(13)数列的概念、等差数列、等比数列-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (十三)数列的概念、等差数列、等比数列 （考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知数列2，√，√⑧，√10，…，√2十2，…，则√42是这个数列的 A.第20项 B.第21项 C.第22项 D.第19项 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若a2十a6=12,则S,= A.48 B.42 C.24 D.21 3.在数列a中，若a=1,a1=2。,则a A.-2 B.4 C.1 D. 3 4.在正项等比数列{am}中，其前n项和为Sm,且满足S8=17S4,则数列{an}的公比为 A.2 B.1 C.±2 D.±2或-1 5.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神舟十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任 务，运送“神舟十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟 通过的路程都增加3k,在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，则从点火到 进入转弯程序大约需要的时间是 A.10秒 B.11秒 C.12秒 D.13秒 6.已知两个等差数列1,5,9，…，和1,6,11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组 成一个新数列{an},且{an}的前n项和为Sn,则S12= A.1332 B.1311 C.1290 D.1270 7.对于数列a,,定义A.=十2a:十…+2a为数列a,}的“好数”，已知某数列{a,}的“好数” 12 为An=2m+1,记数列{an一kn}的前n项和为Sm,若Sn≤S6对任意的n∈N*恒成立，则k的取值 范围为 A[引 B[9,] c[,] n[] 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 8.设数列{an}的前n项和为Sn,给出以下两个命题：①若数列{an}是公差不为0的等差数列，则对 于任意不小于2的正整数k,S1·S2·…·Sk-1=0是a1·a2·…·a%=0的必要不充分条件； ②若数列{am}是等比数列，则对于任意不小于2的正整数k,S,·S2·S%=0是a十a+1=0的 充要条件.则下列判断正确的是 A.①②均正确 B.①②均错误 C.①对②错 D.①错②对 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知等比数列{an}的公比为q,则 A.{lnan}为等差数列 B.{a}为等比数列 C.{an十am+1}不是等比数列 D.为常数列 a2 10.在数列{a,}中，如果对任意n∈N都有？一a1=k(k为常数)，则称(a}为等差比数列，k称 an+lan 为公差比，则 A.等比数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为0 C.若an=一3”十2，则数列{an}是等差比数列 D.若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2 11.将数列{an}中的所有项排成如下数阵： al az a3 as a5 a6 a7 a8 ag 从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第1列数 a1,a2,a5,…成等差数列.若a2=2,a10=8,则 A.a1=-1 B. a:=168 =2 C.a2o25位于第45行第89列 D.2024在数阵中出现两次 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三一轮复习周测卷十三 数学第2页（共4页） ® 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知{an}为等比数列，a2a3a,=a4a6,aga10=一27，则a17= 13.已知Sn是等差数列{am}的前n项和，a1=一15，且当n=7时，Sn取得最小值，则数列{an}的一 个公差可以为 14.如图，正方形ABCD的边长为10cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方 形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一 直继续下去，则前8个正方形的的面积之和是 cm2 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}的首项a1= 弓，且满足a+1 2a,千n∈N. 30m (1)求证：数列已-1为等比数列； an 2)若S.