(6)导数的概念及其几何意义、导数的运算-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) P ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 平均变化率 易 0.82 2 选择题 5 导数的极限定义 易 0.75 3 选择题 5 导数与瞬时速度 易 0.72 利用导数求切线的 4 选择题 5 中 0.65 截距 利用导数的儿何意 选择题 5 中 0.60 义比较大小 6 选择题 5 导数与累乘法求值 J 中 0.55 利用导数的几何意 7 选择题 中 0.40 义求最值 利用导数的儿何意 8 选择题 5 难 0.25 义研究零点问题 9 选择题 6 导数的运算 易 0.75 利用导数研究抽象 10 选择题 6 中 0.40 函数 利用导数研究公切 11 选择题 6 中 0.28 线问题 利用导数求解析式 12 填空题 易 0.82 中的参数 由直线与曲线相切 13 填空题 5 中 0.60 求参 利用泰勒公式估算 14 填空题 5 中 0.35 近似值 导数实际意义的 15 解答题 13 / 易 0.72 应用 复合函数的导数，由 16 解答题 15 直线与曲线相切求 / / 中 0.55 直线的斜率 求曲线在某点和过 17 解答题 15 中 0.50 某点的切线方程 ·33· ·数学· 参考答案及解析 导数与抛物线的 18 解答题 17 中 0.45 综合 19 解答题 17 导数的新定义问题 难 0.28 叁考答案及解析 一、选择题 =0平行，则(1十xo)e0=1,令t(x)=(1十x)e 1.D【解析】平均变化率为π)一f(0) 1,显然t(0)=0,则t'(x)=(2十x)e,当x<-2 元-0 时，t'(x)<0,当x>-2时，t(x)>0,故t(x)= =2x-0-(0-02=2元.故选D. (1十x)e-1在(-o∞，一2)上单调递减，在 π-0 (一2，十∞)上单调递增，当x<-2时，t(x)<0恒 2.C【解析】由导数的定义，f(2) 成立，易知t(x)=(1十x)e-1只有1个零点，即 =imf2+h）-f2)=21imf2+h)-f(2)-1. h 2h 0,所以x。=0,故A点坐标为(0,3)，|AB|的最小值 故选C. 为点A(0,3)到直线1：x-y一3=0的距离，即 3.B【解析】由x=2co(行+5)，可得士=-号· -3-3=32.故选D. 3 V11 sin(吾+)，易得该质点的速度为u()=丈- 8.C【解析】令f(x)=0,得e=-(x-a)2十1，当a ≤0时，y=e与y=一(x一a)2十1显然有公共点，即 -号sm(片+等)w(0)=,所以该质点的初 f(x)有零点，当a>0时，临界条件为曲线h(x)= 6 (x一a)2十1与g(x)=e有一个公共点，如图，设 速度大小为合Tm/s故选B 两曲线相切于点P, 4.C【解折】易知y=子是，当x=1时y-1-a, g(x)=ex 所以曲线y=nx+号在点(1，a)处的切线方程为y -a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x十2a-1,显然 有2a-1=-3,解得a=-1.故选C. 0 5.A【解析】因为∫(x)在[2,4]上为单调递增函数， h(x)=-(x-a)2+1 由导数的意义可知，f'(2),'(4)为曲线在x=2,4 处切线的斜率，所以f(2)<f(4),又由斜率的定 义可知k=f4)f2)=f(4),f(2表示割线 切点的横坐标为xw,h'(x)=一2(x-a),g'(x)=e, 4-2 2 |-2(xo-a)=e0 则利用导数的几何意义可知 的斜率，所以f(2)<f4),f2)<f(4),即 -(x6-a)2+1=eo' 2 2f(2)<f(4)-f(2)<2f(4).故选A a-x+gev, 即 由-十1=0，可解得e0= 6.C【解析】对f(x十1)=2f(x)的两边求导，得 学+1=e 4 ru+D=2r)即》=，所以8 f'(x) 2E-2,所以a=十e=n(2万-2)+万-1， =2. f'(2) =2,…, f(2026) f(2025) =2,累乘可得 所以a的取值范围为(-o,ln(2√2-2)十√2-1].故 f(20262=200.故选C. 选C. f(0) 二、选择题 7.D【解析】由题得f'(x)=(1十x)e,设f(x)= xe+3在点A(xo,xoe0十3)处的切线与l:x-y-3 9.ACD【解析】易知A正确：对于B,=（左广 ·34· 高三一轮复习A ·数学· 红女2石B路对于心 1=l,即1=太，所以e=e,心1=，即 y=()'=(t)'=xt= 2后，故C正确：对 m=b十1，n=品，符合题意，故当a=1时，C和C 于D=3放D正确故选ACD 必存在斜率为的公切线，故D正确，故选ABD, 10.ACD【解析】f(x)是R上的奇函数，因此f(-x) 三、填空题 =-f(x),求导得-f(-x)=-f'(x),即f(-x) 12.