(15)直线与圆-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

数学第1页（共4页） 衡水金 卷·先享题·高三一轮复习单元松 16.(本小题满分15分) 18.(本 已知圆M:x2+y2-ax-2ay-40=0的圆心在直线x-y十1=0上，直线l:y=x十6. 已知 (1)求a的值； (1) (2)求圆M关于直线1对称的圆M'的标准方程； (2) (3)过(2)中的圆M的圆心作圆M的切线m,求切线m的方程. (3) 不存 17.(本小题满分15分) 已知直四棱柱ABCD一A1B1C1D1的底面为菱形，AB=2,∠ABC=60°.如图，将该棱柱截去一角 得到多面体ABCD一A1BC,点E为线段AC的中点. 19.(本 (1)设平面CB,E与平面BDC1的交线为l,证明：BD∥l: 已知 (2)若二商角C-BE-C的余弦值为 的外 (1)习 (i)求AA1的长： (2) (ⅱ)求直线DE与平面B,CE所成角的正弦值， (3) 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元枯高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（十五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 求直线的倾斜角 易 0.80 2 选择题 5 点与圆的位置关系 易 0.78 3 选择题 5 由两圆公切线条数 易 0.72 求参 4 选择题 5 直线与圆的位置关系 / 中 0.65 选择题 5 圆的实际应用 农 0.55 6 选择题 5 裂项相消法求和 √ √ 分 0.50 7 圆台的外接球（文 选择题 L L L L 中 0.45 化题) 8 选择题 5 与圆有关的最值问题 中 0.35 9 选择题 6 由两直线位置关系 易 0.72 求参 10 选择题 6 等差数列与圆的综合 中 0.40 直线与圆，圆与圆的位 11 选择题 6 / 置关系 华 0.25 12 填空题 5 线面关系与充分条件 易 0.78 的综合 利用圆求代数式的取 13 填空题 5 0.45 值范围 L 分 14 填空题 5 与圆有关的文化题 / 中 0.40 求直线方程，两条直线 15 解答题 13 的距离问题 易 0.72 16 解答题 15 求圆及圆的切线方程 0.60 ·83· ·数学· 参考答案及解析 证明线线平行，利用二 17 解答题 15 面角求棱长及线面角 / 分 0.50 的正弦值 圆与圆、直线与圆的位 18 解答题 12 0.32 置关系，存在性问题 分 研究直线与圆相交 19 解答题 17 0.25 问题 叁考答案及解析 一、选择题 迹为直线l:y=一x,设直线l与圆N的交点为A,B, 1,C【解析】由题可知x=tan-=一√3，故直线1与x 3 圆心N到直线1的距离d=一60+0=302，则 w/12+19 轴垂直，其倾斜角为受，故选℃ |AB|=2P2-d严=2√/(303)-(30√2)= 2.A【解析】因为点P(1,2)在圆C的外部，所以1十 60km,所以城市V处于危险区内的时长为1-器-2 22+1十2十m>0,解得m>-8,又方程x2+y2+x十 h.故选D. y十m=0表示圆，则1十1一4m>0,解得m<名，所 6.B【解析】由题可得an=2+1十n-2-2-n十1十2 以实数m的取值范用为（一8，号），故选A =2m+1,n≥2，又当n=1时，a1=2十1=3符合上 2 3.B【解析】由题可知圆O,的圆心为O(-4,0),半 式，则a,=2十1，所以2四 ama+1(2m十1)(2a+1+1) 径为r,圆O2的圆心为O2(2,0),半径为3，当圆O 11 与圆O恰有4条公切线时，两圆外离，则|OO2> 2中市2十市，所以12十市2中+2十市 r十3，即6>r十3，解得r<3,又>0，故0<r<3.