(2)一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (二)一元二次函数、方程和不等式 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={x-x2十2x十3≤0}，B={1,2,3,4,-1,-2},则A∩B= A.{4,-2} B.{3,4,-1,-2} C.{xx≥3} D.{xx≤-1} 2.设x>0,y>0,且x十4y=30,则1的最小值是 A.2嘉然 R始 c君 D.1 3.已知一次函数y=ax十b的图象如图所示，则二次函数y=ax2十bx的图象可能是 D 4.河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富 的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展.河南某连锁酒店 截止到2025年9月底共有500间客房，2025年国庆期间，若每间客房每天的定价是200元，则 均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10，x∈Z),则被租出 的客房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每 间客房每天的定价应为 A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 5.已知关于x的方程x2+2(m一2)x十m+4=0的两根为x1,x2,且两根的平方和比两根之积大 21,则m的值为 A.-1或17 B.1或-17 C.-1 D.17 6.已知实数a为常数，且a≠0，a≠1，函数y=(ax一1)(x一a).甲同学：y>0的解集为（一o∞，a)U (合十∞：乙同学：<0的解集为（一©，a)U(合十∞）：丙同学：函数图象的对称轴在y轴右 侧.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则α的取值范围为 A.(-∞，-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 7,已知关于x的不等式ax2十2x十4<0的解集为m,),其中m<0,则6的取值范围为 A(,+∞） B.(2,十oo) C.[2,+oo) (x2-x-2>0 8.已知关于x的不等式组 的整数解的集合为{一2}，则实数k的取值范 2.x2+(2k+5)x+5k<0 围为 A.(-3,2) B.[-3,2) C.(-3,2] D.[-3,2] 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a>b>c>0,则下列不等式一定成立的是 A.ac2026>bc2026 1 1 B. a2025b2025 C.a-atc bb+c a 10.已知正实数a,b满足ab十a十b=8,则 A.ab的最大值为4 B.a十b的最小值为2 C.a+2b的最小值为6√2-3 D+方的最小值为1 11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中 的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在Oxy平面上，把与定点M(一a,0),N(a,0)距离之 积等于a(a>0)的动点的轨迹称为双纽线2.若P是该双纽线2上的一个动点，则 A.双纽线2关于坐标轴对称 B.点P的横坐标的取值范围是[一a,a] C.|OP2的最大值是2a2 D.PM+|PN|的取值范围是[2a,2√2a 班级 姓名」 分数 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.不等式(x十1)3(2-x)(x+4)≥0的解集为 13.已知一1<x十y<3,2<x一y<4,则x的取值范围是 ,2x十y的取值范围是 (本题第一空2分，第二空3分) 14.已知a,b为非负实数，且2a十b=1,则2a++1的最小值为 a+1+b 高三一轮复习周测卷二 数学第2页（共4页） ® 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知二次函数f(x)满足f(0)=0,请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面 问题 ①f(x+2)=f(x+1)+2x+1;②不等式f(x)<x+4的解集为(-1,4) (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)的图象在区间[一2，m]上的值域为[一1,8]，求实数m的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16.(本小题满分15分) 已知正数a,b,c满足a十b十c=2. (1)若c=1,证明：√a十√b≤√2； (2)证明：a2+6十c2≥(a+b)2+(b+c)2+(c十a)2 4 4 4； (3)求√a2+b+√+2+√a2+c2的最小值. 17.(本小题满分15分) 某企业于2025年初引入新设备，采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利 用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月 处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y一-20x十8000，且每处理一吨二氧化 碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元 才能使该单位不亏损？ 