(11)等差数列与等比数列-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (十一)等差数列与等比数列 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.在各项均为正数的等比数列{am}中，a2a5=16,则log2a3+log2a4= A.2 B.3 C.4 D.5 2.若sim(a+）-子则cos(e+） A-青 B一9 c 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S=S0,a4=2,则a2= A.6 B.4 C.3 5 D.2 4已知等差数列a的前n项和为5，且受-9则- as A.3 B.2 c n号 5.某旅游景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，并计划从2024年开始，用5年时间改善景区 环境，该景区第一年投人资金80万元，以后每年投入资金是上一年的。倍，第一年的旅游收入为 200万元，预计以后每年的旅游收入比上一年增加30万元，则预计该景区这5年的旅游总收入与 投人资金总额的差额为 A.230万元 B.234万元 C.245万元 D.260万元 6.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两 种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称 “角谷猜想”等).已知数列{am}满足：a1=5,am+1= a,为偶数'则a22= 3am十1，am为奇数， A.1 B.2 C.3 D.4 7.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度，如图所示，将小镜子放在操 场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为1= 1.00m,之后将小镜子前移a=6.00m,重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2= 0.60m,已知人的眼睛距离地面的高度为h=1.75m,则钟楼的高度大约是 a A.27.75m B.27.25m C.26.75m D.26.25m 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 8.已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn,若Sn+Sm=Sm+m,则ag= A.1 B.8 C.9 D.45 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.对于复数之1,2，下列说法正确的是 A.若<0，则1为纯虚数 B.若名=2，则之1,2互为共轭复数 C.若|=1，则之在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 D.若1>之2，则>号 10.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,若S21<0,S22>0,则 A.数列{an}为递增数列 B.a12>0 C.当Sm取最大值时，n=11 D.a12>a11 1l.已知等比数列{a,}的公比为g,前n项和为S,前n项积为T,且a1>1,ae1a:>1, a2025-1 <0,则 A.S2024<S2025 B.a2024a2026<1 C.T2o24为数列{Tm〉中的最大项 D.数列{Tn}中无最大项 班级 姓名 分数 题号 2 5 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知两个非零平面向量a,b满足a十b=a一2b,则a在b上的投影向量为 13.已知数列{an}共有5项，其前三项成等差数列，且公差为d,后三项成等比数列，且公比为q.若第 2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则d十q的值为 14.在数学发展史上，将已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数的问题统称为剩余问题. 