(21)概率、统计的综合-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专用）

高三一轮复习AN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（二十一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) V ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 5 互斥事件、对立事件的 概率 L L 多 0.80 2 5 由散点图判断线性相 选择题 / 关性 易 0.78 3 选择题 双曲线性质的应用 易 0.72 独立性检验中的含参 选择题 / 0.65 问题 分 选择题 排列组合的综合 中 0.55 6 选择题 5 分布列与基本不等式 中 0.45 的综合 7 选择题 5 全概率公式 中 0.40 8 选择题 5 求二项分布中概率的 / 中 0.35 最大值 9 选择题 6 折线统计图 易 0.72 10 选择题 6 直线与圆的综合 0.60 11 选择题 6 新定义概率问题 快 0.25 12 填空题 极差与古典概型的 0.76 综合 书 13 填空题 5 由抛物线定义求最值 中 0.65 14 填空题 5 导数与概率的综合 书 0.35 独立性检验与超几何 15 解答题 13 分布的综合 易 0.72 16 解答题 15 经验回归方程与正态 0.60 分布的综合 分 ·123· ·数学· 参考答案及解析 17 解答题 15 直线与椭圆的位置关系 0.45 e 解答题 分布列与期望，概率与 17 0.30 数列的综合 按 二项分布、古典概型与 19 解答题 17 难 0.28 立体几何的综合 春考答案及解析 一、选择题 1.C【解析】因为B与C互为对立，P(C)=0.5,所以 经计算得到X= P(B)=1-P(C)=0.5,因为A与B互斥，所以 2k.7k.2k·k 一瓷因为本次抽 3 3 P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7.故选C. 查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 2.B【解析】对于A,散点落在某条曲线上，两个变量 具有函数关系，故A错误；对于B,散点有明显的从左 接种该疫苗与预防该疾病有关”的结论，所以X> 下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条 3841,即父-装>3.81，解得人>35,85，所以被抽 直线附近，这两个变量具有线性相关关系，且线性相 查的没接种的动物至少有36只.故选B. 关程度很强，故B正确：对于C,散点落在某条曲线附 5.C 【解析】若选的数字只有一个1，此时有两个偶 近，这两个变量具有非线性相关关系，故C错误：对于 数，则不同的排列方法有CA=48种；若选的数字 D,散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关 有两个1，则不同的排列方法有2×A?十2×2×A= 性，不具有线性相关关系，故D错误.故选B. 72种.故共有48十72=120种不同的设置方法，故 3.C【解析】设双曲线的右焦点F(c,0),则直线AB: 选C x=c,由 -若-解得y=士，不纺设 6.D【解析】摸到一红球一白球的概率为P=CC C? A(,二)，5(，公)，双面线的一条裔近线方程为 亏，摸到两白球的概率为P一一品摸到两红球的 bx-ay=0,则d=bc-L bc-bi,d bctbl 概率为P得-六，设可获得百元代金券为变量X Va+b √a2+6 则X的可能取值为a,b,ab,分布列如下， =bc十+b ,所以d+d2 26=2b=6,解得b=3,因为 b ab C 双曲线的离心率e= 6 1大a =2,所以a2=3, 3 10 10 所以双曲线的方程为3 y 9 =1.故选C. 4.B【解析】设没接种疫苗的动物有k只，依题意，得2 则E(X)=aX号+6X品+abX =5.4,a,b∈ ×2列联表如下： N*,由题可知运气最好者获得ab百元代金券，即 是否接 是否发病 6a十3b+ab=54≥ab+2√18ab,解得0<√/ab≤ 种疫苗 合计 3√2，得0<ab≤18，当且仅当2a=b,即a=3,b=6时 发病 没发病 等号成立，所以ab的最大值为18.故选D. 5k 7.B【解析】设A:=“第i天去A餐厅用餐”，B:=“第 接种 3 2k 天去B餐厅用餐”，i=1,23,则P(A)=号，P(B)= 没接种 2k 3 3 ,P(A1A)=子，PBB)=之，则P(BA) 合计 2k 7k 3 3 3k 子P(AB)=合，PAA)=子，PAB) P(A:)=P(A)P(A:IA )+P(B)P(A:IB ·124· 高三一轮复习AN ·数学· =X号+号×号=最PR)=P(A)PBA) +P(B)P(B)=子×号+×=，则 r+3 PA)=(AP(A.IA-)+PB)PA:IB)=是× 由点A在圆C外，易得（与圆C不一定存在公共 8.B【解析】由题意知，X服从二项分布B(N,p),则 点，故A正确；当直线l⊥AC时，圆心C到（的距离 P(X=6)=Cp(1-p)N-,P(X=6)最大即为满 最大，最大为|AC|=√(-2-1)+1-2)F [CNP(1-B)-C-1 (1-B)*-7 足Cp（1-)≥C1D（1-b)-解得 √10，故B正确；当1与圆C相交时， 合-1长N≤合又N∈N,故当号为整数时，结合 -261+2二<1，解得0<k<,故C错误： √十(-1)7 题设要求N=。