课时冲关37 基本立体图形、直观图及其简单几何体的表面积和体积-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习课时作业（北师大版）

课时冲关37 基本立体图形、直观图及其简单 儿何体的表面积和体积 [基础训练组] 6.(多选)(2025·重庆八中模 1.(2024·青岛市模拟)以下命题 拟)某工厂生产出一种机械 ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周 零件,如图所示,零件的几 所得的旋转体是圆台 何结构为圆台OO,在轴 ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面; 截面ABCD中,AB=AD=BC=4cm,CD ③一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个 2AB,则下列说法正确的有 ( ) 圆台: A.该圆台的高为/3cm ( 其中正确命题的个数为 ) A.0 B.1 C.2 D.3 B.该圆台轴截面面积为12/③cm{} 2.(2025·广东梅州模拟) 563 C.该圆台的体积为 cm{} 3 如图,△AOB是水平 D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到 放置的△AOB的直观 图,但部分图象被茶渍覆盖,已知O为坐标原 AD的中点,所经过的最短路程为10cm 点,顶点A'、B均在坐标轴上,且△AOB的面 7.(多选)(2025·湖北模拟)折扇是我国古老文 . 积为12,则OB的长度为 ) 化的延续,在我国已有四千年左右的历史, A.1 B.2 C.3 D.4 “扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行” 3.(2025·河南开学考试)如 它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是 图所示是一个无盖的瓶子 运筹帷、决胜千里、大智大勇的象征(如图 该瓶子由上部分圆柱和下 1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一 部分圆台构成,圆柱的底面 部分),若两个圆张DE,AC所在圆的半径分 圆的半径为1,圆台的下底 别是3和9,且ABC-120{*},则该圆台的 面圆的半径为2,圆柱和圆 _ 台的高相等,若该瓶子的侧面积为 (3/②士2)n,则瓶子的体积为 ( ) 14# 10π A.3 .1 D.1 B.4r 2 图1 4.(2023·全国甲卷)在三校锥PABC中, A.高为4② △ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB B.体积为5 -2,PC一6,则该梭锥的体积为 ) A.1 B.3 C.2 D.3 C.表面积为34 5.(2024·新课标II卷)已知正三校台ABC一A D. 上底面积、下底面积和侧面积之比为1; :22 ,AB-6,A:B -2,则A:A 8.(2023·新课标I卷)在正四校台ABCD 与平面ABC所成角的正切值为 ##} ~ A B C D 中,AB-2,A.B =1,AA =/②,则$ B.1 C.2 D.3 该梭台的体积为 338 9.如图1,一个正四梭柱形的密闭容器水平放 [能力提升组] 置,其底部嵌了同底的正四梭锥形实心装饼 11.在四校锥P一ABCD中,底面ABCD是正方 块,容器内盛有n升水时,水面恰好经过正四 形,PA|底面ABCD,且PA=3,AB=4,则 梭锥的顶点P,如果将容器倒置,水面也恰好 四梳锥P一ABCD外接球与内切球的表面积 之比为 ( 经过点P(图2),设正四梭柱的高为h,正四校 ) C1 B.10 D.11 锥的高为h。,则 . 12.(多选)已知正四梭锥的侧面积为4/③,当该 楼锥的体积最大时,以下结论正确的是 , ) 图1 图2 10. 如图,在正方体ABCD A.B.C.D.中,长AB-1, 过点A的平面。与正方体 的面相交,交线围成一个正 三角形. B.侧梭与底面所成的角为60 C.校锥的每一个侧面都是等边三角形 (1)在图中画出这个正三角形(不必说明画 法和理由); D.