(14)空间向量与立体几何-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

高三一轮复习单元检测卷/数学 (十四)空间向量与立体几何 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知点A(2,一1,1)关于x轴对称的点为B,关于平面Oxx对称的点为C,则|BC A.2 B.23 C.4 D.2w5 2.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B一bcos A一c=0,则A= A. B等 C. n.妥 3.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M,N分别在棱AB,OC上，且BM=3MA, ON=4NC,则MN= A.-aie B. C.-3 4 D是a-b+c 4.相传风谷车是春秋时期鲁国人鲁班发明的，风谷车由风车肚、摇手、漏斗、出风口等部件组成（如图 1).风谷车的工作原理是摇动叶片形成恰当的风力，风吹谷子将谷壳与谷粒分离.已知某风谷车将 谷壳和谷粒分离后，谷壳和谷粒体积的比例大概为1：5，顶部梯形状的漏斗（谷子的人料仓，也称 “盛斗”)可看作是正四棱台，如图2所示，若该漏斗上、下底面的边长分别为30cm,18cm,且将漏 斗装满后分离出的谷粒有6860cm3,则该漏斗的高为 图1 图2 A852 cm B.g C.14 cm D.42 cm 5.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，△ABC是等边三角形，AA,=√2，AB=2,则点C到直线 AB,的距离为 A号 B.①5 3 C.v②3 3 D.30 3 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 6.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在正 方体ABCD-ABCD,中，直线AC与A,D之间的距离为，则该正方体的棱长为 A号 B司 C.1 D.2 7.已知圆台上、下底面圆的半径分别为，2，且r2=3,则该圆台的内切球（与圆台的上、下底面及 侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 A.12√3π B.12元 C.9π D.√3π 8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°，沿着对角线AC将△ACD折起，当二 面角B一AC一D的大小为60°时，B,D两点间的距离为 A.√2 B.2 C.2W2 D.3 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线l的方向向量为m,平面a的法向量为n,则下列m,n不可能使l∥a的为 A.m=(1,0,0),n=（-2,0,0) B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1) 10.已知正项等差数列{am}的前n项和为Sn,公差为d,且a2=3,(S1十Sa)2=S2S,则 A.d=2或d=号 B.a1=1 20 589 D院 S224=1 2024 11.已知正方体ABCD-ABC1D1的棱长为2，M为侧面ADD1A1内的一个动点（含边界），P,Q分 别为棱CC,BC的中点，则下列说法正确的是 A.存在点M,使得二面角M-DC-P的大小为 B.MB1·MP的最大值为6 C.当直线PM与平面ADDA所成的角为T时，点M的轨迹长度为 D.当MB,⊥BP时，三棱锥B1一AMQ的体积为定值 班级 姓名 分数 题号 1 2 5 6 7 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知点A(2,3,1),B(1,6,4),C(0,4,5),且ABCD是平行四边形，则线段AD的长为 一轮复习单元检测卷十四 数学第2页（共4页） B 13.如图，平面a,B,Y两两平行，直线l与a,B,Y分别交于点A,B,C,直线m与a,B,Y分别交于点D, E,F,且1与m不共面，若AB=8,BC=6,EF=3,则线段DF的长为 E B F 14.在三棱锥P-ABC中建立空间直角坐标系后，得到A(1,1,1),B(2,0,1),C(1,0,2),P(3,2,4), 则三棱锥P一ABC的体积为 ,三棱锥P一ABC外接球的表面积为 .(本题第一 空2分，第二空3分) 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉 (如图1).某学生到工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作了一个亭子模型（如图2），该模型 是由圆锥PO,与圆柱OO构成的几何体2（圆锥PO,的底面与圆柱OO,的上底面重合）.