M的坐标为(x,y),MB|=2MA, 得√(x+2)+y=2W√(x-1)2十y,化简得x2 4x十y2=0,即(x一2)2+y2=4,所以点M的轨迹是 以P(2,0)为圆心，半径为2的一个圆.易得点Q的坐 标为（一号，0），则两圆的圆心距为PQ=号，圆Q, ·112· 高三一轮复习B ·数学· √/(-6+3)+(9+1)2-4√3=√/109-4√3，即 |PM+|MQ的最小值为√109-4√3，D正确.故 选D. 二、选择题 9.AD【解析】因为直线L的一个方向向量n= (1,一√3)，所以直线1的斜率k=一√，又直线1经 过点（一2,0），代入点斜式方程可得y一0= 8.D【解析】对于A,C1:x2十y2-2x一4y-7=0和圆 一√5(x十2)，即直线l的方程为V3x十y十2=0. C:(x+3)2十(y十1)2=12，圆心和半径分别是 对于A,将直线√3x一3y+1=0化为斜截式方程，可 C(1,2),C2(-3,-1),R1=25,R2=23,则两圆 得y-号x十合斜率为气又直线1的斜率k= 心中点为(-1,2)，若圆C和圆C关于直线8x十 5,因为×(-)=-1，所以直线1与直线 6y一5=0对称，则直线是CC2的中垂线，但两圆心 中点(-1,7)不在直线8x+6y-5=0上，故A错 3x-3y十1=0垂直，故A正确；对于B,由直线（的 斜率为k=一√3，设直线l的倾斜角为a,a∈ 误；对于B,两圆方程相减得公共弦方程为8x十6y十 [0°，180°)，则tana=-√3，所以a=120°，故B不正 5=0,C到直线8x十6y+5=0的距离d= |8+12+5 确；对于C,令x=0,代入直线l的方程3x十y十2√3 -5 10 ，故公共弦长为 =0,得y=一2√，即直线（在y轴上的截距等于 2√(2)-（号）=V2,B错误：对于C,圆心距 一2√，故C不正确；对于D,l与直线x十3y十2=0 的交点为（一2,0），在x轴上，故D正确.故选AD. 为√/1+3)+(2+1)下=5，当点P和Q重合时， 10.BCD【解析】对于A,因为圆C:(x-2)2+y=1, |PQ的值最小，当P,Q,C1,C2四点共线时， 所以圆心C(2,0),半径r=1,则圆心C到直线l:x |PQ|的值最大为5+4√3，故|PQ|的取值范围为 十y=0的距离为2=2>1，所以直线与圆相离， [0,5十4√3]，C错误；对于D,如图，设C关于直线 x-y十8=0对称点为A(m,n), 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为√见 -1≤d长E+1,故A错误：对于B巨-1<<瓦 十1，所以圆C上有两个点到直线1的距离为号，故 B正确：对于C,由圆的性质，切线长|PA= √TPC-r=√PC-I, 1-m m=-6, 则 m+1时2+8=0， 解得 即C关于直 n=9, 2 线x-y十8=0的对称点为A(一6,9)，连接AC2交 直线于点M,此时|PM+|MQ|最小，|PM|+ |MQ|=|MC|+IMC|-4√5≥|C2A|-45= 当|PCI最小时，|PA|有最小值，此时CP⊥l,即 ·113· ·数学· 参考答案及解析 PC1mm=√2，则|PA|mn=√（√2）-r2=√2-I (2x-4)2+(2y-2)2=4,化简得(x-2)2十 =1,故C正确；对于D,四边形ACBP的面积为S (y-1)2=1. Sa+Sa=2X合XIAP|×IACl= 13.-5+35 -5-3V5 8 8 【解标】表示圆上的点 |AP||CA|=|AP|,因为|AP|min=1,故四边形 A(x,y)与点D(-3,2)连线的斜率，设过点 ACBP面积的最小值为1，故D正确.故选BCD. D(-3,2)的直线方程为y-2=k(x十3)，即kx一 11.BC【解析】当x<0y<0时，曲线C:(x+1)2+ y十3k十2=0，所以圆心(2,0)到直线的距离d= (y十1)2=8，圆心C(-1,-1),半径m1=2√2；当 5k+2 ≤3，即16k十20k-5≤0，解得 √+（-1)产 x>0,y<0时，曲线C:(x-1)2十(y十1)2=8，圆 心C2(1,-1),半径r=22;当x<0,y>0时，曲线 -5.35<k≤535，所以号的最大值为 8 C:(x十1)2+(y-1)2=8,圆心C(-1,1),半径r -5+3V5 8 最小值为535 8 =2√E;当x>0,y>0时，曲线C:(x-1)十 (y-1)=8,圆心C(1,1),半径r=2√2.