(14)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十四)数列求和、数列的综合应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.记Sn为数列{an}的前n项和，则“任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知数列{an}(n∈N")满足a1=1,前n项和为Sm,对任意正整数n都有am+1十an=n十3，则 S10= A.18 B.28 C.40 D.54 3.在等差数列(a}中，S,=3,S。=10,则tanS·示= 4 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.2025年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天 内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1 的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2200人，则恰好获 得1对春联的人数为 A.183 B.184 C.185 D.186 5.在1和11之间插入m个数，使得这m十2个数成等差数列.若这m个数中第1个数为a,第m 个数为6，则日+票的最小值是 A是 B.2 C.3 6.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款α元用来购买该电 动汽车，银行贷款的月利率是t,并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4 月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款 A.a(1十t)12元 B.a(1+t)12 元 12 C兴元 at(1+t)12 D.12La+)-1叮元 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,则 A.若Sn=n2,则{an}是等差数列 B.若Sn=2",则{an}是等比数列 C.若{an}是等差数列，则S2o25=2025a1o13 D.若{anm}是等比数列，且am>0,则S2m-1·S2+1>Sm 8.斐波那契数列指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，在数学上，斐波那契数列以 递推的方法定义如下：F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n一1)十F(n-2)(n≥2，n∈N*).在现代物 理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了 以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述， 以下说法正确的是 A.该数列是一个递增数列 B.89是该数列的一项 C.从前10项可以看出，设第n项为an,则a好十a吃十…十a=amam+1 D.设第n项为a,随着n的增大，2，逐渐趋近于一个常数k,则k=51 an+ 班级 姓名」 分数 题号 1 2 6 7 P 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知数列{an}是等比数列，a4和a2o是方程x2十3x十1=0的两根，则a12= 10.已知定义在R上的函数gx)满足g1-)+g1十x)=4,若a=)十（子）十 8,十…十中a∈N).则数列a的道缆公式为 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知公差不为0的等差数列{am}的前n项和为Sm,S=35,a1,a4,a13成等比数列. (1)求{am}的通项公式； (2)若m<,且上，⊥，二成等差数列，求出所有的正整数m,n al am an 轮复习40分钟周测卷十四 数学第2页（共4页）】 ® 12.(本小题满分15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sm十9=3am十4n. (1)证明：数列{an一2}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)记bn=(2n一1)·(am一2)，求数列{bn}的前n项和Tm. 数学第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数， 我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有个正约数，即为a1,a2,…,ak-1, a(a<a<..<a). (1)当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值； (2)当k≥4时，若a2一a1,a3一a2,…,as一a-1构成等比数列，求正整数a; (3)记A=a1a2十a2a3十…十ak-1ak,求证：A<a2. 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷十四 数学第4页（共4页） ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 数列与充要性的 1 选择题 5 易 0.80 综合 2 选择题 5 并项求和法 易 0.78 等差数列与正切函 3 选择题 易 0.75 数的综合 等差数列的实际应 4 选择题 5 中 0.65 用，与不等式的综合 等差数列与基本不 5 选择题 5 中 0.50 等式的综合 6 选择题 分期付款问题 0.28 选择题 6 等差、等比数列前 中 0.65 项和的综合 递推数列的实际 8 选择题 6 中 0.35 应用 等比数列的性质与 9 填空题 5 一元二次方程的 易 0.72 综合 10 填空题 倒序相加法求和 中 0.65 11 等差数列与等比数 解答题 13 中 0.60 列的综合 等比数列的证明，错 12 解答题 15 中 0.45 位相减法求和 与数列有关的新定 13 解答题 20 难 0.25 义题 季考答亲及解析 一、选择题 列”的充分条件：取数列{am}为一1,1,2,3,4，…，显 1.A【解析】当am>0时，则Sn-S,-1=am>0(n≥2，n 然数列{Sn}是递增数列，但是am不一定大于零，所 ∈N*),所以Sn>S-1,即数列{S}是递增数列，所 以“对任意正整数n,均有am>0”不是“{Sn}为递增 以“对任意正整数n,均有am>0”是“{S,}为递增数 数列”的必要条件，因此“对任意正整数，均有a,> ·57· ·数学· 参考答案及解析 0”是“{S,}为递增数列”的充分不必要条件.