(14)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 数列与充要性的 1 选择题 5 易 0.80 综合 2 选择题 5 并项求和法 易 0.78 等差数列与正切函 3 选择题 易 0.75 数的综合 等差数列的实际 4 选择题 5 中 0.65 应用 等比数列与不等式 5 选择题 5 中 0.50 恒成立问题的综合 6 选择题 5 分期付款问题 难 0.28 选择题 等差、等比数列前n 6 中 0.65 项和的综合 递推数列的实际 8 选择题 6 中 0.35 应用 等比数列的性质与 9 填空题 5 一元二次方程的 V 易 0.72 综合 与数列有关的新定 10 填空题 5 中 0.65 义题 11 裂项相消法求和，证 解答题 13 易 0.82 明问题 等差数列与等比数 12 解答题 15 中 0.60 列的综合 与数列有关的新定 13 解答题 20 难 0.25 义题 叁考答案及解析 一、选择题 列”的充分条件：取数列{a}为一1,1,2,3,4，…，显 1.A【解析】当am>0时，则S.-S,-1=am>0(n≥2，n 然数列{Sn}是递增数列，但是am不一定大于零，所 ∈N·),所以S>S-1,即数列{S,}是递增数列，所 以“对任意正整数n,均有am>0”不是“{S,}为递增 以“对任意正整数n,均有am>0”是“{Sn}为递增数 数列”的必要条件，因此“对任意正整数n,均有am> ·53· ·数学· 参考答案及解析 0”是“{S,}为递增数列”的充分不必要条件.故选A >0,故C正确；对于D,若{an}为等差数列，则S。= 2.C【解析】由am+1十an=n十3可知，S0= (a1十a2)+(a+a4)+(a5+a6)+(a?+ag)十 am+”2D是号ta号则斗 n十1n (am十a1o)=4十6十8十10十12=40.故选C. 号为常数数列（气}也是等老数列，故D正确。 3.C【解析】由等差数列的性质可知，在等差数列 n {am}中S,S:-S,S,一S仍为等差数列，所以 故选ACD. 8.BCD【解析】“斐波那契数列”为0,1,1,2,3,5,8， 2(S-S)=S,十S,-S,所以S,=21,故anS 4 13,21,34,55,89,…,因为a2=a,所以该数列不是一 =an21π=tan(5r十平）-l.故选C 个递增数列，故A错误；因为a12=89,即89是该数列 4 的一项，故B正确；因为a1=0,a2=a3=1,a+2=aa+1 4,B【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数 十an(n≥l),所以a=a2·a1,ai=a2·(a-a）= 按从小到大排列所得的数列记为{am},则an一1既 a2·a3-a2·a1,ai=a3·(a4-a2)=a3·a4-a3· 是3的倍数，也是4的倍数，故am一1为12的倍数， a2,…,a后=ai·(aa+l-aa-1）=am·am+1一am· 所以{am一1}是首项为0，公差为12的等差数列，所 an-1,所以a十ai十…十a=am·an+1,故C正确：因 以am=12-11,令1≤am≤2200，即1≤12n-11≤ 为a+2=a+1十an(n≥1)，两边同时除以aa+1 2200,且m∈N,解得1≤n≤737，且n∈N,又184 (a+1>0),可得2=1十a,又随着n的增大， 4 a+1 <77<185,所以恰好获得1对春联的人数为184 a,逐渐趋近于一个常数k,所以 1 a -=1十k,解得k= 故选B. 5.D【解析】由Sn=2am-2,令n=1,解得a1=2,当n 5。-1(负值已舍去)，故D正确.故选BCD, 2 ≥2时由S1=2a1-2得a=5,54=2a 三、填空题 9.一1【解析】在等比数列{an}中，由题意知a4十ao= 2a,1,即a=2(n≥2)，所以数列{a.}是以2为首 -3,a4·a20=1,a4<0,a20<0,所以ai2=a·a20= 1,由等比数列的性质可知a12=ag<0,所以a12= 项，2为公比的等比数列，所以an=2”,由λan≥ -1. 20g:a.十3，即心23恒成立，令c=2十3，则≥ 10.8【解析】：f)=子-2x+8x+1,f() (cn)max,而c+1一ca= _1十2<0，所以ca+1<c,即 20+ =2-4+号∴f(x)=2r-4,令f()=0,解 数列G单调递波，故(G)=6-号，所以入≥ 得x=2,而f(2)=号-8+号×2+1=1，故函数 受，所以入的最小值为号，故选D, 5 f(x)关于点(2,1)对称，∴.f(x)十f(4-x)=2,am =2n-7,∴.a1=-5,ag=9,∴.f(a1)十f(a8)=2,同 6.C【解析】设小胡每月月底还款钱数为x元，根据等 理可得f(a2)+f(a7)=2,f(aa)十f(a6)=2,f(a4) 额本息还款法可得：第1次还款后欠银行贷款为A +f(a5)=2,..f(a1)+f(a2)+…+f(a8)=2X4 =a(1十t)一x,第2次还款后欠银行贷款为A2= =8. a(1十t)2-x(1十t)-x,…,第12次还款后欠银行 四、解答题 贷款为A2=a(1十t)2-x(1十t)1-x(1十t) …-x(1十t)-x=a(1+t)2-x[(1+t)H+ 1.