-1,此时E(X)=(号-1)p<6:当 当k=一1时，直线：x十y一3=0，此时圆心C到直 线1的距离为d=-2+1-3=22,又圆C的半 合不为整数时，N为小于号的最大整数，此时 1+1 径为1所以圆C上仅有一个点到1的距离为2√2- E(X)=Np<6,故E(X)<6.故选B. 1,故D正确，故选ABD. 二、选择题 11,ABD【解析】由X,Y的定义可知，任意交换1， 9.AC【解析】由题得这五天中纪律的平均分为 x2,x3的顺序，不影响X的取值，故A正确；当x1, 9+7+9+8+10=8.6,方差为号×[(9-8.6)+ x2,x3的取值被确定后，x4,x:,x:的取值也被固定， 5 (7-8.6)2+(9-8.6)2+(8-8.6)2+(10-8.6)] 因此满足条件的排列组数即满足条件的，x2,x =1,04:卫生的平均分为6+8+6+7+8=7，方差为 的组数，即从1,2，…，5,6中任选3个数有C=20 5 种取法，故B正确；不妨设x1<x2<x及x,<x< 号×[(6-7)°+(8-7)+(6-7)+(7-7)+ x6,当整体交换x,2,x和x4,x,x6时，不影响 X,Y的取值，因此不妨令x<x4,即Y=x4,X= (8-7)]=0.8;两操的平均分为3+6+7+5+9 min{x3,x},将满足以上条件的排列列举如下： 6,方差为吉×[(3-6)十(6-6)+(1-6)+ 1,i,s ,s,Is X Y 1,2: X 1,2,3 4,5,6 3 1,3,5 2,4,6 2 (5-6)2十(9-6)]=4，所以纪律的平均分最高，卫 生的方差最小，故AC正确；因为5×80%=4，且将纪 1,2,4 3,5,6 3 1,3,6 2,4,5 2 律、卫生、两操的得分分别按从低到高的顺序进行排 1,2,5 3,4,6 5 3 1,4,5 2,3,6 5 2 列，可得纪律这组数据的第80百分位数为9士10- 2 1,2,6 3,4,5 5 3 1,4,6 2,3,5 5 2 9.5,卫生这组数据的第80百分位数为8十8=8，两操 2 1,3,4 2,5,6 4 2 1,5,6 2,3,4 4 2 这组数据的第80百分位数为十9=8，所以纪律的第 总共有10种情况，除第一种外均满足X>Y.因此 2 P(X=1-品-品PX=)=品放C错误， 1 9 80百分位数最大，故B错误；这五天中从周一起班级 量化得分依次为9十6+3=18,8+7+6=21,9+7+ D正确.故选ABD. 6=22,8十7十5=20,10十9+8=27，所以周一的班级 三、填空题 量化得分最低，故D错误.故选AC. 10.ABD【解析】由题意可得直线l:kx一y十2-k=0, .号 【解析】不妨设公差d>0,则a1<a<…<as, 即k(x-1)一(y-2)=0,所以直线1过定点 其极差为a:一a,若随机删除两项后极差不变，则删 A(1,2),圆C的圆心为C(-2,1),半径为1，如图 除的两项必存在于第2项至第5项，则有C种删除 所示， 方法，所以这两组数据的极差相同的概率为P一是 13.6十√5【解析】抛物线C:x2=16y的焦点为 F(0,4),淮线为y=-4,则|NF|= ·125· ·数学· 参考答案及解析 √+(2一4)产=√5，如图，过点P作准线的垂线， (3)由(1)知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40 垂足为Q,过点N作准线的垂线，垂足为B,所以 名男性和20名女性，用分层抽样的方法分别抽取男 △PNF周长为|PFI+|PN|+INF|=IPQ|+ 性4人和女性2人， (8分) IPN|+|NF|≥|NB|+|NF|=6+5,当且仅 易知X的可能取值为1,2,3， 当点P为VB与抛物线C的交点P'时等号成立，所 PX-1)-斋 以△PNF的周长最小值为6+√5， CC_12_3 P(X=2)= 205 C41 P(X=3)=C-20=方 (11分) 所以X的分布列为 X 1 2 3 67 3 5 5 (12分) 所以E(X)=1号+2x号+3×日=9=2. 5 5 (13分) 14. 3 【解析】设比赛5局，甲恰好获胜3局的概率为 f(p),则f(p)=Cp3(1-)2,f()=6[3p2(1 16.解：(1)因为= 品x,-)=10 p)2-2p3(1-p)]=6p2(1-p)(3-3p-2p)= 6p(1-p)(3-5p),因为6p2>0,1->0,所以当 12y-)=8 50台 0<<号时，f(p)>0,f(p)单调递增：当号<P 议之西=50，分w”40 <1时，f(p)<0,f(p)单调递减，所以当p= 3 5 ∑(x:-D)(-) 时，(p)取得最大值，即力=是时，甲获胜的概率 又6= ∑(x,-) 最大 5 四、解答题 ∑(x-x)(%-) 15.解：(1)由题意，问卷调查人数中男性60人，女性 -=0.4, 500 40人， 50 得完整2×2列联表如下表。 所以∑(x-x)(-y)=200, (4分) =1 是否满意 性别 合计 满意 不满意 (-) 所以r= =1 男 40 20 60 (x-x)2 (y-y) 女 20 20 40 200 5 (7分) 合计 60 40 100 /500×400 50 (2分)》 (2)(1)因为∑(x-x)2= -50元2=500， (2)零假设为H。:用餐者对本食堂菜品的性价比是 否满意与性别无关， 2i=50m50. 