(26)概率与统计的综合-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (二十六)概率与统计的综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列说法正确的有 ①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值； ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7； ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上； ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.已知随机变量X~B(10,号)，若随机变量Y=3X+2,则D(Y)= A.10 B.20 C.30 D.32 3.若(1一a.x)(2十x)4(a∈R)的展开式中含x3项的系数为一40，则a的值为 A.1 B.2 C.-4 D.-6 4,如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为子，向右移动的 概率为子若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置， 则P(X>0)= 43210123456文 A器 17 b.512 c 品 5.某班组织全班学生开展职业健康知识问卷调查.已知该班男生30人，女生20人.根据统计分 析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为15,10，则该班成绩的方差最小值为 A.23 B.185 C.13 D.175 6.我校田径队有十名队员，分别记为A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,为完成某训练任务，现将十名队 员分成甲、乙两队，其中将A,B,C,D,E五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左 边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F与G不相邻，则不同的排列方法种数为 A.432 B.864 C.1728 D.2592 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在某市初三年级举行的一次体育考试中（满分100分），所有考生成绩均在[50,100]内，按照 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成五组，甲、乙两班考生的成绩占比如图所示， 则下列说法错误的是 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 、一甲班成绩占比·乙班成绩占比 A.成绩在[70,80)的考生中，甲班人数多于乙班人数 B.甲班成绩在[80,90)内人数最多 C.乙班成绩在[70,80)内人数最多 D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小 8.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中任意摸出 两个球.设事件A,=“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件A2=“摸出的两个球的编号都大于 2”,事件A3=“摸出的两个球中有编号为3的球”，则 A.A1与A2是互斥事件 B.A1与A3是对立事件 C.A,与A3是相互独立事件 D.A2∩A3与A,∩A3是互斥事件 班级 姓名」 分数 题号 2 3 4 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知x,y之间的一组数据如表所示： 1 4 9 16 1 2.98 5.01 7.01 若y与√元满足经验回归方程y=石√元十a,则此曲线必过点 10.有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床，加工的次品率为10%，第二、三台为新车 床，加工的次品率均为5%，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一、二、三台车床加工的 零件数分别占总数的20%，40%，40%.任取一个零件，则它是次品的概率为 轮复习40分钟周测卷二十六 数学第2页（共4页） ® 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 小王早晨7：30从家出发上班，有A,B两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择 A,B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格： 8点前到（天数） 8点或8点后到（天数） A方案 28 12 B方案 30 30 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为是否在8点前到单位与方案选择有关联？ (2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周 五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X,若用频率估计概率. (ⅰ)求小王周一与周二都在8点前到单位的概率； (i)求P(X=3). n(ad-bc)2 附：X=a+C十0(ac)(6+其中n=a+b+c+d. 