(9)任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (九)任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知sin0+cos0<0,sin0cos0>0,则0为 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.已知锐角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点A(a,1),且cos2a= 号则a= B 5 C.√5或-√5 D.√5 3.已知cos。）=一子则sm(g+a)的值为 4- B. c号 D.3 4.在△ABC中，已知sinA+sin(B-C)=sin2C,则△ABC的形状为 A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.已知a,3∈R,关于等式，有以下两个命题： ①对任意的a∈[0,2π]，总存在B∈[0,2π]，使得等式cosa十cosB=sin(a+B)成立； ②对任意的a∈[0,2π]，总存在3∈[0,2π]，使得等式sina十sinB=cos(a十β)成立. 则 A.①与②都正确 B.①正确，②不正确 C.①不正确，②正确 D.①与②都不正确 6.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所 示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB,AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C所在直线 与水平面平行，AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指 的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值)的比值为专，则sin∠BAC= A.号 B.5 C 24 D.25 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.计算下列各式的值，其结果为2的有 A.tan15°+2sin609 1 5 B.2c0s80-2sin80 C.(1+tan18°)(1+tan27°) D.4sin18°sin54° 8.已知a∈(0，π，sina一cosa3,则 8 A.sin 2a=9 B.sina十cosa= 17 3 C.cos a=- 17-1 6 班级 姓名 分数 题号 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知cosa=一 ,吾<a<,则sin受 5’ 10.已知cos(a+B》=6,tan atan-号，则cos(aTB)- 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知tana+）=一3，计算下列各式的值： (1)tan a; (2)2sin a2cosa 3sin a-2cos a 1 (3)2sinasin acos a 轮复习40分钟周测卷九 数学第2页（共4页） B 12.(本小题满分15分) 已知/sina+sin月=b ,其中a,b为常数，且a2十b2≠0. cos a+cos B=a (1)求cos(a-β)； (2)若b=1,a=0,求cos(a十3)cos(a-β)； (3)求cos(a十3). 数学第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场 需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规 模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD,矩形一边AB在 OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且∠MON=答，OM=30米，设∠COM=a. (1)求扇形OMN的面积； (2)求矩形ABCD的面积S(a); (3)当a为何值时，S(α)取得最大值？并求出这个最大值. D 0 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷九 数学第4页（共4页） ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（九） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) [ Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 判断角所在象限 易 0.75 三角函数的定义，倍 2 选择题 角的余弦公式的 √ 易 0.72 应用 3 选择题 正、余弦的诱导公式 中 0.65 利用和差角公式判 4 选择题 5 中 0.58 断三角形的形状 与和差角公式有关 5 选择题 中 0.55 的逻辑推理题 同角三角函数的关 6 选择题 系、倍角正弦公式的 务 0.30 综合应用 选择题 知角求值问题 易 0.75 sina士cosa与 8 选择题 6 中 0.40 sin acos a的关系 9 填空题 5 半角公式的应用 易 0.72 和差角公式、商数关 10 填空题 5 中 0.45 系的综合应用 11 解答题 13 弦切互化问题 中 0.60 12 解答题 15 三角函数的综合 / 运算 分 0.30 扇形面积、三角函数 13 解答题 20 难 0.25 的实际应用 ·37· ·数学· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 ∠CAO,则∠BAC=2∠BAO,所以sin∠BAC= 1.C【解析】由已知得sin0<0,cos0<0,故0为第三 2n∠BA0os∠BA0=2X号X号-装故送D. 象限角.故选C 2.D【解析】由三角函数定义，sina= Va+万，所以 cos 2a-1-2sina-1- 异=号解得a=后或。 =-√5，由a为锐角知a>0,故a=√5.故选D. 3.A【解析】m(答+a)=sin[(a-子)+受]- cas(。