根据(1)列联表中的数据，经计算得到 X=100X40X2020X202≈2.78<3.841 所以500500-50元2=500， 60×40×60×40 解得x=100,即=100， (9分) x0.05 (4分) 因为g2=10,所以g≈3.16. (10分) 根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证 (ⅱ)由（ⅰ）可知数学成绩？服从正态分布 据推断H。不成立，即可以认定用餐者对本食堂菜 N(100,3.16), 品的性价比是否“满意”与性别无关。 (6分) 所以P(93.68<<103.16)=P(u-2o<<十o) ·126· 高三一轮复习AN ·数学· P(-<不+o)+合Pg-2<+2g) X号=12=4 3=27=9, ≈2×0.6827+7×0.9545=0.8186， (13分) 所以该校高三学生数学成绩位于区间(93.68,103.16) 的大约有2000×0.8186≈1637人. (15分) 17.解：(1)设椭圆E的焦距为2c, P(X=3)=(号)广=7 (4分) a2-b2=c2, 所以X的分布列为 则有+品1 9 (2分) X 0 1 1 a2 P 品 4 2 解得a2=4,b=3, (4分) 品 所以椭圆E的方程为行十苦-1。 (5分) E(X)=0X (2)由题意知点P在第一象限或第四象限.根据对 +1×号+2×号+3×品=1. 27 9 称性，不妨设点P在第一象限.如图， (6分) (2)(ⅰ)由题可知传n次球后，球不在乙手中的概率 为1-Pn, 此时无论球在甲手中还是在丙手中，均有号的概率 传给乙， 故有P1=号1-P) (8分) 所以P1是=号(,-号) (9分) 因为△APQ与△OPB的面积之比为1：2， 所以△ABQ与△OPB的面积比为5：2， 又P=号所以P-号-言0， 所以 AI:lsul 5 (8分) 所以数列卫号}是首项为青公比为一号的等 1oBl·1 ，得5 yp 4 比数列， 显然直线BP的斜率存在且不为0， 所以P。一 -告×(-号)广=-×（八 设直线BP的方程为x=my十2，m≠0， 联立52比 所以P= -号×(-号” (11分) 2 (i)由(i)可得dn 3=3m-3, 所以(3m2十4)y2+12my=0, △=(12m)2>0, P.-1 所以=30=名 12m (12分) (11分) 2 则受=0<号 3”-3 3m-3 所以12m ,解得m=士22 5 (13分) ≥2时=。-< 3m2+4 1 当m-2时，直线BP=2+2, 3 所以++…+< da+3 (14分) 当m=-2时直线B即=2+2 3”一3 3(3+1-3)-2 故直线BP的方程为y=士3平(x一2》. 3+1-3 一=3 4 (15分) 2 18.解：(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3， 31-3>33(neN), 12 则P(X=0)=(号)广=分， 所以+受+…+名>号-2（行+安+ d+l 3 P(X=1)=×号×号+号×号×号+号× 2 3 3” ·127· 上号-1++<号N) 所以E(X)=3X音-号 (11分) d (17分) (3)如图，取CD的中点F,连接BF,EF,AF, 19.解：(1)由(0.001+0.002+0.003+2a十0.006)× CE,DE. 50=1, 解得a=0.004. (2分) 因为(0.002+0.003+0.004)×50=0.45<0.6， (0.002+0.003+0.004+0.006)×50=0.75> 0.6, 所以每日汽车销售量的第60百分位数在[150， 200), 且为160+0月0号×0-175， (4分)》 (2)因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概 率为0.45，抽取的1天汽车销售量在[200,250)内 的概率为0.2， 所以在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件 下，抽取的1天汽车销售量在[200,250)内的概率 0.2 4 为p=10.45-i (5分) 由题意，XB(3,音) X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=C×(子)月 343 P(X=1)=C X- P(X=2)=G×(告) 336 P(X=3)=cX(告)广=路 (9分) 所以X的分布列为 子 0 3 343 588 336 P 64 1331 1331 1331 1331 (10分)数学第1页（共4页) 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷二十一 数学第2页（共4页） AN 13.已知点F为抛物线C:x2=16y的焦点，定点N(1,2),点P为抛物线C上一动点，则 △PNF的周长最小值为 14.甲、乙两同学进行某项没有平局的比赛，规定：每局比赛胜者得1分，负者得0分，先 得3分的一方赢得比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为p(0<<1),且每局比赛结果 相互独立.若比赛进行了5局时甲获胜，则甲获胜的概率最大时p的值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 为了更好地服务老人，某社区爱心食堂的管理人员于某日随机抽取了经常来用餐的 100人，就本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作了问卷调查，在被 问卷的人员中男性比女性多20人.