-3【解析】因为f(x)=x2+2f(2)x-21nx,则 =f(x),A正确；由f'(x)的图象关于点(1,1)成中 fx)=2x+2f(2)-是，令=2，可得f(2) 心对称，得f(1十x)十f(1一x)=2,B错误：因为 4+2f(2)-1,解得f(2)=-3. f(1十x)+(1-x)=2,所以f(-x)十f(2十x) =2,又f(x)=f(-x),所以f(x)+f(2十x)= 【解析】设切点为(。，二)，由f(x)=,得 2,于是有f(x十2)十f(x十4)=2，所以f(x十4) f(x)=xD,故切线斜率a=(-),由 =∫(x),所以∫(x)是周期函数，4是它的一个周 期，C正确：在f(1+x)十f(1一x)=2中，令x=0, 直线y=a2可知切线过(0,0，放a=受∴会 得f(1)+f(1)=2,即f(1)=1,又f(x)是周期 为4的周期函数，所以(9)=f(1)=1,D正确.故 sD,解得x=2,a=号 x 选ACD. 14.0.84【解析】令f(x)=sinx,则f(x)=cosx, 11.ABD【解析】对于A,由a>0,e>0,得ae>0,可 f"(x)=-sinx,3)(x)=-cosx,4)(x)= 知曲线C的图象在x轴的上方，故A正确；对于B, sinx,故f(0)=0,f(0)=1,'(0)=0,f3)(0)= 当a=1时，C:y=e,C:y=lnx,对于C2:y= nx,有y=子(>0)，因为直线1：y=kx十6为曲 -1…,由麦克劳林公式得，sn=x一司十景 x 芳+，所以n1=1-十一齐十≈0,84， 线C,的切线，设切点为()，所以子=人，即 四、解答题 =合，此时%=n冬=一n,所以切点坐标为 15.解：(1)由已知得1'(t)=4t十3， 它的实际意义是运动员滑雪时在t时刻的瞬时速 (,-lnk),将其代人切线方程y=x十b中，有 度. (3分) -lnk=1十b,可得lnk十b=-1,故B正确；对于C, (2)因为l(t)=4t+3, 当b=0时，公切线l为y=kx,设f(x)=ae,g(x) 所以1(5)=4×5十3=23， =ln工，则f(x)=ae,g'(x)=1(x>0),设1与 所以当t=5s时，运动员的滑雪速度为23m/s. (8分) f(x)切于点(1y),与g(x)切于点(x2y2),所 (3)由题意得2十3t=44, 以f(x1)=aei=k=ae ,8(x)=1=A= 解得1=4或1=号（会去 (10分) In 因为1'(t)=4t十3， 2,解得x==1a=。,故C错误：对于D, 所以1'(4)=4×4+3=19， 当a=1时，令f(x)=e,g(x)=lnx,则f'(x)=e, 所以当运动员的滑雪路程为44m时，此时的滑雪速 度为19m/s. (13分) g(x)=二(x>0),若C,和C存在斜率为的公 16,解：①由题得了()=e(≠0) 切线，则存在m和n使得f'(m)=e=右，g(m)= 函数y=f(2x)可看作由函数f(w)=号和u=2红 ⊥=1（n>0),由选项B可知lnk+b=-1,则 复合而成， ·35· ·数学· 参考答案及解析 则y=fw)d,="e2=器e.8分) 整理得(x0-1)2(2x十1)=0， 1 (2②)不等式了(2x)<-多c等价于2←- 解得=1或，=一合： (14分) 3 2x 即3x2+2x-1<0, 所以切线方程为y十1=-3(x-1)或y-8= .1 解得-1<x<3' (+2): 又x≠0， 即3x十y-2=0或15x-4y+8=0. (15分) 故原不等式的解集为(-1,0)U(0,子)： (6分) 18.解：(1)设M(x,y), (3)设直线1的方程为y=kx, 由题意可得√：+（一）， (3分) 直线l与曲线y=f(x)相切于点(x0,), f(xo)=kxo, 化简得y=十子， 则f()=k: 所以动点M的轨迹方程为y=丈十子 (6分) ero-kxo To 即 (9分) (2)由(1)可知y=2x, x6-1 当x=-1时，可得y=号y=2 两武相除得马了=， 即切点坐标为P(-1,子），切线斜率为-2，《9分) 因为x0≠0， 所以x0=2, (12分) 所以直线QP方程为y-=-2(x+1), 故k=0一1 4 即y=-2x-, (11分) 即直线1的斜率为 (15分) 令y=-1,可得x=日， 17.