曲线C 14.310 3 【解析】如图1所示，过点M作平行于x 如图所示：连接CC,延长交C于A,B两点， 轴的直线MB交直线l于点B, A:1 图1 曲线C上两点间距离的最大值为|AB|= 过点N作NA⊥MB于点A,d(M,N)表示|MA十 √/1-(-1)]+L1-(-1)F+2X2√2=6√2，A |NA|的长度，因为直线I的方程为3x十y-9=0, 项错误；如图直线AB:y=x,则P(a,a)在线段AB 即直线l的斜率k=-3,设l的倾斜角为a,则tana 上，A(-3,-3),B(3,3),.-3<a<3,B项正确： =-3,又因为a十∠NBA=π，所以tan∠NBA= 曲线C与直线y=x十m有公共点，则圆心C2、C3到 tan(π-a)=-tana,所以tan∠VBA=3,可得 直线的距离小于或等于半径，则d,=12+ml≤， X=3,即INa=3AB1,所以4M,N) √ IMA+NA=MA+3 ABI=|MBI+ 22,则-6≤m≤2或者d4=-2牛ml≤，=22， 2 2|AB|,当固定点M,且MN平行于x轴时，此时点 则一2≤≤6，∴.一6≤m≤6，C项正确：原点到C上 N与点B重合，此时|MB|为定值，AB「为O, 的点的最小距离为√7+1，最大距离为2√2+ d(M,N)最小，如图2所示， √+1平=32，故√万+1≤r≤3√2，D项错误.故 选BC. 三、填空题 12.(x-2)2十(y-1)2=1【解析】设M(x,y),P(a,b), N(B) 则士=x,生兰=，解得a=2红-4,6=2y一2，则 P(2x-42y-2),将其代入x2十y2=4中，得 图2 ·114· 高三一轮复习B ·数学· 过点O作直线l的垂线，垂足为T,交圆O于点M, 所以|MN|=2√P-正=2√W5)-W2)2=23, 可海1=1m1-1”行1-2 (13分) 10 又由直线l的斜率k=一3，可得sin∠TNM 故△CMN的面积为S△aw=号|MN·d=5. 3,在R△MNT中，可得dM,N)=MN| (15分) 10 17.解：(1)圆C经过两点(-2,0)，(0,0)，且圆心C 9√/10 在直线y=-2x上， MTI 10 sin∠TVM =3- 10 3V10 3 所以C1(-1,2),r=√5， (3分) 10 故圆C1的标准方程为(x十1)2十(y-2)2=5. 四、解答题 (6分) 15.解：(1)设圆心C(a,0)(a<4), (2)圆C2:x2十y2-4x十8y=0,化为标准方程为(x 则a,4=2, -2)2+(y+4)2=20, 2 (3分) 所以圆心C2(2,一4)， (7分) 解得a=0或a=8(舍)， 故圆C的方程为x2十y2=4. (7分) 由(1)可知，圆C:的圆心坐标为（一1,2）， 由直线l:ax-y+2a十1=0，化为a(x+2)- (2)由题意可知圆心C到直线y=kx十√5的距离为 (y-1)=0, 2sin30°=1， (9分) 所以直线l恒过点P(一2,1)， (9分) 则有L, √k+1 解得k=士2， 即k的值为士2. (13分) 16,解：(1)AB的中点为（号，-），直线AB的斜率 为k=子， 所以AB的垂直平分线方程为y十号=-3(x 易知点P在圆C的内部， ）即-3x+1, 设点C,到直线I的距离为d, 则|AB|=2√P-d=2√5-d正， 所以AB的垂直平分线方程为y=-3x十1.(4分) 要使|AB|取得最小值，则d取得最大值， (2)设⊙C的一般方程为x2十y2+Dx十Ey十F=0, 所以PC⊥l, (F=0, 由题意可知，4十2D十F=0, (6分) 此时6如=2=1 1+1-D-E+F=0, 所以k=一1， 解得D=一2，E=4,F=0, 则直线l的方程为y-1=一(x十2)， 所以x2十y2-2x十4y=0, 即x十y+1=0. (12分) 故⊙C的标准方程为(x-1)2十(y十2)=5.(8分) 又圆心C到直线x十y+1=0的距离d= (3)由(2)可知，C(1,-2),半径=√5， 12-4+1⊥=2 则圆心C到直线1的距离为d=山士2-1山-E, √2 √2 所以1cD=2V20-(号)= (15分) (10分) ·115· ·数学· 参考答案及解析 18.