故 1 有=号器故 1 选B. 选B. 4.C【解析】因为直线ax十y十2a-1=0可化为 a(x+2)十y-1=0,所以直线ax十y十2a-1=0过 7.B【解析】如图所示，设球O的半径为Rcm,圆台的 定点P(-2,1),将圆C:x2+y+4x一1=0化为标 上、下底面分别为圆O,O2, 准方程为(x十2)十y=5,所以圆心C(一2,0)，半 径r=√5，|PC=1,当PC⊥AB时，|AB|取最小 01------- 值，此时|AB|=2√2-PC产=2×√5-I=4. 故选C 5.D【解析】如图所示，以点M为坐标原点建立平面 直角坐标系， 依题意，4πR2=100π，解得R=5,因为π·O2A2=9π， π·OB=16π，解得O2A=3cm,OB=4cm,所以 OO2=√/R2-3z=4cm,O0=√R2-4平=3cm,因 为圆台的高超过1cm,所以该圆台的高为7cm,所以 该圆台的体积为号×(9x+16r十12x)×7-25 3 cm3.故选B. 8.B【解析】因为x2+y2-2x-6y=0→(x-1)2+ 则N(-60,0),以点N为圆心，r=30√3为半径作圆 (y-3)2=10,所以圆心M(1,3),半径r=√/10，因 N,则圆N的方程为(x+60)2+y2=2700,当台风 进入圆N内，则城市V处于危险区，又台风的运动轨 为x十my-2-m=0→x-2+m(y-1)=0,x-y ·84· 高三一轮复习B ·数学· -2m十1=0→m(x-2)-y+1=0,所以直线l1和 =4内切，故B正确；对于C,因为点P(x)在圆 直线l2都过定点E(2,1),且1⊥2，如图， O:x2+y=1上，则x8+y=1,点P(x,y)到直 y 线x十wy=0的距离d=+ =1=r2,所以 √x6十% 直线xx十y=0与圆P相切，故C错误；对于D, 因为话十好=1，所以+》）≤话+6=1，可得 2 一E≤十%≤反，当且仅当==士时等号 2 成立，点P(0,y)到直线x十y 32=0的距离 2 设AC和BD的中点分别为F,G,则四边形EFMG 3√2 为矩形，设|MF|=d,则0≤d≤|ME|=√5，又 do MG=MEEG=MEMF √2 2,当且仅 =√5-d,所以|AC+|BD|=2√10-d+ 当x=y= 号时等号成立，即4有最小值宁，且 2W10-(5-d)=2(√/10-d+√5+d严)≤ 所以直线十)=3号被圆P所我得的 1 2√2(10-d+5+d)=2√30，当且仅当10-d= 5十d,即d=四时取等号，故|AC+|BD的最 弦长存在最大值，故D正确.故选ABD. 2 三、填空题 大值为2√30.故选B. 12.bCy(或b∥y)【解析】由bCy,可得a⊥b或由b∥ 二、选择题 Y,可得a⊥b,由a⊥b,可得bCy或b∥Y.因为M是 9.ABC【解析】对于A,当a=3时，直线l1:3x十y-9 a⊥b的充分不必要条件，所以M可以是bCy或b∥ =0,直线l2:x十y-3=0,联立 /3x+y-9=0 x十y-3=0,解得 Y. =),所以1与4的交点为(3,0)，故A正确：对 x=3 1B[合十一)1+2而【解折】令=”，则 所求问题转化为求点P(m,n)与点A(1,3)连线的 于B,直线l1:ax十y-3a=0可整理为a(x-3)十y 斜率的取值范围，设点P(m,)与点A(1,3)的连线 =0,所以直线4恒过点(3,0)，故B正确；对于C,若 为直线(，当直线！的斜率不存在时，直线（相切于 41么，则aX2+1X(a-1)=0,解得a=号，故C正 圆O的右边界；当直线（的斜率存在时，若直线（与 圆O相切于第二象限，设直线（的方程为y= 确：对于D,假设存在a∈R,使4∥l2,当a=1时，l1 k(x一1)十3，则点O到直线L的距离为d= 的斜率为一1,2的斜率不存在，此时1与2不平行： 当a≠1时，号。