(25)离散型随机变量及其分布列、数字特征、二项分布与超几何分布、正态分布-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（二十五） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 离散型随机变量的 1 选择题 5 易 0.85 分布列性质 二项分布的均值与 选择题 / 易 0.78 方差 由离散型随机变量 3 选择题 5 易 0.73 的均值求参 正态分布的实际 4 选择题 5 中 0.70 应用 离散型随机变量的 选择题 中 0.60 方差 6 新定义随机变量在 选择题 S 中 0.50 指定区间的概率 选择题 6 正态曲线的性质 分 0.65 8 选择题 6 标准差、均值的性质 中 0.60 9 根据正态曲线的对 填空题 5 易 0.85 称性求参 独立重复试验的概 10 填空题 5 中 0.60 率问题 超几何分布的均值 11 解答题 13 与分布列，条件概率 易 0.80 公式的应用 12 解答题 15 正态分布的应用 中 0.70 新定义题，二项分布 13 解答题 20 0.15 与导数的综合 难 ·111· ·数学· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 大时，峰值逐渐变小，正态曲线逐渐变“矮胖”，随机变 1.D【解析】由题得0.05十0.007十0.08十m十2十 量X的分布逐渐变分散，因此P(-合<X<号)变 0.23=1,解得m=0.211,所以P(X≤8)=1 P(X=9)-P(X=10)=1-0.211×2-0.23= 小，正态分布曲线的最高点下移.故选AC. 0.348.故选D. 8.ACD【解析】对A,B,由题知E(y)=E(2)=60, 2.D【解析】由D(2X)=E(3Y),得4D(X)= √D(y1)=16,√D(2)=15,因为yM=0.8十20， =0.75.x2十25，所以0.8E(x1)+20=60,0.75E(x2)+ 3E(Y),所以4np(1-p)=3np2,解得p=7(p=0 25=60,0.8√D(x1)=16,0.75√D(x)=15,解得 舍去).故选D E(x1)=50,E(x2)≈46.7，√D(x1)=20, 3.A【解析】由题得P(X=G)=号，P(X=0) √D(x2)=20,所以E(x1)>E(x2),√D(1)= 吉，P(X=D=号，所以E(X)=号a+0X号+1 √/D(x2),故A正确，B错误；对C,因为y一x1=20 -0.2x,x∈[0,100]，所以0≤20-0.2≤20，即 ×号=4，解得a=3(a=-3舍去).故选A. y1一≥0，所以C正确；对D,作出函数y=0.8x十 4.C【解析】因为X~N(100,g2),且P(90≤X100) 20,y=0.75x十25的图象，如图所示： =0.1,所以P(100≤X≤110)=P(90≤X≤100)= y=0.8x+20 0.1,所以P(X>110)=0.5-P(100≤X≤110)=0.5 100 y=0.75x+25 一0.1=0.4，又因为高一有学生980人，所以该校高 一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980× 0.4=392.故选C 5.D【解析】由题知a十a十b十a-b=l,解得a=3, x21100 由题得0号+6<号，0<分-6<号则-子<长 由图可知，当y1=y2<100时，有x2<x1,又因为y= 号，所以E(X)=a+6+2a-26=3a-b=1-b, 0.8x十20单调递增，所以当y1>y2时必有x1>x2,D 正确.故选ACD. D(X)=31-6)+(号+b)B+(号-6)1+ 三、填空题 6=-6-6+号，因为-号<6≤号，所以-6-6 9.2【解析】由题意得，a-3十2a十1=2×2，解得a =2. +号∈[号，g],所以DXe[号，g],故选D 10 10.729 【解析】由题意得P(X=6)=C(号)× 6.D【解】函数f()=十关于y轴对称， (1-)×号-=品 由P(Ix<)=号，可知P(o≤X<)=吉 四、解答题 11.解：(1)由题意得X的可能取值为0,1,2， 且P(停<X≤1)立则P(X1)号-G-立 P(X=0)= CC3 C%14’ =,所以P(x>1)=2×十=令，故选D. P(X=1)= cici-4 C 二、选择题 nX=-晋= (6分) 7.AC【解析】变量X服从正态分布N(0,o2),当σ变 ·112· 高三一轮复习B ·数学· 所以X的分布列为： N(100,号). X 0 2 即服从正态分布N(1000,(5)2), 3 1 记。=√5 数学期望E(X)=0× 3 +1 +2× 14 =1. 可得x=5×(1000+1007+1012+1013+ 14 1013)=1009 (13分) (8分) (2)设事件A=“最后得分为8分”；事件B=“恰取 而1009>1000+3√5， 到一个红球”， 即x>十3o, 由题意，最后得分为8分有两种情况：取到2个白球 因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这 1个红球或1个黑球2个红球， 时生产线生产不正常. (15分) 所以P(A)=CC+CC=9 13.