1852年，《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数” 问题的解法称为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法， 提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在区间[1,2026]内的所有整数中，把被2除 余数为1，被3除余数为1，被5除余数也为1的数按照由小到大的顺序排列，得到数列{a,},则 数列{an}的项数为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知各项不为零的数列{a,}的首项a,=号，且3a,一2aa1=a1: 1)证明：数列日一1为等比数列： (2)求{an}的通项公式： (3)求满足1+1+1++1<200的最大整数n的值。 a az a3 an 三一轮复习单元检测卷十一 数学第2页（共4页） ® 16.(本小题满分15分) 在等差数列{an}中，a3=7,ag=一5. (1)求{an}的通项公式； (2)设Tm=|a1|+a2|+a3|+…+an,求Tn. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,csin B+√3 bcos C (1)求角B: (2)若a十c=2,角B的角平分线BD交AC边于点D,求BD的长； (3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围. 数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知数列{am}的前n项和Sm满足2Sn=3n2十5，数列{bn}为等比数列，其公比q>0,且b1=6, b3=2a3+4. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 1,2<n<2+1 (2②)设数列{c}清足c1=16。=dm=2,其中6∈N, (i)求数列{cn}的前2025项和； (i)求∑a2c(n∈N). 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)的定义域为R,f(x)为f(x)的导函数，若数列{x}满足x+1=x.一 f(x) 3a,b=√3. f(xn) (n∈N),则称{xn}为f(x)的“牛顿数列”.已知数列{xn}为函数f(x)=x2一x的“牛顿数列”， 数列{a}满足a1=2,an=ln x->1. (1)求a2; (2)证明：数列{an}为等比数列，并求{am}的通项公式： (3)设数列{an}的前n项和为Sn,若不等式（一1）"tSn一14≤S%对任意n∈N*恒成立，求实数t的 取值范围. 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十一 数学第4页（共4页） 回高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 等比数列的性质 多 0.80 2 选择题 5 诱导公式 易 0.75 基本量法求等差数列 选择题 易 0.72 的项 等差数列前n项和之 4 选择题 分 0.65 比问题 5 选择题 5 数列的实际应用 √ 务 0.55 6 选择题 5 周期数列 中 0.45 选择题 5 解三角形的实际应用 中 0.40 数列S,am的关系，等 8 选择题 5 中 0.35 差数列 9 选择题 6 复数的综合 分 0.68 10 选择题 6 等差数列的前n项和 务 0.58 等比数列与不等式的 11 选择题 v 中 0.30 综合 12 填空题 5 平面向量的投影向量 易 0.72 等差数列与等比数列 13 填空题 5 中 0.65 的综合 与数列有关的数学文 14 填空题 务 0.30 化题 等比数列的证明及数 15 解答题 13 列求和 L 务 0.68 ·57· ·数学· 参考答案及解析 等差数列的通项及绝 16 解答题 15 务 0.58 对值数列的前n项和 17 解答题 6 利用正、余弦定理解三 角形 L 少 0.45 等差数列与等比数列 18 解答题 17 难 0.28 的通项，数列求和 与数列有关的新定 19 解答题 17 难 0.25 义题 香考答案及解析 一、选择题 6.A【解析】由题意可得a1=5,a2=16,a3=8,a4=4, 1.C【解析】因为数列{a.}为等比数列，且a2a=16,所 a5=2,a6=1,a?=4,ag=2,ay=1,a10=4,…,按照此 以a3a4=aa5=16,所以log2a4十loga4=log(a3a:)= 规律下去，可得am+1=4,a+2=2,am+3=1,n∈N”, l1og216=log2=4.故选C. 又2025=3×674十3，所以a2025=1.故选A. 2.B【解析】由题可得os(a+)=cos[(e+号) 7.D【解析】如图，设钟楼的高度为PQ,由△MKE∽ △PQE,可得EQ=PQ,KE=a,PQ,由△NTF 受]=-sn(。+管）=-是放选B MK h △PQF,得FQ=PQ:TE=PQ,a,枚EQ-FQ 3.C【解析】因为S=S0,所以S。