(5)函数的图象、函数与方程、函数的应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (五)函数的图象、函数与方程、函数的应用 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 日要求的) 1.“a≤一2”是“函数f(x)=a.x十3在区间[一1,2]上存在零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数f(x)=2x2十1一cosx的零点个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 3.对数螺线在自然界中广泛存在，比如鹦鹉螺的外壳就是精度很高的对数螺线，向日葵种子的排列 方式、松子在松果上的排列方式等都和对数螺线高度吻合.已知某种对数螺线可以用P,=ae表 示，其中a>0,x∈[0，+∞)，则 A.De.05PsinOin 1.5 B.pe.osPin 1.5 Psin C.psinpin 1.pe.05 D.pnl.5>psim7>peo.时 4.若函数f(x)=24a.x2+4x一1在区间[一1,1]上只有一个零点，则实数a的取值范围为 A(8) c(-石+∞) D.-U(-g) 5.薯条作为一种油炸食品，风味是决定其受欢迎程度的基础.米其林三星级大厨Heston Blumenthal 对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行了整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”，用来解 释食物品质与油炸时间之间的关系.在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t(单位：mi)满 足函数关系p=at十bt十c(a,b,c均为常数)，如图，记录了三次实验的数据，根据函数模型和实验 数据，可以得到最佳煎炸时间为 P 80------7 70 50--- 2347 A.2.25 min B.2.75 min C.3.25 min D.3.75 min 6.当a≥e时，关于x的方程e十x+lnx=lna+是在区间[1，十∞)上实根的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.若正实数a,b满足a≠b,则函数f(x)=(白)广与函数g(x)=a十bz的图象可能是 o12 2o12 2-12 B. D 8.已知函数f)=y一2+ar≥2(。>0且a≠1D,若存在实数a,使得函数)=r)-a有三个 |a-2|,x<2 零点，则a的取值范围为 A.(0,1) B.(1,+∞) c(合 D.(1,2) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x一1)+f(x-2),且当x<3时，f(x)=x,则 A.log2 f(2)>logs f(1) B.f(4)>5 C.f(10)<88 D.f(10)>89 10.已知函数f(x)= (x十21一3，≤0下列关于方程f(x)=k的实数解个数的说法正确的是 -2+lnx,x>0, A.当k<一4时，方程有0个实数解 B.当k<一4时，方程有1个实数解 C.当k≥0时，方程有2个实数解 D.当一4<k≤一3时，方程有3个实数解 11.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，对Hx∈R,f(2一x)=f(x)+f(2),且当x1,x2∈ [0,1],c1≠，时，f）二f）>0,则 x1一x2 A.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=0 B.直线x=一5是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在区间[-7,7]上有5个零点 D.f(x)在区间[一7，-5]上单调递减 班级 姓名」 分数 题号 2 4 5 6 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）》 1x+1,x≤0， 12.已知函数f(x)= 则函数y=f(f(x))一1的所有零点构成的集合为 logax,x>0, 13.