解：1①由题意知，当≥2时产 (1十t)1。+…十(1十t)十1]=a(1十t)2 a,=aX…Xa2×a2Xa x[1-(1十t)2] =a(1+t)2+1-(1十t)2] ax-1 a2 al 1-(1+t) t =×…号×是×2=2 (3分) 因为贷款12个月还清，所以A2=0,即a(1十t)12十 当n=1时，a=2满足an=2, 1-+)]=0,所以x=at0二 综上所述，an=2n (5分) t (1十)故选C (2)(i)由(1)知，b,=an·a+2 …4 4 二、选择题 2m·2(n+2) 7.ACD【解析】对于A,由an=-2n+11,可得{am}是 递减数列，a>0,a:<0,故数列{am}的前5项和最 nn+2, (7分) 大，故A正确：对于B,当a1<0,q>1时，等比数列 {an}也是递减数列，故B错误；对于C,So= s=2(1-号+-}+号- 3 十…十 2025(a十a2025）=2025a1B,若S:o2s>0,则a1o13 1 1-1 2 n+1十nn+2 ·54· 高三一轮复习A ·数学· =1+是十2) 1 因为{am}是首项为2的“k数列”， 所以a+1一Tn=k, 3 2n+3 (10分) 即a1a2aa·…·an=aa+l-k, 2(n+1)(n+2) 所以a号+1=(am+1-k)(a+1-1)+log29: （1)(1)加S=是一2a+2<音 2n+3 即(k十1)am+1=k十log2g对任意的n∈N“恒成立. (8分) (11分) 1 因为a2=T1十k=a1十k=2十k, 又b.=m+>0, a=T2十k=a1a2十k=2(2十k)十k=3k十4， ∴.{Sn}单调递增， s≥S=6=3, 两十 即}<S< - (13分) 解得k=一1，q=2. 12.解：(1)设{an}的公差为d, 又由a=a1十log2b, 由S=5a+54=35, 即4=2+logb1, 得b=4, 所以a+2d=7. 所以bn=2+1 又因为a1,a4,a3成等比数列， 检验可知k=一1符合要求， 所以af=a1Xa13, 故数列{bn}的通项公式为b,=2+1 (11分) 即(a1+3d)2=a1×(a1+12d), (3)因为{am}为“k数列”， 即3d=2a1d, (4分) 所以aa+1一Tm=k, 又因为d≠0， 即an+1=a1a2a·…·an十k对任意的n∈N”恒 所以3d=2a1, (5分) 成立， 所以a1=3,d=2, (6分) 因为a1>1,k>0, 所以an=2n十1. (7分) 所以a2=a1十k>1. (2)由题意可得2=⊥+1 再结合a1>1,k>0,a2>1,反复利用a+1=a1a2a· am al …·an十k, 所以品=青十 1+ 1 (9分) 可得对任意的n∈N·,am>l. (14分) 因为=+十> 设函数f(x)=lnx-x十1， 1 则f(x)=上-1. 所以n<号 x (12分) 由f(x)=0,得x=1. 又m∈N·,所以m=1或m=2, (13分) 当x>1时，子(x)<0, 当m=1时，n=1,与m<n矛盾， 所以f(x)在(1，十∞)上单调递减， 当m=2时，n=7,符合条件， 所以当x>1时，f(x)=lnx-x+1<f(1)=0, 所以m=2,n=7. (15分) 即lnx<x-1(x>1) 13.解：(1)若an=1, 又am>1, 则a+1=1,Tm=1, 所以lnan<an-1. (17分) 故am+1-Tm=1-1=0, 可得lna<a1-l,lnag<a2-1,…,lnan<am-1, 所以此数列是“k数列”，其k值为0. (3分) 累加可得lna十lna2十…十lnan<a1十a2十…十an (2)设数列{b.}的公比为q(9>0), n, 由bn=29mTa, 即ln(a1a2·…·am)<Sa-, 得Gn=T.十log2b., 即lnTn<Sn-n, 所以Sm>lnTm十n. (20分) 即Gn= ∑af=aaa·…·an十logb, 则G+1= ∑a=aaa…a.a++log.6+. 两式相减得a+1=a1a2a·…·am(a+11)十 log2b+-logz 6, 即a2+1=a1a2a4·…·an(a+1-1)十log2q.(6分) ·55·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十四)数列求和、数列的综合应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.记Sm为数列{an}的前n项和，则“任意正整数n,均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知数列{am}(n∈N")满足a1=1,前n项和为Sm,对任意正整数n都有am+1十an=n十3，则 S10= A.18 B.28 C.40 D.54 3.在等差数列{a中，S,=3,S。