(7)导数的应用(单调性、极值、最值)-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (七)导数的应用（单调性、极值、最值） (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知函数y=f(x),x∈R的导数是y=f'(x).对于如下两个命题：①“函数y=f(x)在R上是严 格增函数”是f(x)≥0的充分不必要条件；②“函数y=f(x)在R上是严格增函数”是f'(x)>0 的必要不充分条件.下列判断正确的为 A.①与②均为真命题 B.①与②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 2.已知函数f(x)=2x3-ax2+7的单调递减区间是(0,2)，则a= A.6 B.3 C.2 D.0 3.已知函数f(x)=lnx十a(a∈R)的最小值为1，则a= B.e c D.1 4.若函数fx)=2-n+1在其定义镀内的一个子集(2a一1,0十2)内存在极值，则实数a的 取值范围为 A[2) B(合》 c(-2,》 [哈] 5.已知函数fx)=,则f()(g)-)的大小关系为 .-<f-3<f2 B(-<f)<-3) c.f2)(f) Df-)f-）)<f2》 6.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数 运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数， 称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数f(x)=logx(a>0,且a≠ 1)的反函数为f-1(x)=a(a>0,且a≠1).已知函数g(x)=e,F(x)=x2十kg1(x),若对任意 >>0,有F()二F()>2026恒成立，则实数的取值范围为 x2一x1 A.(4×506.52,+∞) B.(2×506.52,+∞) C.[4×506.52,+o∞) D.[2×506.52,+∞) 数学第1页（共4页）》 衡水金卷·先享题·高三 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，f'(x)的图象如图，则 y=f(x) A.f(x)在(-∞，1)上单调递减 B.f(x)在x=1处取得极小值 C.f(-1)=0 D.f(x)在x=2处取得极小值 8.已知函数f(x)=2x3-ax,则 A.Va∈R,f(x)为奇函数 B.若f(x)在R上单调递增，则a≤0 C.门a∈R,使得f(x)恰有一个极值点 D.]a∈R,使得f(x)恰好有2个零点 班级 姓名」 分数」 题号 1 2 5 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.设函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,f(-x)=|f(x),当x>0时，f(x)>0,写 出一个满足上述条件的有序实数对(a,b)= 10.2025年春节期间，某小店的某款春联日销售量y(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)满足的 函数关系式为y”写十3(x一8)，其中x∈(3,8)，m为常数.当销售价格为5元/套时，每日 可售出30套. (1)实数m= (2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格x= 元/套时，日销售该商品所获得的利润最大.（精确到0.1）（本题第一空2分，第二空 3分) 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 巴知函数f)=牛在点(1,1)处的切线与直线十4一2026=0亚直 (1)求a的值； (2)求f(x)的单调区间和极值； (3)求f(x)在区间(-1,5)上的最值. -轮复习40分钟周测卷七 数学第2页（共4页） 囚 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 设函数fx)=ar-a-lhx,g(a)=号，其巾a∈R,e为自然对数的底数。 已知函数f(x)=e一a.x,g(x)=ln(x十2)-a,其中e为自然对数的底数，a∈R. (1)若f(x)在R上没有最值，求a的取值范围； (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：f'(x)>g(x)； (2)证明：当x>1时，g(x)>0; (3)若f(x)>g(x)在区间(1，十∞)内恒成立，求a的取值范围. (3)证明：h2+血》'+恤}++h)<号aeN). 