(9)任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (九)任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.若0的终边不在坐标轴上，且cos0cos0+sin0sin0=-1,则0在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知锐角α的顶，点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点A(a,1),且cos2a= 号则a= B 5 C.√5或-√5 D.√5 3.已知cos(。-）=-专则sin(得+a)的值为 A.号 B一 C.、2 3 D.±2② 3 4.在△ABC中，已知sinA+sin(B-C)=sin2C,则△ABC的形状为 A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.已知a,B∈R,关于等式，有以下两个命题： ①对任意的a∈[0,2π]，总存在β∈[0,2π]，使得等式cosa十cosB=sin(a十B)成立； ②对任意的a∈[0,2π]，总存在β∈[0,2π]，使得等式sina十sinB=cos(a十B)成立. 则 A.①与②都正确 B.①正确，②不正确 C.①不正确，②正确 D.①与②都不正确 6.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所 示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB,AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C所在直线 与水平面平行，AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指 的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值)的比值为号，则sin∠BAC-= A号 c 4 D.25 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.计算下列各式的值，其结果为2的有 A.tan15°+2sin609 1 5 B.2c0s80-2sin80 C.(1+tan18°)(1+tan27°) D.4sin18°sin54° 8.已知a∈(0，π，sina一cos&3,侧则 8 A.sin 2a=9 B.sina十cosa= 17 3 C.cos a=- 17-1 6 班级 姓名 分数 题号 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知cosa=一 ,吾<a<,则sin受 5’ 10.已知cos(a+B》=6,tan atan-号，则cos(aTB)- 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知tana+）=一3，计算下列各式的值： (1)tan a; (2)2sin a2cosa 3sin a-2cos a 1 (3)2sinasin acos a 轮复习40分钟周测卷九 数学第2页（共4页） A 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边的锐角α和钝角B的终边分别交单位圆于A,B两 已知sina+sing= ,其中a,b为常数，且a2十？≠0. 点.已知点A的赞坐标为号，点B的纵坐标为号 cos a+cos B=a (1)求c0s(a-3): (1)求sina,cosB; (2)若b=1,a=0,求cos(a十3)cos(a-3); (2)求sin(a+B); (3)求cos(a+3). (3)求2a-3的值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷九 数学第4页（共4页） 囚·数学· 点即可， (9分) 令g(x)=0,则ax=1-2 e+11 2 即y=ax与9(x)=1一e千在（一∞，0）和(0， 十∞)上各有一个交点， 2er 因为9(x)=(e+1)>0, 所以g(x)在R上单调递增， 2 2 又g(-x)=1一e+=e+有-1=-9()， 所以9(x)为奇函数， 2er 令h(x)= (e+1)2, 则h'(x)=2c(1-e) (e+1)3 显然在(-∞，0)上h'(x)>0,h(x)单调递增： 在(0，十o)上h'(x)<0,h(x)单调递减， 综上，(x)在R上单调递增，但递增速率先变快后 变慢， 则(x)的大致图象如下图所示： y=ax y=g(x) 又y=ax与g(x)都过原点，且原点处o(x)的切线 .1 斜率为9(0)=立， (13分) 则结合图象知，当0<a<号时，y=ax与g(x)=1 千在(-∞，0)和(0，十∞)上各有一个交点， 2 所以a的取值范围为(o,号). (15分) 13.