(6)导数的概念及其几何意义、导数的运算-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (六)导数的概念及其几何意义、导数的运算 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.函数f(x)=2x2-sinx在[0，π]上的平均变化率为 A.1 B.2 C.π D.2π 2.已知r)是定义在R上的可导函数，若m2+f2)-2,则了(2) 2h A.-1 C.1 D 3.简谐运动是最基本也最简单的机械振动，其在声学、电子学、光学等领域有着重要的应用.经典 力学的观点认为，当物体进行简谐运动时，其所受的合力与位移成正比.运用经典力学的理论进 一步推演可知，简谐运动的位移x是关于时间t的正弦函数，若某质点做简谐运动，其位移 x(m)关于时间(s)的关系式为x=2os(后+)，则该质点的初速度大小为 合ms B.3 6 -m/s C若m/s D.等m/s 4.已知曲线y=lnx十a在点(1，a)处的切线在y轴上的截距为一3，则a的值为 A.1 B.0 C.-1 D.-2 5.已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则 y 4 A.f(3)<f'(2)<f(3)-f(2) 3 B.f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) 2 C.f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) D.f(3)-f(2)<f(2)<f'(3) 01234x 6.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x+1)=2f(x),f()>0,则f(3026)= f(0) A.2 B.22025 C.22026 D.22027 7.已知A是函数f(x)=xex十3图象上的一点，点B在直线l:x一y一3=0上，则AB的最小 值是 A.72e-2 B.3 C.2√2 D.3√2 2e 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 8.已知函数f(x)=e+(x一a)2一1，若f(x)有零点，则a的取值范围为 A.(-0∞，2] B.(-∞，4] C.(-o∞，ln(2√2-2)+√2-1] D.(0,ln(22-2)+√2-1] 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是 A.若y=2026x,则y'=2026xln2026 服右店侧 C.若y=√(，则y=1 2√ D若y=n(3x1),则y337 10.已知曲线y=f(x)在原点处的切线与曲线y=xf(x)在(2,8)处的切线重合，则 A.f(2)=4 B.f'(2)=3 C.f(0)=4 D.曲线y=f(x)在(2，a)处的切线方程为y=a 11.已知函数f(x)与g(x)及其导函数f'(x)与g'(x)的定义域均为R,f(x)是偶函数，g(x)的图 象关于点(1,0)对称，则 A.g(3)=-g(-1) B.f'(x)是奇函数 C.g'(x)是偶函数 D.f[g'(2-a)]=f[g'(a)] 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）》 12.已知函数f(x)=x2+2f(2)x-2lnx,则f(2)= 13.已知函数f(x)=lnx-a.x-a3,a∈R,曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=2x十b, 则a十b= 14.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存 在时，f)=f0+/@)x+0》+0r++0r+其中rr表示f 3! n! 的2阶导数，即为f(x)的导数，fm)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，即为fm-1)(x) (n≥3)的导数.n！表示n的阶乘，即n!=1×2×3×…×.该公式也称为麦克劳林公式.根据 该公式估算sin1的值为 ·(精确到小数点后两位) 高三一轮复习周测卷六 数学第2页（共4页） ® 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：)与时间t(单位：s)满足关系式 1(t)=2t+3t. (1)求l关于t的导数，并解释它的实际意义； (2)当t=5s时，求运动员的滑雪速度； (3)当运动员的滑雪路程为44m时，求此时的滑雪速度. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)- (1)求函数y=f(2x)的导数； (2)求不等式了(2x)<一c的解集； (3)若过原，点且斜率存在的直线1与曲线y=f(x)相切，求直线1的斜率. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x3-3x2+1. (1)求曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线方程； (2)求(1)中的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (3)求过点(0,2)与曲线y=f(x)相切的直线方程. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系Oy中，动点M到x轴的距离等于到点(0,2)的距离，记M的轨迹为曲 线C (1)求曲线C的方程； (2)已知点P(一1，yo)为曲线C上的一点，曲线C在点P的切线交直线y=一1于点Q,过P作 直线QP的垂线交C于点N,求△PQN的面积. 