(15)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十五)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列说法中，正确的是 A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 C.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA,=6,若仅侧棱AA,在水平桌面内放置时，液面 恰好过点M和点V,且满足AM=2MC,BN=专NC,则当底面ABC水平放置时，液面高为 A.4 B.8 C.3 D.2 A 3.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的， 如图所示，若被截去的每个正三棱锥的侧棱长均为20cm,则石凳的体积为 A.64000 3 cm B.160000 cm3 3 C.188000 cm3 3 D.192000 cm 3 4.已知某三棱台的高为2√5，上、下底面分别为边长为4√和6√的正三角形，则该三棱台的体 积为 Λ.114√15 B.57√/15 C.38√/15 D.27√/15 5.已知以A,B为顶点且底面重合的两个圆锥内切于半径为R的球O,圆锥底面圆的半径为r,若 两圆锥的侧面积之和与球0的表面积之比为手，则 A.2Rr+2r5=R B.2Rr+2r=R5 C.4R2r+4r3=R3 D.4Rr2+4r3=R 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 6.已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1，下底面半径为2，母线AB长为2，则 D A.圆台的高为2 B.圆台的侧面积为4π C圆台外接球的体积是x D,与圆台的上、下底面和侧面都相切的球的半径为5 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，则下列可能是该几何体的 截面的为 A. B. C. D. 8.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始 时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一 个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8c,当细沙全部在上部 时，其高度为圆锥高度的号（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm的沙，且细沙 全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则 A沙漏中的细沙半径为 -cm B沙漏中的细沙体积为' cm C.沙漏的体积是128πcm3 D.细沙全部漏人下部后，此锥形沙堆的高度为cm一 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 轮复习40分钟周测卷十五 数学第2页（共4页）】 ® 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为梯形A'BC'D',已知A'B'=6,C'D'=4,A'D'=√2， 则四边形ABCD的面积为 C 04) B 图1 图2 9题图 10题图 10.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3,∠BEC=120°，则该几何体的体积为 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在棱长为a的正方体ABCD一A,B1CD,中，E为DD1的中点. (1)求三棱锥A-DEC的体积； (2)求点D到平面AEC的距离； (3)若球O与该正方体的12条棱均相切，求该球的表面积. D 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三 12.(本小题满分15分) 下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径OA=1,母线SA=3. (1)A,B是圆O的一条直径的两个端点，D为母线SB的中点，用软尺沿着圆锥面测量A,D两 点的距离，求这个距离的最小值； (2)若将该工件装人一个透明的球状玻璃容器，求容器的表面积的最小值； (3)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落 在原工件的一个面内，求这个正方体的体积 13.(本小题满分20分) 据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功 (如图1)，标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业 结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念， 它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球 冠的高.球冠的面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球 冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺 的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的几何体，称 作“球锥”.如图2，设一个“球锥”所在球的半径为R,其中球冠的高为h(h<R) R.HAS 04P “球锥” 图1 图2 图3 (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图3），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球锥中，当球缺的体积与圆维的体积相等时，求发的值。 轮复习40分钟周测卷十五 数学第4页（共4页）】 B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十五） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 工.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 几何体的概念 易 0.88 2 选择题 5 三棱柱的体积 易 0.78 3 选择题 5 组合体的体积 多 0.73 4 选择题 5 三棱台的体积 8 0.70 选择题 球与圆锥的表面积 分 0.68 6 选择题 5 圆台的综合问题 中0.60 正方体中组合体的 7 选择题 6 中 0.65 截面问题 选择题 6 生活中的圆锥问题 农 0.46 9 填空题 斜二测画法 扇 0.85 10 填空题 5 组合体的体积 中 0.60 11 解答题 点面距，球的切接 13 易 0.80 问题 12 解答题 15 最值问题，切接问题 中 0.50 球的新概念题，体积 13 解答题 20 难 0.30 及综合问题 叁考答亲及解析 一、选择题 1.D【解析】对于A:棱锥有一个面是多边形，其余各 面都是有一个公共顶点的三角形，故A不正确；对于 B:圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，当这两点 的连线与圆柱的轴平行时，这两点的连线才是圆柱的 B 母线，故B不正确：对于C:如图所示，若以腰CD为 对于D:由棱台的定义知各侧棱延长线交于一点，故 旋转轴旋转一周，则形成的几何体不是圆台，故C不 D正确.