解：(1)当a=1时，f(x)=1+l2,x∈(0，+∞)， 则f(x)=-h, 由(x)=0,解得x=1. (2分) 所以当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增： ·32 参考答案及解析 当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减， 所以∫(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区 间为(1，十∞). (5分) (2(1)由1+ln工=1，得1+lnx=a,a≠0， ax x 设g(x)=1十nx x 由(1)得g(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间 (1,十∞)内单调递减， 又（日）=0,81)=1，当>1时，8()≥0 且当x→十o时，g(x)→0： 当x→0时，g(x)→-0， (9分) 所以当0<a<1时，方程1十ln工=a有两个不同 x 的根， 即方程出=1有两个不同的根。 故a的取值范围是(0,1). (11分) (i)不妨设x<x2, 则0<<1<，且ln西+1=ln十1 TI 设h(x)=g(x)-g(） =1+lnx-x(1-lnx),x∈(0，+o∞)， 则(x)=h+n=h…≥0， T? 所以h(x)在区间(0，十∞)内单调递增， 又h(1)=0, 所以()=g()-8(分)0， 即g)<s()】 (15分) 又g(x2)=g(x), 所以g()<g(): (17分) 又x>1, ,二>1，g(x)在区间(1，十∞)内单调 递减， 所以>子即五 又x1卡x2, 所以x十x>2x1x2>2,得证. (20分) 高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 判断角所在象限 / 易 0.75 三角函数的定义，倍 2 选择题 角的余弦公式的 易 0.72 应用 3 选择题 正、余弦的诱导公式 中 0.65 利用和差角公式判 4 选择题 5 中 0.58 断三角形的形状 与和差角公式有关 5 选择题 中 0.55 的逻辑推理题 同角三角函数的关 6 选择题 系、倍角正弦公式的 中 0.30 综合应用 7 选择题 6 知角求值问题 多 0.75 sina士cosa与 选择题 6 中 0.40 sin acos a的关系 9 填空题 5 半角公式的应用 易 0.72 和差角公式、商数关 10 填空题 5 / / 中 0.45 系的综合应用 11 解答题 13 弦切互化问题 中 0.60 12 解答题 15 知值求角 中 0.50 13 三角函数的综合 解答题 20 / 中 0.30 运算 ·33· ·数学· 答案及解析 一、选择题 1.C【解析】由已知得cos0<0,sin0<0,故0在第三 象限.故选C. 2.D【解析】由三角函数定义，sina= a于万，所以 22 cos2a=1-2sina=1-。行=号，解得a=5或a =-√5，由a为锐角知a>0,故a=√5.故选D. 3.A【解析】sn(凭+a）=-sin(g+a) -sm[(e-号)+受]=-cos(a-号）=子，故 选A. 4,A【解析】由sinA十sin(B-C)=sin2C,得 sin Bcos C+cos Bsin C+sin Bcos C-cos Bsin C= 2 sin Ccos C,所以sin Bcos C=sin Ccos C,所以 cosC(sinC-sinB)=0,所以cosC=0或sinC= sinB,因为0<B<,0<C<元，所以C=受或B=C, 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.故 选A. 5.B【解析】对于①，任意的a∈[0,2π]，当B=牙时， cosa十cosB=cosa,sin(a十B)=sin(a+5）- cosa,满足cosa十cosB=sin(a十3)，故①正确；对于 ②，当a=牙时sina十sinB=-1十sinB.cos(a十B) =cos(经+P)=sin,则不存在Bc[0,2x],使得等 式sina十sinB=cos(a十B)成立，故②不正确.故 选B. 6.D【解析】设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R, 连接OA,OB,OC,如图所示.易知“水滴”的“竖直高 度”为OA十R,“水平宽度”为2R,由题意知OA十R= 2R 号，解得OA=号R,因为AB与圆弧相切于点B,所 OB LAB.在R△ABO中，sinBAO-器-R =是，又∠BA0∈(O,受），所以c0s∠BA0 ·34 参考答案及解析 -sm∠BA0=专，由对称性知，∠BA0= ∠CAO,则∠BAC=2∠BAO,所以sin∠BAC= 2sin∠BAOos∠BA0=2X号×号-器故选D. 