≠二侣显然无解，所以不存在 1 1,解得=专所以∈[子十)》 √R+1 (m一1)2十(n一3)2的几何意义为圆O上的点到点 a∈R,使l1∥l2,故D错误.故选ABC. A(1,3)的距离t的平方，所以tx=AO|十1= 10.BC【解析】因为直线l与圆C相切，则圆心C(2, O)到直线l的距离d等于半径am,即d= √/32+1严+1=√/10+1，所以x=11+2√10. 18x24X0+l-aa,≥0，所以a=,所 14.V原【解折】令PC=1PBl则份- 32+42 由题意可得圆O是关于点B,C的阿波罗尼斯圆，且 以a=子，故A错误：当m≥2时a,-a=号，故 ，设C(m),P(,),则P哈 入1 数列{a}是等差数列，故B正确；若圆C经过原点， 则(0-2)2十02=a元，则an=2,此时n=4,故C正 x=m)+(y-n)=1 √(x-4)2+y ，整理得x+y+ 确；若直线l过点(1,1)，则3十4十n=0,解得n= -7,不合题意，故D错误.故选BC. 11,ABD【解析】对于A,因为圆O:x2十y=1的圆心 8一学=18二证又因为r+=4 3 3 为O(0,0),半径r1=1,圆P:(x-x0)2十 8-8m=0 3 (y-y)2=1的圆心为P(x,y),半径r2=1,显 然|OP|=1=2,所以圆P必过定点O(0,0),故A 所以 ·解得所以点C的 正确；对于B,圆x十y=4的圆心为O(0,0),半径 16-4m2-4n2 r=2,则|OP|=1=r3一n,所以圆P与圆x2十y =4 3 ·85· ·数学· 参考答案及解析 坐标为(I,O),所以|PA|十号|PB=|PA十 解得=2或=宁， (13分) |PC|≥|AC|=√(0-1)+(6-0)=√37，当 所以切线m的方程为2x一y十15=0或x一2y十18 点P,A,C在同一条直线上且点P在点A,C之间 =0. (15分) 时，取等号，所以PA十令PB|的最小值 17.解：(1)连接AC交BD于点O,连接OE, 由直四棱柱的性质可知OE∥BB,且OE=BB, 为√37 所以四边形BEOB为平行四边形， 四、解答题 所以BD∥BE, (2分) 15.解：1)易知a≠1且a≠-号 又BD寸平面CBE,BEC平面CBE, 所以BD∥平面CBE, (4分) 令x=0,则y=2a十 1 又BDC平面BDC,平面CBE∩平面BDC=L, 所以BD∥L. (6分) 令y=0,则x= 1 (2)(I)依题意可知，OE⊥平面ABCD, a-1 以O为原点，OC,OD,OE所在直线分别为x轴、y 所以行十。占=0解得a=0 (6分) 轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系 （2)因为1∥m,所以1=二(2a+1≠1， 4 -2 解得a=-1, (9分) 则1的方程为-2x十y十1=0，即4x-2y-2=0, 所以1与m间的距离为1-（一2L=35 √/42+(-2) 10 (13分) 16.解：(1)由圆M:x2+y2-ax-2ay-40=0, 得(c-受）广+(y-a)=40+d, 设AA1=t(t>0). 在菱形ABCD中，因为AB=2,∠ABC=60°， 则圆心M(号，a, 所以AB=BC=AC=2, 所以BO=DO=√3， (7分) 因为圆心M在直线x一y十1=0上， 所以C(1,0,0),B(0,-√5，t),E(0,0,t), 所以号-a十1=0，解得a=2。 (4分) 所以B1E=(0,√3,0)，CE=(-1,0,t), (2)由(1)得圆M:(x-1)2十(y-2)2=45, 设平面BCE的法向量为n=(x,y,z), 圆心M(1,2),半径r=3√5 (6分) …BE=0∵即5y=0. 