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)=m.x2-nx-6十m. (1)若对于m∈[一2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围； (2)若对于Hx∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； (3)解关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1(m∈R). 19.(本小题满分17分) 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数 y=[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[-1.2]=-2. (1)求- ≤[x]≤号的解集和2[x]2-11[x]十15≤0的解集： (2设方程[x-门 0的解集为A,集合B={x2x2-11k.x+15k2≥0}，若AUB=R,求k 的取值范围； (3)若[x]2-2[x]-a2+1≤0的解集为{x|0≤x<3},求a的取值范围. 三一轮复习周测卷二 数学第4页（共4页） B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) V ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 解一元二次不等式， 1 选择题 易 0.90 交集运算 由基本不等式求积 2 选择题 易 0.82 的最值 二次函数图象的 选择题 0.72 识别 易 一元二次不等式的 4 选择题 5 中 0.65 实际应用 元二次方程的根 5 选择题 中 0.62 与系数的关系应用 与一元二次不等式、 6 选择题 二次函数有关的逻 分 0.60 辑题 由一元二次不等式 选择题 中 0.50 的解集求参 不等式组的整数解 8 选择题 中 0.35 问题 9 选择题 6 不等式的性质 易 0.75 由条件等式结合基 10 选择题 6 中 0.55 本不等式求最值 利用基本不等式解 11 选择题 6 中 0.30 决几何问题 12 填空题 5 解高次不等式 易 0.75 利用不等式的性质 13 填空题 中 0.60 求代数式取值范围 利用基本不等式求 14 填空题 5 分式型代数式的 L 为 0.35 最值 ·5 ·数学· 参考答案及解析 求二次函数的解析 15 解答题 13 式，由二次函数值域 易 0.72 求参 利用基本不等式证 16 解答题 15 中 0.55 明不等式及求最值 基本不等式的实际 17 解答题 15 中 0.50 应用 一元二次不等式恒 18 解答题 17 成立问题，解含参的 中 0.45 一 元二次不等式 与一元二次不等式 19 解答题 17 难 0.28 有关的新定义题 叁考答案及解析 一、选择题 1 1.B【解析】易求得A={xx≤-1或x≥3}，所以A 1,故a<-1:若丙正确，则对称轴为x=a十a 2 ∩B={3,4,-1,-2}.故选B. 2.A【解析】因为x,y>0,所以x+4y≥4√y,即30 1十4>0，所以4>0，因为只有一个同学的论述是错 2a ≥4V四，所以y<要，当且仅当x=4且x十 误的，只能是乙错，所以0<a<1.故选C. =30.即1=15，y=只时等号成立，所以之嘉放 7B【解析】因为m和是方程a2+2+4=0的 4 选A. 两个根由书达定理可得a十品=一之mX名= m a 3.D【解析】由一次函数的图象可知a<0,b>0,所以 →4-1满足题设.将4=1代入m十4=一2业，得到 二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且对称轴为 m a 直线x=一会>0.故选D m+ 4 =-26:即6=-(m+)）=2(-m十 4.C【解析】依题意，每天有(500-15.x)间客房被租 m·4=2,当且仅当一m 出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为(500一15.x)· (200+10x)=-150x2+2000.x+100000.因为要使 该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所 即m=一2时取等号：义由题意知加≠一2，所以 等号取不到，所以b的取值范围为(2，十∞).故选B. 以-150x2+2000x+100000>106600,即3x2 8.B【解析】由x2-x-2>0,可得x>2或x<-1;由 40x十132<0，解得6<r<号因为1<r<10且z∈ 2x2+(2k十5)x+5k<0,可得(2x十5)(x+k)< Z,所以x=7,即该连锁酒店每间客房每天的租价应 0().①若-<-号，即>号，则由()，可得-大 定为270元.故选C. 5.C【解析】因为关于x的方程x2+2(m-2)x十m <x<-5 ，此时原不等式的解集为（一，一吕），显 十4=0的两根为x1,x2,则△=4(m-2)2一4(m2十4) ≥0，即m≤0,01十x2=-2(m-2),x1,x2=m2+4,因 然不符合题意：@若长=号，则由(*，可得x∈， 为x十x=x1x2十21，所以(x1十x2)2=3x1x2十21， 显然不符合题意：③若k<号，则由()，可得-号< 所以4(m-2)2=3(m2+4)+21,即m2-16m-17 0,解得m=-1或m=17(舍)，所以m=-1.