=1+1++1,求S. a a2 a 16.(本小题满分15分) 已知Sm为数列{an}的前n项和，a1=9,Sn一n2=n(am一1)(n∈N*). (1)求{am}的通项公式； (2)求Sm的最大值： (3)求数列{an|}的前n项和Tm· 17.(本小题满分15分) 已知数列{am一3}是以1为首项，2为公比的等比数列，等差数列{b,}有b1=一29，b3十a5=一2. (1)求{am},{bn}的通项公式； (2)求数列{b,。的最大项的值. lan-3 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知Sn为数列{an}的前n项和，Tm为数列{bn}的前n项和，am+2=2an+1一an,b。= (2an十1，n为奇数 ,b4=8,S5=15. 2.1,n为偶数 (1)求{am}的通项公式； (2)若T2m一S2m<2025,求n的最大值； (8)设4=1证明长空<圣 19.(本小题满分17分) 在数列{an}中，若存在常数t,使得an+1=a1a2a3…an十t(n∈N*)恒成立，则称数列为“H(t)数 列” (1)判断数列1,2,3,7,43是否为“H(1)数列”； (2)若c,=1十】，试判断数列{c.是否为“H(t)数列”，请说明理由； (3若数列a,为H数列，且a,=2,数列1a为等比数列，请足空a=a十lg-, 求数列{bn}的通项公式和t的值. 三一轮复习周测卷十三 数学第4页（共4页）】 B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 确定数列中的项 易 0.85 由等差数列的性质 2 选择题 5 易 0.78 求和 选择题 5 周期数列 易 0.75 4 选择题 5 等比数列的性质 易 0.72 5 等差数列的实际 选择题 5 中 0.60 应用 两个等差数列的公 6 选择题 5 中 0.55 共项问题 与数列有关的新定 选择题 中 0.45 义题 8 选择题 等差、等比数列与充 5 分必要性的综合 中 0.35 9 等差、等比数列的 选择题 6 易 0.72 判定 与等差数列有关的 10 选择题 6 新定义题 中 0.50 11 选择题 6 数阵问题 中 0.40 由等比数列的性质 12 填空题 易 0.85 求某项 与等差数列有关的 13 填空题 5 中 0.60 举例题 14 等比数列与平面几 填空题 5 中 0.40 何的综合 判定一个数列为等 15 解答题 13 比数列，等比数列的 中 0.65 前n项和 求等差数列的通项 16 解答题 15 及前n项和，求其项 中 0.55 的绝对值的和 ·69· ·数学· 参考答案及解析 求等差、等比数列的 17 解答题 15 通项，利用数列的单 / / / / 中 0.40 调性求其最值 分段数列，等差、等 18 解答题 比数列的综合，证明 / 中 0.35 数列型不等式 与数列有关的新定 义题，等差数列、等 19 解答题 17 难 0.28 比数列与不等式的 综合 昏考答条及解析 一、选择题 (n∈N”)恒成立可化为a-6k≥0，且a,-7k≤0，即 1.A【解析】令√2n十2=√42，解得n=20,即√42是 这个数列的第20项.故选A. 8径-十解利9<号放法D 2.B【解析】因为{an}为等差数列，故a1十a,=a2十a 8.A【解析】对于命题①，当an=2n-3(n∈N”)时， =12,则S-7a寸a子×12=2故送B 显然有a1十a2=S2=0满足S·S2·…·S2k-1=0, 但an各项均不为0，不满足充分性，当a1·a2·…· 3.A【解析】因为数列(a,}中，a1=1,a.+1=2一a 4 ae=0时，此时{an}中必有一项为0，不妨设am=0, ，所 则a1十a2m-1=2am=0→Sm-1=0,可使得S·S2· 以则=2。=4，-2@ 44 4 4 …·Sk-1=0成立，故满足必要性，即①正确；对于命 题②，设等比数列{am}的公比为q,显然an≠0，k≥2， 4 4 4 =2-4-2-(-2=1=aa:=2-42=4 若q=1,则Sm=na1≠0，不存在S1·S2·S=0,若q a2,所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以 ≠1，则S.=,要使S,=0,则需g=-1,” 1-g a2025=a3x671+3=a3=一2.故选A. 为偶数，故对于Hk≥2，当S·S2·S=0时，必有 4.A【解析】设等比数列的公比为q,由题意得q>0, S2=0→a1十a2=0,此时q=-1,则a%十ak+1=0成 故S。