解：(1)由题意可设B(一，0)，C(m,0),>0, 所以d店=1十友一 4 4 32 则根据条件得|AC=√TOC+OAF √m+2=1+2=3, 解得m=√5， 所以两圆的圆心坐标分别为B(一√5,0)，C(5,0), 即= ⊙B的标准方程为(x十5)2十y2=1,⊙C的标准方 即直线/截⊙A所得的弦长为号 (17分) 程为(x-√5)十y2=1. (4分) (2)由题可设公切线l的方程为y=kx(k≠0)， 则6L=1. √1+k' 解得=士号， (6分) 故公切线1的方程为y=士宁， 则A到公切线（的距离为d= L-21 = （±）+1 6 19.解：(1)设Q(x,y), (8分) 因为8别-2 故1截圆A的弦长为2√2-（台5）=号5. 所以QM2=4QN|2, 即(x-4)2+y2=4[(x-1)+y2], (9分) 整理得x2十y2=4, 所以曲线C的轨迹方程为x2十y=4. (5分) (2)曲线C的圆心(0,0)到直线x一y+1=0的距离 d= 1 ② √+(-1)严2' 所以AB=2-d=2√-=V.(9分) (3)设G(x1,y),H(x2,y2),D(xo,o). (3)设l的方程为y=kx(k≠0)， 则三个圆心到该直线的距离分别为d=一5飞 w/1+k d2= 121 (10分) /1+k √1+k 设l截圆A的弦长为n, 则n2=4(1-d)=4(1-d6)=4(4-d), 所以结合题意有1一（ (x=my-1, 联立 得(m2+1)y2-2my-3=0, -(广 x2十y2=4, △=4m2+12(m2+1)>0, 解得：=令， (13分) 十= 3 m2+1 (12分) ·116· 高三一轮复习B ·数学· 因为E(-2,0),F(2,0), =mMy十M十y2一y my y2-3y1 所以直线G的方程为y=(十2)， 3m 2m =m中十m 直线FH的方程为y=2（-2). 3m m2+73y 因为直线EG与直线FH交于点D, 2+2. =m2+1y 1 31 3 所以 (14分) m2+13y 4-2（w-2), 则+2=业.十2 验号子 x0-2x2-2 解得x0=-4, =2(my+1) 所以点D在定直线x=一4上 (17分) (my2-3)y1 ·117·高三一轮复习周测卷/数学 (十九)直线与圆、圆与圆 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知直线l1:ax+y+3=0,直线l2:x+ay十a十2=0，则a=一1是l1∥L2的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知圆C:(x一3)2+(y-3)2=8,过点P(一1,0)作圆C的一条切线，切点为Q,则PQ= A.√17 B.6 C.23 D.3 3.已知直线1过点P(1,2),圆C:(x一2)2+(y十1)2=14.则直线1被圆C截得的弦长的最小值为 A.2 B.22 C.4 D.2√10 4.已知点M,N在圆O:x2+y2=4上，点P在圆A:(x一6)2十y2=9上，则使得△PMN是边长为 23的等边三角形的点P的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 5.已知A(1,0),B(一2,0)，动点M与点A的距离是它与点B的距离的一半，则点M的轨迹与以 线段AB为直径的圆Q的位置关系是 A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 6.已知圆C:(x十5)2+(y-12)2=9和两点A(0,m),B(0,-m)(m>0),若圆C上存在点P,使得 ∠APB=90°，则实数m的取值范围为 A.[11,15] B.[10,16] C.[9,13] D.[8,12] 7.已知点P是圆C:(x一3)2十(y一3)2=2上一动点，过点P向圆O:x2十y2=1作两条切线，设两 切线所成的最大角为a,则cosα B2g9 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 8.已知圆C1:x2+y2一2x一4y一7=0和圆C2:(x+3)2十(y十1)=12交于两点，点P在圆C1上 运动，点Q在圆C2上运动，则 A.圆C和圆C2关于直线8x+6y一5=0对称 B.