=10,则tanS·元- 4 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.2025年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天 内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1 的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2200人，则恰好获 得1对春联的人数为 A.183 B.184 C.185 D.186 5.已知Sm为数列{an}的前n项和，且Sn=2am一2，若λam≥2log2am十3对任意正整数n恒成立，则 实数入的最小值为 A.4 R名 C.3 D. 6.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款α元用来购买该电 动汽车，银行贷款的月利率是t,并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4 月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款 A.a(1十t)12元 B.a(1+t)12 12 元 C元 at(1+t)12 D.121十)2-1T元 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.若数列{an}的前n项和为Sn,则 A.若an=一2n十11，则数列{am}的前5项和S,最大 B.若等比数列{an}是递减数列，则公比q满足0<q<1 C.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2o25>0,则a1o13>0 D.已知{an}为等差数列，则数列 S也是等差数列 n 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 8.斐波那契数列指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，在数学上，斐波那契数列以 递推的方法定义如下：F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)十F(n-2)(n≥2，n∈N*).在现代物 理、准晶体结构、化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了 以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述， 以下说法正确的是 A.该数列是一个递增数列 B.89是该数列的一项 C.从前l0项可以看出，设第n项为am,则a十a号十…十a=anan+1 D.设第n项为a,随着n的增大，a逐渐趋近于一个常数，则6=5，」 an+1 2 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 6 6 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知数列{an}是等比数列，a4和a2o是方程x2+3x十1=0的两根，则a12= 10.设f(x)是函数y=f(x)的导数，f”(x)是f'(x)的导数，若方程(x)=0有实数解x,则称点 (x,f(x)为函数y=f(x)的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就 是对称中心.设fx)=弓x-2r+号x+1,数列(a,的通项公式为a,=2m-7,则fa)十 f(a2)+…十f(ag)= 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知数列(an}满足a1=2,am1=n十1 an n (1)求数列{am}的通项公式； 4 (2)设bn= am·an+2 (i)求数列{bn}的前n项和Sm； ()求证：号5< 轮复习40分钟周测卷十四 数学第2页（共4页） 囚 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sm,S=35,a1,a4,a13成等比数列. 已知数列(an}的前n项积为Tm定义：若存在k∈Z,使得对任意的n∈N,a+1-Tn=k恒成 (1)求{an}的通项公式： 立，则称数列{am}为“k数列”. (2)若m<,且成等差数列，求出所有的正整数a,m (1)若an=1,判断数列{an}是不是“k数列”，若是，求出k的值；若不是，试说明理由； (2)若a1=2,且{am}为“k数列”，{am}的前n项的平方和为Gn,数列{bn}是各项均为正数的等比 数列，满足bn=2。-T,求k的值和{bn}的通项公式： (3)若a1>1,k>0,且{an}为“k数列”，{an}的前n项和为Sm,证明：Sn>lnTm十n. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷十四 数学第4页（共4页） 囚