已知 圆锥PO,1的高为18cm,母线长为30cm,AB为圆锥底面圆的直径，圆柱OO,的高为30cm,CD 为圆柱下底面圆的直径，且CD=40cm. (1)求圆锥PO的侧面积； (2)求圆柱OO的侧面积； (3)求几何体2的体积. D 图1 图2 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=AD=√3. (1)若AD⊥PB. (i)证明：AD⊥AB: (i)证明：AD∥平面PBC: (2)若AD⊥CD,求直线PA与平面PCD所成角的正弦值. D 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，AA1=2,AB=AD=1,∠DAB=90°，∠A1AD=45°， ∠A1AB=60°. (1)证明：AB⊥平面BCD1; D (2)求点A1到平面ACD1的距离. B 18.(本小题满分17分) 如图，在多面体SEABCD中，SA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形，侧面SADE为矩形，G为 SB的中点，且∠ABC-∠BAD-,SA=AB=BC=2AD-1. (1)求证：平面SAC⊥平面CDE; (2)在线段EG上（不含端点）是否存在一点H,使得平面ABH与平面 SCD夹角的正弦值为Y?若存在，求出线段GH的长；若不存在，请 说明理由. 19.(本小题满分17分) 如图，在三棱锥P一ABC中，AB=BC=AC=PC=4,PA=PB=2√2，M为棱PC上一点. (1)求证：平面ABP⊥平面ABC: (2)若直线PM与平面ABM所成的角为，求线段PM的长： (3)过点M作MQL平面ABC.垂足为Q,求三棱锥M-ABQ体积的最大值及此时兴的值， 三一轮复习单元检测卷十四 数学第4页（共4页） ®高三一轮复习B ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十四） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力 Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 知识点 题型 值 (主题内容) ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 空间点的对称问题 V 易 0.80 2 选择题 5 利用正弦定理解三 / 角形 分 0.75 空间向量基本定理的 3 选择题 5 易 0.72 应用 4 选择题 5 棱台的体积 中 0.65 5 选择题 5 点到直线的距离 N 0.55 6 选择题 与距离有关的新定 义题 / 中 0.45 7 选择题 5 圆台的内切球 中 0.40 由二面角的大小求两 8 选择题 5 / 中 0.35 点间的距离 由直线的方向向量与 9 选择题 6 平面的法向量证明线 中 0.69 面平行 10 选择题 6 等差数列的通项及前n / 中 0.55 项和 11 选择题 6 空间向量的综合应用 难 0.28 12 填空题 利用空间向量求线 易 0.72 段长 由面面平行的性质求 13 填空题 线段的长 L / 父 0.65 利用空间向量求棱锥 14 填空题 的体积及其外接球的 0.35 表面积 ·75· ·数学· 参考答案及解析 圆锥、圆柱的侧面积， 15 解答题 13 圆锥与圆柱的体积 分 0.68 证明线线垂直、线面平 16 解答题 15 / 0.58 行，求线面角的正弦值 17 解答题 15 证明线面垂直，求点 中 0.45 面距 证明面面垂直，立体几 18 解答题 17 中 0.38 何中的存在性问题 证明面面垂直，由线面 19 解答题 17 角求线段长，棱锥的 难 0.25 体积 叁考答案及解析 一、选择题 1.A【解析】点A(2,一1,1)关于x轴对称的点为 B(2,1,一1)，关于平面Ox2对称的点为C(2,1,1), 故BC=(0,0,2),所以|BC=2.故选A. 2.C【解析】：acos B-bcos A-c=0,∴.由正弦定理 sin Acos B-cos Asin B-sin C=0,.'sin C= sin (A+B),.'.sin Acos B-cos Asin B-sin (A+B)= 0,sin Acos B-cos Asin B-(sin Acos B+ cos Asin B)=0,∴.-2 cos Asin B=0,B∈(0，π)， 则A(0,-1,0),B(3,0√2)，C(0,1,0),所以 sinB≠0，cosA=0,A∈(0，m),A=受.故 AB=(3,1,N2),AC=(0,2,0),所以AC在AB上 选C. 的投影的长度为 1AC.AB1=2=6 3.D【解析】由题得M衣=M+BC+C=A店+ AB 6 -兮，故点C到直 BC-号0心=(oi-Oi)+od-oi-号od 线A品的距离d=√-(-√4号 -oi-成+号d=-a-b+号c故 3d.故选D. 