(12)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习单元检测卷（B）

U 14.如图1是第七届国际数学教育大会（简称1CME一7）的会徽图案，会徽的主体图案是由一连串的 17.(本小题满分15分) 直角三角形演化而成.如图2所示，已知OA=A1A2=A1A1=AA:=AA=A:A=AA:= 已知数列(a。}是首项为3的等差数列，其前n项和为S。,数列(b,》是首项为1的等比数列，且 A:A.=…=2,A1,A,A…均为直角顶点，设由这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为 a:-0:=a-b=3. a.,记么一a名28为数列的前n项和，则5 (1)求数列{a.},{h.}的通项公式： (2)记c.=ab.十a+b+1一b+:S,证明：数列{cn}为等比数列： (3)求数列{ab+1}的前n项和T. 1ME-7 图1 图2 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(本小题满分17分) 15.(本小题满分13分) 在递增的等差数列(a.}中，a34:=55,a1十a=16. 已知正项数列(a。}的前n项和为S。,且a十2d。一n=2S. (1)求{a,的通项公式： (1)求(a。}的通项公式； 2 2)记么=一n为奇数 数列{b,}的前n项和为T （2)设6一2一)2-D数列（么）的前n项和为T,求证：T.<1. n为偶数 (|)求Tt (I)若不等式（一1）“入一82十1<T对一切nEN'恒成立，求实数A的取值范围， 19.(本小题满分17分) 16.(本小题满分15分) 在无穷数列{a.}中，a1,ag,…,am构成首项为2，公差为一2的等差数列，a.+1,a+,…,an构成 已知数列a.满足a,=号，且e+aa4-a=0,数列（的前n项和为5… 首项为与，公比为号的等比数列，其中m≥3且m∈N, a. 1证明：数列侣为等差数列： (1)当1≤n≤2m时，求数列(a.}的通项公式： (2)若m为偶数，6=(-1)a,求∑4： (2)求S.: (3)求数列{（一1）S.}的前n项和T, (3)若对任意的n∈N,都有a+=a,成立，记数列a,}的前n项和为S.判断是香存在m,使 得S.+≥2成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由， 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习单元检测卷十 数学第4页（共4页） 国高三一轮复习B ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十二）》 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力 Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 由数列前n项和求部 选择题 易 0.85 分项和 选择题 5 由奇函数求参数 易 0.76 求三角形外接圆的 选择题 S 易 0.72 面积 4 选择题 倒序相加法求和 分 0.65 由三角函数图象求解 选择题 5 析式 分 0.55 裂项相消求和法的实 6 选择题 5 中 0.50 际应用 > 选择题 5 数列求和的实际应用 中 0.40 与数列有关的存在性 8 选择题 难 0.28 问题 等差数列、等比数列的 9 选择题 V 0.72 判断 邻 10 选择题 6 数列的前n项和 0.60 抽象函数与数列求和 11 选择题 6 / 难 0.25 的综合 12 填空题 5 并项求和 易 0.75 平面向量与数列的 13 填空题 分 0.60 综合 数列求和在平面几何 14 填空题 0.30 中的应用 ·63· ·数学· 参考答案及解析 等差数列的通项及前n 15 解答题 13 多 0.68 项和，裂项相消法求和 等差数列，数列的前n 16 解答题 15 0.60 项和 分 等差数列与等比数列 17 解答题 15 的通项及前n项和，错 / 中0.45 位相减法求和 基本量法求等差数列 18 解答题 17 的通项，数列求和，由 L 中0.35 不等式恒成立求参 等差数列与等比数列 19 解答题 17 的综合，并项求和，存 / 难0.25 在性问题 香考答案及解析 一、选择题 2=受，所以f(x)=Asin(受+g）,则 l.C【解析】由题得a十a5十a。