故选D. 正确； 2.C【解析】设三棱柱的体积为V,仅侧棱AA1在水 ·61· ·数学· 参考答案及解析 平桌面内放置时液面以上部分的体积为号V,故水的 易得AB=2R,∠ACB=90°，所以+号=(2R)2,即 +=4R①，又因为∠CO1B=90°，所以△ABCc 体积为V,设当底面ABC水平放置时液面的高为 △CB0,则S-号即上-器，所以6k=2R@, r l2 y h,则台=号=合，解得6=3，故选C 由圆锥侧面积公式可得两圆锥的侧面积之和为π 十πrl=πr(l1十l2),球O的表面积为4πR,故 3.B【解析】由题意，该几何体是由棱长为40cm的正 方体截去八个全等的正三棱锥，所以该几何体的体积 太2-，即+6=，由①+@×2得 4πR 为V=0-8x号××20X20×20=1500am ++214=4R十4R,=(6+6)=,化简得 3 3 故选B 4R2+4r2=R,故选D. 4.C【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱 6.C【解析】对于A,如图所示，过A作AF⊥BC交 台ABC-ABC1,如图， BC于点F,过D作DG⊥BC交BC于点G, B 9 A C G F 02 根据题意在△AFB中，BF=1,AB=2,则AF= √AB一BF=√3，故A错误；对于B,圆台的侧面积 上底面正△ABG的面积为号X4厅X45×号 为π×(1十2)×2=6π，故B错误：对于C,设圆台外 接球的球心为O,半径为R,下底面圆心为O,上底面 12,下底面正△ABC的面积为号X63×6BX 圆心为O2,连接O1O2,OA,OB,由题意可得OB=2 =275,由正三棱台的体积公式可得该三棱台的 02A=1,002=√3.设O01=a,则002=√3-a或 2 体积V=号×(12+27+√23×275)× OO2=5+a,由R=OA=OB,即√1+(W3-a)2= √2+a或√12+(3+a)2=√2+a,解得a=0, 2√5=38√/15.故选C. 即O,O重合，所以R=2,圆台外接球的体积是 5.D【解析】作出图象如图所示，设以A,B为顶点的 圆锥的母线分别为1,2，圆锥的底面圆心为O, 号R-警，故C正确： 3 B 0 R 01 ·62· 高三一轮复习B ·数学· D 当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组 棱平行去剖开正方体时，如图2中截面PDGH位置， 截面形状就会如选项C,故C可能是该几何体的 截面； 0 0 图2 如图3，按图中截面ABC的位置去剖开正方体，截 面就会如选项D,故D可能是该几何体的截面.故 选BCD. 对于D,OB=2,O2A=1,OO2=√3，若球与圆台的 上、下底面和侧面都相切，则AB=1十2=3，与AB= 2矛盾，与圆台的上、下底面和侧面都相切的球不存 在，故D错误.故选C. D 02 B1 图3 8.AD【解析】对于A,B,根据圆锥的截面图可知：细 沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比 等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径 0 =号×4=号cm体程=子··=子× 二、选择题 7.BCD【解析】截面中间是矩形，如果可能的话，那么 64红×16=1024红cm,A选项正确，B选项错误；对 9 3 81 一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并 于C,沙漏的体积V:=2×子×π×（合）×h=2× 且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间 应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面：当从 号×云XX8-2m,C选项错误：对于D,设细 正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好 沙流入下部后的高度为1，根据细沙体积不变可知 通过四棱锥顶点，如图1，此时截面形状如选项B,故 B可能是该几何体的截面： 102=子X((台)×A,解得=器m,D 81 选项正确.故选AD, 三、填空题 9.10√2【解析】将直观图复原为原图，如图所示： 图1 ·63· ·数学· 参考答案及解析 则点D到平面AEC的距离为。 (8分) (3)设球的半径为R, 则该球的直径为面对角线长，即2R=√2a, 解得及-号， 04 所以该球的表面积为4πR=2aπ. (13分) 则AB=6,CD=4,AD=22,所以四边形ABCD的 12.解：(1)将圆锥SO的侧面自母线SA剪开展开在平 面积为4×22=10. 面内，得到扇形ASA', 2 则点B为弧AA'的中点，如图， 10.27【解析】如图所示，该几何体可视为直三棱柱 BCE-ADF与两个三棱锥S一MAB,S-VCD拼接 而成.记直三棱柱BCE一ADF的底面BCE的面积 为S,高为h,所求几何体的体积为V,则S=号BE ·CE·sin120°=号×3×3×5=9y5,因为两个 2 2 4 直三棱柱相同，故h=CD=BC=3√3，所以V= 依题意，弧AA'的长为2π·OA=2π， V三核柱E-ADF十V三枚s-B十V三枚锥s-NCD=Sh十 5：h+号A=号%=27. 1 1 则∠AsA=-5 则∠ASB=合∠ASN=号， 又D为SB的中点， M 则在△ASD中，由余弦定理得AD D -VSA+SD-2A·5Das号 -√3+（号）-2x3×号×万=3 2 2 四、解答题 所以A,D两点的距离的最小值为3 2· (5分) 1,解：由题知V,1=专××号×aXa= 2 (2)表面积最小时该球为圆锥的外接球，(6分) (3分) 设圆锥的外接球半径为R,球心为C,连接AC, (2)因为正方体的棱长为a,E为DD1的中点， 易得球心C在SO上， 所以AE=-(E=√+-5。 由OA=1,SA=3,得S0=2√2， 42a. 则CO=2W2-R, 因为AC=√2a, 所以在Rt△AOC中，(2√2-R)2+1=R, 5 4· 解得R=9 8 (9分) (5分) 设点D到平面AEC的距离为d, 则外接球的表面积为4πR=8 81 由VD-AE=VA-Dax, 即容器表面积的最小值为 (10分) 4 i2,解得d= 6a, (3)依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方 ·64 高三一轮复习B ·数学· 体的一个面在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正 所有小锥体的底面积之和即球冠面积， 方体， 结合锥体体积公式得“球锥”的体积为V:=号× 设正方体的棱长为x,沿正方体的对角面作圆锥SO 的轴截面，如图， 2a,R-=号R% (8分) (2)设圆锥的底面半径为r, 则2=R2-(R-h)2=2Rh-h', 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，V球维“=2V网锥， 即号Rh=2X号(R-h, (13分) 则号Rh=子x(2RM-)(R-), 2 0 G B 整理得R-3Rh+h2=0, 则EF=√2x,FG=x, (20分) EFSO-FG 显然△SEFn△SAB,有AB= 因为h<R,所以会=3≥E R 2 SO 而S0=√3-1平=2√2， 因此=2E_工，解得x=22 (14分) 22 3 则正方体工件的体积V==(22)°-162 R-h 27 (15分) 13.解：(1)把“球锥”切割成无数个小锥体， 由题意得球冠面积为S=2πRh, ·65.