选D. 6.C【解析】以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分 4.C【解析】设漏斗的高为h,由题得谷子的体积为 别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 6860×g=8232cm,则号×(900+324+30×18)M D C =8232,解得h=14cm.故选C. 5.D【解析】取AC的中点O,连接BO,则BO⊥AC, BO=√3，以O为原点，OB,OC所在直线分别为x,y 轴，以过点O且平行于AA,的直线为x轴建立如图 D 所示的空间直角坐标系， A。1 设AB=a(a>0),则D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a, ·76· 高三一轮复习B ·数学 0),A1(a,0,a),所以AC=(-a,a,0),DA= .则sD专（ 1 (a,0,a),DA=(a,0,0).设n=(x,y,2),且n⊥ AC,n⊥DA,则 n·AC=-a.x+ay=0 取x=1,得 清)小”≥2所以习 n·DA=a.x+ax=0 y=1,2=-1,所以n=(1,1,-1),则DA在n上的投 专2（片中）-号×-吉+日-日 影即为直线AC与A1D之间的距离，所以直线AC与 A,D之间的距离为--停解得a=1, 吉-+…+品-)=×(1+-0 n3 ）-器故C正确：由子-只-得院 所以该正方体的棱长为1.故选C. 11 7,B【解析】设圆台上、下底面的圆心分别为O,,O2, T多=2025-2024=1，放D正确，故选BCD。 内切球的球心为O,半径为R,则O为线段OO2的中 点，设球O与母线AB切于点M,连接OA,OM, 11.BCD【解析】对于A,在正方体ABCD-ABC,D 中，CD⊥DD,CP∥DD,CD⊥平面ADD1A,因为 .∴.OM⊥AB,且OM=OO=OO2=R,,∴.Rt△AOO2 MDC平面ADD1A,所以CD⊥MD,所以∠MDD Rt△AOM,∴.AM=AO,=r1,同理得BM=BO2=r2, 为二面角M-DC-P的平面角，且∠MDD,∈ .AB=n+r2,.OO2=√(n+r2)2-(r-n) =22=23,R=√3，∴.该圆台内切球的表面 [0,受]，故A错误： 积为4πR=12π.故选B. D A M M 对于B,以D为原点，建立如图所示的空间直角坐 标系， 8.A【解析】在平行四边形ABCD中，AB∥CD, ∠ACD=90°，所以∠BAC=∠ACD=90°，所以AC⊥ D CD,AC⊥AB,所以AB与CD的夹角即为二面角B-AC D的平面角，又BD=BA+AC+C方，所以|B1= B VBM+AC+CD莎=√1+1+1+2x(-2)=E, 即B,D两点间的距离为√2.故选A 二、选择题 B 9.ABC【解析】若l∥a,则mn,所以m·n=0,对于 则B:(2,2,2),P(0,2,1),设M(t,0,n),t,n∈ A,m·n=-2≠0，所以A不能使l∥a:对于B,m·n [0,2],所以MB,=(2-t,2,2-n),Md= =1+0+5=6≠0，所以B不能使l∥a;对于C,m·n =一1≠0，所以C不能使l∥a:对于D,m·n=0,所 (-t,2,1-n),则MB·Mp=-t(2-t)+4+ 以D能使L∥a.故选ABC. (2-n)(1-n)=2-2t+n2-3n+6=(t-1)2+ 10.BCD【解析】因为数列{am}为等差数列，所以a1十 (a-号)+是，所以当4=0或2n=0时，M· a3=2a2,因为(S1+S3)2=S2S,所以(4a2-d)2= (2a2-d)(5a2+5d),又a2=3,所以(12-d)2=(6- MP取得最大值，最大值为6，故B正确；对于C,易 知平面ADD1A,的一个法向量为m=(0,1,0),当 d)(15+5d),化简得2-13d+18=0,解得d=2 或d=号，若d=2,则1=1>0，符合题意，若d= 直线PM与平面ADD,A所成的角为牙时，sin子 号则a=3-号=一是<0，不符合题意，所以1 =cosm,Md1=m·Mi |m|川MP√P+4+(1=) 2,a1=1,故A错误，B正确：S,=ma1+nm21)d ② 2 ，所以？+(n-1)2=4,因为M为侧面 ·77· ·数学· 参考答案及解析 ADD1A,内的一个动点，则点M的轨迹为在侧面 14.1 44r ADD1A1内以E(0,0,1)为圆心，2为半径的劣弧， 【解析】由题得AC=(0,-1,1),CB=(1, 如图所示，设劣弧分别与AD1,AD交于点M1,M, 0,-1),C币=(2,2,2)，所以A心.Cp=0-1×2+2 则ME=2,DE=1,所以cos∠MED=号，则 ×1=0,CB.CP=1×2+0-1×2=0,则CP⊥AC, CP⊥BC,因为AC,BCC平面ABC,AC∩BC=C,所 ∠MED,=∠M,ED=号，所以∠MEM=苓，则 以CP⊥平面ABC.因为BA=(-1,1,0),所以 点M的轨迹长度为受×2-子，故C正确： |BA|=AC|=|C|=√2，所以△ABC是正三 A M 角形，则Sam=×(2)=停又1=2， 故三棱锥P-ABC的体积V,-概=号SA·CP E =子×受×2，g=1.