(24)随机事件与概率、事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (二十四)随机事件与概率、事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.对于两个事件A,B,事件AUB表示的含义是 A.A与B同时发生 B.A与B有且仅有一个发生 C.A与B至少有一个发生 D.A与B不能同时发生 2.某池塘中饲养了A,B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东、 南、西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有 采样点 品种A 品种B 东 20 9 南 7 西 17 8 A.6尾 B.10尾 C.13尾 D.17尾 3.同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件A,“点数之和为4的倍数”是事 件B,则 A.A十B为不可能事件 B.A与B为互斥事件 C.AB为必然事件 D.A与B为对立事件 4.将3个相同的白球和m个相同的黑球随机排成一排，若这3个白球相邻的概率为，则m= A.3 B.4 C.5 D.7 5.已知事件A,B相互独立，P(AB)=0.3,P(B)=0.6,则P(A十B)= A.0.65 B.0.7 C.0.75 D.0.85 6.已知甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现 从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙 盒中取出的球颜色相同的概率大于等于吕，则x的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.对于一个随机试验，设2是样本空间，A是随机事件，ω是样本点，则 A.A∈2 B.A∈2 C.ω∈2 D.w二2 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一 8.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触 面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A,“数字是5的倍数”为事件B,“数字是7的倍 数”为事件C,则下列选项不正确的是 A.事件A,B,C两两互斥 B.事件AUB与事件B∩C对立 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.事件A,B,C两两独立 班级 姓名 分数 题号 1 5 6 7 6 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.对于随机事件A,B,若P(A)= ，P(B)=多，P(BA)=则P(AB) 3 10.在如下图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符 合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为 代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得一5分，没有平局.三个项目 比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6， 各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为1,2 (1)求甲教师总得分为0分的概率； (2)若|p1-p2≥ +0.1,则认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有 5 明显差别， (ⅰ)求甲获得冠军的概率； (ⅱ)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别？ 轮复习40分钟周测卷二十四 数学第2页（共4页） 囚 12.(本小题满分15分) 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.已知2024年该机场飞往A地，B 地及其他地区（不包含A,B两地）航班放行准点率的估计值分别为84%，80%和75%，2024年 该机场飞往A地，B地及其他地区的航班比例分别为0.2,0.2和0.6. (1)现在从2024年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若2024年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地及其他地区等三种情况中 的哪种情况的可能性最大？并说明理由 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 在机器学习中，精确率Q、召回率R、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标.科研机构为了测 试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷.扫雷 机器人依次对每个位点进行检测，A表示事件“选到的位点实际有雷”，B表示事件“选到的位 点检测到有雷，定义：桥确率Q=P心AB),召旧率R=P(5A,卡帕系数及=多，其中 =P(AB)+P(AB),p。=P(A)P(B)十P(A)P(B) (1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率Q和召回率R; 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 (2)对任意一次测试，证明：k=1一 Q+R-2QR Q+R-2P(AB)i (3)若0.6<k≤1，则认为机器人的检测效果良好；若0.2<k≤0.6，则认为检测效果一般；若 0≤k≤0.2，则认为检测效果差.根据卡帕系数k评价(1)中机器人的检测效果. 一轮复习40分钟周测卷二十四 数学第4页（共4页）】 A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（二十四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 事件的运算及其 1 选择题 5 易 0.94 含义 2 选择题 5 用频率估计概率 易 0.85 互斥事件与对立事 3 选择题 5 易 0.78 件关系的辨析 4 选择题 根据古典概型求参 易 0.73 相互独立事件概率 5 选择题 5 中 0.70 性质的应用 选择题 5 全概率公式的应用 √ 中 0.40 确定所给事件的包 选择题 6 0.75 含关系 易 判断所给事件是否 8 选择题 6 是互斥关系、相互独 中 0.55 立事件的判断 条件概率、条件概率 9 填空题 5 中 0.60 性质的应用 10 填空题 5 基本事件的列举 难 0.30 相互独立事件的概 11 解答题 13 易 0.80 率的实际应用 利用全概率公式求 12 解答题 15 概率、利用贝叶斯公 中 0.70 式求概率 与条件概率有关的 13 解答题 20 中 0.50 新定义题 叁考答案及解析 一、选择题 20+7+17 11 1.C【解析】AUB表示的是A与B中至少有一个发 种A约占比为20+717干9十3+8=5，所以在采 生.故选C 样点北辅捞到20尼鱼，则品种A约有告×20≈13 2.C【解析】因为鱼群在池塘里是均匀分布的，所以品 ·107· ·数学· 参考答案及解析 尾.故选C 3.B【解析】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，事件A 基本事件有70，所以P(BC)= =P(B)P(C),所 有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种情况：事件 以B与C相互独立：因为事件AB包含的基本事件有 B有(1,3)，(3,1)，(2,2)，(2,6)，(6,2)，(3,5) (5,3),(4,4),(6,6),共9种情况.对于A:A+B 70,所以P(AB)=子=P(B)P(A),所以B与A 相互独立：因为事件AC包含的基本事件有70，所以 表示“点数之和为5或为4的倍数”，不是不可能事 件，故A错误；对于B:A与B不可能同时发生，为互 P(AC)=子=P(A)P(C),所以A与C相互独立， 斥事件，故B正确；对于C:AB表示“点数之和为5且 即事件A,B,C两两独立，故D正确.故选ABC 是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；对于D:A与 三、填空 B不能包含全部基本事件，不是对立事件，故D错误 故选B. 9 【解析】由题得P(BA)-4=子，又 P(A) 4.B【解析】由题得共有C+3种排列结果，其中3个白 球相邻有C+1,则这3个白球相邻的概率P=C出 P(A)=号，所以P(AB)=P(A)=子×号 C+3 6 1 =(m十3)'(m十2)=7，解得m=4(m=9舍去). ,因为P(B)=3,所以P(AB)=PAB- P(B) 故选B 5.D【解析】由题得P(B)=0.4,P(AB)=P(A)P(B) 1 6 =0.4P(A)=0.3,所以P(A)=0.75,所以P(A)= 10.126【解析】先按列分析，每列必选出一个数，所选 0.25,所以P(A+B)=1-P(AB)=1 4个数的十位数字分别为0,2,3,6，若选中方格中的 P(A)P(B)=1-0.25×0.6=0.85.故选D. 4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小，每种 6.C【解析】设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分 选法可标记为(a,b,c,d),a,b,c,d分别表示第一、 别为A1,A2,A,从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的 二，三、四列的个位数字，则所有的可能结果为： 球颜色相同为事件B,则P(B)=P(A)P(BA)十 (8,3,8,6),(8,3,9,6),(8,7,7,6),(8,7,9,3), PA)PCBA)+PA)P(BA)=号· (8,6,7,6),(8,6,8,3),(3,7,8,6),(3,7,9,6), (3,7,2,6),(3,7,9,2),(3,6,2,6),(3,6,8,2), 2.4 +1.3=2x+135 方·十6十方·十6x+6)≥2，解得x≤6， (6,7,7,6),(6,7,9,3),(6,3,2,6),(6,3,9,2), 则x的最大值为6.