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一 12.(本小题满分15分) 某新能源汽车公司为了解其对A型充电桩进行投资后所获得的利润y(单位：百万元)关于投 资金额x(单位：百万元)之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到∑y =40,∑x,=70,利润的方差s=3.6,投资金额的方差=12，以及样本相关系数r=0.96. -1 (1)判断y与x的相关性强弱，并求出y关于x的经验回归方程；（精确到0.01） (2)为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度（分为满意与不满意）的情况，该公司又随 机调查了该地区150名使用A型充电桩的车主，其中男性车主有60名对A型充电桩的使用表 示满意，有30名对A型充电桩的使用表示不满意；女性车主中有60%对A型充电桩的使用表 示满意.将频率视为概率，用样本估计总体，已知该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满 意，求这位车主是男性的概率。 ∑(x,-x)(y-y) 附：样本相关系数r 三，当r∈[0.75,1]时，相关性较强，当 y:-y) |r∈[0.3,0.75)时，相关性一般； 人(xy四 经验回归方程y=ā十x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= - a=y-bx;√30≈5.477. 13.(本小题满分20分) 某无人机公司新研发了一款无人机，在大型活动中使用时需要提前进行演练.该公司从生产的 一批无人机中抽取了k(k≥5，k∈N”)个，分别编号为1,2,3，…，k,不同的编号可以组成不同的 演练模型.现从中选取(n=2,3,·,k)个无人机组合为一种演练模型，则一共可以组合成m k (m∈N)种演练模型，其中f(k)=m十k+取最大值时，该模型为最佳模型. (1)当k为何值时，模型最佳？并求出此时f(k)的值； (2)若k=7,求n≥4时的概率； (3)现任意抽取一个无人机试飞，每次成功的概率是p(0<p<1).若试验成功，则试验结束；若 不成功，则继续试验，直至第次（无论成功与否都结束试验）.设X为试验结束时，进行试验的 次数，X的数学期望为E(X),证明：E(X)<D 轮复习40分钟周测卷二十六 数学第4页（共4页） ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（二十六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 频率与概率的意义 易 0.94 2 选择题 5 二项分布的方差 易 0.85 由二项展开式中指 选择题 易 0.73 定项的系数求参 独立重复试验的概 4 选择题 中 0.70 率问题 选择题 估计总体的方差 中 0.60 相邻问题的排列 6 选择题 中 0.55 问题 根据折线统计图解 选择题 6 易 0.75 决实际问题 互斥事件与对立事 选择题 件关系的辨析、独立 / 中 0.55 事件的判断 9 填空题 5 非线性回归方程 / 易 0.85 10 填空题 5 全概率公式的应用 / 中 0.60 利用独立性检验解 11 解答题 13 决实际问题，概率的 易 0.80 计算 经验回归方程、相关 12 解答题 15 系数及条件概率在 中 0.60 经济中的应用 以新定义为背景，考 查古典概型及离散 13 解答题 20 难 0.15 型随机变量的分布 列与期望 ·115· ·数学· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】对于①：随机事件A的概率是频率的稳定 1Pa)忌=日PA)=晨=合7+号1 值，频率是概率的估计值，正确；对于②：某人打靶，射 击10次，击中7次，那么此人中靶的频率为0.7，但概 B错误：C:因为P(AA)=日=言=P(A)× 率不一定为0.7，故错误：对于③：每次掷硬币正面朝 1 P(A)三3义2，C正确：D:事件A:∩A 上为随机事件，掷6次，不一定有3次“正面朝上”，故 错误；对于④：买彩票中奖为随机事件，可能发生可能 {(3,4)},事件A1∩A={(1,3)},为互斥事件，不 不发生，故错误.故选B. 可能同时发生，D正确.故选ACD. 三、填空题 2.B【解析】由题意可得D(X)=10X号×号-29 = 39 9.(6.25,4)【解析】由已知y=i反十a,设t=元，则 则D(Y)=9D(X)=20.故选B. y=t十a,由回归直线性质可得(i,y)在直线y=t十 3.B【解析】因为(2十x)的展开式的通项公式为 。上，又7=1+243+4=2.5，y T+1=C×2-*x,所以(1-a.x)(2十x)(a∈R)的展 4 开式中含x3项的系数为1×C×2-a·C号×2= 1十2.98十5.01十7.01=4，所以点(2.5,4)在直线y 一40，解得a=2.故选B. 4.C【解析】由题意可知，当X>0时，X的可能取值 =bt十a上，故点(6.25,4)在曲线y=iVF+a上. 