解：(1)由题得f(x)=3x2-6x, (1分) 即Q(合，- 则(3)=3×32-6×3=9， f(3)=33-3×32+1=1, 由题意可知直线PN的斜率k灬=号， (13分) 所以函数y=f(x)的图象在(3，f(3))处的切线方 程为y-1=9(x-3), 则直线PN的方程为y一号-合（十1D, 即9x-y-26=0. (4分) 1 7 (2)令x=0,得y=-26, 即y=2x+ 令y=0,得x=26 1 7 Γ9 =交x+4 联立 所以该切线与坐标轴围成的三角形的面积为S=) 1 2 y=x2+ ×9×26-3 (8分) x=-1x= 2 解得〈 (3)设切点坐标为(x,x8-3x6十1)， 5 y4y=号 则切线斜率k=3x一6x0, 则切线方程为y-(x8-3x+1)=(3x8-6x6)(x 即N(号，号) (15分) -x0), (10分) 由切线过点(0,2)， 所以△PQN的面积为2|PQ|·IPN 得2-(x8-3x8十1)=(3x6-6x0)(一x), (12分) =2×√-1-名)+(+1) ·36· 高三一轮复习A ·数学· ×√-1-)+（受）- (3)f(x)=mx+nsin x, 64 (17分) 则∫(x)=m十cosx, 19.解：(1)曲线C:f(x)=sinx, 由正弦函数的图象可知：l:y=一1和l2:y=1为曲 “f(受)=m,当x=受时，f(受）=+m 线C的一对“双夹线”， 则过点（受，"2+n)的切线方程为）y=mx十 故曲线C存在“双夹线”. (3分) (2)曲线C:f(x)=x一sinx, 当x受时，（受）=m,(受)=四+， 则(x)=1-cosx, 令f(x)=1,即cosx=0, 则过点（受，必+m）的切线方程也为y=mx十， ∴.直线y=mx十n与f(x)至少存在两个切点 当x=一受时y=-受+1， (13分) 故点(-受，一受+1)是曲线C与1的一个切点： 同理可得，直线y=mx一n与f(x)相切于点 当x=受时，y=受+1， (-受，--)和（受，-小 ∴.直线y=x一n与f(x)至少存在两个切点. 故点（经，经+1）是曲线C与1的一个切点， (14分) .直线1与曲线C至少存在两个切点， (6分) 令h(x)=mx十n,g1(x)=mx-n, 同理可得当x=受时y=受-1， h(x)-f(x)=mx+n-mx-nsin x =n(1-sinx)≥0， 故点（受，苓-1）是曲线C与，的一个切点： 则h(x)≥f(x), 又f(x)-g1(x)=mx+nsin x-mx十n 当x=受时=受-1， =n(1十sinx)≥0， 故点（受，要-1）是曲线C与，的一个切点， 则f(x)≥g1(x), .f(x)在两条直线之间， (16分) .直线2与曲线C至少存在两个切点， 故对于任意的正实数m,n,函数y=f(x)都存在 令g(x)=x+1,h(x)=x-1, “双夹线”， g(x)-f(x)=x十1-x十sinx=1十sinx>0, dk)=2m>0, 则g(x)≥f(x): √m+I 又f(x)-h(x)=x-sinx-x+1=1-sinx≥0， 则d(k)的所有取值构成的集合为(0，十∞). 则f(x)≥h(x), (17分) ∴1和2是函数y=f(x)的一对“双夹线”， d0k)=1-C-1)头=E. (10分) 1+(-1)2 ·37·高三一轮复习周测卷/数学 (六)导数的概念及其几何意义、导数的运算 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.函数f(x)=2x2-sinx在[0，π]上的平均变化率为 A.1 B.2 C.π D.2π 2.已知r)是定义在R上的可导函数，若m2+f2)-2,则了(2) 2h A.-1 C.1 D 3.简谐运动是最基本也最简单的机械振动，其在声学、电子学、光学等领域有着重要的应用.经典 力学的观点认为，当物体进行简谐运动时，其所受的合力与位移成正比.运用经典力学的理论进 一步推演可知，简谐运动的位移x是关于时间t的正弦函数，若某质点做简谐运动，其位移 x(m)关于时间t(s)的关系式为x=2c0(得+十)，则该质点的初速度大小为 A言m B.3x」 6 m/s C.m/s D.m/s 4.已知曲线y=lnx十2在点(1，a)处的切线在y轴上的截距为-3，则a的值为 A.1 B.0 C.-1 D.-2 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则 A.2f'(2)<f(4)-f(2)<2f(4) B.2f'(4)<2f'(2)<f(4)-f(2) C.2f'(2)<2f(4)<f(4)-f(2) D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f(2) 6.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x,且f(x+1)=2f(x),f(x)>0,则f(2026)- f(0) A.2 B.22025 C.22026 D.22027 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 7.