S=g=16,解得g=2.故选A 立，满足充分性，而as十a+1=0,则有q=一1，此时必 S 有S2=0,则S·S2·S。=0,满足必要性，即②正确. 5.C【解析】设每一秒钟通过的路程构成数列{an},由 故选A. 题意可知{an}为等差数列，则数列首项a1=2,公差d 二、选择题 =3,所以an=a1十(n-1)d=2+(n-1)×3=3n 9.ABD【解析】由数列为等比数列，则an=a1·q”-l, 1,由求和公式有S.=n(a十a)=3n-1+2)m= 则a1q≠0，对于A,ln|an=lna1·1|=lnla1| 2 2 222,解得n=12.故选C. +(n-1)Inlq,Inl a+=In ar.q=In|ai+ 6.A【解析】因为两个等差数列的首项均为1，公差分 lnql,则lna+i|-lnam|=lnql为定值，所以 别为4,5，所以{am}是首项为1，公差为4×5=20的 数列{lna.|}为等差数列，A正确：对于B, a 等差数列，则S=12×1+12X1×20=1332,故 2 a:g=g为定值，故{a2为等比数列，B正确：对于 选A. 7.D【解析】由题意得A.=a十2ag十十2a C,+a=ga.ta=q为定值，故 am十aa+1 an十aw+1 {an十a+1}是公比为q的等比数列，C错误；对于D, 2+1,则a1十2a2十…十2m-lan=n·2+1,所以当n≥2 时，a1十2a2十…十22am-1=(n一1)·2”，两式相减 学-g-g为定值，所以数列{岩}为常数列， 得2-an=n·2+1-(n-1)·2”=(n十1)2"，所以 D正确，故选ABD. am=2(n十1)，n≥2，当n=1时，a1=4对上式也成 10.BC【解析】对于数列{am,若an=1,aw+1=1,则 立，故an=2(n十1)，则am一kn=(2-k)n十2，则数 列{am一kn}为等差数列，故S,≤S对任意的n a+:=1,2一a无意义，所以A错误；若等差比 an+l-a ·70· 高三一轮复习B ·数学· 数列的公差比为0，则22一a出=0，则a+一a+ 四、解答题 an+1-am 3a =0,又在二a型2中分母为0，不符合要求，故矛 15.解：(1)因为a+1=2a+行（n∈N), am+2一a+1 1_2a十1_2+1 盾，所以B正确：若a.=-3”十2，则+2二a出 所以a3a =3十3a a+1am -3+2十2-(-3+1+2)-3m+2十3+ 所以1=号+这1=号（位-小 (4分) -3"+1+2-（-3”十2) 一3”+1十3” =3,数列 -1=号-1=号 2 {an}是等差比数列，所以C正确：若等差数列是等差 比数列，则an=a1十(n-1)d,则+2二a山=4- ax+lan d 所以数列（信-1是以号为首项，宁为公比的等比 1,所以D错误.故选BC. 数列 (7分) 11.ACD【解析】由第1列数a1,ag,a5,a1o,…成等差 数列，记为{bn}.设公差为d,又由b=a2=2,b= (2)由1)知-1=号×（号）厂=2x()广， a. a1o=8,可得b十d=2,b1+3d=8,解得b1=-1,d (11分) =3,则第一列的通项公式为b=一1十(k一1)×3 得2=2×（号）广+1， a. =3k一4.又从第2行开始每一行比上一行多两项， 且从左到右均构成以2为公比的等比数列，可得a2 所以s=2[(号)广+（号）广+…+（号）门+n +a3十…十a4=2+4十8+5十10十20十40十80= 169,所以A正确，B错误；又因为每一行的最后一个 动) =2× 数为a1,a1,a,a16,…,且452=2025，可得a225在 1-3 =1小+ (13分) 第45行最后一列，因为这一行共有2×45一1=89 16.解：(1)因为a=9,且Sm-2=n(am-1)(n∈ 个数，则a22s在第45行的第89列，所以C正确；由 N*)①， 题设可知第i行第j个数的大小为(3i-4)×21, 令(3i-4)×2-1=2024=253×23,若j=1,则3i 当n≥2时，Sm-1-(n-1)2=(n-1)(am-1-1) (n≥2)②， -4=2024,即i=676;若j=2,则3-4=1012，无 整数解；若j=3,则3i-4=506,即i=170:若j-4, ①-②得Sn-S.-1-n2十(n-1)2 则3i一4=253，无整数解，故D正确.故选ACD. =an-n-(n-1)an-1十(n-1), 三、填空题 整理得am一an-1=-2(n≥2)， (3分) 12.一27【解析】由题得a2aa,=a4a6=aa7,故a2= 所以{an}为首项是9，公差为一2的等差数列， 1,a4a6=a2q·a2q=a号q5=-27,故g5=-27, 所以an=-2n十11. (5分) 即a7=a2g5=-27. (2)由(1)可得前n项和S.=9-2n十11)卫=-n 2 18.