则 设圆心M(x,y), n·CE=0, (一x十t这=0， 则线段MM的中点为(，1，必+2)，且 令x=1,得n=(t,0,1). (10分) 2’2 易知平面BEC的一个法向量为m=(0,0,1), kr=二2 设二面角C-BE-C的平面角为a, x0-1” m·n +2_+1+6 则cosa=cos〈m,n)l=m·n √/+IX1 2 2 由对称性得 y-2 07 17 解得t=4,所以AA=4, (12分) 解得二，即M(-4,7) (9分) (i)由(i)可得n=(4,0,1),D(0,√3,0)，E(0,0, 所以圆M的标准方程为(x十4)2+(y一7)2=45. 4), (10分) 所以D=(0,-3,4) (13分) (3)由题可知切线m的斜率存在， 设直线DE与平面B:CE所成的角为a, 由(2)可知M(-4,7), 设切线m的方程为y一7=k(x十4)，即kx一y十4k 秀地1流a-: 十7=0， 则圆心M到切线m的距离d=k-2十4+ =10×4+(-B)×0+4×1=432☒ 3+16×/16+0+1 3231 √+1 所以直线DE与平面B,CE所成角的正弦值为 3√5， ·86· 4√323 3231 (15分) 所以圆心M到直线1的距离d=√？-（四） 18.解：(1)由圆C:x2+y+2kx+(4k+10)y十5k2+ =√4-3=1， 20k+9=0, 当直线（的斜率不存在时， 得(x+k)2+(y十2k十5)2=16， 直线（的方程为x=1, 所以圆C的圆心为C(-k,一2k-5),半径r=4. 此时M(2,2)到直线1的距离为1，|PQ|=2√3成 (2分) 立； (6分) 圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1， 当直线（的斜率存在时， 因为圆C与圆x2十y2=1外切， 设直线l的方程为y-4=k(x-1),即kx一y-k十 所以√k2十(2k+5)=4+1=5, (5分) 4=0, 解得k=0或k=一4 (6分) (2)由(1)得C(-k,-2k-5), M(2,2)到直线1的距离d=12k-2-k+4L=1, /k2+1 即8-消去得y-2一5， 解得k=-3, 所以圆心C的轨迹方程为y=2x一5. (9分) (3)设直线l与圆C于A,B两点， 则直线1的方程为y-4=一是(2一1)， 圆心C(一k,一2k一5)到直线l的距离为d(d>0), 即3x+4y-19=0. (9分) 假设存在符合题意的直线， 综上，直线l的方程为x=1或3x十4y-19=0. 则|AB|=2√r2-d=2√16-d=59, (10分) 解得d=号（负值合去。 (3)在△PMQ中，∠PMQ∈(0，π)， 所以sin∠PMQ∈(0,1]， 即圆心C与直线1的距离恒为 又Saae=合|MPl·IMQl·sin∠PMQ 2 (12分) 2sin∠PMQ, 由(2)可知圆心C在直线2x一y一5=0上， 设直线l的方程为2x-y十t=0(t≠-5)， 则当sin∠PMQ=1,即∠PMQ=时，△PMQ面 则-解得=一吾或号 (15分) 积取得最大值，最大值为2. (14分) √5 2 此时△PMQ为等腰直角三角形， 所以存在直线(，使得动圆C截直线（所得的弦长恒 为√59， 即圆心M到直线1的距离d-号，=厄，5分) 15 且直线1的方程为2x-y-号=0或2x-y- 易知直线l的斜率存在且不为0， d=12k-2-k+4l-2, 0,即4x-2y-5=0或4x-2y-15=0.(17分) √+1 19.解：(1)设圆M的方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0, 解得k=2士√6. (17分) D+E-4F>0, 4+2D+F=0 (D=-4 则4+16十2D十4E十F=0,解得E=-4, (16+4+4D+2E+F=0F=4 则圆M的方程为x2+y2-4x-4y十4=0， 即(x-2)2+(y-2)2=4. (4分) (2)由(1)得圆心M(2,2),半径r=2, 又PQ=2wW3,