故选C. x<一k,此时要使不等式组的整数解的集合为 {-2},须使-2<-k≤3，即一3≤k<2.综上可得， 6.C【解析】若甲正确，则a>0,且】>a,所以a2<1, 实数k的取值范围为[一3,2).故选B. 则0<a<1:若乙正确，则a<0,且a<,所以d> 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,因为22>0，a>b,所以 ·6 高三一轮复习B ·数学· ac2o26>bc2026,故A正确：对于B,因为a>b>0,所以 2a2+4a2=8a2,所以√/(x十a)2+y+ 0<日<方所以点<散B正确：对于C.因 √(x-a)十y≤2W2a,所以|PM+|PN|的取 为若-8+：-at+0-6a8 值范围是[2a,2√2a],故D正确.故选ACD. b(b+c) 6(b+c,又a 三、填空题 >6>>0,所以8名}>0.即号>8：故C不正 12.{xx≤一4或-1≤x≤2}【解析】分别令各个因 式为0，可得根依次为一1,2，一4.利用数轴“穿针引 确：对于D.因为日<石所以->-义> 线”法可得不等式的解集为{x|x≤一4或一1≤x≤ 2}. 所以a->b方，故D正确，放选ABD 10.ACD【解析】因为ab+a+b=8,则(a+1)(b+1) =9,对于A,8=ab十a十b≥ab十2√ab,当且仅当a =b=2时取等号，于是ab十2√ab-8≤0，解得0< ab≤4，因此ab的最大值为4，A正确；对于B,9= (a+1D(b+1D≤(a+1+b+1),当且仅当a=b=2 2 时取等号，则a十b>4,B错误：对于C,a=十一1： 9 则a+26=是-1+26=是+26+D-3≥ 9 13.(乞2）（-号)【解析】：-1<x+y< /9 9 3.2<r-y<41<2r<7,即日<<7又2r十 2√61·2(b+1)-3=6W2-3,当且仅当6 2(6+1D,即6=3y2-1时取等号，C正确：对于D, y=(x+)+(x-y).-+号< 3 2 由A知0<长1，敬+名--8地-8 号(x+)+分(x-)<号+2，即2x+y b ababab 1≥冬-1=1，当且仅当a=6=2时取等号，D正确 () 14.2【解析】a,b为非负实数，且2a十b=1,结合目标 故选ACD. 11.ACD【解析】设P(x,y)是双纽线2上任意一点， 式，有≥0，b>0.6=1-2u>0,解得0<a<2,2a 根据双纽线的定义得√(x+a)十y· =1-b≥0，解得0<6≤1,2知+十1 a+1T b √(x一a)十y=a,整理可得双纽线2的方程为 2(a+1)2-4(a+1)+2++1=2(a+1)-4+ x2+y2十a2=a√4.x2十a,对于A,将x换成-x,y a+1 b 换成一y,方程均不变，故双纽线2关于坐标轴对称， +6+合=(a+b-2)+品+古-品 2 故A正确：对于B,方程x2+y十a2=a√4x十a整 1 理可得y=√a+4ax-x2-a2,由y≥0可得 石-1品+-2+=专[2a+2)+1: √a+4ar-x2-a2≥0，即x-2ax2≤0，解得 (a2+方)）(6+2+202)≥(5+ -√2a≤x≤√2a,故B错误；对于C,OP12=x2十y =√a十4a2x2-a2,因为-√2a≤x≤√2a,所以x2 2√2·a)=8.当且仅当2=2。 b ≤2a2,所以√a+4ax2-a2≤2a2,即|OP|2≤2a2, 即6=1,8=0时等号成立，放（异十号-） 故C正确；对于D,√(x十a)十y+√(x-a)+y ≥2√√(x+a)+y7·√(x-a)+y=2a,当且仅 2.脚(+)=2 当√(x+a)2+y=√(x-a)2+y,即x=y=0时 四、解答题 取等号，（√(x+a)2+y+√(x-a)2+y)2=(x 15.解：(1)设f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)， 由f(0)=0,得c=0, +a)2+y2+(x-a)2+y2+2√(x+a)+y· 即f(x)=a.x2+bx(a≠0)， (1分) √(x-a)2+y=2(x2+y2)+2a2+2Xa2≤2× 若选择①： 。7 ·数学· 参考答案及解析 则a(x+2)2+b(x十2)=a(x+1)2+b(x+1)+ 当且仅当a=b=c= 2.x+1, 时等号成立。 即2a.x+3a+b=2x+1, (4分) 所以√++√+C+√a+Z的最小值为2√2. 则2a=2,3a+b=1, (15分) 解得a=1,b=-2, 17.解：(1)由题意可知每吨二氧化碳的平均处理成本 即f(x)=.x2-2x. (7分) 为之=是+80000 2 -200(400≤.x≤600)， 若选择②： 则不等式a.x2+(b-1)x一4<0的解集为 因为+ 80000 -200≥2Λ/ x 80000 -200= (-1,4),即a>0, 且方程ax2+(b-1)x-4=0的两根为一1和4， 200, (6分) 则(-1)+4=-62，(-1)X4=二4 (4分) 当且仅当号 80000,即x=400时等号成立， a x 解得a=1,b=-2, 所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处 即f(.x)=x2-2x. (7分) 理成本最低， (8分) (2)由(1)知，函数f(x)=x2-2.x的图象开口向上， (2)该单位每月的获利 对称轴为直线x=1,且f(1)=-1,f(-2)=8, f(.x)=100.x 1 200.x+80000 若f(x)在[-2，m]上的值域为[-1,8]， 1 则m≥1， (10分) = 2 (x-300)2-35000, (11分) 令x2-2x=8,解得x=-2或x=4, 因为400≤x≤600，函数∫(x)在区间[400,600]上 根据二次函数的图象知，m≤4， 单调递减， (12分) 综上所述，实数m的取值范围为[1,4]. (13分) 从而得当x=400时，函数f(x)取得最大值， 16.