(答案不唯一，写出区间[只，]内任何-个数 +10n=-(n-5)2+25, 所以当n=5时，Sn取最大值25. (8分) 均可）【解析】设公差为d,则a,=-15十(n-1)d (3)由an=-2n十11，所以当n≤5时，an>0,当n≥ =dn-15-d,依题意得a=6d-150,ag=7d 6时，am<0, 15≥0，解得9<d≤号 所以当n≤5时，Tn=Sn=-n2十10n, (10分) 当n≥6时，Tn=S+|as|+a|+…+|an| 14.6375 【解析】记第1个正方形的面积为S,第2个 =S-(a6十a7十…十an)=S-(Sm-S) 32 =2S;-S, (13分) 正方形的面积为S2,…,第n个正方形的面积为S,设 而2S-Sn=2X(-25+50)+n2-10n 第n个正方形的边长为a,则第n个正方形的对角线 =n2-10n+50, 长为2au,所以第n十1个正方形的边长为an+1= 1-n2+10n(n5) (15分) 号。所以÷号即数列a是首项为=10，公 所以T.={m-10n+50(n≥6) 17.解：(1)因为数列{an一3}是以1为首项，2为公比 比为号的等比数列，故数列S,是首项为S=10,公 的等比数列， 所以am-3=1×2”-1,即an=2m-1十3. (2分) 比为2的等比数列，则前8个正方形的面积之和为 设等差数列{bn}的公差为d, 因为b=-29,b十a:=-2, 100×(1-2 6375 所以 6=-29 1h=-29→ 32 6+2d+2-1+3=-2>d=4 19 b.=-29+4(n-1)=4n-33, ·71· ·数学· 参考答案及解析 即an=2-1+3,bn=4n-33. (7分) (2)由上可知an=2"-1+3,b=4n-33, 所以Q.<号+3(+是+…+是)=是+3× 令c,=6,。=4n-33 a-3 2-11 则有c+1-c,=4(n十1)-33_4m-33_37-4m 2 1- 2" (10分) 综上，<<子 (17分) 当n≤9，n∈N”时，cm+1一cm>0→c+1>Cu, =1 即数列{c}从第一项递增到第10项. 19.解：(1)由题意可得2=1十1,3=1×2+1,7=1×2 当n≥l0,n∈N时，cw+1-cn<0→c+1<cm, ×3+1,43=1×2×3×7+1, 即数列{c1}从第10项开始递减， (13分) 所以1,2,3,7,43是“H(1)数列” (4分) 7 (2)数列{cn}不是“H(t)数列”， (5分) 因此c1。为数列{c.}的最大项，c1o= 2 理由如下： 所以数列{，。的最大项的值为子 (15分) cn1,1n1(n∈N)，则mt1十(n n 18.解：(1)由am+2=2aw+1一am, N*, 得au+2一a+1=a+1一aa, 又46…e=子××号X…X中=+1ae 2 所以数列{am}为等差数列， n 又S=5a=15,所以a3=3. N), 又b=24-1=8,所以a4=4, 所以-c6…当-（叶1） nI-n 设{a}的公差为d,即a=a十2d=3, (n∈N*), (8分) la4=a1十3d=4, 解阳伊 因为一不是常数，所以数列c)不是H() 数列” (9分) 所以{an}的通项公式是an=n. (4分) e南4淘。-原以么-为 (3)因为数列{an}为“H(t)数列”，由 ∑a=a+1十 log2b,-t(n∈N"), 5=2n(a+a）-2m1+2m=n(2m+1), 2 2 有∑a=a1aa…an+logb,(n∈N)①， Tn=(b十b+…+b2n-1)+(b十b:+…十b2a) =1 =n(3+4n-1)+2(1-4) 所以 a=aa,a4…a.a1+log,b1（n白 2 1-4 =n(2m十1)+2(4-12 N*)②， 3 令T.-S-2(4山<2025，得2·4<607， 两式作岩得c=(a1一1Daa:aa.十log公 3 (n∈N), (12分) 设dn=2·4”,则数列{dn}是递增数列。 又因为数列{an}为“H(t)数列”， 又d=2048<6077,d=2×4=8192>6077, 所以a+1-t=a1a2a3…an(n∈N*), 所以n的最大值为5. (10分) 设数列{bn的公比为q, 1 1 所以a+1=(a+1-1)(a+1一t)十log2q(n∈N*), 由(2)知cn=T一S=2入4" 即(t+1)a+1-(t+log2q)=0对Hn∈N*成立， 设Q是{cn}的前n项和， 则+1=0 (t=-1 则Q+1-Q=cm+1>0, {t+1og:q=0>{g=2, (15分) 所以{Q}是递增数列， 又a1=2,a2=a1十t=1,af=a2十log2b1-t,得b 所以Q≥Q-a=号成立 =4, 所以bn=4×2-1=2m+1,t=-1. (17分) 又0=a=<, 所以当n≥2时，2·4”-2-4"=4”-2>0， 所以2·4”-2>4"， ·72·