设三棱维P-ABC外接球的 球心为O(x,y,x),则由|OA|=|OB=|O元= 1OP,得 A M (x-1)2+(y-1)2+(-1)2=(.x-2)2+2十(2-1)2 对于D,BP=(-2,0,1),当MB1⊥BP时，MB· (x-1)2+(y-1)2+(x-1)2=(x-1)2+y2+(g-2)2 B2=-2(2-1)十0+2-n=0,所以21-n=2,取 (x-1)2+(y-1)2+(-1)2=(x-3)2+(y-2)2+(-4)2 AD中点N,连接A1N,则M在线段A1N上，易证 A1N∥BQ,则V,-AwO=V-o=VA-AQ= -号 。-=号×号×2X2X1=号，所以当MB上 2 解得y=寺，故0（子，专，号），所以6 BP时，三棱锥B,一AMQ的体积为定值，故D正确. 7 * 故选BCD. 三、填空题 ),则外接球的半径为R=Aò 12.√6【解析】因为ABCD是平行四边形，所以AD=BC =(-1,-2,1),所以AD|=√(-1)2+(-2)+1 √（传)》+（兮》+（告）-√=，所以 =√6. 三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR?=44, 3 13.7【解析】连接DC,设DC与B交于点G,连接BG, 四、解答题 EG,CF,则平面ACD∩a=AD,平面ACD∩B=BG, 15.解：(1)因为圆锥PO的高为18cm,母线长为 平面CDF∩B=EG,平面CDF∩y=CF.因为a,B,Y 30cm, 两两平行，所以BG∥AD,EG/CF,所以A票=DS BC GC' 所以圆锥PO,底面圆的半径r=√302一182= C所以设P即号-D5,所以DE=4 24cm, (3分) 63 所以圆锥PO的侧面积为xrl=π×24×30=720π 所以DF=DE+EF=7. (cm2). (5分) (2)圆柱OO,底面圆的直径为2R=CD=40cm, 故R=20cm, 又圆柱OO,的高h=30cm, 所以圆柱OO,的侧面积为2πRh=2π×20×30= 1200πx(cm2). (8分) (3)由(1)可知圆锥PO底面圆的半径r=24cm, 所以圆能P0,的体积V=子×元×2×18= 3456π(cm3), (10分) 又圆柱OO的体积V2=π×202×30=12000π(cm3), 所以几何体2的体积为V1+V2=3456π+12000π =15456r(cm3). (13分) ·78- 高三一轮复习B ·数学 16.解：(1)(i)因为PA⊥平面ABCD,ADC平 D 面ABCD, 所以PA⊥AD, 因为AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PBC平面PAB, 所以AD⊥平面PAB, 又ABC平面PAB,所以AD⊥AB. (4分) D (i)在△ABC中，AB2+BC2=AC°， 所以AB⊥BC, B 由(i)可知AD⊥AB,所以AD∥BC, 因为AB=AD,∠DAB=90°， 又BCC平面PBC,AD丈平面PBC, 所以四边形ABCD为正方形， 所以AD∥平面PBC. (7分) 所以AB⊥BC, (2)以D为原点，DA,DC所在直线分别为x,y轴， 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0), 以过点D且平行于PA的直线为之轴建立如图所示 所以AB=(1,0,0),AD=(0,1,0), (2分) 的空间直角坐标系， 设A1(x,y,x),>0,则AA1=(x,y,), D 所以AA:·AD=|AA|·|AD|cos∠AAD=2× 1Xcos45°=√2=y, AAi.AB=|AA|·|AB|cOs∠A1AB=2X1× c0s60°=1=x, 则|AA=√12+(2)十2=2，解得=1， 所以A(12,1）,AA=(1W2,1), (6分)》 由AD=AD,得D(1W2+1,1), 由AD⊥CD,AC=2,AD=3,得CD=1, 所以CD=(0,2,1), 则D(0,0,0),A(3,0,0),P(5,0,2),C(0,1, 则AB.CD,=0,故AB⊥CD, (8分) 0), 又AB⊥BC,BC∩CD,=C,BC,CDC平面BCD1, 所以D币=(W5,0,2),D元=(0,1,0)，A户=(0,0， 所以AB⊥平面BCD. (9分) 2). (10分) (2)由(1)可得AA=(1N2,1),AC=1,1,0), 设平面PCD的法向量为n=(x,y,之)， CD=(0W2,1) (11分) 则n·Di=5+2x=0 设平面ACD的法向量为n=(x1M,刘)， ·Dc=y=0 1n·AC=x+y=0 则 取=√3，得x=一2，y=0, n·CD,=2y+=01 所以n=(-2,03). (12分) 取x=1,则y1=-1,1=√2， 设直线PA与平面PCD所成的角为0， 所以n=（1,-1W2), (13分) sin o=I cos()n 2w3 AP2X7 所以点A:到平面ACD,的距离d= AA::nl= n -② 1-2+2= 7 2 (15分) 所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 18.