(25)离散型随机变量及其分布列、数字特征、二项分布与超几何分布、正态分布-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（二十五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 离散型随机变量的 1 选择题 易 0.85 分布列性质 二项分布的均值与 选择题 易 0.78 方差 正态分布的实际 3 选择题 5 中 0.70 应用 离散型随机变量的 4 选择题 5 中 0.60 方差 新定义随机变量在 5 选择题 5 中 0.55 指定区间的概率 服从二项分布的随 6 选择题 机变量概率最大 中 0.50 问题 选择题 6 正态曲线的性质 中 0.65 8 选择题 6 标准差、均值的性质 中 0.60 9 填空题 5 3。原则 √ 易 0.85 10 填空题 5 两点分布 J 难 0.30 超几何分布的均值 11 解答题 13 与分布列，全概率公 易 0.80 式的应用 与离散型随机变量 的均值有关的证明 12 解答题 15 中 0.60 问题、计算古典概型 问题的概率 利用条件概率、独立 事件的乘法公式以 13 解答题 20 中 0.40 及互斥事件的概率 解决实际问题 ·111. ·数学· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 P(X=k6)≥P(X=k-1) ,即 1.D【解析】由题得0.05十0.007+0.08+m+2m+ P(X=k)≥P(X=k。+1) 0.23=1,解得m=0.211,所以P(X≤8)=1- c(3)(2)“≥(3)()" P(X=9)-P(X=10)=1-0.211×2-0.23= 0.348.故选D. c()产()≥()"(3) 2.D【解析】由D(2X)=E(3Y),得4D(X) 解得号<k,<号，又因为0<k≤10，k∈Z,所以k 3E(Y),所以4mp(1-p)=3np,解得p=号(p=0 =5.故选B. 舍去).故选D. 二、选择题 3.C【解析】因为X~N(100,o2),且P(90≤X≤100) 7.AC【解析】变量X服从正态分布N(0,o2),当σ变 =0.1,所以P(100≤X≤110)=P(90≤≤100)= 大时，峰值逐渐变小，正态曲线逐渐变“矮胖”，随机变 0.1,所以P(X>110)=0.5-P(100≤X≤110)=0.5 -0.1=0.4,又因为高一有学生980人，所以该校高 量X的分布逐渐变分散，因此P(一号<X<)变 一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980× 小，正态分布曲线的最高点下移.故选AC 0.4=392.故选C 8.ACD【解析】对A,B,由题知E(y)=E(2)=60, 4.D【解析】由题知a十a十b十a-b=1,解得a= √D(y)=16,√/D(2)=15,因为M=0.8十20,2 =0.75.x2十25，所以0.8E(x1)+20=60,0.75E(x2)+ 由题得0号+6号，0≤-6号则-一<b 25=60,0.8√D()=16,0.75√D(x)=15,解得 号，所以E(X)=a十6+2a-2b=3a-6=1-6, E(x1)=50,E(x2)≈46.7，√D(x1)=20, √D(x2)=20,所以E(x1)>E(x2),√D(x1) D(X)=号1-6)2+（号+6）B+(3-b)1+ √D(2),故A正确，B错误；对C,因为y一x1=20 6)=-6-6+号，因为-号<b≤号，所以--b -0.2x1,x1∈[0,100]，所以0≤20-0.2x1≤20，即 y1一≥0，所以C正确；对D,作出函数y=0.8x十 +号∈[号，号]，所以D)∈[号号]故选D, 20,y=0.75x十25的图象，如图所示： 5.D【解析】函数f(x)十关于y轴对称， y=0.8x+20 100-------- y=0.75x+25 由P(1x<5)=号，可知P(o<x<)=, 且P(停<X<1)品则P(X>1)=号-言-立 =,所以P(X>1)=2X十=六故选D. x2x1100 6,B【解析】每下落一层向左或向右落下等可能，概率 由图可知，当y1=y2<100时，有x2<x1,又因为y= 均为2，每一层均要乘以号，共做10次选择，故X服 0.8x十20单调递增，所以当y1>y2时必有x1>x2,D 正确.故选ACD. 从二项分布B(10,号)，则E(X)=10×号=5，由题 三、填空题 得P(X=k)最大，则 9.5【解析】依题意，=400，由3o原则，得400十3a≤ ·112· 高三一轮复习A ·数学· 415,解得≤5，所以。的最大值是5. =0.9(1-p)十0.5p=0.8, 1o[号] 【解析】因为随机变量X,Y分别服从成 解得p=0,25. (13分) 12.解：(1)记“1号球不在1号盒中”为事件A, 功概率为号，子的两点分布，则P(X=0)=子， 则P(A)=CA-3 A-41 (5分) PX=1D=号，PY=0)=,P(Y=1)=是，所以 (2)记“恰有一个小球号码与所放盒子号码相同”的 XY=0或1，所以E(XY)=0×P(XY=0)+1× 事件为B, P(XY=1)=P(XY=1)=P(X=1,Y=1)=P(X= 则P(B)= (6分) 1D+PY=1)-P(X=1或Y=I)=吕-P(X=I (3)X的可能取值为0,1,2,4，且X+Y=4, 或Y=1),因为P(X=1或Y=1)≤1，且P(X=1或 PX=0)是- 3 y=1)≥maxP(X=1),P(Y=1)1=是，所以-1≤ PX=1)=, -P(X=1或Y=D<-所以<号-P(X=1 p(X=2)-是= C1 或Y=ID≤号，即E(Xn的取值范围是[，号] P(X=4)==24' 1 1 四、解答题 所以E(X)=0X号+1X号+2X+4X7=1, 11.解：(1)(1)P(=3)= (3分) C (9分) (ⅱ)由题可知的所有可能取值为2,3,4，且服从 所以E(Y)=E(4-X)=4-E(X)=3,(10分) 超几何分布， 当X=0时，Y=4,X=4时，Y=0,此时XY=0, P(=2)=CC=2 C 7 则P(XY=0)=冬+-品： 15 - P(=4)=C (6分) 当X=1时，Y=3,此时XY=3, 由(1)知P(=3)=号， P(Xy=3)=寸 当X=2时，Y=2,此时XY=4, 故的分布列为： P(XY=4)= (13分) 3 2 则Ex)=0x+3x号+4x=2 (14分) 因为E(X)E(Y)=1×3=3, 则E()=2×号+3×号+4X号 20 (8分) 所以E(X)E(Y)>E(XY). (15分) (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“输入 13.