-号）=-号故选A 二、选择题 7.ABC【解析】对于A,tan15°+2sin60°=tan(45° 4.A【解析】由sinA+sin(B-C)=sin2C,得 sin Bcos C+cos Bsin C+sin Bcos C-cos Bsin C= 13 3 2 sin Ceos C,所以sin Bcos C=sin Ccos C,所以 30)+√5= +√5=2-√3+√3=2，故A正确： 1+③ cosC(sinC-sinB)=0,所以cosC=0或sinC= 1 对于B,2c0s80 280=n806c0s80 √5 sinB,因为0<B<π，0<C<π，所以C=或B=C, 2sin80cos80° 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.故 2sin(80°-60°)_ 2sin20° sin160° in(180-20=2,故B正确：对 选A. 于C,(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+ 5.B【解析】对于①，任意的a∈[0,2x],当B=受时， tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+ tan(18°+27°)(1-tan18°tan27°)=2，故C正确： cosa+cosB=cosa,sin(a十B)=sin(a+受） 对于D,4sin18°sin54°=4sin(90°-72)sin(90° cosa,满足cosa十cosB=sin(a十B),故①正确；对于 36)=4c0s72°cos36°=4c0s72cos36sin36 sin 36 ②，当a=妥时，sina十sinB=-1十sinB,cos(a十B) 2cos72°sin72_sin144=sin(180°-36)=sin36 sin 36 sin 36 sin 36 sin 36 =eos(受+）=sinB,则不存在Be[0,2x],使得等 =1,故D错误.故选ABC 式sina十sinB=cos(a十B)成立，故②不正确.故 8AC【解折】因为sm&一oasa=弓，所以(sn& 选B. 6.D【解析】设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R, cosa)2=号即sina-2 2sin十cosa=号，即1 连接OA,OB,OC,如图所示.易知“水滴”的“竖直高 -2 sin0sa=号，则sin2a=2 sin0sa=号，故A 1 度”为OA+R,“水平宽度”为2R,由题意知OA十R 正确；又a∈(0，π)，sina>0,所以cosa>0,则a∈ 2R 含，解得OA=号R,因为AB与圆孤相切于点B,所 (0,受)，所以sina+cosa =v(sin a-cos a)2+4sin acos a 以OB⊥AB,在R△ABO中，Sin∠BAO=OB=R -√兮)+2x号=平，故B精误：联立 =号，又∠BA0∈(O,受)，所以cos∠BA0 sina十cosa= 17 3 解得sina=1十 1 6 -,cos a= V-sin∠BAO=5,由对称性知，∠BA0= sin a-cos a=3, ·38· 高三一轮复习B ·数学· 即cos(a-B)=a+8-1. 6 2 (4分) =,故D错误.故选AC, 1 (2)由(1)知，当b=1,a=0时cos(a一B)=2-1= 6 三、填空题 (5分) 9. 5 :【解折】由受<a<,可知平<受<受，则 .'sin a+sin B 1-(-) sin号>0，故sin号= 1-cos a 2 =n生os2+cosn2+sin生2， 2 =15 5 2 10.号 【解析】设cos(a一B)=t,则 1 [cos(a+)=cos acos B-sin asin B=6 cos a+cos B cos(a-B)=cos acos B+sin asin B=t; =0s(+2)+co() 两式相除得tana·tanB =eosos“3-sin寸in+eos寸. 2 2 2 2 cosa,e+sin里sin 2 2 2 号，解得=号，则o(一=号 2ccos (7分) 1 2 计 四、解答题 j2no8-6=1 2 1.解：D由题得an&=tan[(a十平）一牙] 2 an(a+平)-1 c0s,里≠0，cosa+里=0， 2. 2 2 (4分) 1+an(e+平) ∴c0s(a+8)=2cos里-1=-1， 2 (2)2sin a+2cos a_2tan a+23 (8分) 3sin a-2cos a 3tana-2-2· ∴cos(a+8)cos(a-B)=(-1)x(-子)=2 (3)2sinasin acos a (9分) sin'a+cos a os22-6 2sina+€ 2 2sin'a-sin acos a (3)由(2)知 tan'a+1 5 2cosg±8 EcosaB-a 2tan'a-tan a 6' (13分) 2 2 当a=0时，由a2+b≠0可得b≠0， (sin a+sin B-b 12.解：(1)由 cos a+cos B=a s=0 sin'a2sin asinsn 则cos(a十B)=-1; (10分) cosa+2cos acos B+cosB=a 当b=0时，由a2十b2≠0可得a≠0， 两式作和得2+2 cos acos B+2 sin asin B=a2十b, (3分) ∴sm2=0, cos acos B+sin asin 2 则cos(a+g)=1-2sin2十9=1. (11分) 2 ·39· ·数学· 参考答案及解析 当a≠0且b≠0时，tana寸里=b 所以AB=OB-OA=30cosa-10√3sina,(8分) 2 a 则矩形ABCD的面积S(a)=AB·BC os2十里-sin2+星 ∴.cos(a十B) 2 2 =(30cos a-103sin a)30sin a cos2a+sin2a型 2 2 =300 3 (3sin acos a-sin'a) 1-tan t 2 1- a2 a2-b2 =300E(停sin2a+2os2a-号） 1+r1+ B a2+62 (13分) 2 =3003sin(2a+若)-150/B,0<a<号 验证可知，当a=0或6=0时，c0s(a十)=二 a2十6 所以s(a)=300sin(2a+5)-1505,其中0< 成立， (14分) 综上所述，aa十)-名 <受 a+b (15分) (3)由若<2a+吾<， 13.解：(1)由题意，∠MON=号，扇形半径即OM- 30米， 则当2a十否=号，即a=若时，S(a)mm=150/3. 则扇形OMN的面积为子×受X302=150r平方 所以当。=晋时，S()取得最大值，最大值为 米 (4分) 150√3平方米. (20分) (2)在Rt△OBC中，BC=30sina,OB=30cosa, 在Rt△OAD中，AD=BC=30sina, 则0A=AD=10/3sina, an号 ·40·