(26)概率与统计的综合-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（二十六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 样本数字特征的 1 选择题 5 易 0.94 意义 2 选择题 5 二项分布的方差 易 0.85 3 选择题 估计总体的方差 0.73 选择题 求三项展开式中的 4 中 0.70 常数项 相邻问题的排列 选择题 中 0.55 问题 独立重复试验的概 6 选择题 5 率问题 L 中 0.40 互斥事件与对立事 7 选择题 6 件关系的辨析、独立 中 0.55 事件的判断 概率与样本数字特 选择题 6 中 0.40 征的综合应用 9 填空题 5 非线性回归方程 易 0.85 10 填空题 全概率公式的应用 / 中 0.60 利用独立性检验解 11 解答题 13 决实际问题，二项分 易 0.80 布的概率最值问题 正态分布的实际 12 解答题 15 易 应用 0.75 互斥事件，独立事件 13 解答题 20 中 0.40 的实际应用 ·115· ·数学· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 圈，有(5-1)！种排法，又因为甲，乙2人可换位，有 1.B【解析】对于①：随机事件A的概率是频率的稳定 2！种排法，故所求排法为(5-1)！×2！=48种.故 值，频率是概率的估计值，正确：对于②：某人打靶，射 选D. 击10次，击中7次，那么此人中靶的频率为0.7，但概 6.C【解析】按题意，任一旅客在第i站不下车的概率 率不一定为0.7，故错误；对于③：每次掷硬币正面朝 为品，因此20位旅客都不在第：站下车的概率为 上为随机事件，掷6次，不一定有3次“正面朝上”，故 错误：对于④：买彩票中奖为随机事件，可能发生可能 (品)，在第：站有人下车的概率为1-（品）”，所 不发生，故错误.故选B. 2.B【解折】由题意可得D(X)=10×兮×号-智， 以P(X,=0)= 品)P(x=1)=1-(品) 则D(Y)=9D(X)=20.故选B. =1210,由此E(X)=1-(号)》”i=1,2…, 3.C【解析】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均 10,所以E(X)=E(X1十X2十…十X。)=E(X1) 分分别为x1,x2,该班男生组成绩和女生组成绩的方 +E(X)+…+E(Xo)=10[1-(8)]≈ 差分别为s=15,s=10,两个组的总平均分为x,则 8.784(次).故选C. 30 该班成绩的方差=30十20[+（工一工）门十 二、选择题 20 30+20[号+（元-x2)2]= 3[s十(x-x1)2] 7.ACD【解析】列举各事件如下：A:{(1,2), 5 (1,3)},A2:{(3,4)},A:{(1,3),(2,3), 2[+(元-2)]≥3时+2过=13，当且仅当x= 5 5 (3,4)},A:由互斥事件同时发生的概率为0，即 =x2时等号成立，则方差最小值为13.故选C. P(A1∩A2)=0,A正确；B:由对立事件的概率和为 4.D【解析】(x-士-1)广表示5个代数式x 1 1,PA)==，PA)=是=+1 1的乘积，在5个x一士-1中各取一项相乘，常数项 B错误：C:因为P(AA)=日=言=P(A)X 分为三种情况：①5个代数式都取一1相乘，得 P(A)=号×号，C正确：D:事件A:nA (-1)5=一1：②3个代数式都取-1，另外2个代数 {(3,4)},事件A1∩A={(1,3)},为互斥事件，不 式分别取，一工，相乘得C(-1)C(-子) 可能同时发生，D正确.故选ACD 20:③1个代数式都取-1，其余2个代数式都取x,2 8ABD【解折】由题意知P(X=)-是∈0,12， 个代数式都取-二，相乘得(-)CrG· 34,5).则P(X=0)=号=克P(X=1)=最 (-士)=一30，所以展开式中的常数项为-1十20 品P(X=2)-是-品P(x=3)=是=是， -30=-11.故选D 5.D【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个 PX=4)-是=高P(X=-器=克对于A 不同元素围成的环状排列剪开看成”个元素排成一 排，即共有n！种排法，由于n个不同元素共有n种 众数是1，说明添加的数为1，则P(X=1)=最，A正 不同的剪法，则环状排列共有=(m一1)！种排法。 确；对于B,极差不变，说明添加的数X∈{0,1,2,3， 甲、乙两人相邻，可将此2人当作1人看，即5人围一 4,则极老不变的夏率是1一P(X=5)-影B正确： ·116· 高三一轮复习A ·数学· 对于C,由于5×25%=1.25,6×25%=1.5，故原数 H。不成立，即认为M社区的居民是否喜欢网上购 据和新数据的第25百分位数均为第2个数，只要添 物与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于 加的数不为0，原数据和新数据从小到大排列后，第 0.001. (6分) 二个数相同，都为1，故第25百分位数不变的概率是 (2)根据题意，M社区的居民中，喜欢网上购物的频 1-P(X=0)=1-立-影，C错误：对于D原样本 率P=品=0.6， 数据的平均值为0+1+2+3+4=2，平均值变大，则 (1)现从M社区居民中随机抽取3位，记其中喜欢 5 网上购物的居民人数为X,则X~B(3,0.6), 添加的数要大于2，即X∈{3,4,5}，故平均值变大的 所以E(X)=3×0.6=1.8. (8分) 概率是P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= +是 10 ()现从M社区居民中随机抽取20位，记其中喜 十克宁，D正确放选ABD, 欢网上购物的居民人数为X,则X~B(20,0.6), 故P(X=k)=C。0.60.420,其中k=0,1,2,…, 三、填空题 20, (10分) 9.