已知A是函数f(x)=xe十3图象上的一点，点B在直线l:x-y-3=0上，则AB的最小 值是 A.72e-2 B.3 C.2√2 D.3√2 2e 8.已知函数f(x)=e十(x一a)2一1，若f(x)有零点，则a的取值范围为 A.（-∞，2] B.（-∞，4] C.(-o∞，ln(2√2-2)+√2-1] D.(0,ln(2√2-2)+√2-1] 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是 A.若y=2026x,则y'=2026xln2026 B若y=则y=2后 x C.若y=反，则y=1 D.若y=n(3x-1),则y=3z- 3 2 10.设奇函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,'(x)的图象关于点(1,1)成中心对称，则 A.f'(x)=f(-x) B.f'(1+x)+f(-1-x)=2 C.4是f(x)的一个周期 D.f'(9)=1 11.若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线1：y =kx十b为曲线C1:y=ae(a>0)和C2:y=ln乙(a>0)的公切线，则 A.曲线C1的图象在x轴的上方 B.当a=1时，lnk十b=-1 1 C.若b=0,则a= √e D.当a=1时，G和C必存在斜率为2的公切线 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f(x)=x2+2f'(2)x-2lnx,则f(2)= 13.已知直线y=ax与曲线f(u)=相切，则实数a的值为 14.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存 布时，=0+f0++,++@+其中了e*示fa 的2阶导数，即为f'(x)的导数，f")(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，即为fm-1)(x) (n≥3)的导数.n！表示n的阶乘，即n!=1×2×3×…×n.该公式也称为麦克劳林公式.根据 该公式估算sin1的值为 ·(精确到小数点后两位) 高三一轮复习周测卷六 数学第2页（共4页） 囚 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：)与时间t(单位：s)满足关系式 l(t)=2t+3t. (1)求l关于t的导数，并解释它的实际意义； (2)当t=5s时，求运动员的滑雪速度； (3)当运动员的滑雪路程为44m时，求此时的滑雪速度. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=g (1)求函数y=f(2x)的导数； (2)求不等式了(2x)<-e的解集； (3)若过原点且斜率存在的直线1与曲线y一f(x)相切，求直线l的斜率. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x3-3.x2+1. (1)求曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线方程； (2)求(1)中的切线与坐标轴围成的三角形的面积： (3)求过点(0,2)与曲线y=f(x)相切的直线方程. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系Oxy中，动点M到x轴的距离等于到点(0,2)的距离，记M的轨迹为曲 线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点P(一1，y)为曲线C上的一点，曲线C在点P的切线交直线y=一1于点Q,过P作 直线QP的垂线交C于点N,求△PQN的面积. 19.(本小题满分17分) 若斜率为k的两条平行直线l1,l2,曲线C:y一f(x)满足以下两条性质：(I)l1,l2分别与曲线C 至少有两个切点；（Ⅱ）曲线C上的所有点都在l1,l2之间或两条直线上，则称直线11，l2为曲线 C的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k),已知 曲线C:f(x)=mx十nsin a. (1)判断m=0,n=1时，曲线C是否存在“双夹线”？并说明理由； (2)若m=1,n=-1,则1：y=x十1和l2:y=x一1是否是函数y=f(x)的一对“双夹线”？若 是，求此时d(k)的值；若不是，请说明理由； (3)对于任意的正实数m,n,函数y=f(x)是否都存在“双夹线”？若是，求d(k)的所有取值构 成的集合；若不是，请说明理由. 三一轮复习周测卷六 数学第4页（共4页） 囚