解：(1)因为SA⊥底面ABCD,CDC底面ABCD, V2T 所以SA⊥CD. (1分) 7 (15分) 17.解：(1)以A为原点，AB,AD所在直线分别为x,y 在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=艺，AB=BC 轴，以过点A且垂直于平面ABCD的直线为之轴建 立如图所示的空间直角坐标系， =2AD=1, 所以AD∥BC,AC=√2，AD=2, 则CD=√2， 所以AC+CD=AD, 则AC⊥CD, (3分) 因为SA∩AC=A,SA,ACC平面SAC, ·79· ·数学· 参考答案及解析 所以CD⊥平面SAC, 整理得(2入-1)=0， 又CDC平面CDE, 所以平面SAC⊥平面CDE. (5分) 因为0<<1，所以x=号， (2)假设在线段EG上（不含端点）存在一点H,使得 则ci-(-}1,) (15分) 平面ABH与平面SCD夹角的正弦值为。 所以在线段EG上（不含端点）存在一点H,使得平 连接AG, 因为SA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 面ABH与平面SGD夹角的正弦值为一，且 以A为原点，AB,AD,AS所在直线分别为x,y,之 轴建立如图所示的空间直角坐标系， GH=1G-V-）+1+()-2 4… (17分) 19.解：(1)取AB的中点O,连接OC,OP, 因为AB=4,PA=PB=2V2 所以OP⊥AB,且PA十PB=AB, D 所以PA⊥PB,所以OP=AB=2. (2分) 因为AB=BC=AC=4, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0), 所以AB1OC,且OB=AB=2, E0,2.1.G(20,）,s(0.01D 则OC=√BC-OB=√4-2=2√3， 又PC=4,所以OP2+OC=PC, 所以A=(1,0,0).AG=(分，0，号），G= 所以OP⊥OC, (4分) (-22.2)sc-=11.-10.Ci=(-110. 又AB∩OC=O,AB,OCC平面ABC, 所以OP⊥平面ABC, 设Gi=xG成-(-x,2x,2),0<A<1, 又OPC平面ABP, 所以平面ABP⊥平面ABC. (6分) 则Ai=G+Gi=(2-之，2x,号+2)】 (2)由(1)可知OP⊥平面ABC,OC⊥AB, 所以OB,OC,OP两两垂直， (8分) 以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x, 设平面SCD的法向量为n1=(xy,1), y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， u器， 取1=1，得y=1,名=2， 所以n1=(1,1,2), (10分) 设平面ABH的法向量为n2=(x2,y2,2), C B 则 m·Ai=(分-：+2x+(2+2)小：=0 则A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,25,0),P(0,0, n·Ai==0 2), 取y2=1十入，得x2=0,2=一4入， 所以AB=(4,0,0),B2=(-2,0,2),PC=(0, 所以n2=(0,1十A,-4入) (12分) 2V5,-2), 设平面ABH与平面SCD的夹角为0， 设Pi=xPC=(0,23,-2x),0<入≤1， 则sin0=y3o 所以B=Bp+PM=(-2,2√5入，2-2x).(8分) 6 设平面ABM的法向量为m=(x,y,之)， 所以cos0=|cos(n1,n2>|= n1·n2 n n2 则m·A店=4r=0 0+1+λ-8x 11-7x m·BM=-2x+2√y+(2-2a)z=01 √6·√(1+A)2+(-4λ) √6·√/17入2+2λ+1 取y=入-1，则x=0,2=V3入， 所以m=(0,入-1W3λ). (10分) 6, ·80· 高三一轮复习B ·数学 因为直线PM与平面ABM所成的角为若， 因为MQ⊥平面ABC,所以Q(0,23x,0), 所以sin吾=cos(m,P1=m·Pd 所以Sw=AB·50=2×4X2VBA=43a. |m·|PM 231(x-1)-232 所以Vw-w=专5a0·w= 1·43λ· √/（入-1）2+(3)·√12+4 2-2)-51-0≤8(2+12)-29 2 3 2V3λ 1 以V4级-2以+万=2， 当且仅当入=1一A,即X二2时等号成立， (15分) 化简得2λ2-入-1=0， 解得X=1或入=一合（舍）， 所以三棱锥M-ABQ体积的最大值为2y3 3 此时M为棱PC的中点， 所以PM=PC=4. (12分) (3)由(2)可得Pi=入P元=(0,23x,-2x) 则-1 (17分) P(0,0,2), 则M(0,2√3λ，2-2)，0<<1， (13分) ·81