(19)直线与圆、圆与圆-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十九)直线与圆、圆与圆 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知直线l1:ax十4y十1=0，直线l2:x十ay十a十1=0，则l1∥l2是a=-2的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知直线1：x-y+2-m=0,圆C:(x-2)2十(y+1)2=14,则直线1被圆C截得的弦长的最 小值为 A.2 B.22 C.4 D.2√/10 3.已知点M,N在圆O:x2+y=4上，点P在圆A:(x-6)2+y2=9上，则使得△PMN是边长为 2√3的等边三角形的点P的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 4.已知A(1,0),B(一2,0)，动点M与点A的距离是它与点B的距离的一半，则点M的轨迹与以 线段AB为直径的圆Q的位置关系是 A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 5.已知点P是圆C:(x一3)2+(y一3)2=2上一动点，过点P向圆O:x2十y2=1作两条切线，设两 切线所成的最大角为a,则cosa= A. B.2② c n将 6.已知圆C1:x2+y2-2x-4y-7=0和圆C2:(x+3)2+(y+1)2=12交于两点，点P在圆C1上 运动，点Q在圆C2上运动，则 A.圆C1和圆C2关于直线8.x+6y一5=0对称 B.圆C1和圆C2的公共弦长为2√23 C.|PQ的取值范围为[0,5+23 D.若M为直线x一y+8=0上的动点，则|PM+MQ的最小值为√109-4√3 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知直线1的一个方向向量为n=(1,一√3)，且1经过点（一2,0），则 A.1与直线√3x-3y+1=0垂直 B.1的倾斜角等于150 C.l在y轴上的截距为2√3 D.I与直线x+3y十2=0的交点在x轴上 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 8.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理 论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线C:(x一1)2+(y一1)2= 8就是一条形状优美的曲线，则 A.曲线C上两点间距离的最大值为4√2 B.若点P(a,a)在曲线C内部（不含边界），则-3<a<3 C.若曲线C与直线y=x十m有公共点，则-6≤m≤6 D.若曲线C与圆x2+y=r2(r>0)有公共点，则？≤r≤32 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知点P是圆C:x2+y2=4上的动点，点A(4,2),则线段AP的中点M的轨迹方程 是 10.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点 A(x1,y),B(x2,y2)的曼哈顿距离为：d(A,B)=|x1-x2+|y1-y2.已知点M在圆O:x2+ y=1上，点N在直线l:3x+y-9=0上，则d(M,N)的最小值为 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知直线l:x十√3y一4=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线1的左下方， (1)求圆C的方程； (2)直线y=kx十√5与圆C交于不同的M,N两点，且∠MCN=120°，求k的值. 轮复习40分钟周测卷十九 数学第2页（共4页） A 12.(本小题满分15分) 如图，3个圆可以构成“卡通鼠”的头像.A(0,一2)是⊙A的圆心，且⊙A过原点；点B,C在x轴 上，⊙B、⊙C的半径均为1，⊙B、⊙C均与⊙A外切，直线l过原点. (1)求⊙B、⊙C的标准方程； (2)若直线1与⊙B、⊙C均相切，求直线1截⊙A所得的弦长； (3)若直线1截⊙A、⊙B、⊙C所得的弦长均相等，求直线1截⊙A所得的弦长. O A 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>O且k ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，N(1,0), M4,0),动点Q满足QM=2,设动点Q的轨迹为曲线C. QN (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线x一y十1=0与曲线C交于A,B两点，求|AB的值； (3)若曲线C与x轴的交点为E,F,直线l:x=my一1与曲线C交于G,H两点，直线EG与直 线FH交于点D,证明：点D在定直线上. 