19.(本小题满分17分) 小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数y=ax十b当ab>0时 的图象特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自 研究了函数y=ax十么当b<0时的图象特点与基本性质，发现这类函数在y轴两边“同升同 降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二 了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：f(x)=pe十qx一m和g(x)= √x十n一m2.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： (1)当q=1,m=0时，经过点Q(一1,0)作曲线y=f(x)的切线，切点为P.求证：不论p怎样变 化，点P总在一个“双升双降函数”的图象上： (2)当p=1,q=0,m>0时，若存在斜率为1的直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，求”的 77 最小值 三一轮复习周测卷六 数学第4页（共4页） ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) P ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 平均变化率 易 0.82 2 选择题 5 导数的极限定义 易 0.75 3 选择题 5 导数与瞬时速度 易 0.72 利用导数求切线的 4 选择题 5 中 0.65 截距 利用导数的儿何意 选择题 5 中 0.60 义比较大小 6 选择题 5 导数与累乘法求值 中 0.55 利用导数的几何意 7 选择题 中 0.40 义求最值 利用导数的儿何意 8 选择题 5 义研究零点问题 块 0.25 9 选择题 6 导数的运算 易 0.75 利用导数研究公切 10 选择题 6 中 0.40 线问题 利用导数研究抽象 11 选择题 6 / 难 0.28 函数 利用导数求解析式 12 填空题 5 易 0.82 中的参数 由直线与曲线相切 13 填空题 中 0.60 求参 利用泰勒公式估算 14 填空题 5 中 0.35 近似值 导数实际意义的 15 解答题 13 易 0.72 应用 复合函数的导数，由 16 解答题 15 直线与曲线相切求 / / 中 0.55 直线的斜率 求曲线在某点和过 17 解答题 15 中 0.50 某点的切线方程 ·29· ·数学· 参考答案及解析 导数与抛物线的 18 解答题 17 中 0.45 综合 19 解答题 17 导数的新定义问题 难 0.28 叁考答案及解析 一、选择题 -3-3=32.故选D 1.D【解析】平均变化率为f(π)二f(0) 1十1 π-0 8.C【解析】令f(x)=0,得e=-(x-a)十1，当a =2x-0-02-0)=2元.故选D. ≤0时，y=e与y=一(x一a)2十1显然有公共点，即 π0 f(x)有零点，当a>0时，临界条件为曲线h(x)= 2.C【解析】由导数的定义，f(2) =mf2+）-1@-21mf2+h)-2-1. -(x-a)2十1与g(x)=e有一个公共点，如图，设 两曲线相切于点P, h 2h 故选C 3.B【解析】由x=2o(名+号），可得x=-子· g(x)=ex sin(骨+)，易得该质点的速度为()=丈- P 一晋（告计），u(0)=-后，所以该质点的初 6 -- 速度大小为严ms.故选B, 6 h(x)=-(（x-a2+1 4C【解析】易知y=士÷当x=1时y=1-@… 所以曲线y=nx十是在点(1，a)处的切线方程为y 切点的横坐标为xo,h'(x)=一2(x-a),g(x)=e, 则利用导数的几何意义可知 1-2(xo-a)=e'o -a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x+2a-1,显然 1-(x。-a)2+1=eo' 有2a-1=-3,解得a=-1.故选C. 5.B【解析】根据导数的几何意义可得f(2)为曲线 a=xo+2eo: 即 在x=2处切线的斜率，f(3)为曲线在x=3处切线 由-学十1=心，可解得c0 的斜率，过点(2，f(2)),(3,f(3))的直线的斜率 +1=e0 4 为k=f3)二f2-f(3)-f(2),则由函数图象 2E-2,所以a=十号e=h(2万-2)+万-1， 3-2 可知f(2)<f(3)-∫(2)<f(3).故选B. 所以a的取值范围为(-∞，ln(2√2-2)十√2-1].故 6.C【解析】对∫(x十1)=2f(x)的两边求导，得 选C. f(x+D=2f(),即-2，所以 二、选择题 f(x) f(0) =碧=2f是器 f(2026) 9ACD【解析】易知A正确：对于By-=(后)/ =2,累乘可得 1 f(2026)=202,故选C. f(0) 7.D【解析】由题得f'(x)=(1十x)e,设f(x)= =()=()y=t-后放C正确，对 xe十3在点A(x0,xoeo十3)处的切线与l:x-y-3 3 =0平行，则(1十x)e0=1,令t(x)=(1十x)e 于D,y=3x故D正确.故选ACD 1,显然t(0)=0,则t'(x)=(2十x)e',当x<-2 10.ACD【解析】令g(x)=xf(x),则g'(x)= 时，t'(x)<0,当x>-2时，t(x)>0,故t(x)= f(x)+xf(x),依题意g(2)=2f(2)=8,解得 (1十x)e-1在(-∞，-2)上单调递减，在 f(2)=4,故A正确；依题意可得曲线y=f(x)在 (-2,十∞)上单调递增，当x<-2时，t(x)<0恒 成立，易知t(x)=(1十x)e一1只有1个零点，即 原点处的切线过点(2,8)，所以了(0)=号=4， 0,所以x=0,故A点坐标为(0,3)，|AB|的最小值 故C正确；又g'(2)=f(2)+2f(2)=f(0)= 为点A(0,3)到直线l:x一y一3=0的距离，即 4,所以f(2)=0,故B错误；则曲线y=f(x)在 ·30· 高三一轮复习B ·数学· (2,a)处的切线方程为y=a,故D正确.