解：(1)因为正数a,b,c满足a十b十c=2, f(x)mx=f(400)=-40000, 若c=1,则a十b=1, 所以该单位每月不能获利，国家至少需要补贴 可得a+6)≤(a)+(6)=a+6=1, 40000元才能使该单位不亏损， (15分) 2 18.解：(1)设f(x)=g(m)=m.x2-m.x-6十m=m(.x2 (3分) x+1)-6, 当且仅当后=石，即a==之时等号成立， 则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数为x 所以a+√b≤√2， (5分) -+1=(-）+>0 (2)由基本不等式得(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+2 所以g(m)在[-2,2]上单调递增. (2分) 十a2十b=2(a2+b6),当且仅当a=b时取等号， 所以g(m)<0恒成立等价于g(2)=2(x2-x十1) (7分) -60, 同理(b+c)2≤2(b+c2),(c+a)2≤2(2+a2), 解得-1<x<2, 三式相加得(a+b)2+(b十c)2+(c+a)2≤4(a2+b 故实数x的取值范围为（一1,2）. (4分) 十c2),当且仅当a=b=c时取等号. (2)要使f(x)=m.x2-m.x-6+m=m(x2-x十1) 则a+F+c2≥a+b)++c2+c+a -6<0在[1,3]上恒成立， 4 4 即m(x2-x+1)<6,x∈[1,3]， (9分) 因为当x∈[1,3]时，x2-x+1∈[1,7]， (3)因为a2+≥a+b) 2 ,当且仅当a=b时等号 6 成立， 则有m<-9行在[13]上恒成立， 即y号u+6 同理可得v后7号a+o.v于7≥号6+o 则m<号， (11分) 故实数m的取值范围为(-©，号) (9分) 所以Va++√B+C+Va+C≥(2a+2b (3)hm.x2+(1-m).x+m-2<m-1, 2 化简得1.x2+（1-m)x-1<0, +2c)=2√2， (13分) 即(m.x+1)(x-1)<0, (10分) ·8 高三一轮复习B ·数学· 当m=0时，x一1<0，解得x<1. (11分) 当m>0时，对于不等式(m.x+1)(x-1)<0,解得 当<0时<，此时B=（(-,3]U[号，十o） 又AUB=R, (12分) k<0 当-1<m<0时，对于不等式(m.x+1)(x-1)< 0,解得x<1或x>-1 (13分) 则8之立解得-日<<0： (9分) m 当m=一1时，对于不等式(1.x十1)(x-1)<0,解 得x<1或x>1, (14分) 当k>0时，x1>x2,此时B= 当m<-1时，对于不等式(m.x十1)(x-1)<0,解 (-,2]U[3k,+o), 得>1或r<-1 (15分) 又AUB=R, 综上所述，当m<一1时，关于x的不等式解集为 k>0 (-,)U1,+o): 1 ，解得0<k≤3 (10分) 当m=一1时，关于x的不等式解集为 3<号 (-o∞，1)U(1,+∞)； 当一1<m<0时，关于x的不等式解集为 综上所述，一 1 6 ≤≤立 （-,1U(-+o): 即长的取值范固为[-日，号] (11分) 当m=0时，关于x的不等式解集为(-∞，1)： (3)不等式[x]2-2[x]-a2+1≤0， 当m>0时，关于x的不等式解集为(-1)小： 即([x]+a-1)([x]-a-1)≤0， (17分) 由方程([x]+a-1)([x]-a-1)=0, 19.解：(1)由题意得[x]≤x<[x]+1,且[x]∈Z, 可得[x]=1-a或1+a. ①若a=0,不等式为[x]2-2[x]+1≤0， 由-号<[]<号，即-2<[x]<2, 即[x]=1, 所以一2≤r<3, 所以0≤x<1,显然不符合题意； (13分) 故-5<[x]≤号的解集为{x-2≤x<31: ②若a>0,1-a<1+a, 由([.x]+a-1)([x]-a-1)≤0， (2分) 解得1-a≤[x]≤1十a, 由2[x]2-11[.x]+15≤0， 因为不等式的解集为{x|1一a≤[x]≤1+a}= 即([x]-3)(2[x]-5)≤0， {x|0≤x<3}={x|-1<[.x]<3}, 所以号≤[x]<3,则[x]=3, 所以-1<1-a≤0 l2≤1+a<3 ,解得1≤a<2, (15分) 所以3≤x<4, ③若a<0,1+a<1-a, 所以2[x]一11[x]+15≤0的解集为 由([x]+a-1)([x]-a-1)≤0， {x|3≤x<4}. (4分) 解得1十a≤[x]≤1一a, 2[-号门=0.则o≤x-<1. 因为不等式的解集为{x|1十a≤[x]≤1-a}= {x|0≤x<3}={x|-1<[x]<3}, 则-<<，即A=(-,号)， (5分) 所以。一1<1+a≤ ,解得-2<a≤-1， 令2x-1x十15k=0.得=30，=号， 2≤1-a<3 综上所述，-2<a≤-1或1≤a<2, 当k=0时，B=R,此时AUB=R,成立；(7分) 故a的取值范围为（一2，一1]U[1,2). (17分) ·9·