(6.25,4) 【解析】由已知y=b√反十a,设t=√反，则 C0.60.420-k y=t十a,由回归直线性质可得(t,y)在直线y=t十 则=89=号×2- a上，又i=1+2+3+4=2.5,y=1+2.98+5.01+7.01 63-3k (12分) 4 2k 4 =4,所以点(2.5,4)在直线y=bt+a上，故点(6.25， 当1≤k≤12时，t=63,3k>1,则有P(X=)> 2k 4)在曲线y=6反+a上. P(X=k-1), 10.0.06【解析】设B=“任取一个零件为次品”，A,= 当13≤k≤20时，t=633k<1,则有P(X=k)< “零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),A1,A2,A 2k 两两互斥，根据题意得P(A1)=0.2,P(A)=0.4, P(X=k-1), P(A3)=0.4,P(B|A1)=0.1,P(BAg) 故k=12时，P(X=k)取得最大值， (13分) P(B|A)=0.05,由全概率公式得P(B)= 12.解：(1)依题意X~N(180,o2), P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 令y=X-180,则YN(0,1), =0.2×0.1+0.4×0.05十0.4×0.05=0.06.故任 30 3 取一个零件，它是次品的概率为0.06. 所以可得P(X≥360)=2000-200，P(X<360)=1 四、解答题 11.解：(1)根据题意，由统计图可得2×2列联表： 200=0.985, 喜欢 不喜欢 合计 则P(Y<360180)=0.985, 45岁以上 20 30 50 又因为P(Y≤2.17)≈0.985， 不超过45岁 40 10 50 则360180≈2.17， 合计 60 40 100 解得6≈83. (5分) 零假设为H。:假设M社区的居民是否喜欢网上购 (2)由(1)可得X~V(180,832), 物与年龄没有关联， 设最低录取分数为x0, 则x2= 100×(20×10-40×30)2 50 3 ≈16.667 50×50×60×40 则P(X≥x)=P(Y≥2180 3003 83 2000201 10.828, (4分) 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断 则P(<)=1品 =0.85 ·117· ·数学· 参考答案及解析 则2180≈1.04， 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜， 83 第四局乙获胜； 所以x6≈266， 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜， 即最低录取分数约为266分 (10分) 第四局乙获胜， (3)考生甲的成绩为286分>266分， 故P(A)=p(1-p)十pp1(1-p2)p+(1- 所以甲能被录取， p)p:(1-p1)p3. (10分) P(X<286)=P(Y<286-180) ≈P(Y<1.28) (3)设B为“第一局乙对甲最终乙获胜”，C为“第一 83 局甲对丙而最终乙获胜”， 0.900. 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1一 可得P(B)=(1-p1)p+(1-p)(1-p)· 0.900=0.100,约有2000×0.100=200， p2(1-p)十p1(1-p)p(1-p1)； 即考生甲大约排在第200名，排在275名之前， P(C)=p2(1-p1)p+(1-p2)p(1-p1) 所以甲能获得高薪。 (15分) =p(1-p), (12分) 13.解：(1)由题意可知，X=2,3,4, 显然P(B)-P(C)=(1-p1)(1-p)p· 所以P(X=2)=0.6×0.6+0.4×0.6=0.6, (1-p)+p1(1-p2)p(1-p1)>0, P(X=3)=0.6×0.4×0.4+0.4×0.4×0.4= 故P(B)>P(C), (15分) 0.16, P(A)-P(B)=[pp(1-p2)p-p1(1-p)· P(X=4)=0.6×0.4×0.6+0.4×0.4×0.6= p(1-p1)]+[(1-p)p2(1-p)ps 0.24, (4分) (1-p1)(1-p3)p2(1-p1)] 所以三人总积分X的分布列为 =（p1十p-1)p1(1-p2)p+(p1十p3-1)(1 p)p2(1-p1) X 2 3 =(p+p-1)[p1(1-p2)p+(1-p)p2(1- 0.6 0.160.24 p], 所以E(X)=0.6×2十0.16×3十0.24×4=2.64. 由于p1+p<1, (6分) 故P(A)-P(B)=(p+p-1)[p1(1-p)P (2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”， +(1-p:)2(1-p)]<0, 其中A包含三种情况， 所以P(B)>P(A), (18分) 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 故乙的最优指定策略是让乙和甲打第一局.(20分) ·118高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (二十六)概率与统计的综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列说法正确的有 ①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值； ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7； ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上； ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.