已知函数f(x)= 十b的图象过原点，且无限接近于直线y=3但又不与该直线相交，则 当x≥0时，函数g(x)=f(x)一3+1的最大值为 一轮复习单元检测卷五 数学第2页（共4页） ⑧ 14.若关于x的方程2mx2十3.x一m十1=m2x2+(m十1)x一1的解集为⑦，则实数m的取值范 围为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知实数a>0,b>0. (1)比较a2+a与2ab-b2的大小： (2)若a十b+3=ab,求ab的最小值. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ln(x2+2.x+m),m∈R. (1)若f(x)只有一个零点，求m的值： (2)证明：曲线y=f(x)是轴对称图形； (3)若f(x)的值域为R,求m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用95℃ 的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好 的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1mi测量一次茶水温度，得到茶水温度y与时间t 的部分数据如下表所示： 时间t/min 0 1 义 5 水温y/℃ 95.0088.0081.7076.0370.9366.33 (1)给出以下三种函数模型：①y=at十b;②y=a·b+c(a>0,0<b<1);③y log。(t十b)(b>0,a>1),请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由， 并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)按(1)中所求解析式，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间.（精确到0.1，参考数 据：lg3≈0.477,1g5≈0.699) 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知定义在（一o∞，0）U(0,十o∞)上的奇函数f(x)满足：对Hx1,x2∈(0，十∞)，且x1≠x2,都有 c2f()-f）<0成立，且f(1)=2. x1-x2 (1)若函数g(x)=x) (ⅰ)求证：函数g(x)是偶函数； (ⅱ)求函数g(x)的单调区间； (2)求不等式f(x)>2x的解集. 19.(本小题满分17分) 若函数f(x)满足：对任意正实数s,t,都有f(s)十f(t)<f(s十t),则称f(x)为“H函数”. (1)分别判断函数f(x)=x2与g(x)=ln(.x十1)是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数h(x)=3r十x一3a为“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)为“H函数”，f(1)=1,且对任意正实数s,t,都有f(s)>0,f(t)>0,证明：对任 意e(2,2)(eN.都有f)-f(）>受-名 三一轮复习单元检测卷五 数学第4页（共4页）】 ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 5 与零点有关的充分必 易 0.85 要条件 2 选择题 5 函数零点个数的判断 多 0.80 指数型函数的应用，比 3 选择题 5 易 较大小 0.72 由函数的零点个数求 4 选择题 分 0.65 参数取值范围 选择题 5 二次函数的实际应用 女 0.60 6 选择题 5 方程实根的个数 中 0.55 7 选择题 函数图形识别 中 0.48 8 选择题 5 由分段函数的零点个 数求参数取值范围 中 0.30 9 选择题 6 抽象函数的不等式 0.72 问题 10 选择题 方程的实数根问题 公 0.60 11 选择题 6 抽象函数性质的综合 女 0.45 12 填空题 5 求嵌套函数的零点 0.68 指数型函数的图象，利 13 填空题 5 中 0.50 用基本不等式求最值 14 填空题 由方程的解集求参数 5 / / 取值范围 的 0.35 15 利用基本不等式求 解答题 13 最值 / / / 0.68 ·21· ·数学· 参考答案及解析 对数型函数的零点、图 16 解答题 15 分 0.60 象及值域 17 解答题 15 函数的实际应用 分 0.55 函数的奇偶性及单调 18 解答题 17 中 0.40 区间，解不等式 L 19 解答题 17 函数的自定义题 难 0.28 季考管案及解析 一、选择题 -20,b=130,c=-130,所以p=-20t+130t 1.A【解析】若f(x)=ax十3在区间[-1,2]上存在 零点，则f(-1)·f(2)=(-a十3)(2a十3)≤0， 130,当1=一云-3.25时，p取得最大值，所以最佳 2a 解得a≥3或a≤-多，所以“a≤-2"是“函数 煎炸时间为3.25min.