故选A 错误；对于C,若{an}是等差数列，则S225= 2.C【解析】由a+1十am=n十3可知，S。= 2025(a十a4）=2025a1u,故C正确：对于D,若 (a1十ag)+(a十a4)+(a,十a6)+(a,十aa)十 2 (a4十a16)=4+6+8十10+12=40.故选C. an=1,符合{an}是等比数列，且au>0,此时S-1· 3.C【解析】由等差数列的性质可知，在等差数列 S2m+1=(2n-1)(21十1)=4n2-1,S8m=4n2,不满足 {an}中S:,S:一S,S#一S仍为等差数列，所以 Sw-1·Sm+1>Sn,故D错误，故选AC. 8.BCD 【解析】“斐波那契数列”为0,1,1,2,3,5,8， 2(S-S)=S,+S,-S,所以S,=21,故anS· 4 13,21,34,55,89,…,因为a2=a4,所以该数列不是一 =tan2=tan(5元十牙)-l.故选C. 个递增数列，故A错误；因为a12=89,即89是该数列 的一项，故B正确；因为a1=0,a2=a3=1,am+2=a+1 4.B【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数 十am(n≥1)，所以a1=ag·a1,ai=a2·(a-a) 按从小到大排列所得的数列记为{am},则am一1既 a2·a3-a2·a1ai=a3·(a4一a2）=a3·a4一a3· 是3的倍数，也是4的倍数，故am一1为12的倍数， a2,…,a7=ai·(am+l-an-1）=an·am+l一am· 所以{am一1}是首项为0，公差为12的等差数列，所 an-1,所以a十a号十…十a=am·a+1,故C正确；因 以an=12-11,令1≤an≤2200，即1≤12n-11≤ 为a+2=a+1十a(n≥1)，两边同时除以a+i 220,且nEN”,解得1≤a<7,且nEN,又184 (a+1>0),可得a=1十a,又随着n的增大， ax+1 <孕<185，所以恰好获得1对春联的人数为184. 。一逐渐趋近于一个常数飞，所以石=1十k,解得及= an+l 故选B. 5.C【解析】由题可知，a十b=1十11=12,1<a<b< ⊥（负值己舍去），故D正确.故选BCD. 2 1,所以有日+要-（品+）（日+得）-立+瓷 三、填空题 9.一1【解析】在等比数列{an}中，由题意知a1十a2o= +品+≥+2√×=3，当且仅当 -3,a4·a20=1,a4<0,a0<0,所以ai2=a4·a2w= 1,由等比数列的性质可知a12=ag<0,所以a12= 一密即6=10a=2时等号成立，此时a,6满足1< -1. a<b<11,所以1+5的最小值是3.故选C. 10.am=4n+2 【解析】a.=g(n）十g(n千)十… a b 6.C【解析】设小胡每月月底还款钱数为x元，根据等 十g()a.=g(20)+g(20)+…十 额本息还款法可得：第1次还款后欠银行贷款为A =a(1十t)一x,第2次还款后欠银行贷款为A2= 8(n)2a,=4+4+…十4=4(2m十1)，则a a(1十t)2-x(1十t)-x,…,第12次还款后欠银行 =4n+2. 贷款为A2=a(1十t)2-x(1十t)t-x(1十t)0- 四、解答题 …-x(1十t)-x=a(1十t)12-x[(1+t)4十 11.解：(1)设{am}的公差为d, (1十t)10+…十(1十t)+1]=a(1十t)12 1-1+)]=a（1+0+1-+)] 由S=5a+d=35, 1-(1+t) 所以a1十2d=7. 因为贷款12个月还清，所以A12=0,即a(1十t)12+ 又因为a1,a,a13成等比数列， -+)=0,所以x=42 所以a号=a1Xa13, t (1+t)2一了故选C. 即(a1+3d)2=a1×(a1+12d), 二、选择题 即3d2=2a1d, (3分) 7.AC【解析】对于A,若Sn=n2,则当n≥2时，an= 又因为d≠0， Sn-Sm-1=2n-1,当n=1时，a1=S1=1,符合an= 所以3d=2a1, (4分) 2n一1，故an=2n-1,则{am}是等差数列，故A正确； 所以a1=3,d=2, (5分) 对于B,若Sn=2”,则a1=S=2,a2=Sg-S=2,a3 所以an=2n十1. (6分) =S,-S=4,故鲁≠台，a}不是等比数列，故B (2)由题意可得2=1十1 am al d ·58· 高三一轮复习B ·数学· 所以品=号+ (8分) 因为k>4,依题意可知一a2=a一a⊥ a2-a1ak-1一ak-2 因为品+点 1 1 aa 所以一a2=a1a2 所以n<号， az-al aa (10分) 又m∈N*,所以m=1或m=2, (11分) 化简可得(a-a2)2=(a2-a1)'a, 当m=1时，n=1,与m<n矛盾， 所以a3=（ 当m=2时，n=7,符合条件， a2-al 所以m=2,n=7. (13分) 因为a3∈N”, 12.解：(1)当n=1时，2a1十9=3a1十4，即a1=5, 所以二a∈N, a2-a1 当n≥2时，2Sm十9=3am十4n①， 因此可知a3是完全平方数. (7分) 2Sm-1+9=3am-1+4(n-1)②， 由于a2是整数a的最小非1因子，a是a的因子， ①-②，得2an=3am-3aa-1+4, 即an=3am-1-4, 且aa>a2, 所以a4=a, 所以am-2=3(am-1-2) (3分) 所以a2-a1,a-a2,…,ak一ak-1为a2-1,ai-a2, 因为a1-2=5-2=3, (4分) …,a-l-a-2, 所以数列{am一2}是首项为3，公比为3的等比数 所以a=a1(k≥4) (10分) 列. (5分) (2)因为{an一2}为等比数列， (3)由题意知a1ak=a,a2ak-1=a,…,a;ak+1-=a, …,1ik, 所以an-2=3”, a 即an=3十2. (7分) 所以A三daaa 十…+a2 alaz (3)由(2)得，b.=(2n-1)·(an-2)=(2-1)· 因为1≤：一=1-1， 1 3”, (8分) aa2、a1agaa,…, ak-lak 所以Tm=3+3×32+5×3+…十(2n-1)3, 11 (15分) 3T.=3+3×33十5×3十…+(2-3)3"十 ax-1 ak (2n-1)3+1, 所以A=a a a5-1aka5-2a5-1 aaz 两式相减得-2T.=3+2(32+33+…十3”) 1 (2n-1)3+1 =s(aa 十…+1） alaz =3+2×3(1-3）-(2m-1)3* 1-3 ak-1 ak =(2-2n)3m+1-6, 所以Tn=(n-1)3+1+3. (15分) =(日) 13.解：(1)当k=4时正整数a的4个正约数构成等比 因为a1=1,ae=a, 数列， 所以上-1<1， 比如1,2,4,8为8的所有正约数，即a=8. a ak 于是a的一个值为8. (3分) 所以A长a(日)a,即A<a. (20分) (2)油题意可知a=1a:=a,a一品a4=。号 ·59·