二、选择题 7.ABC【解析】对于A,tan15°+2sin60°=tan(45°- 1 30)十√/3= 3十5=2-5+5=2，故A正确： 1+ 3 对于B,2cos80-2sin80 、V3=sin80°-3cos80 2sin80°cos80° 2sin(80°-60°)=2sin20° sin160° sin(180°—20°)=2，故B正确：对 于C,(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+ tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+ tan(18°+27°)(1-tan18°tan27°)=2，故C正确； 对于D,4sin18°sin54°=4sin(90°-72°)sin(90°- 36)=4c0s72°cos36°=4cos72c0s36sin36°= sin 36 2cos72°sin72°_sin144°_sin(180°-36)_sin36 sin 36 sin 36 sin 36 sin 36 =1,故D错误.故选ABC. &AC【解析】因为s如。一cose=了·所以(m。 c0sa)=号，即sina-2 in0sa十cosa=寸，即1 -2 2sin=寸，则sin2a=2 2sin0sa=号，放A 正确；又a∈(0，π)，sina>0,所以cosa>0,则a∈ (0,受)，所以sin。+os。= Vsna-cawa)+4snsa=√（号）厂+2xg 高三一轮复习A = sin a+cosa7 3,故B错误：联立 3’ 解得 1 sin a-cos a=3, sina=1+ 6 ,osa=T-旦，故C正确： 6 (。)号+sn=区D错误， 6 故选AC 三、填空题 9.5 5 【解析】由乏<Q<,可知平<号<乏，则 1-(-〉 sin号>0，故sin受= /1-cos a 2 5 5 10.号 【解析】设cos(a一g)=t,则 cos(a+B)=cos acos B-sin asin B-6 cos(a-B)=cos acos B++sin asin B=t, sin asin=2(e-名)， 两式相除得tana·tanB osac0sg=(什号)： -解得号则=号 1 t6 四、解答题 1,解：()由题得1ama=tan[(a+平）-平] tan(a+平）-l (4分) 1+an(e+平) (2)2sin at2cos a_2tan a+23 3sin a-2cos a 3tan a-2 2 (8分) 1 (3)2sinasin acos a sin'a十cosa -2sina sin acos a tan'a+1 5 2tan'a-tan a 61 (13分) 12.解：(1)由题意可知a∈(0，)8E(罗，π)，cosa ·3 ·数学· 所以sina=√个-cos'a=25 5 cosB=-√/1-sin2B= 7√2 10 (4分) (2)sin (aB)-sin acos B+cos asin B--1310 50 (7分) (3)由(1)得sin(a一B)=sin acos-cos asin=- 3/10 10, (8分) cos (a-B)=cos acos B+sin asin B=- 10 10 (10分) 所以sin(2a-B)=sin[a十(a-B)] =sin acos(a-B)+cos asin(a-B) -25×(-)+唱×(3)-9 5 10 2 (12分) 2, 得<a<受， 又受<K, 则-受<2a-K受， 所以2a-9=-平 (15分) (sin a+sin B=b 13.解：(1)由 cosa十cosg=a sin'a+2sin asin B+sinB=b2 得 cosa+2cos acos B+cosB=a 两式作和得2+2 cos acos B-十2 sin asin B-=a2+b2, (4分) ∴coacos计sinsin=a+f-1, 2 即cos(a-)=a+ 2 一1. (5分) (2)由(1)知，当6=1a=0时，0s(a-)=号-1= 2 (6分) ,sina+sinβ =n(4+m(生9学) =sn生os2+cos生sn+sin. 2 2 2 2 ·数学· 参考答案及解析 as-os生n 当a=0时，由a2十b≠0可得b≠0， =2sins2, oo0 2 2 则cos(a十3)=-1； (13分) cosa十cos3 当b=0时，由a2十b≠0可得a≠0， =os(生24)+o(生9) sin十e=0, 2 2 2 2 则cos(a+)=1-2sina十e_=1. (14分) 2 2 当a≠0且b≠0时，tan十里=b 2 a 2 (9分) cosa中里-sina+e 2 2 ∴.cos(a十B)= cosa时+sin'里 2 2s2-a=0 1-tan ate 1- 6 2 a _a2-62 (17分) ∴c0s,≠0，c0s里=0， 1+tan aB a2+62 2 2 1+6 .co(a+)=2cos1-1, (10分) 验证可知，当a=0或6=0时，6os(a十)=2 a2+6 ∴os(a+8)cos(e9)=(-1)X(-专）= 成立， (18分) (11分) 综上所述，cos(a十8)=a二b a2+b2 (20分) 2sin生9os-=b 2 (3)由(2)知 2cosos里=a 2 2 ·36·