故选C. f(x)=a.x十3在区间[-1,2]上存在零点”的充分 6.B【解析】由e十x十hx=na十兰，得e十x 不必要条件.故选A. 2.D【解析】由题得f(-x)=2(-x)2十1一 是+ln兰，令f(x)=e十x,x≥1，则f(x) cos(-x)=2x2十1-cosx=f(x),定义域R关于y f(n),因为f(x)在区间[1，十oo)上单调递增， 轴对称，所以f(x)为偶函数，又2x2≥0,1一cosx≥ 0,所以f(x)≥0，当且仅当x=0时等号成立，所以 所以x=ln是，即x十lhx=na.令h(x)=x十lhx, f(x)有且仅有一个零点x=0.故选D. x≥1，h(x)单调递增，所以h(x)∈[1，十o∞)，又a≥ 3.A【解析】由题意可知p.=ae在[0，十o∞)上单调 e,所以lna≥l,所以关于x的方程x+lnx=lna只 递增，又c5>1.0<h15<方，名<sm2贸 5平<1，所 有一个实根，所以关于x的方程e十x十lnx=lna十 以p.5>pin7>pnl.i.故选A 在区间[1，十o∞)上只有一个实根.故选B. x 4.D【解析】函数f(x)=24a.x2十4x-1在区间 7.A【解析】令g(x)=ax2+bz=0,得x=0或x= [-1,1]上只有一个零点等价于关于x的方程 24ax2十4x-1=0在区间[-1,1]上只有一个实根， 名，对于f(x)=(台广，若0<合<1，则g)的 当a=0时，4x-1=0,解得x=子∈[-1,1门，满足 零点x=-白∈(-1,0)，A满足，B不满足：若名> 题意：当a≠0时，24ax2十4x-1=0,若△=16十96a 1,则g)的零点=一名∈（一，-1），CD不满 =0,解得a=一弓，此时方程的解为x=之∈[-1， 足.故选A. 1],满足题意：若△=16+96a>0,则f(-1)f(1)= 8.A【解析】由题可得y=f(x)-a= (2u-5)(24a+3)<0,解得-令<a<号且a≠0， Wx-2,x≥2 ,当x≥2时，y=√x一2单调递 1a-2|-a,x< 当1(-1)=0时，a=是，经检验不满足题意：当 增，且零点为x=2;当x<2时，令y=f(x)一a=0, 得|a-2|=a,当a>1时，作出曲线y f1)=0时，a=一令，经检验不满足题意，所以 1 |a-2|(x<2)与直线y=a的图象如图所示， -日<a<员且a≠0，综上，实数a的取值范围为 2 {-君U(-日，号)故选D 4a+2b+c-50 5.C【解析】由题可得9a十3b十c=80,解得a= log 2 (16a+4b+c=70 ·22· 高三一轮复习B ·数学· 则log2<2=loga2,则a>2,所以a>√2，要使曲线 >0,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增，所以 y=|ar-2|(x<2)与直线y=a有两个交点，则 f(1)≠0，故A错误；因为f(2-x)=f(x),所以直 a一2≥2或2<a-2<2,两个方程组均无解，所 线x=1为f(x)图象的一条对称轴，所以直线x=5 或 2<a<2√2<a<a2-2 为f(x)图象的一条对称轴，又f(x)为奇函数，所 以a>1不符合题意：当0<a<1时，作出曲线y= 以直线x=一5为f(x)图象的一条对称轴，故B正 |a-2|(x<2)与直线y=a的图象如图所示， 确；因为f(x)为奇函数，且F(x)在区间[0,1上 单调递增，所以f(x)在区间[一1,1]上单调递增， 因为f(0)=0,f(2)=0,f(x)的周期为4，所以 f(x)在区间[-7,7]上有7个零点，分别为x= -6,x=-4,x=-2,x=0,x=2,x=4,x=6,故C 错误；因为f(x)在区间[-1,1]上单调递增，且 f(x)的周期为4，所以f(x)在区间[-5，一3]上 0 单调递增，由B可知直线x=一5为f(x)图象的一 条对称轴，所以f(x)在区间[一7，一5]上单调递 此时log.2<0,由图可知曲线y=|a-2|(x<2)与 减，故D正确.