解：(1)第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获 的问题有语法错误”为事件B,“回答被采纳”为事 胜，第三场小容获胜，满足题意； 件C, 第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场 由已知得P(C)=0.8,P(CA)=0.9,P(CB)= 小郅获胜，满足题意， 0.5,P(B)=p,P(A)=1-p, 所以需要进行第四场比赛的概率为号×冬×十十 由全概率公式得P(C)=P(A)·P(C|A)+ P(B)·P(C|B) ××-最 (4分) ·113· ·数学· 参考答案及解析 (2)由题意，最终小金获胜的情况如下， 此时号×子×子-器 当小金第一场轮空， 所以小容第一场轮空，小金获胜的概率P:=28十 3 第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场 小金胜小容输， 31315 (12分) 此时时×合×是×子=品 128+16-64 第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场 同理，当小郅第一场轮空，小金我胜的概率乃-品， 小金胜小郅输， (13分) 此时时×××是=品 故小金获胜的概率为P=P十P,十P,一品 则小金获胜的概率P一是十品-是： (15分) (8分) (3)设事件A:小金最终获胜；事件B:小郅第一场未 当小容第一场轮空， 轮空且获胜， 第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场 则P(AB)= P(AB) 小金胜小睿输，第四场小金胜小郅输， P(B)' 此时时××××=品 结合(2)知P(AB)-品十2828 3315 第一场小金胜小郅输，第二场小容胜小金输，第三场 P(B)=号×号+号×=子 小郅胜小睿输，第四场小金胜小郅输， 此时××}×号×=品： 所以PAB)--是 (20分) 第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输， ·114·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (二十五)离散型随机变量及其分布列、 数字特征、二项分布与超几何分布、正态分布 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知随机变量X的分布列如下表所示，则P(X≤8)= X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.007 0.08 m 2m 0.23 A.0.652 B.0.559 C.0.441 D.0.348 2.已知随机变量X~B(n,p),Y~B(n,p2),若D(2X)=E(3Y),则p= A后 R品 c D.青 3.某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N(100,σ)， 已知P(90≤X≤100)=0.1，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数约为 A.784 B.490 C.392 D.294 4.已知离散型随机变量X的分布列如下，则D(X)的取值范围是 0 1 2 a a+b a-b A(后》 B[3,】 c[号 [8g 5.柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从 柯西分布C(y,x),其中当y=1,x=0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)= a已知XC1,0.P(X≤号)=方P(<X≤)-立则px>1)= B. c 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一 6.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木 钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的 过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格子从左到 右的编号分别为0,1,2，·，10，用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X=k)≤P(X=k。), 则k。= A.4 B.5 C.6 D.7 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知变量X服从正态分布N(0,62),当。变大时，则 AP-<X<)变小 B.P(-2<X<)变大 C.正态分布曲线的最高点下移 D.正态分布曲线的最高点上移 8.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以y1=0.8x1十20，y2= 0.75x2十25的方式赋分，其中x1,x2分别表示甲、乙两班原始考分，y1,y2分别表示甲、乙两班考 后赋分.已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则 A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高 B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高 C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数 D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的 原始分数高 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 2 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.统计学中通常认为服从于正态分布N(4,2)的随机变量X只取[4一3。十3σ]中的值，简称为 3。原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400,σ)（单 位：g),某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g,他立即判断生产线 出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，σ的最大值是 10,若随机变量X,Y分别服从成功概率为号，的两点分布，则上(X的取值范围是 轮复习40分钟周测卷二十五 数学第2页（共4页） A 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言 来进行对话.聊天机器人模型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时， 如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回 答被采纳的概率为50%. (1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中 抽取4个，用ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数. (1)求=3时的概率； (ⅱ)求的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%， 求卫的值. 12.(本小题满分15分) 将号码为1,2,3,4的4个小球等可能地放入号码为1,2,3,4的4个盒子中，每个盒子恰放1个 小球， (1)求1号球不在1号盒中的概率； (2)求恰有一个小球号码与所放盒子号码相同的概率； (3)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X,不同的个数为Y,求证：E(X)E(Y)> E(XY). 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为 合，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对奔，胜者继缕与上一场轮空者比赛，另一人轮 空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.每场比赛的结果相互独立. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要进行第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率； (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率. 一轮复习40分钟周测卷二十五 数学第4页（共4页） A