(12)正弦定理、余弦定理、解三角形-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十二） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ N V ① ②③④⑤ ⑥ 档次 系数 利用余弦定理求边 1 选择题 (已知两边及其中一 易 0.78 边的对角) 正弦定理以及同角 2 选择题 5 三角函数的基本 L 易 0.75 关系 构造立体图形测量 3 选择题 5 易 0.72 高度 利用正、余弦定理解 4 选择题 5 中 0.65 决三角形中线问题 利用正、余弦定理解 选择题 中 0.50 决距离问题 余弦定理与二次函 6 选择题 5 中 0.35 数的综合 利用正、余弦定理判 7 选择题 6 V 易 0.72 断三角形的形状 与测量有关的方案 8 选择题 6 中 0.40 设计题 9 填空题 5 由三边求角 / L 易 0.82 由正弦定理解决三 10 填空题 中 0.65 角形两解问题 三角恒等变换与正、 余弦定理的综合，利 11 解答题 13 中 0.50 用三角函数求取值 范围 正、余弦定理与平面 12 解答题 15 向量的综合，三角形 中 0.45 面积问题 解三角形的实际应 13 解答题 20 中 0.35 用 角度问题 ·49· ·数学· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 380√10米，在△PMQ中，由余弦定理得PQ= 1.B【解析】由a=√3，b=3,B=60°以及余弦定理 (3805)+(380√/10)-2×380V5×380√/10× =a2十c2-2ac·cosB,得3十c2-√5c=9,解得c= 2√3（负值舍去）.故选B. (-号)=5×(a0,5)八，所以PQ=380X5= 2.B【解析】在△ABD中，BD AD 1900米.故选D. sin sin B 6.B【解析】在△ABC中，根据余弦定理得a=十c2 一2 bccos A,.十c2-a2=2 bccos A,因此函数可化 (sin'C+cosC=1 CD:smC,解得IanC=5 为：f(x)=bcx2十(2 bccos A)x+2b, sim(5-C） sin C3 cos C5 1bc>0 所以s如C=俨故述B coA-(cA-2) 数y=f(x)的图象是开口向上的抛物线，且与x轴 3.C【解析】在△BCD中，由正弦定理sn∠CDB BC 没有公共点.由此可得，对任意实数x,f(x)>0恒成 立.故选B. 5nn料C=-13vE,在R△AC BD 二、选择题 7.AC【解析】因为ac2-bc2=(a-b)(a2+),所以 中，AB=BCtan∠ACB=l3√2Xtan60°= (a-b)c2=(a-b)(a2+b),则a-b=0或c2=a2+ 13√6(m).故选C. b,所以三角形为等腰三角形或直角三角形.故 4.A【解析】因为D是BC的中点，所以A市-(A店 选AC 8.BCD【解析】对于A,如果A,B两点与旗杆底部不 +AC),又AC=b=2,所以Ad=(AB+AC) 在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不 子A+2A店.AC+AC),即7=(e2+4c× 正确；对于B,如下图，△ABD中由正弦定理求AD, 则旗杆的高CD=h十ADsin B,故B正确： cos号+2)，解得c=4(负值舍去)，所以a2=:十 D -2 bccos A=22+42-2×2X4cos开=12，则a= 3 2W5,设△ABC的外接圆半径为R,所以2R=sinA =25,即R=2,所以△ABC的外接圆面积为S= sin等 a△ πR2=4元.故选A. 对于C,在Rt△ADC中直接利用锐角三角函数求出 5.D【解析】在△PMN中，∠PMN=买+臣=晋 旗杆的高DC=ACtan a,故C正确； D ∠PNM=∠MPN=,则PM=MN=3805米，在 △MNQ中，∠MNQ=+吾-3F,又∠QMN= 臣则∠MQN=若，由正弦定理可得n祭NQ MQ n0·即M2=3805,解得M0 MN a△ sin 3r 4 sn晋 对于D,如下图，△ABD中由正弦定理求AD,则旗杆 ·50· 高三一轮复习B ·数学· 的高CD=ADsin a,故D正确. 解得晋<A<平 (12分) D ∴.2<2cosA<√5， 兰的取值范围为(w5)。 (13分) 12.解：(1)：m∥n,∴.(a十b)(sinA-sinB) C =(a-c)sin C, (1分) 故选BCD. 三、填空题 ∴.(a+b)(a-b)=c(a-c),即a2-b2=ac-c2, .a2+c2-=ac, (3分) .一号【解折】因为snA:如BnC=47:0,则由 ∴2 aeos B=-ac,cosB=, 正弦定理可设a=4k,b=7k,c=9k.由余弦定理得 @A-+2=2=贵放 :B∈(0x)B=号 (5分) 2bc 2×7k×9k sn(经+A)=-osA=是 (2(1)rB=号，b=a+c-2ac… 2 10.5(答案不唯一，满足4<a<8即可)【解析】由正 2c6= 2c (7分) 弦定理，得A一B,即sinB=n4-手，因 b 26=2+ac,a= a a 2√7 b>a (a<8 ∴.cosC=a2+6-c2 2ab 为三角形有两解，所以{ 解得a sin B<1 ,即人4∠1 2… 7 2 (9分) ∈(4,8) 四、解答题 (1)若边c=2,由(1)可知a=3,b=7,B=否， 11.解：(1)，c=a(1+2cosB),.sinC=sinA ·(1+2cosB), SAARC= 2acsin B=33 2 又A+B+C=π，.sinC=sin(A+B), (1分) SABDE= 3√5 4 (11分) .'sin(A+B)-2sin Acos B=sin A,cos Asin B -sin Acos B=sin A, .'.sin (B-A)=sin A, (3分) 令BD=,BE=n,则SE=3年=子mX号， 则B-A=A或B-A十A=π（舍）， .n=3, (13分) .B=2A. (4分) 又由余弦定理得DE=m十r-2mmX号≥mm=3 (2)6=sin Bsin 2A =2cos A, (6分) a sin A sin A (当m=n=√3时等号成立)， 2c0sA=E,即A=若， .DE的最小值为√3. (15分) B=号，C=受，则=V3+(33了=6.(8分) (3)由题意及(2)得， a =2cos A, D 0<A<受， E :△ABC为锐角三角形，0<2A<受， 13.解：(1)由C在A的南偏东30°，在B的东北方向， 0<x-A-2A<受， .∠ABC=45°，∠CAB=30°，∠ACB=105°， AB AC (10分) 由正弦定理得 sin∠ACB sin∠ABC1 ·51· ·数学· 参考答案及解析 15+58 AC 且0°<∠ADC×180°，.