故选BD. 直线y=a有两个交点.综上，a的取值范围为 三、填空题 (0,1).故选A 12.{-1,1,4} 二、选择题 【解析】因为f(x)= /x十1，x≤0 log.,x>0:所 9.ABD【解析】因为当x<3时，f(x)=x,所以f(1) /f(x)≤0 =1,f(2)=2,所以log3f(1)=0,log2f(2)=1,所以 以由f(f(x))-1=0,得 f(x)+1-1=0或 l1og2f(2)>logf(1),故A正确；因为f(x)> 1f(x)>0 f(x-1)+f(x-2),所以f(3)>f(2)+f(1)=3, {1ogf(x)-1=0:解得f(x)=0或f(x)=2,所 f(4)>f(3)+f(2)>5,故B正确；则f(5)>f(4)+ f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+ 以/s0 或心0 x+1=01l0g.x=0 +1=2或/>0 或/0 logz x=2' f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+ 解得x=-1或x=1或x=4,所以y=f(f(x)-1 f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,故C错误，D正 的所有零点构成的集合为{-1,1,4}. 确.故选ABD. 13.-3 10.BCD【解析】作出函数f(x)的图象如图所示， 【解标】因为K)=-a(兮)+6的图象过原 点，所以f(0)=a十b=0,又f(-x)=f(x),x∈ R,所以f(x)为偶函数，且当x→十∞或x→一∞时， f(x)→b,所以b=3,则a=-3,所以f(x)=-3× (日)+3，则当≥0时，g6)=-3X3:十3 3+1=-3(3-x十3)十3≤-3X2√/3X3+3= 一3，当且仅当x=0时取等号，所以g(x)的最大值 为-3. 由图可知，当k<一4时，方程f(x)=k只有1个实 数解，故A错误，B正确；当k≥0时，方程∫(x)=k 14.(子，2)U(2,十∞)【解析】由2mr2+3x-m+1 有2个实数解，故C正确；当一4<k≤一3时，方程 =mx2十(m十1)x-1,得m(2-m)x2+(2-m)x f(x)=k有3个实数解，故D正确.故选BCD. +(2-m)=0,即(2-)(1，x2十x+1)=0,当m=2 11.BD【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所 时，x∈R,不符合题意：当m=0时，2(x十1)=0，则 以f(0)=0,对于f(2-x)=f(x)+f(2),令x= x=-1,不符合题意；当m≠2且m≠0时，方程 2,得f(0)=2f(2),则f(2)=0,所以f(2-x)= (2-m)(mx2+x十1)=0无解，即mx2十x+1=0无 f(x),又f(x)为奇函数，所以f(一x)=-f(x), 所以f(2-x)=-f(-x),则f(2十x)=-f(x), 解，4=1-4m<0,解得m>子，又m≠2.m∈ 则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4 为周期的周期函数，所以∫(1)十∫(2)十f(3)+ (子，2)U(2,十∞).综上，实数m的取值范围为 f(4)=f(1)+f(2)-f(1)-f(2)=0,则 f(1)+f(2)+f(3)+·+f(2025)=506X (,2)U(2,+∞). [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=f(1), 四、解答题 因为当1∈[0,1]，西≠4时，f)-f) 15.解：(1)因为a2+a-(2ab-b2)=a2-2ab+b2+a= x1一x2 (a-b)2+a, ·23· ·数学· 参考答案及解析 又因为a>0,b>0,则(a-b)2≥0， 得x2f(x1)-x1f(x2)>0, 可得a2十a-(2ab-b2)=(a-b)2+a>0, 所以a2+a>2ab-b2. (6分 ·g(m)-g()=f2-)= (2)由a十b+3=ab,得a十b=ab-3, f)-fx>0,即g(x)>g(), 因为a+b≥2√ab,即ab-3≥2√ab,整理可得 (√ab-3)(√ab+1)≥0， ,函数g(x)在(0，十∞)上是减函数 (7分) 又函数g(x)是偶函数，.g(x)在（一∞，0）上是 又a6+1>0,则√ab-3≥0，可得ab≥9， 增函数. 