用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品 数记为x(0≤x≤15，x∈N),当x≥12时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否 则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表： 是否满意 性别 合计 满意不满意 男 40 女 20 合计 (1)完成上面2×2列联表； (2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否据此推断用餐者对本食堂菜品的性 价比是否满意与性别有关？ (3)用分层抽样的方法在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中 随机抽取3人，用X表示抽取的3人中的男性人数，求X的分布列和期望. n(ad-bc)2 附：X=a+b)C+ac6+d而：其中n=a+b+c+d, a 0.1 0.05 0.010.001 Ta 2.7063.8416.63510.828 16.（本小题满分15分) 某学校对高三(1)班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数 50 据如下：数学成绩的方差为=10，化学成绩的方差为号=8，∑x=500500,其中 xy:(i∈N,且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y关于x 的经验回归方程为y=0.4x十t. (1)求y与x的样本相关系数r; (2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生数学成绩？服从正态分布 V(,o2),用样本平均数x作为4的估计值，用样本方差s作为。2的估计值. (i)求，o; （ⅱ)试估计该校共2000名高三学生中，数学成绩位于区间(93.68,103.16)的 人数. 附：(i)经验回归方程y=a+x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b= ∑(x-0)(04- ∑(z,-x)(y:-y) ,a=y一bx;样本相关系数r 2- (y,-y)2 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三 （i)若~N(,o),则P(u-o≤≤u十o)≈0.6827，P(u-2≤n≤μ+2o)≈0.9545， Pμ-3a≤7≤+3o)≈0.9973. (m)参考数据：√10≈3.16. 17.(本小题满分15分) 已知椭圆E:后+芳-1a>6>0)过点M1,多)，且离心率为分 (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，E的左、右顶点分别为A,B,点P为E上一动点（不与A,B 重合)，直线BP交y轴于点Q,且BP<BQ,若△APQ与△OPB的面积比为 1:2,求直线BP的方程 18.(本小题满分17分) 甲、乙、丙三人进行一项传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球） 的概率为}，香则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为}，否则 乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为了，否则丙将球传给乙.初 始时，球在甲手中 (1)记传球三次后，球在甲手中过的次数为X(不包括初始时)，求X的分布列和数 学期望； (2)传n(n∈N*)次球后，记球在乙手中的概率为Pm. (ⅰ)求数列{P,}的通项公式； 2n (i)设dn 3.证明号-1++…叶<0 3(n∈N*). 2 19.(本小题满分17分) 某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近 十频率 一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，0.006 组距 如图所示. (1)求α的值，并求该公司这段时间内每日汽车 销售量的第60百分位数； 0.003 (2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选0.002 择4天，设每日汽车销售量在[200,250)内的天0.001 数为X,在恰有1天的汽车销售量不超过150 50100150200250300每日汽车销售量/辆 辆的条件下，求X的分布列及数学期望； (3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如 下：在三棱锥A一BCD中，△BCD,△ACD均是边长为2的正三角形，AB=√，现从 写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别记为m和，若E为侧棱AB上一 个动点，满足 E=”,当“二面角E-CD一A大于45”时即为中奖，求中奖的 EB 概率 一轮复习单元检测卷二十一 数学第4页（共4页） AN