校锥的内切球的表面积为(8一4。/3)a 13.(2025·江苏徐州模拟)已知正方体ABCD (2)平面。将该正方体截成两个几何体,求 A.B.C.D.的梭长为6,E,F分别是A.D 体积较大的几何体的体积和表面积 AA.的中点,平面CEF截正方体所得的截面 为多边形,则此多边形的边数为 ,截 面多边形的周长为 14.(2025·浙江宁波模拟)如图,D,E,F分别是 边长为4的正三角形三边CA,AB,BC的中 点,将△ADE,△BEF,△CFD分别沿DE. EF,FD向上翻折至与平面DEF均成直二面 角,得到几何体ABC一DEF.则二面角C AB-E的余弦值为 ;几何体ABC DEF的外接球表面积为 339课时冲关37基本立体图形、直观图及其 法二：将正三棱台ABC-A,B,CG补成正三枚雏P-ABC, 简单几何体的表面积和体积 1.B[由国台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行 于國维底面的平面载国锥，才能得到一个园锥和一个回台，③不 正确.」 2.B[画出△AOB的原图为直角三角形，且 OA=O0A'=6, 国为20B×OA=12,所以OB=4,所以0B 则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角， =20B=2.] VP-A.BC-I 3.A[设圆柱和圆台的高为h,园台的母线为 可物V-Ag-,--号p-证=18 52 1,则1=√2+1. 所以瓶子的侧面积S=2πh十l(1+2)=2h十3r√/+1 说正三技维P-ABC的高为d:则Vp-证=了X立X6X6X (32+2)x, 解得h=I. -18,解得d-23 2 所以气子的体积V=号×1×（什4十√）十×1PX1 取底面ABC的中心为O,剩POL底面ABC,且AO=2√3， 子+-号故选A] 所以PA与平面AC所成海的正初值m∠P0=得=1.故 选B.] 4.解析：A[如图，取AB中点E,连接 PE.CE. 6.BCD[如图，作BELCD交CD于点E,易得CE=CD,AB 2 :△ABC是边长为2的等边三角形， PA=PB=2. 2,则BE=O,O2=√-2=2√3，则回台的高为25cm,A .PE⊥AB,CE⊥AB,又PE,CEC平 错误： 面PEC, PE∩CE=-E. ∴.AB⊥平面PEC, 又PE=CE=2x号-原，PC=后. 故PC2=PE+CE,即PE⊥CE, 所以V=VnRe+Vne=言Sac·AB 圈台的轴栽面面积为受(4+8)×23=12后cm,B正确：国台 =言×号×gx5x2=1.] 的体款为V=了4+16十8)X25-6m,C运痛：将国 5.解析：B[法一：分别取BC,B1C1的中点D,D1,则AD=3√3， 台一半侧面展开，如图中ABCD,设P为AD中点，圆台对应的 维一半侧面展开为扇形COD,由闻台补成围维，可得大圆锥的 AD=√3， 母线长为8cm,底面半径为4cm,侧面展开图的国心角为0 可知SA=言×6X6X复=9尽，5aA5=名×2×后 2x4=x,连接CP,可得∠COP=90',0C=8,0P=4+2=6.则 8 =3, CP-√G2十82=I0,所以沿着该国台表面从点C到AD中点的 设正三棱台ABC一A1B1C1的高为h, 最短距离为10cm,故D正确.] 则V-A,BG= 言(9尽+尽√9x)h=壁 7.AC[设圆台的上底面丰径为，下底面半径为R,则2=号× 解得=4区 3 2xX3,2R=言×2x×9,解得r=1,R=3国台的母我长1=6， 如图，分别过A,D,作底面垂线，垂足为M.N,设AM=r, 圆台的高为=√62一(3一1)产=42，则选项A正确：国台的体 教-宁×42×(8+3X1+1)2,别选项B错溪：国台 的上底面积为元，下底而积为9π，侧面积为π(1+3)X6=24π，则 司台的表而积为π十9x十24π=34，则C正确；由前而可知上底 面积、下底面积和侧面积之比为1：9：24，则远项D辑误.门 8.解析：如图，将正吗棱台ABCD 则AA1√AM+AM√P+S,DN=AD-AM-MN A1BC1D1补成正四棱雏，则AO=√2， 25-r, sM=2g.00-9 可得DD,VDN+DN√(2B-)产+. 