一S=as十a,十aR NT h 十ag十a10=5ag=0,则ag=0,所以等差数列{an}的 aP0-P0a=a,故pQ=2ah-5 h h 公差d=a4=-合，故a=a:-2d=2-2× a1-a21-0.6 4 10.5=26.25m.故选D. 0.4 (-号)=3.故选C 4.B【解析】因为数列{a}为等老数列，所以受- 27力 - 2)会-”-空所以会-2放法B M 5.C 【解析】由题意可知，该景区每年投入的资金构成 、E1 、E1 以80为首项，号为公比的等比数列，所以这5年投入 K a1 T下a2 8.A 【解析】令m=1,得Sn十S=Sn+1,即Sn+1-S 0×[1-()] 的资金总额为 =S=1,所以数列{S}是首项为1，公差为1的等差 =1055(万元)：该 1- 数列，所以Sn=1十(n-1)×1=n,则a=S,-S8= 景区每年的旅游收入构成以200为首项，30为公差 1.故选A. 的等差数列，所以预计这5年的旅游总收入为5× 二、选择题 9.AC【解析】对于A,设=a十bi(a,bR),则好= 200+54×30=1300(万元)，所以预计该景区这5 2 a-6+2ai<0,所以(a-6<0, 2a6=0,解得/a=0 ,则 年的旅游总收入与投入资金总额的差额为1300 b≠0 1055=245(万元).故选C. x1=bi(b≠0，b∈R),故A正确；对于B,取1=1， ·58· 高三一轮复习B ·数学· 2=i,则|1|=2|=1，但1与不是共轭复数， 故B错误：对于C,由||=1，可知在复平面内对 29<2026,得1≤n<2905=685,又aEN”,所以 应的点的集合为以原点(0,0)为圆心，1为半径的 n=1,2,3,…,68,故数列{an}共68项. 圆，故C正确；对于D,取1=3,2=一4，则号=9< 四、解答题 16=,故D错误.故选AC. 15.解：(1)由3am-2aam+1=a+1,得3am-a+i 10.ABD【解析】由题得S1=21(a十aa) =2ana+1: 2 又an≠0， 21X2aL=21a4<0,则a1<0,S2=2(a,+a2） (2分) 2 =22(an+ap2=11(a1十ae)>0,则ai+a2> 则1-1=(1-1) ax+1 3 a (4分) 0,所以a12>0,且|a12|>|a1|,故B,D正确：设数 al 列{an}的公差为d,则d=a2-a1>0,所以数列 因为站-1=号0 {an}为递增数列，故A正确；因为数列{an}为递增 所以数列（士-1是首项为号，公比为宁的等比数 数列，且au<0,a12>0,所以当n=11时，Sn取得最 列. (6分) 小值，故C错误.故选ABD. 1AC【保】器二六0，得a-1a (②由得是-1=号×（号）-号 a 2 3” (9分) 1)<0①，由a2o24a2o2s=a249>1,得q>0.当q≥1 时，因为a1>1,所以a24>1,a205>1,此时①不成 (3)由2)知=1+号， 立；当0<q<1时，a221>1,0<a2o25<1,此时①成 立，故0<q<1,则S2o24<S202s,故A正确； 所以+1+1+…十 =n十 a2024a202s-1=a325-1<0,则a2024a2026<1,故B a 1- 1 正确；因为a224>1,0<a2025<1,且0<g<1,所以 3 T202是数列{Tn}中的最大项，故C正确，D错误. 1 3 200, (11分) 故选ABC. 三、填空题 显然+1-} 为单调递增数列， 12.2b【解析】由a+b=a-2b,得|a+b2= 则满足条件的最大整数n的值为199. (13分) 16.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, |a-2b|2,即|a|2+2a·b+|b|2=a|2-4a·b a4=7,ag=-5, 十4b,整理得a·b=号|b,所以a在b上的 ∴.a-a3=6d=-12, 投影向量为0b .d=-2, (3分) ∴.a1=a-2d=7+4=11, 13.4或6【解析】根据题意可得该数列的项依次为 ∴.a=a1+(n-1)d=13-2m. (6分) 2-d,2,2+d,(2+d)g,(2+d)g,则 (2)由(1)可知am=13-2n, 2+d= 6 令18-20≥0，得≤号-6含， 1 (7分) 2-d+(2+d)q=10 q-1 即 ,解得 2+d+(2+d)g2=30 2+d= 30 ∴.当1≤n≤6且n∈N“时，am>0; q+1 当n≥7且n∈N时，an<0, (8分) 9=39=2 d=1或d=4所以d+g的值为4或6. ∴.当l≤n≤6且n∈N*时，Tn=|a|+a2|+|a 十…十|am|=a1十a2十a十…+am= 14.68【解析】依题意知am一1既是2的倍数，也是3 的倍数，还是5的倍数，所以am一1是30的倍数，所 n(11+13-2m2=12m-2; (11分) 2 以am一1=30(n-1),则an=30n-29,令130n- 当n≥7且n∈N时， ·59· ·数学· 参考答案及解析 Tm=a十a2十…十a6-a?