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷七 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 函数单调性与充要 1 选择题 易 0.82 性的综合 2 由函数的单调区间 选择题 易 0.75 求参 由函数的最值求参 3 选择题 中 0.65 数的值 由函数存在极值 4 选择题 5 中 0.55 求参 5 选择题 5 利用导数比较大小 中 0.50 与导数有关的新定 6 选择题 5 V 难 0.25 义及双变量问题 由导函数的图象研 7 选择题 6 易 0.75 究函数的性质 利用导数研究三次 8 选择题 6 中 0.40 函数的性质 与导数有关的举 9 填空题 5 易 0.72 例题 利用导数解决利润 10 填空题 5 中 0.35 最大问题 求函数的单调区间， 11 解答题 13 极值，最值 易 0.72 讨论函数的单调性， 12 解答题 15 证明不等式，不等式 L 中 0.35 恒成立问题 与导数有关的证明 13 解答题 20 难 0.28 问题 季考答案及解析 一、选择题 =1,有f'(x)=0,符合f(x)≥0，但是不符合y= 1.A【解析】因为函数y=f(x)在R上是严格增函数 f(x)在R上是严格增函数，故命题①的必要性不满 所以子(x)≥0，所以命题①的充分性满足：取f(x) 足，所以①为真命题.因为函数y=f(x)在R上是严 ·25· ·数学· 参考答案及解析 格增函数，所以∫(x)≥0，所以命题②的充分性不 2026等价于F(x2)-2026x2>F(x1)-2026x1,即 满足；由f(x)>0可得函数y=f(x)在R上是严格 +kln :-2 026x2>xi+kIn -2 026x1,h(x) 增函数，故命题②的必要性满足，所以②为真命题.故 =x2十klnx-2026x,于是对任意x2>x1>0,h(x2) 选A. >h(x1)恒成立，即函数h(x)在(0，+∞)上单调递 2.A【解析】由f(x)=2x3-ax2十7，可得f(x)= 6x2一2ax,由于f(x)的单调递减区间是(0,2)，故x 增，则yx∈(0，十eo),h(x)=2x+是-2026≥0，即 =0和x=2是f'(x)=6x2-2ax=0的两个根，故 k≥-2x2十2026x恒成立，则k≥(-2x2十 24-4a=0,解得a=6,经检验，当a=6时满足题意. 2026x)mx,又-2x2+2026x=-2(x-506.5)2+2 故选A ×506.5≤2×506.5，当且仅当x=506.5时取等 3.D【解析】由题得f(x)的定义域为(0，十oo),f(x) 号，则k≥2×506.52，所以实数k的取值范围为[2× =吕-，当0时，fx>0在0+) 506.5,十∞).故选D. 二、选择题 内恒成立，所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，此 7.ACD【解析】显然C正确；由已知，x<1时，f(x) 时f(x)无最小值：当a>0时，由f(x)>0,得x>a, ≤0，因此f(x)在（一∞，1）上单调递减，A正确； 由f(x)<0,得0<x<a,所以函数f(x)在(0，a)上 f(1)≠0，且x=1两侧的导数都是负数，所以f(1) 单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，故当x=a时， 不是极值，B错误；由∫(2)=0，x<2时，f'(x)≤0 f(x)取最小值，即f(x)in=f(a)=lna十1-1，解 f(x)单调递减，x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增， 得a=1.故选D. 所以f(2)是极小值，D正确.故选ACD. 4.A【解析】f(x)的定义域为(0，十∞)，因为函数 8.AB【解析】对于A,f(x)的定义域为R,f(-x) f)=2-号nx+1,所以了()=2红-立 2(-x)3-a(-x)=-2x3十ax=-f(x),所以Ha∈ R,f(x)为奇函数，A正确；对于B,若f(x)在R上单 2x+1)②x1D,则当0<x<2时，f(x)<0, 2x 调递增，则f(x)=6.x2-a≥0恒成立，即a≤6x2恒 成立，故a≤0，B正确：对于C,若f(x)恰有一个极值 f(x)单调递减：当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递 点，则f(x)=6x2-a=0有一个解，可得a=0,此时 增，所以x=号是fx)的极值点，因为f(x)在(2a f(x)=6x≥0恒成立，f(x)单调递增，f(x)无极 值点，矛盾，故不存在a∈R,使得f(x)恰有一个极值 2a-1≥0 点，C错误；对于D,f(x)=0即x(2x2-a)=0,当a 1 2a-1<立，解得号 ≤0时，f(x)恰有1个零点0；当a>0时，f(x)恰有3 1,a十2)内存在极值，所以 1 a+2>2 个零点，即0，士√受，故无论a为何值，f(x)都不可 子，所以实数a的取值范周是[分，子).故选A 能恰有2个零点，D错误，故选AB. 三、填空题 5.B【解析】由题得f(x)是偶函数，f(x)在 9.(2,0)(答案不唯一，b取0，a取大于1的实数即可) (0,是)上单调递增，令g(x)=严，x>e,则g(x 【解析】由f(-x)=|f(x)|,得a1-1= alxb1,即a1+bl=alxb1,则|x十b=|x-b川， =1-ln工<0，函数g(x)在(c,十∞)上单调递减， 所以b=0.当x>0时，f(x)>0,则f(x)在 (0,十∞)上为增函数，当x∈(0，十∞)时，f(x) 故ge)>g(3)>g4)>g(5).即>n3>1n 4 a,则a>1,可取a=2,可得满足条件的一个函数为 >15>0,而=12，所以()>f(2》 f(x)=2,此时有序实数对(a,b)为(2,0). 