轮复习40分钟周测卷十九 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⊙ ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 两直线平行与充要 1 选择题 5 易 0.88 条件的综合 直线与圆的位置关 选择题 5 易 0.80 系、弦长最值 两圆的位置关系，圆 3 选择题 5 易 0.73 的弦长 4 选择题 5 圆与圆的位置关系 中 0.70 直线与圆，圆与圆的 5 选择题 5 位置关系，求角度的 L 中 0.60 最值 判断圆与圆的位置 6 选择题 关系、两圆的公共弦 中 0.40 长、确定参数或范围 由直线的方向向量 求直线方程、直线的 7 选择题 6 中 0.65 倾斜角、直线的点斜 式方程 创新题型，直线与圆 8 选择题 6 的位置关系，求距离 中 0.55 的最值 9 填空题 5 轨迹方程 易 0.85 和直线与圆相关的 10 填空题 难 0.30 新定义题 由直线与圆的位置 11 解答题 13 关系求圆的方程与 易 0.80 参数的值 情境题，多圆相切问 12 解答题 15 中 0.40 题、圆的弦长 ·81· ·数学· 参考答案及解析 轨迹问题，直线与圆 13 解答题 20 的位置关系、弦长， / / 难 0.15 坐标法的应用 季考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由l41∥l2,可得a-4=0,解得a=2或a =一2，当a=2或-2时，两直线都不重合.故选B. 2.C【解析】直线l:mx-y十2-m=0,即y=(x 1)+2,所以直线1恒过定点P(1,2),圆C:(x-2) 十(y+1)2=14的圆心为C(2,-1),半径为r= √A4,且P在圆内，当CP⊥I时，圆心C到直线l的 距离最大为d=|PC=√0，此时，直线l被圆C截 得的弦长最小，最小值为2√2一=4.故选C. 6.D【解析】对于A,C1:x十y2-2x-4y-7=0和圆 C2:(x十3)2十(y+1)2=12,圆心和半径分别是 3.C【解析】由题意可知|MN|=2,则点O到MN C1(1,2),C2(-3,-1),R1=2√3，R2=23,则两圆 的距离d=√22-（√）2=1，又点P到MN的距离 心中点为(-1，号)，若圆C和圆C关于直线8x+ 为25×=3，则0P的长度为4，而0P的长度为 2 6y一5=0对称，则直线是CC的中垂线，但两圆心 4的点有且仅有两个，即满足条件的点P有2个，故 中点(-1，)不在直线8x十6y-5=0上，故A错 选C. 误；对于B,两圆方程相减得公共弦方程为8x十6y十 4.D【解析】设点M的坐标为(x,y),MB=2MA, 5=0,C到直线8x十6y十5=0的距离d= 得√/(x十2)十y=2√/(x-1)十y,化简得x2- 8+12+51 5 4x十y=0,即(x-2)2十y2=4,所以点M的轨迹是 10 2 故公共弦长为 以P(2,0)为圆心，半径为2的一个圆.易得点Q的坐 2√/(25)2- (号)厂=√2，B错误：对于C,圆心距 标为(-之，0)，则两圆的圆心距为PQ=号，圆Q, 为√1十3)+(2+1)F=5,当点P和Q重合时， 圆M的半径分别为=是=2.又-n<PQ |PQ|的值最小，当P,Q,C,C四点共线时， |PQ|的值最大为5十4√，故PQ的取值范围为 <r1十r2,所以点M的轨迹与圆Q相交.故选D. [0,5十4√]，C错误：对于D,如图，设C关于直线 5.C【解析】由圆C:(x-3)2十(y-3)2=2可得圆 x一y十8=0对称点为A(m,n), 心C(3,3),半径为√2，由圆0：x2+y=1,可得圆心 0(0,0),半径为1，|0C|=√32+3=3√2>1+ √2，即两圆相离，示意图如下，连接OP,则在 R△A0P中，m号=品=P当e取最大值 时，OP取最小值，则当P为线段OC与圆C的交点 时，两切线所成角最大，此时|OP|=|OC1一√2= 2E.sm号-0-办所以a=12号 2-n =-1, 1-m m=-6, 则 -1-2x名=子.故选C m+1_n+2+8=0, 解得 即C关于直 n=9, 2 2 ·82· 高三一轮复习A ·数学· 线x-y十8=0的对称点为A(一6,9)，连接AC2交 √/1-(-1)]+L1-(-1)F+2×2√2=6√2，A 直线于点M,此时|PM+|MQ|最小，IPM+ 项错误：如图直线AB:y=x,则P(a,a)在线段AB |MQ|=|MC|+IMC2|-4W3≥|C2A|-4W3= 上，A(-3,-3),B(3,3),∴.-3<a<3,B项正确； √(-6+3)+(9+1)z-4√5=√109-45，即 曲线C与直线y=x十m有公共点，则圆心C,C到 |PM+|MQ|的最小值为√109-4，D正确.故 直线的距离小于或等于半径，则d,=2+m≤r= 选D. 2 二、选择题 22,则-6≤m≤2或者d,=-2十ml≤，=22. 7.AD【解析】因为直线l的一个方向向量n √2 (1,一√5)，所以直线（的斜率=一√3，又直线经 则-2≤m≤6，∴.一6≤m≤6，C项正确；原点到C上 过点（一2,0），代入点斜式方程可得y一0= 的点的最小距离为√7十1，最大距离为2√2十 -√(x十2)，即直线1的方程为5x十y十2√3=0. √+1=3√2，故7十1≤r≤3√2，D项错误.故 对于A,将直线5x一3y十1=0化为斜截式方程，可 选BC. 