(12)正弦定理、余弦定理、解三角形-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ N V ① ②③④⑤ ⑥ 档次 系数 利用余弦定理求边 1 选择题 5 (已知两边及其中一 易 0.78 边的对角) 正弦定理以及同角 2 选择题 5 三角函数的基本 L L 易 0.75 关系 构造立体图形测量 3 选择题 5 / 易 0.72 高度 利用正、余弦定理解 4 选择题 5 中 0.65 决三角形中线问题 利用正、余弦定理解 5 选择题 中 0.50 决距离问题 选择题 余弦定理与二次函 6 5 中 0.45 数的综合 利用正、余弦定理判 7 选择题 6 易 0.72 断三角形的形状 与测量有关的方案 8 选择题 6 中 0.40 设计题 9 填空题 5 由三边求角 易 0.82 由正弦定理解决三 10 填空题 为 0.65 角形两解问题 三角恒等变换与正、 余弦定理的综合，利 11 解答题 13 中 0.50 用三角函数求取值 范围 正、余弦定理与平面 12 解答题 15 向量的综合，三角形 / J 中 0.45 面积问题 ·45· ·数学· 参考答案及解析 解三角形与三角函 13 解答题 20 难 0.25 数的综合 考答案及解析 一、选择题 MN 1.B【解析】由a=√3，b=3,B=60以及余弦定理 n%0:印是=点解身Q sin sin6 =a2十c2-2ac·cosB,得3十c2-√3c=9,解得c= 380√I0米，在△PMQ中，由余弦定理得PQ= 2√3（负值舍去）.故选B. (380/5)2+(380√/10)-2×3805×380√10× 2.B【解析】在△ABD中， BD AD sin B sin 6 (-号)=5×(805)，所以PQ=380×5= CD·sinC 解得 tan C= 5 1900米.故选D. sin(号-c 5 6.B【解析】在△ABC中，根据余弦定理得a2=6十c2 -2 becos A,.十c2-a2=2 becos A,因此函数可化 sin'C+cos2C= sin C3 ,所以snC=区，故选B, 为：f(x)=bcx2+(2 bccos A)x+2bc, 14· cos C 5 1bc>0 3.C【解标】在△BCD中，由正弦定理sn∠CDB BC cosA-A-2) 数y=f(x)的图象是开口向上的抛物线，且与x轴 SnCD得BC=1=13VE,在R人AC BD 没有公共点.由此可得，对任意实数x,f(x)>0恒成 sin 30 立.故选B. 中，AB=BCtan∠ACB=l3√2Xtan60°= 二、选择题 13√6(m).故选C. 7.AD【解析】对于A,由正弦定理可得sinA= 4.A【解析】因为D是BC的中点，所以A市=之(A店 sin Ccos B,sin A=sin(C+B)=sin Ccos B++ cos Csin B,因此可得cos Csin B=0,又因为B∈ +AC,又AC=b=2,所以A市=(Ai+AC (0,π)，sinB≠0，所以可得cosC=0,又C∈(0，π)， 子A+2A店.A心+AC),即7=子(2+k× 可得C=受，所以△ABC是以C为直角的直角三角 形，即A正确；对于B,若a2十b-2>0,可得cosC cos号+2)，解得c=4(负值舍去)，所以a2=B十 =Q十B一C>0,可得C为锐角，但不能确定A,B是 -26 ccos A=22+42-2X2X4cos号=12，则a= 2ab 否为锐角，所以△ABC不一定是锐角三角形，即B错 2J3,设△ABC的外接圆半径为R,所以2R= 误；对于C,若acos A=bcos B,由正弦定理可得 sin A sin Acos A=sin Bcos B,即sin2A=sin2B,因此可 =25,即R=2,所以△ABC的外接圆面积为S= 得2A=2B或2A=元-2B,可得A=B或A+B=受， πR2=4π.故选A. 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，即C错误； 5.D【解析】在△PMN中，∠PMN=+臣- 对于D,由a。=b 由o入C根据正弦定理可得 sin A= ∠PNM=∠MPN=亚，则PM=MN=3805米，在 cos A 滑-热由部A- cosB可得 sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,所以 △MQ中，∠MNQ-ξ+是-平，又∠QMN= A=B:同理由识合-部可得B=C因此A=B= 品则∠MQN=音，由正张定理可得n架Q C,所以△ABC是等边三角形，即D正确.故选AD. ·46· 高三一轮复习A ·数学· 8.BCD【解析】对于A,如果A,B两点与旗杆底部不 四、解答题 在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不 11.