故选ACD. 即3x2+2x-1<0, 11.ABD【解析】对于A,g(x)的图象关于点 (1,0)对称，故g(2-x)=-g(x),令x=-1,得 解得-1<<号， g(3)=-g(-1),A正确：对于B,f(x)是偶函 又x≠0， 数，故f(一x)=f(x),两边求导得一f'(-x)= 故原不等式的解集为(-1,0)U(0,号) (7分) f(x),又函数f(x)与导函数f'(x)的定义域均 为R,故f(x)为奇函数，B正确；对于C,g(2一x) (3)设直线l的方程为y=kx, =一g(x)两边求导得-g'(2x)=一g(x),即 直线l与曲线y=f(x)相切于点(xo,y), g'(2-x)=g'(x),故g'(x)的图象关于直线x= 1对称，无法得到g'(x)为偶函数，C错误；对于D, 则 由C选项知，g'(2-a)=g(a),故f[g(2-a)] =f[g'(a)],D正确.故选ABD. 即 (9分) 三、填空题 x6-1 12.-3【解析】因为f(x)=x2+2f'(2)x一2lnx,则 f(x)=2z+2f(2)-2,令x=2,可得了2) 两式相除得， 0-1=x0, 因为x0≠0， 4十2f(2)-1,解得f(2)=-3. (12分) 13.一1【解析】由于f(x)=lnx-ax-a3,a∈R,故 所以x0=2, fx)=-a:f1)=2+6f1)=2-a 故k=0一1 "o=c2 4, -a3=2十b,1-a=2,解得a=-1,b=0,则a十b= 即直线1的斜率为号 (15分) 一1. 17.解：(1)由题得f(x)=3x2-6x, (1分) 14.0.84【解析】令f(x)=sinx,则f(x)=cosx, 则f(3)=3×32-6×3=9, f"(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f()()= sinx,故f(0)=0,f(0)=1,f'(0)=0,f(0)= f(3)=3-3×32+1=1, 所以函数y=f(x)的图象在(3，f(3)处的切线方 一1，…，由麦克芳林公式得，sinx=x x 31十5 程为y-1=9(x-3), 芳+…，所以sm1=1一动+分六+08就 即9x-y-26=0. (4分) (2)令x=0,得y=-26, 四、解答题 15.解：(1)由已知得'(t)=4t+3, 令y=0,得9， 它的实际意义是运动员滑雪时在t时刻的瞬时速 所以该切线与坐标轴围成的三角形的面积为S=号 度. (3分) (2)因为1(t)=4t十3， ×9×26=38 9 (8分) 所以(5)=4×5+3=23， 所以当t=5s时，运动员的滑雪速度为23m/s. (3)设切点坐标为(x0,x8一3z6十1)， 则切线斜率k=3x号-6x0, (8分) (3)由题意得2t+3t=44, 则切线方程为y一(x8-3x号十1)=(3x6-6x0)(x 一x0) (10分) 解得1=4或1=号（舍去）， (10分) 由切线过点(0,2)， 因为1(t)=4t十3， 得2-(x8-3x6十1)=(3x-6x)(-x), 所以((4)=4×4+3=19， (12分) 所以当运动员的滑雪路程为44m时，此时的滑雪速 整理得(x6-1)(2x十1)=0， 度为19m/s. (13分) 解得=1或=一子， (14分) 16.解：1)油题得了(x)=e(x≠0)， 1 所以切线方程为y十1=一3(x一1)或y-8= 函数y=f(2x)可看作由函数f(w)=g和u=2x (+2): 复合而成， 2=2器e.8分 即3x+y-2=0或15x-4y十8=0. (15分) 则y=∫(u)·w,=1 18.解：(1)设M(x,y), 2不等式了(2)一名等价于号， 由题意可得1y-√：+(-)厂， (3分) ·31· ·数学· 参考答案及解析 化简得y=+子， 则f(x)=pe+1, (2分) 设P(x0,y%), 所以动点M的轨迹方程为y=十十 (6分) 则切线方程为y-y%=(pe十1)(x一x), 代入Q(-1,0),得-w=(pe0十1)(-1-x0), (2)由(1)可知y=2x, 又因为y=pe0十xo, 当x=-1时，可得y=号=-2。 于是可得y=-L (6分) 即切点坐标为P(-1,),切线斜率为-2，(9分) 即点P在“双升双降函数”y=工一上的图象上. 所以直线QP方程为y-号 =-2(x+1), (7分) 即y=-2x一是， (2)当p=1,9=0时，f(x)=e-m, (11分) 则f(x)=e,g(x)=。1 (9分) 令y=一1，可得x=名， 2Vn 设曲线y=f(x)在点A(x,e1一m)处的切线斜 即Q(日，-1)， 率为1， 则e1=1,所以x1=0, 由题意可知直线PN的斜率kw=之， 1 (13分) 则A(0,1-m), 设曲线y=g(x)在点B(x2,√/2十n-m2)处的切 则直线PN的方程为y-号-名(x+1), 线斜率为1， 1 即y=子子 7 则 =1, (12分) W/x2干n 所以=-，B(-，-m) 联立 y=x+4 1 所以直线AB的斜率之m一1十m 1 1 x= 所以=一m十， (15分) 由于m≥0， 即N(受，号)， (15分) 所以△PQN的面积为令|PQ|·|PN 所以” =m十3-1 Am =合×√(-1-日)+（得+1） ≥2m·-1=5-1,当且仅当m-9时取 等号， ×√(-1-)+(-)- (17分) 所以是的最小值为3-1. (17分) 19.解：(1)当q=1,m=0时，f(x)=e十x, ·32·