已知随机变量X~B(10,3),若随机变量Y=3X+2,则D(Y)= A.10 B.20 C.30 D.32 3.某班组织全班学生开展职业健康知识问卷调查.已知该班男生30人，女生20人.根据统计分 析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为15,10，则该班成绩的方差最小值为 A.23 B.185 C.13 D.175 .(-- 的展开式中的常数项为 A.30 B.-30 C.11 D.-11 5.甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有 A.6种 B.12种 C.24种 D.48种 6.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达某一车站没有 旅客下车就不停车，设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并且各位旅客是否下车相互独立. 以X表示停车次数，则E(X)= (已知随机变量X服从两点分布，且P(X,=1)=1一P(X;=0)=q:,i=1,2,…,,则 E(∑X,)=(∑9)，0.9≈0.1216) A.8.623 B.8.652 C.8.784 D.8.786 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中任意摸出 两个球.设事件A1=“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件A2=“摸出的两个球的编号都大于 2”,事件A3=“摸出的两个球中有编号为3的球”，则 A.A1与A2是互斥事件 B.A,与A是对立事件 C.A,与A是相互独立事件 D.A2∩A3与A1∩A3是互斥事件 8,有一组样本数据0,1,2,3,4，添加一个数X形成一组新的数据，且P(X=)= C (k∈{0,1,2,3,4,5})，则新的样本数据中 A众数是1的概率是最 B.极差不变的概率是 2 C.第25百分位数不变的概率是品 D.平均值变大的概率是 1 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知x,y之间的一组数据如表所示： 1 4 9 16 1 2.98 5.01 7.01 若y与：满足经验回归方程y=b√元十a,则此曲线必过点 10.有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床，加工的次品率为10%，第二、三台为新车 床，加工的次品率均为5%，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一、二、三台车床加工的 零件数分别占总数的20%，40%，40%.任取一个零件，则它是次品的概率为 轮复习40分钟周测卷二十六 数学第2页（共4页）】 囚 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 现在网络购物已成为居民购物的重要途径.据统计M社区100户居民的网上购物情况如下图 表所示： 年龄超过45岁居民统计表年龄不超过45岁居民统计表 人数↑ 人数↑ 40人 30人 20人 10人 喜欢不喜欢 喜欢不喜欢 (1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为M社区的居民是否喜欢网上购物与年龄 有关联？ (2)用频率估计概率，现从M社区的居民中随机抽取n位，记其中喜欢网上购物的居民人数为 X,P(X=k)表示n位居民中有k位居民喜欢网上购物的概率. (i)若n=3,求X的期望E(X); (ⅱ)若n=20,当P(X=k)取最大值时，求k的值. n(ad-be)2 附：x=a+bC+i)a+c)b+d①其中n=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 12.(本小题满分15分) 某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普 薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为X,且X~N(,o2),已 知所有考生考试的平均成绩=180，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求σ的值；（结果保留整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由. 参考资料：①当X~N(4,)时，令Y=X二，则Y一N(0,1. 6 ②当YN(0,1),P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863， P(Y≤1.04)≈0.85. 13.(本小题满分20分) 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 p1,甲与丙比赛时，甲获胜的概率为2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为3 (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛 结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进 行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结 束.假设p=2==0.6,且每局比赛相互独立，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与 期望； (2)求“第一局乙对丙最终乙获胜”的概率； (3)若1+p3<1,假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最 优指定策略. 一轮复习40分钟周测卷二十六 数学第4页（共4页） 囚