故选C. (6,6,2,3),(6,6,7,2),(5,7,7,6),(5,7,8,3), 二、选择题 (5,3,2,6),(5,3,8,2),(5,7,2,3),(5,7,7,2),此时 7.BC【解析】对于一个随机试验，其所有可能的结果 最小值为5十3+2十6=16，所以选中的方格中，5， 的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或 23,32,66的4个数之和最小，为5+23十32十66 基本事件，随机事件是样本空间的一个子集，所以有 =126 w∈2和A二2.故选BC. 四、解答题 8.ABC【解析】依题意抛掷一次可能出现的结果有2， 11.解：(1)因为甲教师总得分为0分， 5,7,70,事件A包含的基本事件有2,70，则P(A)= 所以甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项， 1 故所求概率为0.4×0.4×0.4十0.6×0.6×0.4十 2:事件B包含的基本事件有5,70，则P(B)=2: 0.6×0.4×0.6=0.352 (4分) 事件C包含的基本事件有1,70，则P(C)-合，显然 (2)()不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依 次为A,B,C, 事件A与事件B,事件A与事件C,事件C与事件B 则教师甲获得冠军的概率p,=P(ABC)十P(ABC) 均可以同时发生，故事件A与事件B,事件A与事件 +P(ABC)+P(ABC) C,事件C与事件B均不互斥，故A错误：事件AUB =0.4×0.6×0.6+0.6×0.6×0.6+0.4×0.4× 包含的基本事件有2,5,70，事件B∩C包含的基本事 0.6+0.4×0.6×0.4=0.552 (8分) 件有70，当出现70时事件AUB与事件B∩C均发 (ⅱ)教师乙获得冠军的概率p2=1一p=0.448, 生，故事件AUB与事件B∩C不互斥，显然不对立， (10分) 故B错误；事件ABC包含的基本事件有70，所以 所以1p-p,=0.010816,2i-L+0.1 P(ABC) 本，所以P(ABC)≠ 1 =0.1416, P(A)P(B)P(C),故C错误；因为事件BC包含的 因为0.0108160.1416， ·108· 高三一轮复习A ·数学· 1-P(AB)-P(AB) 所以|p-p|< 2pi一p+0.1, =1 5 1-P(A)P (B)-P(A)P (B)' 所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.(13分) 要证k=1 Q+R-2QR 12.解：（1)设A1=“该航班飞往A地”，A2=“该航班飞 Q+R-2P(AB) 往B地”，A=“该航班飞往其他地区”，C=“该航班 1-P(AB)-P(AB) 准点放行”， 只需证1-P(A)P(B)-P(A)P(B) Q+R-2QR 则P(A)=0.2,P(A2)=0.2,P(A)=0.6, Q+R-2P(AB) (7分) P(C|A)=0.84,P(CA2)=0.8,P(CA3)= Q+R-2QR 0.75, (4分) 而Q干R-2P(AB) 由全概率公式得P(C)=P(A,)P(CA,)十 -P(AIB)+P(BIA)-2P(AIB)P(BIA) P(A2)P(CA2)+P(A3)P(CA3) P(AB)+P(BA)-2P(AB) =0.2×0.84十0.2×0.8+0.6×0.75=0.778， P(AB)P(AB)-2XP(AB)XP(AB) P(B)P(A 所以该航班准点放行的概率为0.778. (8分) P(B)P(A) (2)P(AC)-P(AC)-P(ADP(CIA P(AB)P(AB)-2P(AB) P(B) P(A) P(C) P(C) P(A)+P(B)-2P(AB) 0.2×0.84=168 (10分) =P(A)+P(B)-2P(A)P(B) (11分) 0.778 7781 P (AUB)=1-P(AB)=P(A)+P(B) P(A2|C)= P(A:C) P(A2)P(CA2) P(AB), P(C) P(C) 1-P(AB)-P(AB) 0.2×0.8=160 0.778 778 (12分) 所以-P(A)P(B)-P(A)P(B) P(A)+P(B)-2P(AB) P (A|C)= P(AC) P(A)P(CA3) =1-P(A)P(B)-L1=P(A)][1-P(B)万 P(C) P(C) P(A)+P(B)-2P(AB) 0.6×0.75_450 778 (14分) 0.778 =p(A)+P(B)-2P(A)P(B)1 所以等式左右两边相等， 因为祭% 因此k=1 Q+R-2QR Q+R-2P(AB)成立. (15分) 所以该航班飞往其他地区的可能性最大 (15分) 0.625十0.8-2×0.625×0.8 3.解：IDQ=P(AB)=PCAB)=49 (3)由(2)得k=1- 0.625+0.8-2×0.4 64 =0.625, 0.32, (18分) R=P(BA)-PAB-0=0.8, P(A)50 (4分) 因为0.2<0.32<0.6， 2--1} 所以(1)中机器人的检测效果一般 (20分) 1一pe ·109·