(11)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十一)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.如图，在复平面内，复数之对应的点为卫，则复数产一i的虚部为 A.-4 P. B.-2 C.2 D.4 2,若十2=一2+i,则：在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在△ABC中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD(含端点)上一动点，若ED= 入EB+uEC(a∈R),则 A.入十=1 B.=2λ C.=3λ DA-=-3 4.已知平面上的三个力FF:,E作用于一点，且处于平衡状态若F=1N,K,=E,区N, F1与F2的夹角为45°，则F3与F1夹角的余弦值为 A.-6+2 B.6+2 C.-6-2 D.6-2 4 4 4 4 5.已知复数之满足之·=5，则|之-2十4i的最大值为 A.√5 B.6 C.35 D.36 6.已知O为△ABC的外接圆圆心，BC=2,∠BAC=30°，则AB·OC的最大值为 A.4 B.6 C.23 D.4√3 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.设之1,2为复数，且12≠0，则 A.若十=0，则=2=0 B.1十2=z1十2 C.若之1=x2,则=2 D.之1·之2=1·之2 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 8.如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500,一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知 船在静水中的速度y的大小”1=10km/h,水流方向为正东方向，其速度2的大小为2= 2km/h,这艘船到达河对岸的时间精确到0.1in,采用四舍五入法.则 (参考数据：6≈2.45) A.这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，”1⊥ B.这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C.这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D.这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 A 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在复数范围内，方程x3=8的虚数根是x= (写出一个即可) 10.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了 深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中 AB=1,O为正八边形的中心，则AB·HD= 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知复数=B∈R,半异为实数。 (1)求b: (2)求x-z2|； (3)若复数(m十x)2在复平面内对应的点在第四象限，且之为实系数方程x2十（一16）x十4 0的根，求实数m的值. 轮复习40分钟周测卷十一 数学第2页（共4页）】 囚 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知向量a=(cosx,-1),b=(sinx,是)，函数fx)=2(a+b)·a 如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边BC,CD上的点，且A户.A反=PQ (1)求∠PAQ的大小； )若a/,求an(+买)： (2)求△APQ面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合(2)他猜想“△APQ中PQ边上的高为 (2)当x∈[一平，军]时，求函数f(x)的值域： 定值”，他的猜想对吗？请说明理由. (3)若将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左 平移个单位长度，可得到g(x)的图象，求g(x)>的解集。 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷十一 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ① ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 求复数的虚部 V 易 0.78 复数对应点所在象 2 选择题 易 0.75 限问题 平面向量基本定理 3 选择题 5 易 0.72 的应用 平面向量与力的 4 选择题 5 中 0.65 关系 复数模长的最值 5 选择题 5 中 0.50 问题 6 选择题 数量积的最值问题 0.28 7 选择题 6 复数的性质 易 0.72 利用向量解决速度 8 选择题 6 中 0.65 问题 9 填空题 5 复数方程问题 / 易 0.82 与数量积有关的数 10 填空题 5 中 0.40 学文化题 复数的运算、复数方 11 解答题 13 易 0.82 程的综合 向量与三角函数的 12 解答题 15 中 0.35 综合 利用向量解决平面 13 解答题 20 难 0.25 几何问题 香考答案及解析 一、选择题 2.D【解析】由题意得一2士i=i(-2+①D=1十2 1.C【解析】由图得P(-1,2),则z=-1十2i,所以 -i 器-=+0-i=2-i 设x=a十bi(a,b∈R),则之十22=a十bi+2a-2bi= 2-i (2+i)(2-i) 3a-6i=1+2i,则3a=1,-b=2,解得a=号，b -4十2i,其虚部为2.故选C. 一2，所以x=3 1 一2，其在复平面内对应的点为 ·41· ·数学· 参考答案及解析 (号，一2），位于第四象限，故选D =30°，所以∠BOC=2∠BAC=60°，因为OB=OC,所 以△OBC为等边三角形，故OA=OB=OC=2,AB· 3.B【解析】如图，当E,D不重合时，ED=EB+BD 0元=(oi-oA)·0元=0i.O元-OA.O元= +号武=+号（心-成）=筋+号武， |Oi1·1 OC|cos60°-|OA|·|Oc|cos∠AOC= 即A=号=号，当E,D重合时，成=0，此时0 2X2X号-4c0s∠A0C=2-4cos∠A0C,当A,0, ED=kE言+2kEC,k∈Z,则必有4=2成立，综上， C三点共线，即cos∠AOC=-1时，AB.O元=2- 都有=2入成立，即只有B始终成立.