当且仅当a=b=3时等号成立， ∴·g(x)的单调递减区间是(0，十∞)，单调递增区间 故ab的最小值为9. (13分) 是(-0∞，0). (9分) 16.解：(1)令f(x)=ln(x2+2x+m)=0=ln1, (2):f(1)=2,g(x)是偶函数，∴.g(-1)=g(1)= 若f(x)只有一个零点，则关于x的方程x2十2x十 m=1只有一个解， f1)=2 (10分) 1 即关于x的方程x2十2x十m一1=0只有一个解， 所以△=4-4(-1)=0， 当x>0时，由f(x)>2x得f四>2，即g(x) x 解得m=2. (5分) >g(1) (2)因为f(-2-x)=ln[(-2-x)2+2(-2-x)十 g(x)在(0，十∞)上是减函数，∴.0<x<1;(13分) m]=ln(x2+2x+m)=f(x), 所以曲线y=f(x)关于直线x=-1对称， 当x<0时，由f(x)>2x得fC四<2，即g(x) x 所以曲线y=∫(x)是轴对称图形， (10分) <g(-1), (3)若f(x)的值域为R, :g(x)在(-∞，0)上是增函数，∴x<-1.(16分) 则只需y=x2十2x十m能取遍所有正数， 综上，不等式f(x)>2x的解集为(-∞，-1)U 因此方程x2十2x十m=0的判别式△=4一4m≥0， (0,1). (17分) 解得m≤1， 19.解：(1)对于f(x)=x2, 所以m的取值范围为（一o∞，1]. (15分) 任取m,n∈(0，十∞)，f(m)+f(n)=m2+n, 17.解：(1)由所给数据可知，函数应该为减函数，③y= f(m十n)=(n十n)2, log.(t十b)(b>0,a>1)为增函数，故不符合题意； 所以f(m十n)-[f(m)+f(n)]=(m十n)2- (2分) (m2+n2)=2n>0, 又88-95=-7,81.7-88=一6,3，不是同一常数， 所以f(m)十f(n)<f(m十n), 故①y=at十b不符合题意； (4分) 故f(x)=x2为“H函数” (2分) 故选②y=a·6十c(a>0,0<b<1). 对于g(x)=ln(x十1)， a+c=95 a=70 取m'=n=1,则g(m)十g(n')=2n2=ln4, 则ab+c=88 ,解得b=0.9, g(m'+n')=ln3, ab2+c=81.7 c=25 g(m')十g(n)>g(m+n'), 所以y=70·0.9+25. (9分) 故g(x)=ln(x十1)不是“H函数” (4分) (2)由题意70·0.9十25=60，即0.9= 2 (2)因为h(x)=3r+x-3a为“H函数”， 所以对任意p,g∈(0，十∞)，h(p十q)>h(p)+ 所以t=loga9之 1g2 1g2 1-1g5 h(q), 10 1g g 1-21g3 即3+9+(p十q)-3a>32+p-3a十3+q-3a, 1g10 即3+g-3-39>-3a, 1-0.699 1-2X0.47≈6.5(min), 即(3-1)(39-1)>1-3a, (7分) 又p,9∈(0，十∞)，所以3>1,3>1， 即刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间大约 则(3°-1)(39-1)>0， 为6.5min. (15分) 18.解：(1)(1)：f(x)是定义在(-∞，0)U(0,+∞) 所以1-一3弘≤0，解得≥分， 上的奇函数，f(-x)=-f(x). (10分) g(-x=f2=f=2=gm. 所以实数a的取值范围为[子，十)。 一x 一x x (3)由题可得f(s)十f(t)<f(s十t), .函数g(x)是偶函数. (3分) 令s=t,则f(2s)>2f(s), (i)任取x1,x2∈(0，十∞)且x1<x2,则x1一x2 0, 因为≥0，所以得>2。 由f)-f)<0. x1一x2 故对任意k∈N,s>0,f2=f(2+) f(s) f(2s) ·24· 大器…得> (13分) f(s) 同理f()<f(是)-f(-)<f()< 由x∈(2,2+1)(k∈N), 得上∈（安）(eN) f--品< 2 放fx)-()>受-是 (17分) 又f(1)=1, 所以f(x)>f(x-2)十f(2*)>f(2)> 2f0)-2>