圆C,和圆C2的公共弦长为2√23 C.PQ的取值范围为0,5+25 D.若M为直线x-y+8=0上的动点，则PM+MQ的最小值为√109一4√3 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线1的一个方向向量为n=(1,一√3)，且1经过点（一2,0），则 A.l与直线3x-3y+1=0垂直 B.1的倾斜角等于150° C.l在y轴上的截距为2√3 D.l与直线x+3y+2=0的交点在x轴上 10.已知圆C:(x一2)2+y2=1,点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA,PB, 切点分别是A和B,则 A.圆C上任意一点到直线的距离的最大值为√② B圆C上恰有两个点到直线1的距离为2 C.切线长PA的最小值为1 D.四边形ACBP面积的最小值为1 11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推 理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线C:(x一1)2+ (y一1)=8就是一条形状优美的曲线，则 A.曲线C上两点间距离的最大值为4√2 B.若点P(a,a)在曲线C内部（不含边界），则一3<a<3 C.若曲线C与直线y=x十m有公共点，则一6≤m≤6 D.若曲线C与圆x2十y2=广(>0)有公共点，则号≤≤32 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知点P是圆C:x2+y2=4上的动点，点A(4,2),则线段AP的中点M的轨迹方程 是 18.已知实数y满足方程x+y-4红一5=0，则号的最大值为 ,最小值为 (本题第一空2分，第二空3分) 三一轮复习周测卷十九 数学第2页（共4页） ⑧ 14.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的曼哈顿距离为：d(A,B)=x1-x2十y1-y2.已知点M在圆O:x2十 y2=1上，点N在直线l:3x+y-9=0上，则d(M,N)的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知直线l:x十√3y一4=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线1的左下方， (1)求圆C的方程； (2)直线y=kx+√5与圆C交于不同的M,N两点，且∠MCN=120°，求k的值. 16.(本小题满分15分) 已知三点O(0,0),A(2,0),B(一1，一1)，记△AOB的外接圆为⊙C. (1)求AB的垂直平分线方程； (2)求⊙C的方程； (3)若直线1：x-y-1=0与⊙C交于M,N两点，求△CMN的面积. 17.(本小题满分15分) 已知圆C经过两点(-2,0)，(0,0)，且圆心C1在直线y=一2x上，圆C2:x2十y2一4x十8y =0. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l:ax-y十2a十1=0与圆C1交于A,B两点，当AB取得最小值时，l与圆C2交于 C,D两点，求CD的值. 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 如图，3个圆可以构成“卡通鼠”的头像.A(0,一2)是⊙A的圆心，且⊙A过原点；点B,C在x轴 上，⊙B、⊙C的半径均为1，⊙B、⊙C均与⊙A外切，直线1过原点. (1)求⊙B、⊙C的标准方程； (2)若直线l与⊙B、⊙C均相切，求直线I截⊙A所得的弦长； (3)若直线1截⊙A、⊙B、⊙C所得的弦长均相等，求直线l截⊙A所得的弦长. A 19.(本小题满分17分) 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，N(1,0), M4,0,奇点Q满足|8-2，设动点Q的轨迹为曲线C (1)求曲线C的轨迹方程： (2)若直线x一y十1=0与曲线C交于A,B两点，求|AB的值： (3)若曲线C与x轴的交点为E,F,直线l:x=y一1与曲线C交于G,H两点，直线EG与直 线FH交于点D,证明：点D在定直线上. 三一轮复习周测卷十九 数学第4页（共4页） ®