(6)导数的概念及其几何意义、导数的运算-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (六)导数的概念及其几何意义、导数的运算 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.函数f(x)=2x2-sinx在[0，π]上的平均变化率为 A.1 B.2 C.π D.2π 2.已知f(x)是定义在R上的可导函数，若im2千2=，则(2)马 2h B.一4 1 A.-1 C.1 D 3.简谐运动是最基本也最简单的机械振动，其在声学、电子学、光学等领域有着重要的应用.经典 力学的观点认为，当物体进行简谐运动时，其所受的合力与位移成正比.运用经典力学的理论进 一步推演可知，简谐运动的位移x是关于时间t的正弦函数，若某质点做简谐运动，其位移 x(m)关于时间(s)的关系式为x=2c0s(得1+），则该质点的初速度大小为 A.m/s C.晋m/s D.m/s 4.已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则 A.f(3)<f(2)<f(3)-f(2) B.f'(2)<f(3)-f(2)<f(3) C.f(2)<f'(3)<f(3)-f(2) D.f(3)-f(2)<f(2)<f(3) 01234x 5.已知A是函数f(x)=xe十3图象上的一点，点B在直线l:x一y一3=0上，则AB的最小 值是 A.72e-2 B.3 2e C.22 D.3√2 6.已知函数f(x)=e+(x一a)2-1,若f(x)有零点，则a的取值范围为 A.(-∞，2] B.(-∞，4] C.(-oo,ln(2√2-2)+√2-1] D.(0,ln(2√2-2)+2-1] 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论正确的是 A.若y=2026x,则y'=2026rln2026 B.若三则y=一金 C.若y=G,则y'=1 D.若y=ln(3x-1),则y=3z 3 2√x 8.已知函数f(x)与g(x)及其导函数f'(x)与g'(x)的定义域均为R,f(x)是偶函数，g(x)的图象 关于点(1,0)对称，则 A.g(3)=-g(-1) B.f(x)是奇函数 C.g'(x)是偶函数 D.f[g'(2-a)]=f[g'(a)] 班级 姓名 分数 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知函数f(x)=x2十2f(2)x-2lnx,则f(2)= 10.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存 时，f)=f0)士f0)x士2030++（0+…中表示rD n! 的2阶导数，即为'(x)的导数，f")(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，即为f"-1)(x) (n≥3)的导数.n!表示n的阶乘，即n!=1×2×3×…×n.该公式也称为麦克劳林公式.根据 该公式估算sin1的值为 ·(精确到小数点后两位) 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：)与时间t(单位：s)满足关系式 l(t)=2t2+3t. (1)求1关于t的导数，并解释它的实际意义； (2)当t=5s时，求运动员的滑雪速度； (3)当运动员的滑雪路程为44时，求此时的滑雪速度， 三一轮复习40分钟周测卷六 数学第2页（共4页） ® 12.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系Ozy中，动点M到x轴的距离等于到点(0，)的距离，记M的轨迹为曲 线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点P(一1，yo)为曲线C上的一点，曲线C在点P的切线交直线y=一1于点Q,过P作 直线QP的垂线交C于点N,求△PQN的面积， 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟者老师研究了函数y=ax十当b>0时 的图象特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自 研究了函数y=ax十么当ab<0时的图象特点与基本性质，发现这类函数在y轴两边“同升同 降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二 了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：f(x)=pe十qx一m和g(x)= √x十n一m2.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： (1)当q=1,m=0时，经过点Q(一1,0)作曲线y=f(x)的切线，切点为P.求证：不论p怎样变 化，点P总在一个“双升双降函数”的图象上； (2)当力=1,9=0，m>0时，若存在斜率为1的直线与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，求的 最小值 -轮复习40分钟周测卷六 数学第4页（共4页） B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 平均变化率 易 0.82 2 选择题 5 导数的极限定义 易 0.75 3 选择题 5 导数与瞬时速度 易 0.72 利用导数的几何意 4 选择题 5 中 0.60 义比较大小 利用导数的几何意 5 选择题 5 中 0.40 义求最值 利用导数的几何意 6 选择题 5 难 0.25 义研究零点问题 7 选择题 导数的运算 易 0.75 利用导数研究抽象 选择题 6 难 函数 0.28 利用导数求解析式 填空题 易 0.82 中的参数 利用泰勒公式估算 10 填空题 5 中 0.35 近似值 导数实际意义的 11 解答题 13 易 0.72 应用 导数与抛物线的 12 解答题 15 中 0.45 综合 13 解答题 20 导数的新定义问题 难 0.28 考答案及解析 一、选择题 故选C. 1.D【解标】平均变化率为f(π)-f(0) π一0 3.B【解析】由x=2c0s(告+否)，可得x=一号· =2元-0-(02-0)=2元.