得y=x十日，斜率为号，又直线1的斜率6 三、填空题 9.(x-2)2+(y-1)2=1【解析】设M(x,y),P(a,b), 5,因为9×(-5)=-1，所以直线1与直线 则4=x,6牛2=y,解得a=2x-4,6=2y-2,则 2 2 √5x一3y十1=0垂直，故A正确：对于B,由直线l的 P(2x-4,2y-2),将其代入x2+y2=4中，得 斜率为k=一√3，设直线l的倾斜角为a,a∈ (2x-4)2+(2y-2)2=4,化简得(x-2)2+ [0°，180°)，则tana=-√3，所以a=120°，故B不正 (y-1)2=1. 确；对于C,令x=0,代入直线l的方程3x十y十2√3 10.3-V10 【解析】如图1所示，过点M作平行于x 3 =0,得y=一2√，即直线（在y轴上的截距等于 轴的直线MB交直线l于点B, -2√5，故C不正确；对于D,l与直线x十3y十2=0 的交点为（一2,0），在x轴上，故D正确.故选AD 8.BC【解析】当x<0,y<0时，曲线C:(x十1)2十 (y十1)2=8，圆心C(-1,-1),半径m1=2√2；当x >0,y<0时，曲线C:(x-1)2+(y十1)2=8，圆心 C2(1,-1),半径r=2W2;当x<0,y>0时，曲线C: (x+1)2+(y-1)2=8,圆心C3(-1,1),半径r= 图1 2W2:当x>0,y>0时，曲线C:(x-1)2+(y-1) 过点N作NA⊥MB于点A,d(M,N)表示|MA|+ =8,圆心C4(1,1),半径r=2√2.曲线C如图所示： |NA|的长度，因为直线1的方程为3x十y-9=0, 连接CC4,延长交C于A,B两点， 即直线l的斜率k=一3，设l的倾斜角为a,则tana B =-3,又因为a+∠VBA=π，所以tan∠VBA= tan(π-a)=-tana,所以tan∠NBA=3,可得 A 治=，即NA=3AB1,所以d(MN= IMA+INA=MAI+3 ABI=IMBI+ 2|AB|,当固定点M,且MN平行于x轴时，此时点 A” N与点B重合，此时|MB|为定值，|AB|为0， 曲线C上两点间距离的最大值为|AB|= d(M,N)最小，如图2所示， ·83· ·数学· 参考答案及解析 故公切线1的方程为y=士号， 则A到公切线l的距离为d= -2 )+ N(B) (8分) 故1裁圆A的弦长为2√2-（台5）=台5。 图2 (9分) 过点O作直线l的垂线，垂足为T,交圆O于点M, 可得11=o1-1=g2 -1=9y0-1, 10 又由直线l的斜率k=-3,可得sin∠TNM 31 10 ,在Rt△MNT中，可得d(M,N)=|MN|= 910 MT 10 sin∠TNM3√/o =3、V10 3· 10 (3)设L的方程为y=kx(k≠0)， 四、解答题 11.解：(1)设圆心C(a,0)(a<4), 则三个圆心到该直线的距离分别为山，=一5飞 w/1+k2 则a,41=2, 2 (3分) 5k1 2 d2= ,d3= (10分) /1+ √1十 解得a=0或a=8(舍)， 设l截圆A的弦长为n, 故圆C的方程为x2+y2=4. (7分) 则n2=4(1-d)=4(1-d8)=4(4-d), (2)由题意可知圆心C到直线y=kx十√5的距离为 所以结合题意有1一 2sin30=1, (9分) 则有5=1， √2+1 解得k=士2， 解得k=1 8 (13分) 即k的值为士2。 (13分) 12.解：(1)由题意可设B(一m,0),C(m,0),m>0, 所以d= 4 32 则根据条件得|AC=√TOC十OA下= √/m+22=1+2=3, 故m=4X(4-号)=9 解得m=√5， 即= 所以两圆的圆心坐标分别为B(一√5,0)，C(√5,0)， 即直线1截⊙A所得的弦长为等. (15分) ⊙B的标准方程为(x十5)2十y2=1,⊙C的标准方 程为(x-√5)2十y2=1. (4分) (2)由题可设公切线l的方程为y=kx(k≠0)， 则6 1 1十k 解得k=士立： 1 (6分) ·84· 高三一轮复习A ·数学· 联立 x=my-1'得(+1)y-2my-3=0, x2+y2=4, d △=4m2+12(m2+1)>0, 21m 3 y十=m+%= m+1 (13分) 因为E(-2,0),F(2,0), 所以直线EG的方程为y= 1+2(x+2), 13.解：(1)设Q(x,y), 直线FH的方程为y=2(一2)， 因为8=2 因为直线EG与直线FH交于点D, 所以1QM12=41QN2, y0= +2(xw+2), 即(x-4)2+y2=4[(x-1)2+y], 所以 (16分) 整理得x2+y2=4, 2-2（x0-2), 所以曲线C的轨迹方程为x2+y2=4. (5分) 则十2 y2 .1十2 (2)曲线C的圆心(0,0)到直线x一y十1=0的距离 x0-2x2-2 L=2 =2(y十1) d+受 (1y2-3)y =myMy2十y十y-y 所以|AB1=2Vd=2V-=.(9分) myiy2-3y1 3m 2 (3)设G(1y),H(x2y2),D(x,y). m中五+m+ 3m n2+7-3y m m十1y 1 3 m2+73y 3 即0十21 20-23’ 解得x=一4， 所以点D在定直线x=一4上 (20分) ·85·