(11)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十一） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 求复数的虚部 易 0.78 复数对应点所在象 2 选择题 5 易 0.75 限问题 平面向量基本定理 3 选择题 5 易 0.72 的应用 平面向量与力的 4 选择题 5 中 0.65 关系 L 复数模长的最值 选择题 中 0.50 问题 6 选择题 5 数量积的最值问题 难 0.28 选择题 6 复数的性质 易 0.72 利用向量解决速度 8 选择题 6 中 0.65 问题 9 填空题 5 复数方程问题 易 0.82 与数量积有关的数 10 填空题 5 中 0.40 学文化题 复数的运算、复数方 11 解答题 13 易 0.82 程的综合 向量与三角函数的 12 解答题 15 中 0.35 综合 13 利用向量解决平面 解答题 20 0.25 儿何问题 ·45· ·数学· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 4cos∠AOC取得最大值，最大值为2+4=6.故选B. 1.A【解析】由i=i,=-1,i3=-i,=1,泸=i,…, 且2025=4×506+1，则i￥025=i1=i,所以之=2025 一i,其虚部为1.故选A. 2,D【解析】由题意得一2士=i(二2+iD=1十2 i -2 设x=a十bi(a,b∈R),则之十2：=a十bi十2a-2bi 3a-i=1+2i,则3a=1,-6=2,解得a=合6 -2,所以：=了一2，其在复平面内对应的点为 二、选择题 7.AB【解析】对于A,≈1十x2=2a∈R,A正确：对于 (号，一2，位于第四象限.故选D. B,x1一=2bi(b≠0)为纯虚数，B正确：对于C,x1 =(a十bi)(a-bi)=a2十6为实数，C错误；对于D 3.D【解析】因为BD=D心，所以Aò=AB+BD A苏+号B武-Ai+子(AC-A)-号Ai+AC, 吾-会如+当 a=0时，为实数，D错误.故选AB. 故选D. 4.A【解析】·三个力平衡，F1十F2十F=0, 8.AB【解析】对于A,设y1与的夹角为0，船行驶 的时间为t,d=500m=0.5km, |F|=|F+F|=√TFT+2F1·F2+F2F= V+2X1x2s45+(6T=E.设 2 2 F与F的夹角为9，则|F| √TET+F,+②F,Icos9,即6，E 2 0 √12+(2)'+2X1×2cos9,解得cos9= V2 d 0.5 _6十E.故选A 当0为纯角时，4=sn(x-9)y=10sim9= 4 h当9为能角时，4=如T=0 0.5 5.D【解析】因为在复平面内，x一i=1中x表示到 点(0,1)的距离为1的所有复数对应的点，即 0.05 d =0.5=0.05h,则 |x-i=1表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， m9h,当0为直角时，4=T=0 |之|表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0， 当0为钝角时，0<sin0<1,t>0.05h=t,当0为锐 最长距离为1十1=2，则|z|的取值范围是[0,2].故 角时，0<sin0<1,t2>0.05h=ta,所以当船垂直于 选D. 对岸行驶，即⊥，所用时间最短，故A正确：对于 6.B【解析】因为O为△ABC的外接圆圆心，∠BAC B,由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为 =30°，所以∠BOC=2∠BAC=60°，因为OB=OC,所 t3=0.05h=0.05×60=3min,故B正确，C错误；对 以△OBC为等边三角形，故OA=OB=OC=2,AB· 于D,设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当 O心=Oi-OA)·O心=oB.O元-OA·Oc= 这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短，由 1OB|·|OC1cos60°-|OA1·|OC1cos∠AOC= 下图可知，设=y十，则1=√/一下 2X2X2-4cas∠A0C=2-4os∠A0C,当A,0. 46m.此时，铝的能行时间一号一器×的 C三点共线，即cos∠AOC=-1时，AB.O元=2 ≈3.1(min)>3(min),故D错误.故选AB. ·46· 高三一轮复习B ·数学· 又m<-2, 所以m=一4. (13分) 12.解：1)因为a=(cos,-1),b=(sin,是)，a ∥b, 则子cosx=一sinx, V2 显然cosx≠0， 三、填空题 所以anx=-产， 3 (3分) 9.一1十√3i(答案不唯一，或填-1一√3)【解析】方程 x3=8可化为(x-2)(x2十2x十4)=0，解得x=2 则an(x+平)=am(x+干) 或x=2±，4飞=-1士5 2 amx+am至 (5分) 10.1十√2【解析】在正八边形ABCDEFGH中，连接 1-tan xtan4 1-(-9) HC,则HC∥AB,而∠ABC=135°，即∠BCH=45°， 于是∠HCD=90°，在等腰梯形ABCH中，CH=1十 (2)由题得a十b=(osx十sin,一十)， 2×1×cos45°=1+√2，所以AB·HD=1× 则f(x)=2(a+b)·a |HD|cos∠CHD=|HC1=1+√2 =2(),(cos-1) -2cosx+2 sin0sx+号 =sin2z十cos2z+号 =Esin(2x+平）+2， (8分) 当xe[-平，于]时，2z+子∈[-平，F], 四、解答题 十2 则E(2x+)+2∈[合E+], 11.解：(1)由=i,十为实数， 则A-式生号+号为实数， 所以函数)的值玻为[}反+] (11分) 1+i(1+i)(1-i)2 所以2=0,6=2。 （3)由2)知fx)=Esin(2x+平)+号， (3分) (2)由(1)知x=2i,22=-4, (4分) 结合题意得g(x)=厄sim(x+受)+号-厄cosx 所以|之-x2|=14+2i川=25. (6分) (3)由(m十x)2=(m十2i)2=m2-4+4mi在复平 面内对应的点在第四象限， >即B/+> m2-4>0 所以 4m<0 即cos> 2 (14分) 解得m<-2, (9分) 所以2km一平<r<2kx+平，k∈Z 又x=2i为实系数方程x2十(m2-16)x十4=0 的根， 即gx)>号的解集为(2kx-3,2kx+3平)，k∈乙 则-4十2(m2-16)i+4=0, (15分) 所以m2-16=0,m=士4， ·47· ·数学· 参考答案及解析 13.