-…-a 所以sim(2A-)∈（分1]， =2(a1十a2十…十a6)-(a1十a2十a3十…十an） =2×6X(1+1-(12m-r2)=m2-12m+72. 所以ac=2sin(2A-若）+1∈(2,3]， 2 (14分) 所以B酝=3+2∈(？，号]， 112n-n2,1≤n≤6，n∈N 综上，T= (15分) n2-12n+72,n≥7，n∈N 所双E∈（停] 17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及csin B+√3 bcos C= 3a, 即边AC上的中线BE的取值范围为（号，受」 W37 得sin Bsin C+√5 sin Bcos C=√3sinA (15分) 18.解：(1)因为2Sm=3m2十5n,① =√3sin(B+C)=√3 sin Bcos C+√3 cos Bsin C, 所以当n=1时，2S=2a1=8,则a1=4; (1分) 即sin Bsin C=√3 cos Bsin C,而C∈(0，π)，sinC 当n≥2时，2Sn-1=3(n-1)2+5(n-1),② ≠0， ①-②得2am=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1)= 解得anB=尽，又B∈(0，x,所以B=号.(4分) 6n+2, 则an=3n十1， (3分) (2)由B=号b=F,及余弦定理得3=2+a2-ac a1=4符合上式， =(c+a)2-3ac, 所以a=3n十1， (4分) 又a十c=2,解得ac= 则b=2a十4=2×(3×3+1)十4=24， 3 所以b=6g=24, 由SAAx=SABD十SABK得 2acsin B= cBD: 又q>0,所以q=2, B 所以b=b1g-1=6·2-1=3·2", (6分) (2)(1)因为21°=1024,2=2048>2025， 即acsin受=BD.(e十a)sin晋，则号 x=BDX 所以数列{cm}的前2025项中有10项分别为数列 2 {b}的前10项，其余项均为1， (8分) 2X2,所以BD- 6 (9分) 故数列{cn}的前2025项和为(2025-10)×1十b +h十…十6。=2015+6X0二，2)=8153. (3)因为E是AC的中点，所以B成=之(BA+BC), 1-2 (10分) 则B胶=子(Bi+2耐·B心+胶)=十(c+d (i)由(1)可知a2=3·2+1,c2=b:=3·2, +a0=3+2ac 所以a2c=3·2(3·2十1)=9·4十3·2， 4 (12分) 由正弦定理得，ac= sin B sin A·b b sin B sin C= 又∑9.4=36二42=3·41-12， 1-4 4sin Asin C-4sin Asin(A) 32=6多)=32-6， 1-2 =2√3 sin Acos A+2sin2A=√3sin2A-cos2A+1 所以∑agc=3·41+3·21-18.17分） =2sim(2A-8)+1, =1 19.解：(1)因为∫(x)=x2-x, [0<A<受 所以f(x)=2x-1, 因为△ABC为锐角三角形，所以 因为数列{x}为f(x)的“牛顿数列”， 0<-A<受 所以-名-导- 所以A∈（告，晋），所以2A-晋∈（告，爱）， (2分) ·60· 则x=2x1气' 所以（一1）1≤S,十装对任意EN恒成立.10分) 所以 2x1-1 2a71 (为月 >0. 令g(x)=x+14, 则g'(x)=1-14=x2-14 23 又a=2,a=lnx' 所以当x∈(0，√14)时，g'(x)<0,g(x)单调 递减； 所以ln 272， 当x∈（√14，十o∞）时，g'(x)>0,g(x)单调 所以=n==4 (5分) 递增， @可细是片一（产气 又S=2<√14<6=S2<S=14,且g(2)=9, 8(6)-25 ,g(14)=15. 所以a=n=h()广 x-1 则g(6)<g(2)<g(14) (12分) 2an(xm>1), (7分) 当为偶数时，1S,十发兰对任意a∈N相成立， 又a1=2≠0，所以am+=2, 所以当a=2时号 (14分) 所以数列{am}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an=2·2”1=2”. (9分) 当n为奇数时，-S+导对任意m∈N恒成立， (3)由(2)可得S=2-2)=2*1-2, 所以当n=1时，-t≤9，则t⊙-9. (16分) 1-2 则Sm>0,且S,单调递增， 综上，实数的取值范围为[一-9，学] (17分) 因为不等式(-1)"tSm-14≤S对任意n∈N“恒 成立，