+a,=S, S=72 32=40.故选C. f(号)=Asim(3T+g）=0,所以3五+9=x+2km 2.C【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(x)+ f(-x)=sin (m-1)cos x+sin (-x)+ (k∈Z),解得9=不+2kx(k∈Z),又|<元，所以 (m-1)cos(-x)=2(m-1)cosx=0,则m-1=0, 解得n=1.故选C. p=于，所以f(x)=Asin(受x+牙)，则f(0) 3.A【解析】设△ABC外接圆的半径为R,则由正弦 Asin平=V2,解得A=2,所以f(x) 定理得品A品B=2R,所以osB+osA= 2R(sin Acos B+sin Bcos A)=2Rsin (A+B)= 2sin(艺x+年)，则f(2)=2sin(x+年)=-V2.故 2 Rsin Ca=2sinC,则R=1,所以△ABC外接圆的面积 选B. 为xR2=π.故选A. 6.D【解析】由题意可得am=1十2十3+…+n= 4.C【解析】由题可得f(x)+f1一x)=2x 时》，则2=n片=2（日-）所以 2 2x-=2,则 +++…+=2×[1-) (da)+f(282)=2()+f(号8器) (合-吉)+（兮）++(2)] 2.…,所以r(22)+(5)+…+f(经8 2x(1-2d2s)=8器故选D _2024×2=2024.故选C 7.C【解析】第一种方式可以领取报酬150×12 2 1800元；第二种方式每天的报酬构成以10为首项， 5.B【解析】由图可得=-号=8.所以T=4,则 20为公差的等差数列，则第二种方式可以领取报酬 ·64 高三一轮复习B ·数学· 10×12+12X1卫×20=1440元：第三种方式每天的 =2,当f(1)=0时，xf(2y)=0对x∈R恒成立，则 2 f(2y)=0,与f(x)为非常数函数矛盾，所以f(1)= 报酬构成以0.5为首项，2为公比的等比数列，则第 2,故A错误；令x=y=1,得f(2)=[f1)]=4,故B 三种方式可以领取报酬0.5×，2)=2047.5 正确：令x=k,2y=k+1,得kf(k+1)=(k+1)f(k),则 1-2 点所以高==合因此 k+1 k 1 元，因为2047.5>1800>1440，所以从总收入最高 的角度分析，小明应该选择第三种方式领取报酬.故 选C 之f =10,故C正确：由C可得f(k)=2k,则 8.B【解析】，a-1+a+i>2am(n≥2，n∈N”), f(k)+1 2k+1 [f(k)][f(k+1)下 1 …a+1一am>a-aa-1(n≥2，n∈N").对于①，当 16k2(k+1)2 =16Lk n≥2时，an一aa-1≥a2一a1,则an=(an一a-1)十 1 所以户 f(k)+1 (k+1)2: (a-1-am-2)十…十(a2-a1)十a1≥a1十 [f(k)][f(k+1)] (n-1)(a2-a1),取常数d满足a2-a1>d,则an> (1-)<故D正确，故选D, a1十(n一1)d,n≥2，故①正确：对于②，取a1=0, 三、填空题 a2=-1<0,a4=1,显然满足a1十a3>2a2,但对q∈ 12.-682【解析】因为a+1十a,=(一2)”，所以Si= K,g≠1，a￠=0>a2,故②错误，故选B (a1+a2)+(a十a4)+(as+a6)+(a+ag)+ 1一q 二、选择题 (ag十a0)=(-2)1+(-2)3+(-2)5+(-2)7+ 9.ABD【解析】对于A,B,设数列{an}的公差为d,将 （-2)°==2X1-4）=-682. 