故选B. 4cos∠AOC取得最大值，最大值为2十4=6.故选B. 4.A【解析】三个力平衡，∴.F十F2十F3=0, 二、选择题 IF|=|E+F,|=√TF+2F·F+F下 7.BD【解析】对于A,若1=1，之2=i,显然满足十 VP+2x1x22ms5+(5三=反.设 号=0，但||=2|=1，故A错误；对于B,设= 2 a十bi,2=c十di,a,b,c,d∈R,则≈十x2=a十c+(b F与F的夹角为0，则|F,| 十d)i,1十2=a十c-(b十d)i,而1十2=a-bi十c √TE+B+2FTR0s9,即6,2 2 一di=a十c-(b十d)i,故B正确；对于C,若1=1， =i,则|=|2|=1，而号=1，号=一1,7≠场， √12+(2)+2X1X√2cos0,解得cos0 故C错误；对于D,设=a十bi,2=c十di,a,b,c,d _6+巨故选A. ∈R,则x1·g=(a+bi)·(c+di)=ac-bd十(ad+ 4 5.C【解析】设x=a十bi,a,b∈R,则之·=a2十b2= bc)i,则x1·2=ac-bd-(ad+bc)i,z1·g=(a- 5,由|x-2+4i=|(a-2)+(b+4)il= bi)·(c-di)=ac-bd-(ad十bc)i,故D正确.故 选BD √(a-2)+(b十4)，上式可理解为点P(a,b)到点 8.AB【解析】对于A,设”1与的夹角为8，船行驶 A(2,-4)的距离，而点P(a,b)是圆x2十y2=5上的 的时间为t,d=500m=0.5km, 动点，如图， 2 当0为钝角时，t= d 0.5 sin(元-)yT= 10sin 0 点A(2,-4)是圆外一点，故|x-2十4川的最大值即 0:05h,当9为锐角时，t= d 0.5 sin sin a v 点A(2,-4)到圆x2十y2=5上点的最大距离，即为 10sin= d0.5 1OA|+5=√2+4+√5=3√5.故选C. 096当9为直角时，== =0.05h,则 6.B【解析】因为O为△ABC的外接圆圆心，∠BAC 当0为钝角时，0<sin0<1,t1>0.05h=t,当0为锐 ·42· 高三一轮复习A ·数学· 角时，0<sin0<1,t2>0.05h=t,所以当船垂直于 (3)由(m十之)2=(m十2i)2=m2-4十4mi在复平 对岸行驶，即1⊥2，所用时间最短，故A正确；对于 面内对应的点在第四象限， B,由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为 m2-4>0 所以 t=0.05h=0.05×60=3min,故B正确，C错误：对 (4<0 于D,设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当 解得m<-2, (9分) 这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短，由 又x=2i为实系数方程x2十(m2-16)x十4=0 下图可知，设=y十，则=√y一下 的根， 6mb,此时，通的航行时间=号-搭×0 则-4十2(m2-16)i十4=0， 所以m2-16=0,m=士4， ≈3.l(min)>3(min),故D错误.故选AB. 又m<-2, 所以m=-4. (13分) 12.解：(1)因为a=(cos,-1Db=(sinx,子)，a ∥b, 则子cosx=-sinz, 显然cosx≠0， 三、填空题 所以tanx=一 4 (3分) 9.一1十√3i(答案不唯一，或填-1一√3i)【解析】方程 则tan(x+买)=am(x十牙) x3=8可化为(x-2)(x2十2x十4)=0，解得x=2 或x=-2±y正6=-1士5. tanxtam -+1 2 1一tan tan子1-(-子) (5分) 10.1十√2【解析】在正八边形ABCDEFGH中，连接 HC,则HC∥AB,而∠ABC=135°，即∠BCH=45°， (2)由题得a十b=(osx+sin,-), 于是∠HCD=90°，在等腰梯形ABCH中，CH=1十 则f(x)=2(a十b)·a 2×1×cos45°=1十√2，所以AB·H=1X |Hd1cos∠CHD=|Hd=1+√2. =2(cosx十sinx,- )(cos,-1 1 =2cos'x+2sin xcos x+ =sin2x十cos2x+立 3 -Esin(2x+牙）+2， (8分) 当xe[-子，无]时2x+∈[-牙，]， 四、解答题 购Esn(2x+)+[合wE+] 1山，解：(D由=，为实数， 所以函数fx)的值域为[分W巨+号] (10分) 则待料-侣注的骨-号号为实数， 2 (3)由2)知f)=Esim(2x+平)+2， 所以号2=06=2 (3分) 结合题意得g(x)-Esin(:+受)+是-巨cosx (2)由(1)知x=2i,z2=-4, (4分) 所以|x-z2|=|4+2i=25. (6分) ·43· ·数学· 参考答案及解析 4)>号即cos+号>号 (2)由圈得AQ-。AP= cosB 2 即cosx>-气 (13分) SAArO三之AQ·AP·sim∠PAQ-y2 1 4 cos acos B" 所以2km-经<x<2kx+要，k∈Z. 4 “a+g=平 即g()>号的解集为(2kx-平，2kx+):k∈7 ÷Sao= 4 (15分) cos acos(-a） 13.解：(1)记∠DAQ=a,∠BAP=B, ② 则∠PAQ=受-(a+B). n(2a+晋）+9 41 由题得A市.AQ=(AB+B驴)·(AD+Dd) ae(0,平 =AB·DQ+AD·Bp DQI+BPI, ·当a=餐时，△APQ面积的最小值为E-1. 则IDQ1+|BP1=|PQ1, (2分) (13分) :正方形ABCD的边长为1， (3)设△APQ中PQ边上的高为h, .DQ=tan a,BP=tan B, 在Rt△CQP中，CQ=1-tana,CP=1-tanB, 则吃PQXh=-APXAQXsin-平， 1 PQ=DQ+BP=tan a+tan B, 又：cos∠PAQ= A户.AQ (1-tan a)2+(1-tan B)2=(tan a+tan B)2, IAPIARI 即l-(tana十tanB)=tan atanβ， 六A1A破=A市·A⊙ tan&十tanE=l, 则tan(a十B)=-tan atan (5分) 且Ap.AQ=|P1, 又m∠PAQ=an[受-a+)】 ·|A1|A0|=21P1, tan(a十B) =1, PQxh=EpQx号 且∠PAQ∈(o,), 解得h=1,为定值， 则该同学的猜想正确。 (20分) 则∠PAQ=于， (7分) ·44·