∠ADC=30°， sin 105 sin 453 (3分) 故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉 又sin105°=sin(45°+60°) 私艇的北偏东60°方向上 (13分) =sin45cos60°+cos45°sin60°=5+E (3)设t小时后缉私艇在M处追上走私船，则MC= 4 10√3t,DM=30t, 代入上式得AC=10√3海里，故走私船C与A哨所 又∠DCA=90°，∠DCM=90°+30°+15°=135°， 的距离为10√3海里. (6分) 在△CDM中，由余弦定理得Df=DC+MC- (2)在△ACD中，AC=10√3海里，AD=20√3海里， 2 DCXMC×cos135°， ∠DAC=60°， 即900t=900+300t-2X30×10√5t×cos135°， .DC2=AD2+AC?-2ADX ACX cos 60 化简得2一√6t-3=0, (18分) =120+300-2×20,5×105×号=900， 解得1=6十√①，故缉私艇至少需要+√①小 4 4 解得DC=30海里. (9分) 时追上走私船. (20分) 又cos∠ADC=AD+DC-AC 2AD·DC =(205)+30-(105）= 2×20W5×30 2 (11分) ·52·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十二)正弦定理、余弦定理、解三角形 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√3，b=3,B=60°，则c= A.√3 B.2/3 C.3 D.6 2如图，在△ABC中，∠BAC-点D在线段BC上，ADLAC,器-子，则snC= A B c D②1 7 3.敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭 山.李白在《独坐敬亭山》中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲.相看两不厌，只有敬亭山.相传该诗 题写于太白独坐楼（如图1）.为了测量该楼的高度AB(如图2)，一研究小组选取了与该楼底部 B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°，∠CDB=45°，BD=13m,在C 点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度AB为 D 图1 图2 A.13m B.20m C.13√6m D.26√6m 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,b=2,A=号，若BC边上的中线AD=万，则 △ABC的外接圆面积为 A.4元 B.8π C.12π D.16π 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 5.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥 湖研究的始发点，也是世界玛珥湖研究的关键点.某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的 东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P,Q之间的距离，现在湖光岩玛 珥湖的湖岸取另外两个测量基点M,N,测得MN=380,5米，∠PMQ-3,∠QMN=∠PNM =是∠PNQ-,则P,Q两点间的距离为 A.1500米 B.800√5米 C.1800米 D.1900米 6.设a,b,c是△ABC的边长，对任意实数x,f(x)=bcx2+(b+c2-a)x+2bc有 A.f(x)=0 B.f(x)>0 C.f(x)≥0 D.f(x)<0 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知a,b,c为三角形三边，满足ac2-bc2=(a一b)(a2十b),则三角形的形状可以为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 8.某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次 活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有 A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α，B,再测量A,B两点间距离 B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为五，在该建筑物底部和顶部分别 测得旗杆顶端的仰角α和阝 C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离 D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶 端的仰角β 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=4:7:9,则 sin() 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=8,A=30°，试写出一个a值，使该三角形 有两解，则满足题意的a的值可以是 .(仅需填写一个符合要求的数值) 轮复习40分钟周测卷十二 数学第2页（共4页）】 ® 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=a(1十2cosB). (1)证明：B=2A: (2)若a=3,b=3√3，求边c; (3)若△ABC为锐角三角形，求名的取值范围。 12.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知向量m=(a十b,sinC),n= (a-c,sin A-sin B),m//n. (1)求B; (2)若2b2=2c2+ac. (i)求cosC的值； (ⅱ)若边c=2,点D为线段AB上的动点，点E为线段BC上的动点，且线段DE平分△ABC 的面积，求线段DE长度的最小值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 如图，A,B是在沿海海面上相距15+5√3海里的两个哨所，B位于A的正南方向.A哨所在凌 晨1点发现其南偏东30°方向处有一艘走私船C,同时，B哨所也发现走私船在其东北方向上. 两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于A哨所南偏西30°的D处，且A与D相距20√3 海里，试求： (1)刚发现走私船时，走私船与A哨所的距离； (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ (3)若缉私艇得知走私船以10√3海里/时的速度从C向北偏东15°方向逃窜，立即以30海里/时 的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 北↑ A 东 轮复习40分钟周测卷十二 数学第4页（共4页） ®