为1,3,5，所以P(X>0)=P(=5)+P(X=3)+ 10.0.06【解析】设B=“任取一个零件为次品”，A, “零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),A1,A2,A P(x=1)-(4)广+C(4)×()+C()'× 两两互斥，根据题意得P(A)=0.2,P(A2)=0.4, ()广-品故选C P(A)=0.4,P(B|A1)=0.1,P(B1A2)= P(B引A)=0.05,由全概率公式得P(B)= 5.C【解析】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均 P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 分分别为x1,x2,该班男生组成绩和女生组成绩的方 =0.2×0.1+0.4×0.05十0.4×0.05=0.06.故任 差分别为s=15,s2=10,两个组的总平均分为x,则 取一个零件，它是次品的概率为0.06 该班成绩的方差”= 30+20[听+(x-)2]+ 30 四、解答题 11.解：(1)根据题意，列出2×2的列联表如下： 30+十20[号+(x-x)2]= 20 3[号+(x-,)2] 8点前到（天数）8点或8点后到（天数）合计 5 2[号+(x-2)]≥3+2=13，当且仅当x= A方案 28 12 40 5 5 =x2时等号成立，则方差最小值为13.故选C. B方案 30 30 60 6.C【解析】甲队，先用捆绑法，将A与B捆绑有A 合计 58 42 100 2种，将A与B看作一个整体，再用除序法得是-12 零假设为H:是否在8点前到单位与方案选择 种，利用计数原理可知，一共有2×12=24种；乙队， 无关， 利用插空法得AA=72种，按照计数原理可知， 则x2= 203≈3.941> 100×(28×30-12×30)2800 40×60×42×58 共有24×72=1728种.故选C. 3.841, (4分) 二、选择题 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H 7.ACD【解析】对于A,由图知，每一组中的成绩占比 不成立，即认为是否在8点前到单位与方案选择有 都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组中的 关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.(6分) 甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错 (2)(ⅰ)选择A方案上班，8点前到单位的概率为 误：对于B,C,由图可知甲班成绩主要集中在[80， 0.7,选择B方案上班，8点前到单位的概率为0.5. 90),乙班成绩主要集中在[60,70)，B正确，C错误； 所以小王周一与周二都在8点前到单位的概率为 对于D,由图可知甲班成绩的极差和乙班成绩的极差 0.7×0.5=0.35 (8分) 的大小无法确定，故D错误.故选ACD. (ⅱ)当X=3时，则分两种情况： 8.ACD【解析】列举各事件如下：A:{(1,2), 第一种：若周一8点前到单位， (1,3)},A2:{(3,4)},A:{(1,3),(2,3), (3,4)},A:由互斥事件同时发生的概率为0，即 则P=0.7×C(1-0.5)2×0.5=2头 80 (9分) P(A1∩A2)=0,A正确；B:由对立事件的概率和为 第二种：若周一8点前没有到单位， ·116 高三一轮复习B ·数学· 则P,=(1-0.7)×C1-0.5)×0.5= 40 (12分)》 即这位车主是男性的概率为票。 (15分) 签上，PX=3》P+B- (13分) 13.解：(1)依题意有m=C十C十C+…十C =2*-C%-CW=2-1-k, 12.解：(1)由于r=0.96,由题可知利润y与投资金额 k k x相关性较强， 所以fk)=m+k+1(2-k-1)++125: (3分) Cx)%四 又k≥5， 所以f(+1)-于()出-会-<0， 又6 r 即f(k+1)<f(k), ∑) 所以函数f(k)在[5，十∞)上单调递减， (y-y)1 于是当友-5时，f()取最大值，且f()m-品： 此时模型最佳。 (6分) (2)当k=7时，m=2-1-7=120, ,形= (y-y)2, 所以当n≥4时，其概率P(n≥4)=1一P(n=2)- P(n=3)=1- C号C浮8 12012015' 所以≥4时的挺率为器 (9分) (3)由题知，X的分布列为 所以= Sy (4分) 2 3 n-1 又2=12，s=3.6, P p(1-p)p(1-p)p…(1-p)"-2(1-p)” 所以6=之-=√-×0.96=V5西X0.0960.53 (12分) 故E(X)=p+2p(1-p)+3p(1-p)2+…+ (6分) (n-1)p(1-p)"2+n(1-p)-1①，(14分) 由题得= 1 又因为(1-p)E(X)=p(1-p)+2p(1-p)2+3p(1 -p)3+…十(n-1)p(1-p)-1+n(1-p)"②， 所以a=y-0x=4-7×0.53=0.29, (8分) (15分) 则y关于x的经验回归方程为y=0.53x十0.29. 由①-②得pE(X)=p+p(1-p)十p(1一p)2+… (9分) +(1-)”-2+n(1-p)"-1-(n-1)p(1-)-1 (2)设该地区“一位车主对A型充电桩的使用表示 n(1一p)" 满意”为事件A,“车主是男性”为事件B, 则该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意， =2·[1-1-)]+p:1-p)-1 1-(1-p) 且这位车主是男性的概率为P(BA). =1-(1-p)", (18分) 又男性对充电桩满意的概率为P(AB)=品=号。 因为0<p<1, 所以E(X)=1-I-)<1 (11分) Pp' 车主对充电桩满意的概率为 (20分) PA)-0+150-0.0X60%-013分 故B(X)< 150 则P(BA)=P(AB)=三5 P(A) 6=8 25 ·117