故V-号(5+8+S)h, 结合等联蒂彩BCC可得BB明-（色，）+DDi, V=音(2++V2x)× 2 即+9=(2后-)+9+4，解得x= 3 3 -6 6 所以AA与平面ABC所成角的正初值为an∠AAD=4M AM =1. 答案7 572 9.解析：设枚柱的底面面积为S, 在图1中，可得Sh:一 S:=号S:=m,所以：= 3m 设内切球的丰径为，由于n=号 在眉2中，可得S一)=m,所以h,一=号时，-贺 S=4+4×(号×2x2×号）=4+4， 3V4w2 2-6-区 5m r 4+451+尽 2 所以 2S5 3 S内-4x· 6-2-(8-4B)π，选项D正瑞.] 4 2S 13.解析：延长EF交DA的延长线于点 答案： M,连接MC交AB于点N,延长FE 与DD1的廷长线相交于点P,连接PC 10.解：(1)连接A1D,A1B,BD,则△A1BD为 交C,D于Q,连接EQ,则五边形 所求三角彩（作法不唯一》，如图所示， EFNCQ即为平面CEF裁正方体所得 (2)平面a将正方体截成三校锥A1ABD 的截面。 和多面体BCDA1B1C:D1两部分， 如图所示： M Vm=×号×1X1X1= V,6Ae=1-名=名 因此体积较大的几何体是多面体BCDA1B,CD1,其体积 6 由BD=区，得S△AD=三 C 则有AF=FA=AM=3, 又S么mD=立 又因为△MAN与△MDC相极，所以MD MA 故多西体CD-AB,GD,的表面教为号+号×3+1X8 2器解得AN=2。 +2 所以FN=√3+2=I3,NC +6-2√13， 11.C[设四枝锥P-ABCD外接球与内切球 同理可得QD1一2，QC1=4, 的半径分别为R,r,由底面ABCD是正 所以QC=√+6=2/13，EQ= 方形，PA⊥底面ABCD, √3+2=/13. 6 刚PC即为外接球直径 又因为EF-√3+3一3,2，所以五边形EFNCQ的周长为6 期R=3十+平=厘 √1g+3②. 2 2 答案：五6√13十3√2 设内切球球心为O,因为VrAD=VABD+VpAB十VpAD 14.解析：取DE的中点P,EF的中点M,故 +VoP+VD· AP⊥DE,BM⊥EF,根据面面垂直的性 又VD-号×4X3=16,PB-PD-V3+-5, 质可得AP平面DEF,BML平面 DEF,故AP∥BM,且AP=BM,故矩形 四校掉P-ABCD的表面积S=+号X3X4X2+×4X5 APMB.所以AB=PM=之FD=1,报 X2=48,所以r=3VrA=1. 据图形的对称性，易得△ABC为正三角D 形，取AB中点G,因为EA=EB,CA= CB,则CG⊥AB,EG⊥AB,则二面角C一AB一E为∠CGE,且 故四校维P-ABCD外接球与内切球的表面积之比为R 4πr GE=VAB-AG-V2-(宁厂=，作GNLPM.号得 =4 GN=AP=,且∠CGE=∠CGN+∠NGE,NE= 12.ACD[设底面边长为2a,侧棱长为b,剥S西=4×立X2a× VGE-6N√厘-3=，ms∠cGE=s(∠GE+ √-a=4a2-a=45,即d-a=, 90°)=-sin∠NGE= 2 而v-3×2a)2×V你-a-。-不-2证 -5,即二面角CABE的余孩 5 3 2 又a-a=3, 谁为、 tv-gV层-G=音va-可. 设几何体ABC-DEF的外接球球心为 O,设△ABC中心为H,△DEF中心为 设f(a)=3a2-a°(0<a<3),则f(a)=6a-6a5=6a(1-a') Q,易得H,O,Q三点共线，如图，设外祸 =6a(1+a2)(1+a)(1-a), 球半径OC=OD=R,根据正三角形中的 易知函数f()在(0,1)上单调递增，在(1)上单调递减， 关后，GH-后D0-层同为oH+0Q ,当a=1时，f(a)取得最大慎，此时校锥的体机最大，且b=2, ∴底面边长为2，侧棱长为2，PE=√5，OP=√， =HQ=3,则V√OC-CH+D 六桃惊的高与底面边长的比为号，选项A正障： V0D-00-,取√R-言√R-言=，脚R-言 侧使与是西所成的青为∠P0,西血∠PB0=器-号时 ∠PBO=45°，选项B错误： 心=吾故外接球表面积为S=4xR-29 3 由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为边三角形，选项C 正确： 答案：婴 573