解：(1)因为XB(3,号)， C 81 P(AB)= 所以m=P(X=)=C(号)广（号）=C罗 C 14 (11分) (k=0,1,2,3), 3 所以P(BA)=PCAB 14-2 P(A) 9 因为Y~B(3,号)， 28 即在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的 所以=P(Y=)=C(号广（号）》=C器 概率为子 (13分) =0,1,2,3), 23-6 12.解：(1)电阻阻值X服从正态分布N(1000,52), C 所以= 27 =23-2张(k=0,1,2,3),(4分) 所以=1000，o=5. (2分) c·27 所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取 1只，这只电阻阻值在[995,1000]的概率为 所以DXID=∑x,ln k=0 P1=P(995X1000) =P(-≤X≤) Xh2+C×号Xn2+Cg -GX 27X In 2-1 =2Pg-KX≤+o≈0,341350.341 +C×号xn2=n2. (7分) (5分) (2)因为x=P(X=k)=Cp(1-p)2-(k=0,1, (2)由(1)得生产正常时，从这条生产线生产的电阻 2), 中抽取1只，这只电阻阻值在(1005,1010]的概 %=P(Y=0)=吉，=P(Y=1)= 3’y= 率为 P2=P(1005<X≤1010) P(Y=2)=G =P(H十σ<X≤μ十2o) 所以D(X‖Y)= =(P(-2≤X<+2o)-P(-G<X≤g+ y g))≈0.1359. (8分) 十z,ln Ve 因此抽取2只时，这两只电阻的阻值在区间 =(1-p)2n[6(1-p)2]+2p(1-p)ln[3p(1- [995,1000]和(1005,1010]内各一只的概率P= p)]+pln(6p2). (10分) 2P1P2≈2×0.34135×0.1359=0.09277893≈ 令f(p)=(1-p)ln[6(1-p)2]+2p(1-p)· 0.093 (10分) ln[3p(1-p)]+pln(6p2), (3)生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布 则f(p)=-2(1-p)ln[6(1-p)2]-2(1-p) ·113· ·数学· 参考答案及解析 +(2-4p)ln[3p(1-p)]+2-4p+2ln(6p) 所以D(XYD的最小值为号n号 (14分) +2p =(-2+4p)ln6-2ln(1-p)+2lnp+ (3)令9(x)=lnx-x+1, (2-4p)ln3 则)=士1=子 =2lnp-2n(1-p)+(4p-2)ln2, 易得当x∈(0,1)时，9(x)>0, 令g(p)=2lnp-2ln(1-p)+(4p-2)ln2, 当x∈(1，十o∞)时，9(x)<0, 期)=号+子。+2 故9(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调 因为0<p<1, 递减， 所以g'(p)>0, 所以Hx∈(0，十o∞)，g(x)≤g(1)=0, 故g(p)在(0,1)上单调递增， 所以lnx≤x-l, 又g(2)=0, 所以当0<p<号时，g(p)<0,即f(p)<0: 所以n之1一子 当2<p<1时g(p)>0,即f(p)>0, 所以Xn=空h是>空(1-尝) 所以f(p)在(0，)上单调递减，在(2,1)上单 -2)-2-空n=11=0 调递增， 即D(X‖Y)的值不可能为负数. (20分) 所以f(p)=f(2)=2n号， ·114·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (二十五)离散型随机变量及其分布列、 数字特征、二项分布与超几何分布、正态分布 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知随机变量X的分布列如下表所示，则P(X≤8)= 4 6 7 8 9 10 P 0.05 0.007 0.08 2m 0.23 A.0.652 B.0.559 C.0.441 D.0.348 2.已知随机变量X~B(n,p),Y~B(n,p2),若D(2X)=E(3Y),则p= A.言 我品 c D号 3.已知a>1,随机变量X的所有可能取值-a,-1,0,1,a是等可能的，且E(X)=4,则a= A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 4.某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N(100,σ2)， 已知P(90≤X≤100)=0.1，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数约为 A.784 B.490 C.392 D.294 5.