解：1)记∠DAQ=a,∠BAP=B, a+=平 则∠PAQ=受-(a+B): SANPQ= E 1 由题得A市，A=(AB+B驴)·(AD+DQ) 4 cos acos(于-a）】 =AB.DO+AD·B驴 =|D1+|B1, ② 1 41 则1DQ1+|BP=|PQ, (2分) in(2a+平)+吗 正方形ABCD的边长为1， ∴.DQ=tana,BP=tanB, "a∈(o,于)， 在Rt△CQP中，CQ=1-tana,CP=1-tanB, ∴当a=时，△APQ面积的最小值为/E-1, PQ=DQ+BP=tan a+tan B, 则(1-tana)2+(1-tanB)2=(tana十tanB)2, (13分) (3)设△APQ中PQ边上的高为h, 即l-(tana+tanβ)=tan atan B, 则tan(a十B)= tan atan B =1, (5分) 则宁PQXA=名APXAQx血年， 1-tan atan B 又iam∠PAQ=tan[受-(a+B)】 又：cos∠PAQ= A市.AQ IAPIARI 1 |AP1|A1= A产·AQ -tan(a+B)-1. 且∠PAQ∈(0， 且AP.Ad=|P1, 则∠PAQ=平， :|A|AQ1=21P1, (7分) cos a'AP=-1 (2)由题得AQ= ∴0Xh=PQx号 cos B 解得h=1,为定值， ∴Saw=号AQ·AP,sin∠PAQ- 则该同学的猜想正确， (20分) 4 cos acos B' ·48·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十一)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.复数之=2025-i2025的虚部为 A.-1 B.1 C.2025 D.i 2.若十22=二2士，则：在复平面内对应的点位于 i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图，在△ABC中，Bi=号DC,则Ai- A.2AB+7AC B.A店+AC CA+号AC D.号+号Ad 4.已知平面上的三个力F,PE,作用于一点，且处于平衡状态若F=1N,F,=5,EN. 2 F1与2的夹角为45°，则F3与F1夹角的余弦值为 A.-6+2 B.6+2 C.-6-2 D.6-2 4 4 4 4 5.已知复数之满足|之一i=1,则z的取值范围是 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,2) D.[0,2] 6.已知O为△ABC的外接圆圆心，BC=2,∠BAC=30°，则AB·OC的最大值为 A.4 B.6 C.23 D.43 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知复数1=a十bi,x2=a-bi(a∈R,b∈R),且b≠0，则 A.1+x2∈R B.1一2为纯虚数 C.12为纯虚数 D.产为虚数 22 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三- 8.如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500,一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知 船在静水中的速度y的大小”1=10km/h,水流方向为正东方向，其速度2的大小为2= 2km/h,这艘船到达河对岸的时间精确到0.1in,采用四舍五入法.则 (参考数据：√6≈2.45) A.这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，”1⊥2 B.这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C.这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D.这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 A 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在复数范围内，方程x3=8的虚数根是x= (写出一个即可) 10.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了 深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中 AB=1,O为正八边形的中心，则AB·HD= 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知复数=B∈R,半异为实数。 (1)求b: (2)求x-z2|； (3)若复数(m十x)2在复平面内对应的点在第四象限，且之为实系数方程x2十（一16）x十4= 0的根，求实数m的值. 轮复习40分钟周测卷十一 数学第2页（共4页）】 B 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知向量a=(cosx,-1),b=(sinx,是)，函数fx)=2(a+b)·a 如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边BC,CD上的点，且A户.A反=PQ (1)求∠PAQ的大小； )若a/,求an(+买)： (2)求△APQ面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合(2)他猜想“△APQ中PQ边上的高为 (2)当x∈[一平，军]时，求函数f(x)的值域： 定值”，他的猜想对吗？请说明理由. (3)若将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左 平移个单位长度，可得到g(x)的图象，求g(x)>的解集。 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷十一 数学第4页（共4页） 回