1-4 数列{am}的前m项去掉，其余各项依次为am+1, 13.511【解析】因为=(1，一a,)与=(a+1,4)垂 《m+,·,am+n,“,则am十m一am十m-1=d,故构成的数 直，所以a+1=4am,又a1=1,所以数列{an}是以1 列依然为等差数列，A正确：数列{2am}是公差为2d 为首项，4为公比的等比数列，所以数列{√a}是以 的等差数列，B正确；对于C,D,设数列{b。}的公比为 q,数列{b,}去掉前m项后，其余各项依次为bm+1, 1为首项，2为公比的等比数列，则数列{√a,}的前 6…6…,则产一一g,所以钓皮的数列依然 9项和为 =511. 为等比数列，C错误：数列b,房，b房，…是公比为g2的 14.10【解析】由OA=A1A2=A2A3=AA,=AA 等比数列，D正确.故选ABD. =A5A:=A6A,=A7As=…=2,得OA2=2√2， 10.AC【解析】因为a十2a2十…十2an=n·2”①， OA3=2V3,…,OA.=2Vn,所以an=OAn+OAn+ 所以当n=1时，a1=2;当n≥2时，a1+2a2十…+ 2"-2aw1=(n-1)·2-1②，①-②得2”-1an= 十AA+1=2万+2Vn+T+2,所以6，=2 4,2 n·2"-(n-1)·2m-1=(n十1)·2m-1,所以an= 1 =√n+1-√n,所以S。=b,+b2+…十 √n+n+I n十1，当n=1时，a1=2满足该式，故am=n十1，故 A正确：由等差数列求和公式得数列{a,}的前n项 b,=√2-1十√3-√2+…+√n+I-√m=n+I 和为n(2+m+1)=nm,十3)，故B错误；令6， -1,所以S12m=√120+1-1=10. 2 2 四、解答题 am-5=|n-4|,所以数列{|am-5}的前30 15.解：(1)，a+2aw-n=2Sn, 项和为b,十b+…+bo=3+2+1+0+1+2+…+ ∴.当n≥2时，a-1十2am-1-(n-1)=2S-1,(2分) 26=6+27X(0+26)=357,故C正确：(-1)a, 两式相减得a品十2aw一a-1-2am-1-1=2a, 2 (4分) =(-1)”(n十1)，其前100项和为一2+3-4十5 整理得a2=(an-1十1)2， ·-100+101=1×50=50,故D错误.故选AC an>0, (5分) 11.BCD【解析】对于xf(2y)=yf(x)f1),令x=1, ∴an=am-1十1，即aa一am-1=1(n≥2)， y-,得1)=2[f1)],解得1)=0或f1 又当n=1时，a2+2a1-1=2S=2a1, 解得a1=-1(舍)或a1=1, ·65· ·数学· 参考答案及解析 .数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以an=3+2(n-1)=2n十1，bn=2-1. (4分) ..an=n. (7分) (2)由(1)可得S.=n(a+a)=n(3+2m+1D 2 1 2 2 (2)由1)可得6.=2-1)(21-1)-2”- n(n+2), (6分) 1 因为cn=abn十a+1bn+1-b+2S。, 2+1-1' (10分) 所以cw=(2n+1)2·2"-1+(2n十3)·2” T.=6+b:+…+6.=（1-2）十 n(n十2)·20+1=n2·2"+1+n·2+1十2”-1十n· 2+1十3·20-n2·2m+1-n·2+2=7·2m1, (点)++（之） 所以数列{c。}是以7为首项，2为公比的等比数列. -1-21<1 (9分) (13分) (3)令dn=ab+1=(2n十1)·2"， (10分) 16.解：(1)因为an+1十4aa+1一am=0, 则Tn=d1+d2+…十dn=3·2+5·22+…+ 所以am一am+1=4anQr+1, (2n+1)·2", 若aa1=0,则a,=a1=0,与a=分矛盾， 2T。