故选D. π-0 sin(晋+号)，易得该质点的速度为o()=t 2.C【解析】由导数的定义，f(2) =limf2+h)-f2)=21imf(2+h)-f2)=1. 号s如（晋1+经），u0)=-,所以该质点的初 6 h 2h ·23· ·数学· 参考答案及解析 速度大小为πm/s.故选B. 6 广-()=()y=号r生=2左故C正确：对 4.B【解析】根据导数的儿何意义可得f(2)为曲线 3 在x=2处切线的斜率，子(3)为曲线在x=3处切线 于D,y=3x,故D正确.故选ACD, 的斜率，过点(2，f(2)),(3,f(3))的直线的斜率 8.ABD【解析】对于A,g(x)的图象关于点(1,0)对 为k=f(3)二f(2=f(3)-f(2),则由函数图象 称，故g(2-x)=-g(x),令x=-1,得g(3)= 3-2 一g(一1)，A正确；对于B,∫(x)是偶函数，故 可知f(2)<f(3)-f(2)<f(3).故选B. f(-x)=f(x),两边求导得-f(-x)=f(x), 5.D【解析】由题得f'(x)=(1十x)e,设f(x)= 又函数f(x)与导函数f'(x)的定义域均为R,故 xe十3在点A(x0,xeo十3)处的切线与l:x一y-3 f'(x)为奇函数，B正确；对于C,g(2-x)= =0平行，则(1十xo)e0=1,令t(x)=(1十x)e- -g(x)两边求导得-g'(2-x)=一g'(x),即 1,显然t(0)=0,则t′(x)=(2十x)e,当x<-2 g(2-x)=g'(x),故g'(x)的图象关于直线x=1 时，t(x)<0,当x>-2时，无(x)>0,故t(x)= 对称，无法得到g'(x)为偶函数，C错误；对于D,由 (1十x)e一1在（-∞，-2)上单调递减，在 C选项知，g'(2-a)=g'(a),故f[g(2-a)]= (一2，十∞)上单调递增，当x<一2时，t(x)<0恒 f[g'(a)],D正确.故选ABD. 成立，易知t(x)=(1十x)e-1只有1个零点，即 三、填空题 0,所以x0=0,故A点坐标为(0,3)，|AB|的最小值 9.-3【解析】因为f(x)=x2十2f(2)x-21lnx,则 为点A(0,3)到直线l:x一y-3=0的距离，即 -3-3=3反.故选D. f(x)=2+2f(2)-名，令x=2,可得/(2)=4 w/1+1 +2f'(2)-1,解得f(2)=-3. 6.C【解析】令f(x)=0,得e=-(x-a)2十1，当a l0.0.84【解析】令f(x)=sinx,则f(x)=cosx, ≤0时，y=e与y=-(x一a)2+1显然有公共点，即 f"(z)=-sin x,f3)(x)=-cos x,f)(x)= f(x)有零点，当a>0时，临界条件为曲线h(x)= sinx,故f(0)=0,f(0)=1,'(0)=0,3)(0)= -(x-a)2十1与g(x)=e有一个公共点，如图，设 两曲线相切于点P, 一l,…,由麦克劳林公式得，sinx=x一 +局 x +11 ,十…，所以sm1=1一3，干5，一7元十…≈0.84， g(x)=ex 四、解答题 11.解：(1)由已知得(t)=4t+3, 它的实际意义是运动员滑雪时在t时刻的瞬时速 P 度. (3分) (2)因为'(t)=4t+3, 所以1'(5)=4×5+3=23， h(x)-(x-a)2+1 所以当t=5s时，运动员的滑雪速度为23m/s. (8分) (3)由题意得2十3t=44, 切点的横坐标为x,h'(x)= 2(x-a),g(x)=e, 解得1=4或=一号（舍去）。 (10分) 则利用导数的儿何意义可知 2(xo-a)=e"o -(x-a)2十1=e0 因为(t)=4t+3, 1 所以1(4)=4×4十3=19， 即 e20 由 e 所以当运动员的滑雪路程为44m时，此时的滑雪速 4 十1=e'0,可解得eo= 度为19m/s. (13分) 4 十1=e0, 12.解：(1)设M(x,y), 2E-2,所以a=x+2ew=h(2W2-2)+2-1, 由题意可得1川=√父+(-)厂， (3分) 所以a的取值范围为(-oo,ln(2√2-2)十√2-1].故 选C. 化简得y=+子， 二、选择题 (6分) 7.ACD【解析】易知A正确：对于B,y=（层} 所以动点M的轨迹方程为y=文十 (2)由(1)可知y=2x, (x)'=-z 2x= 2厅故B错误：对于C, 1 当x=-1时，可得y=号y=-2。 ·24· 高三一轮复习B ·数学· 即切点坐标为P(-1,号)，切线斜率为一2，(8分) 代入Q(-1,0),得-=(pe0十1)(-1-x), 又因为yo=pe0十xo, 所以直线QP方程为y一是 =-2(x十1)， 于是可得=么士， (6分) 即y=-2x- 3 (10分) 即点P在“双升双降函数y=一士的图象上。 令y=-1,可得x= 1 (7分) (2)当p=1,q=0时，f(x)=e一m, 即Q(g,-1), 则(x)=e,g(x)=。 1 (9分) 2√x+n 由题意可知直线PN的斜率kw=, (12分) 设曲线y=f(x)在点A(x1,e1一m)处的切线斜 则直线PN的方程为y一是-名（十1）. 率为1， 则e1=1,所以x1=0, 即y=1 则A(0,1-m), 设曲线y=g(x)在点B(x,√十n-m)处的切 =+子 1 线斜率为1， 联立 =x+ 则、1一=1， (13分) 2√/2十n 1 x=-1 3 x2 所以=-，B(-n,号-m) 解得 5或 所以直线AB的斜率三m-1十m 1 1 即N(受号)： (14分) T-n 3 (16分) 所以△PQN的面积为|PQ|·|PN 所以n=m一m十4' 由于m>0, =号×V-1-)广+（层+1） 所以” -1 ×V-1-2)+(-2)-翠 (15分) 13.解：(1)当g=1,m=0时，f(x)=e十x, ≥2Vm磊-1=疗-1，当且仅当m=号时取 2 则f(x)=pe十1， (2分) 等号， 设P(x0,y), (20分) 则切线方程为y-y=(peo十1)(x一xo), 所以”的最小值为5-1. ·25·