已知离散型随机变量X的分布列如下，则D(X)的取值范围是 0 1 P a+b a-b A号》 B[】 C. [层] 6.柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X服从 柯西分布C(y,x),其中当y=1,x=0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)= 尼知XC10.PX≤)=了(<X1)=立则pX>1) 1 A司 R号 数学第1页（共4页）》 衡水金卷·先享题·高三一 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知变量X服从正态分布N(0,σ2)，当σ变大时，则 AP(-2<X<)变小 B.P(-3<X<)变大 C.正态分布曲线的最高点下移 D.正态分布曲线的最高点上移 8.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以y1=0.8.x1十20，y2= 0.75x2十25的方式赋分，其中x1,x2分别表示甲、乙两班原始考分，y1,y2分别表示甲、乙两班考 后赋分.已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则 A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高 B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高 C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数 D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的 原始分数高 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知随机变量~N(2,32),若P(<a-3)=P(>2a+1),则实数a的值为 10.已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为力(0<1)，我们称将试验进行至事件A发生r 次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记X~NB(r,p).若X~NB(5,专)，则 P(X=6)= 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球、3个白球、4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，记取到的红球个数为X,求X的分布列和数学期望； (2)若从袋中一次性取出三个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，求在 最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 轮复习40分钟周测卷二十五 数学第2页（共4页）】 B 12.(本小题满分15分) 一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：2)服从正态分布V(1000,52). (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，求这只电阻的阻值在区间 [995,1000]的概率；（精确到0.001） (2)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间 [995,1000]和(1005,1010]内各一只的概率；（精确到0.001） (3)根据统计学的知识，从服从正态分布V(,o)的总体中抽取容量为的样本，则这个样本 的平均数服从正态分布N,)某时刻，质检员从生产线上拍取5只电阻，测得阻值分别为： 1000,1007,1012,1013,1013(单位：2).你认为这时生产线生产正常吗？请说明理由. 参考数据：若X~N(μ，o2),则P(μ-o≤X≤u十σ)≈0.6827，P(-2≤X≤μ十2o)≈ 0.9545,P(-3o≤X≤μ+3σ)≈0.9973，√5≈2.236. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 设离散型随机变量X和Y的分布列分别为P(X=ak)=xk,P(Y=a)=yk,xk>0,yk>0,k= 0,1,2,…,n, 之，=之=1.定义DXD=空，用来刻面X和Y的相似程度. 设X~B(n,p),0<p<1. (1)若n=3,p=专Y~B3,号)求DXY: (2)若n=2,且Y的分布列为 Y 0 1 2 P 1 2 1 3 6 求D(X‖Y)的最小值； (3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y,证明：D(X‖Y)的值不可能为负数. ·轮复习40分钟周测卷二十五 数学第4页（共4页）】 ®