解：(1)c=a(1十2cosB), 正确；对于B,如下图，△ABD中由正弦定理求AD, ∴.sinC=sinA·(1+2cosB), 则旗杆的高CD=h十ADsin,故B正确； 又A+B+C=π， ∴.sinC=sin(A+B), (1分) ∴.sin(A+B)-2 sin Acos B=sinA,得cos Asin B -sin Acos B=sin A, .'sin (B-A)=sin A, (3分) 则B-A=A或B-A十A=π（舍）， .B=2A. (4分) (2)6=sin Bsin 2A =2cos A, (6分) sin A sin A 对于C,在Rt△ADC中直接利用锐角三角函数求出 旗杆的高DC=ACtan a,故C正确； 2c0sA=E,即A=若 B=晋，C=受，则c=√3+(3B)=6.8分) （3)由题意及(2)得，台-2mA、 ,△ABC为锐角三角形， 0<A<受， a 对于D,如下图，△ABD中由正弦定理求AD,则旗杆 0<2A<受， (10分) 的高CD=ADsin a,故D正确. 0<x-A-2A<受， D 解得否<A<平， (12分) √2<2cosA<√3， ·么的取值范围为(2W5), (13分) B 故选BCD, 12.解：(1)m∥n, 三、填空题 ∴.(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,(1分) .一号【解析】因为snA:如BsmC=4:70,则由 .(a十b)(a-b)=c(a-c),即a-b=ac-c2, .a2+c2-=ac, (3分) 正弦定理可设a=4k,b=7k,c=9k.由余弦定理得 ∴.2 accos B=ac, asA=+E=表g6=是，故 2bc 2×7k×9k 1 c0sB=立： sn(受+A)=-c0sA=品 B∈(0π)， 10.5(答案不唯一，满足4<a<8即可)【解析】由正 B=号 (5分) 孩定理，得A一B即snB-A-4,因 a (2)(1D:B=吾， (b>a (a<8 1 为三角形有两解，所以 sin B<1' ∴=a2+d2-2ac…7,又2b=2c2+ac, 3 ∈(4,8) .a=2e, ·47· ·数学· 参考答案及解析 …6s (7分) +2AB=(6+45)cm. (4分) 2c, (2)因为OB·AC+OA·BC≥AB·OC,且△ABC 9 :a+8一c2=4十王c2 =27 为等边三角形，OB=2,OA=4, 2ab 3.万 7 所以OB十OA≥OC,所以OC≤6， 22 2c 即OC的最大值为6，取等号时∠OBC十∠OAC=π， (9分) (6分) (i)若边c=2,由(1)可知a=3,b=√7，B= 所以cos∠OBC+cos∠OAC=0,不妨设AB=x, 3 则+4-36++16-36=0，解得x=2万， SAMBC= 2acsin B=3/3 Ax 8x 2 所以c0s∠A0C=16+36-281 3V3 2×4×6-2, ∴S△DE= 4, (11分) 所以∠A0C=子 (12分) 令BD=m,BE=,则SAE=3E=号m (3)在△ABO中，由余弦定理得AB=OA2十OB2- .mn=3, (13分) 2OA·OB·cosa=20-16cosa, 又由余弦定理得DE=m2十n2-2mn× 1 ≥mn=3 所以AB=√20-16cosa,0<a<π， (14分) 于是四边形OACB的面积为S=S△B十S△BC (当m=n=√时等号成立)， DE的最小值为√5. (15分) =0A.OB·sina+AB 4 =4sina+安(20-16cosa) =4sina-4W5cosa+5√3 D =&sin(a-号）+58， (17分) E C 当。一号=受，即。-晋时，四边形OACB的面积取 13.解：(1)在△ABO中，OA=4,OB=2,∠AOB=a 得最大值为8十5， =受 所以当a=时，四边形OACB的面积最大，最大值 由余弦定理得AB=OA2十OB2-2OA·OB·cosa 为8+55. (20分) =16+4-2X4×2×号=12， 即AB=23,于是四边形OACB的周长为OA+OB ·48·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十二)正弦定理、余弦定理、解三角形 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√3，b=3,B=60°，则c= A.√3 B.23 C.3 D.6 2如图，在△ABC中，∠BAC-点D在线段BC上，ADLAC,器子，则snC= A B.②T 14 C 7 D②7 7 3.敬亭山，位于安徽省宣城市北郊，是中国历史文化名山，原名昭亭山，晋初为避帝讳，易名敬亭山. 李白在《独坐敬亭山》中写道：众鸟高飞尽，孤云独去闲.相看两不厌，只有敬亭山.相传该诗题写于 太白独坐楼（如图1）.