=3·22+5·28+…+(2n-1)·2m+ (2n十1)·2+1， (12分) 所以anam+1≠0， 两式相减得-Tm=6+2·22+2·23…+2·2m- 所以1一上=4， (3分) ant1 an (2n+1)·2+1 因为a,=子所以之. =6+8(1-21) -(2n十1)·2+1=(1-2n)· a 1-2 所以数列日}是首项为2，公差为4的等差数列， 2+1-2, 所以T.=2+(2-1)·2+1. (15分) (5分) 18.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, (2)由(1)可得】=2+4(m-1)=4m-2, /a3a6=55 因为 且数列{am}递增， a3+a6=16 所以S.=n(2+4n-2)=2m. 2 (8分) 所以/a5 (3)由(2)可得(-1)"Sm=(-1)"·2n2, (9分) ag=11 当n为偶数时，Tn=2[-12十22一32+… 则a6-aa=3d=6,解得d=2, (3分) (n-1)2+n2], 所以am=5+2(n-3)=21-1. (4分) 因为n2-(n-1)2=2n-1, 1(2n-1)2-(2十1)2，n为奇数 (2)(1)由(1)可得b,= 所以T.=2[3十7+…+(2-1)]=2· 72, n为偶数 号(8+2m-1) (5分) =n(n十1)=n2+n; (12分) 设数列{bn}的前2n项和中，奇数项的和为P.,偶数 2 项的和为Q, 当n为奇数时，n一1为偶数， 当n为奇数时，bn=(21-1)2-(2n十1)=一8n, 则Tm=Tm-1+（-1)”·2n2=(n-1)n-2n2= 所以Pn=b十b十b十…十bm-1=-8[1+3+5+ -n2-n. (14分) …+(2n-1)]=-8n2: (7分) n2+n,n为偶数，n∈N 综上，Tn= (15分) 当n为偶数时，bn=n, n2一n,n为奇数，n∈N 所以Q.=b2十b:十b6+…+b2m=2+4+6+…+2n 17.解：(1)设数列{am}的公差为d,{b)的公比为q, 9≠0， =n(2+2n=r+n, 2 (9分) 由a=3,b=1,a2-b=a3一b3=3, 所以T2m=-8n2+n2+n=-7n2+n. (10分) 68 2或/9 3·解得92 (i)由(-1)"入-8n2+1<Tw, 。(舍)， ld= 得(-1)入<m2+n-1, (12分) ·66· 高三一轮复习B ·数学· 当n为偶数时，<2+1一1对一切1为偶数成立， 当n=2时，n2+n一1取得最小值，最小值为5， 2 所以A<5: (14分) 1+号 当n为奇数时，一入<n2+n一1对一切n为奇数 =2m-6m+号（卡-1） (9分) 成立， 即>一n2一n十1对一切n为奇数成立， (3)因为对任意的n∈N,都有a+m=am成立， 当n=1时，一n2-n十1取得最大值，最大值为-1， 所以数列{am}的周期为2m, (10分) 所以>-1. (16分) 由(1)可得S。=-m2+3m+1- 2m, (11分) 综上，实数入的取值范围为(-1,5). (17分) 又Sa=a1十a2十a3=0, 19.解：(1)当1≤n≤m时，am=2-2(n-1)=-2n十4； (1分) 所以S4m+3=2S2m十a1十a2十a3=2(-m2+37n十1 当m十1≤n≤2m时，an=am+1 (13分) 1 21一m (2分) 令f(m)=-m+3m+1-2, 2n+4,1≤n≤m,n∈N 综上，an 2m,m+1≤n≤2m,n∈N*· 1 (3分) 则f(m+1)-f(m)=21-m)+2, 因为m≥3，所以f(m+1)-f(m)<0, (2)因为m为偶数， 即f(m十1)<f(m), 所以b=b十b2+bs+b1十…+bm+b1+bm+2 故当m=3时，S取得最大值，最大值为了，(15分) 十…十b2m =一ai十a2-a2十a好-…十a品-a+1十a+2-… 所以Sw的最大值为子， 十aa 故不可能有Sm+3≥2成立， =(a2-a1)(a2+a1)+(a4-ag)(a4十ag)+…+ 所以不存在满足条件的m. (17分) (am一am-1)(am十am-)一a+1十a后+2-…十a2m= -22+0-2++(-2m+4]-安+2-…十 ·67