10.64.7 【解析】设f(x)=严3十3(x-8)x∈ >f(),所以f(-)<5() (3,8),依题意f(5)=3十3X(5-8)=30,解 f(-)故选B 得m=6,则f(x)53十3(x二8，xE(3,8) 6.D【解析】依题意，g1(x)=nx,则F(x)=x2十 klnx,当x>>0时，不等式F(）-F() 设商店日销售该商品所获得的利润为g(x),则由 x2一x1 题可得g(x)=f(x)(x-3)=6十3(x-8)2· ·26· 高三一轮复习A ·数学· (x-3)=3x3-57x2+336x-570,x∈(3,8).则 当a>0时， g'(x)=9x2-114x十336=3(x-8)(3x-14),当 3<r<号时g(a)>0,当号<<8时，g(x)< 由fx)=0,得x=√-士爱 0所以g(x)在(3，号)上单调递增，在（告，8）上 当e(o,要)时f)0: 单调递减，所以当x= 号时，g()取最大值，故当箱 当(+∞)时，f)>0, 售价格x=1兰≈4,7时，日销售该商品所获得的利 了)在(0，密）上单湖递减，在 则 润最大 (绥，+)上单调通指， 四、解答题 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递减； 11.解：(1)因为f(x)=十 g1, 所以f(x)=2红cl（十a)e=2z--e 当a>0时，f(a)在(，会)上单润递波，在 (ex-)9 er-1 (4分) 则f(1)=1-a, (密，+)上单调通增。 (2分) 因为函数f(x)=士在点(1，f1)处的切线 (2)要证g(x)>0(x>1), e-1 即证上-。>0， x er 与直线x十4y-2026=0垂直， 故1-a×(-子)=-1， 即证> 解得a=一3. (4分) 即证>， (6分) (2)由(1)得f(x)=3 令h(x)=E f(x)=2x-x2+3 -(x-3)(x+1) e-I e (5分) 则(x)=x1」 令(x)<0,得x>3或x<-1, 则h'(x)>0, 令f(x)>0,得-1<x<3, (7分) .h(x)在(1，十∞)上单调递增， 列表如下： 则h(x)>h(1)=e, 2 0,-1) -1 (-1,3) 3 (3,十∞ 即当x>1时，h(x)>e, .当x>1时，g(x)>0得证. (9分) (x) 0 0 (3)由(2)知当x>1时，g(x)>0, f(x) 极小值 极大值 当a≤0，x>1时，f(x)=a(x2-1)-lnx<0, 故∫(x)的单调递减区间为 (一∞，一1)和 故当f(x)>g(x)在区间(1，十o∞)内恒成立时， (3,十∞)，单调递增区间为（一1,3）， (9分) 必有a>0, (11分) 化：)的极大值为f(8)=合，极小值为(-1 当宁时六>1 -2e2. (10分) 由1有f(左)<f1)=0<g), (3)由(2)知，f(x)在区间(-1,3)上单调递增，在 (3,5)上单调递减， ∴.此时f(x)>g(x)在区间(1，十∞)内不恒成 立； (12分) 所以)的最大值为f③)=冬，无最小值。 当a≥2时，令p(x)=f(x）-g)x>1D, (13分) 12.解：(1)由f(x)=ax2-a-lnx, 则)=2ar-士+-e 得f(x)=2ar-1-2ar-1(x>0), x 由（2)得当x>1时，号>e, 当a≤0时，f(x)<0在(0，十∞)上恒成立， 则f(x)在(0，十∞)上单调递减； (2分) 则1>e, ·27· ·数学· 参考答案及解析 g)>x-是+是-=> .xo=-ln(xo十2)， :x∈(-1,0)， 2-2x+1>0, 千2十=1+十2红=1+ h()=1 x6十2 x0十2 因此9(x)在区间(1，十∞)上单调递增， >0, 又(1)=0， ∴.e-ln(x十2)>0，原不等式得证， (12分) .当x>1时，9(x)=f(x)-g(x)>0, (3)由(2)知，e>ln(x+2), 即f(x)>g(x)恒成立， 综上a的取值范周为[子十) 令x=二t十 >-2, t (15分) 解得t-1或t>0, 13.解：(1)由题得f(x)=e-a, (1分) 若f(x)在R上没有最值，则f(x)=0无实数解， 则e=>n(中+2)=h史， 即a=e无实数解， (2分) e>(m安 (15分) 而e>0, 所以a≤0， 由此可知，当t=1时，e>ln2, 即a的取值范围为（一∞，0]. (4分) 当=2时e>(如2)广， (2)要证'(x)>g(x), 即证e-ln(x+2)>0. (5分) 当=3时，e>(n专)， 设h(x)=e-ln(x+2),x>-2, … 则h'(x)=e一x+2 1 当=n时e>(n”)护， 易知h'(x)是定义域上的增函数， 累加得e+e+e+…+e+1>ln2+(n多) 又A(0)=1->0.(-1)=6-1<0, 则h'(x)=C一 +2=0在(-1,0)上有一个 1 +(n专)广++(1m）, 根xo, 又e十el十e十…+e+ 1-() 即0=十2 1 (8分) 1-日 当x∈(-2，x6)时，h'(x)<0, 当x∈(x,十o∞)时，h'(x)>0, =e-' 此时h(x)在(-2，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上 ∴n2+(m多)广+（专）'+…+(m)广 单调递增， e e-l' (20分) h(x)的最小值为h(x)=e-ln(x。十2)，(10分) e0= 1 x0十21 ·28·