为了测量该楼的高度AB(如图2)，一研究小组选取了与该楼底部B在同一 水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=30°，∠CDB=45°，BD=13m,在C点处测得该 楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度AB为 D 图1 图2 A.13m B.20m C.13√6m D.26√6m 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,b=2,A=号，若BC边上的中线AD=万，则 △ABC的外接圆面积为 A.4元 B.8π C.12π D.16π 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 5.湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥 湖研究的始发点，也是世界玛珥湖研究的关键点.某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的 东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P,Q之间的距离，现在湖光岩玛 珥湖的湖岸取另外两个测量基点M,N,测得MN=380,5米，∠PMQ-3,∠QMN=∠PNM =是∠PNQ-,则P,Q两点间的距离为 A.1500米 B.800√5米 C.1800米 D.1900米 6.设a,b,c是△ABC的边长，对任意实数x,f(x)=bcx2+(b+c2-a2)x十2bc有 A.f(x)=0 B.f(x)>0 C.f(x)≥0 D.f(x)<0 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 A.若a=ccos B,则△ABC是直角三角形 B.若a2+b2-c2>0,则△ABC是锐角三角形 C.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 D若co B5C则△ABC是等边三角形 8.某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次 活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有 A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α，B,再测量A,B两点间距离 B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别 测得旗杆顶端的仰角α和3 C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离 D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角a,正对旗杆前行5到达B处，再次测量旗杆顶 端的仰角3 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 6 8 答案 轮复习40分钟周测卷十二 数学第2页（共4页） 囚 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=4:7:9,则 sin(A)=, 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=8,A=30°，试写出一个a值，使该三角形 有两解，则满足题意的α的值可以是.（仅需填写一个符合要求的数值） 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=a(1+2cosB). (1)证明：B=2A; (2)若a=3,b=3√3，求边c; (3)若△ABC为锐角三角形，求2的取值范围。 12.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知向量m=(a+b,sinC),n= (a-c,sin A-sin B),m//n. (1)求B; (2)若2b2=2c2+ac. (i)求cosC的值； (iⅱ)若边c=2,点D为线段AB上的动点，点E为线段BC上的动点，且线段DE平分△ABC 的面积，求线段DE长度的最小值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 如图，半圆O的直径为4cm,A为直径延长线上的点，OA=4cm,B为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.设∠AOB=α. (1)当a=于时，求四边形OACB的周长； (2)克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定 理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时 取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求∠AOC; (3)当α为多少时，四边形OACB的面积最大？并求出面积的最大值. a 一轮复习40分钟周测卷十二 数学第4页（共4页）】 A