小练17 函数与导数综合应用(二)——函数零点、极值点等综合问题-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

参考答案及解析 令g(x)= - ,x>0, x 1 e'(x-1)+In x-5 则g'(x)= 令F(x)=e(x-1)十lnx-5, 则P(x)=xe+>0, 所以F(x)在(0，十∞)上单调递增， (10分) 因为F1)=-日<0，F(2)=d+h2-号>0， 根据零点存在定理，3x。∈(1,2)，使得F(x。)=0, 1 即eo(x,-1)+lnw-方=0， 即n%=方-eo十eo, 当x∈(0，x0)时，F(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单 调递减： 当x∈(x0,十∞)时，F(x)>0,即g'(x)>0, g(x)单调递增， e"o -In xo5 所以g(x)mim=g(xo)= =e'0 故b≤ew- -x0∈(1,2)， (14分) T 又y=c-上在(0，+∞)上单调递增， 所以ew-1>e-1>1, 所以b≤1. 所以整数b的最大值为1. (17分) 6.解：(1)由F(x)=e-x2十tx-1, 可得F'(x)=e-2x十t, 因为F(0)=0,F(1)=e十t-2, 所以F(x)=F1)-F(0)=e十t-2, 1-0 即eo-2xw=e-2,xo∈(0,1)， (2分) 令h(x)=e-2x-e十2，x∈(0,1)， 则h'(x)=e-2,x∈(0,1)， 当0<x<ln2时，h'(x)<0,h(x)单调递减： 当n2<x<1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 因为h(ln2)=2-2ln2-e+2=4-2ln2-e<0, h(0)=3-e>0,h(1)=0, 所以h(x)在(0，ln2)上存在唯一一个零点，在 (1n2,1)上无零点， 即e0一2xo=e一2在(0,1)上存在唯一解， 所以F(x)在(0,1)上的中值点有且只有1个.(5分) (2)不妨设x1>x2,则f(x)>f(x2), 故有f(x1)-f(x2)>|g()-g(x2)|, 即f(x2)-f(x)<g(x1)一g(x2)<f(x)一 f(x2), ·32 数学 整理得fx)+g(x)>f()+g(x), f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2), 因为上式对任意的x1,x2∈(0,1)都成立， 所以函数F(x)=∫(x)一g(x)和G(x)=f(x)十 g(x)在(0,1)上均单调递增， 所以Hx∈(0,1)，都有F(x)=e-2x十t≥0， G(x)=e十2x-t≥0， (8分) 令m(x)=e-2x十t,x∈(0,1)， 则m(x)=e一2， 当x∈(0，ln2)时，m'(x)<0,则m(x)即F'(x)单 调递减； 当x∈(1n2,1)时，m'(x)>0,则m(x)即F'(x)单 调递增， 所以F'(x)≥F'(ln2)=2-2ln2+t≥0， 解得t≥2ln2-2. (10分) 令M(x)=er十2x-t, 则M(x)=e+2>0, 故M(x)即G'(x)在(0,1)上单调递增， 所以G'(x)>G(0)=1-t≥0， 解得t1. 综上所述，实数t的取值范围是[2ln2-2,1].(12分) (3)由题可得F(lnt)=t-(lnt)2+tlnt-l, F(0)=0,F(x)=e-2x十t, 由拉格朗日中值定理，可知在(0，lnt)(t>1)或 (lnt,0)(0<t1)上总存在xo, 使得F'()=Fn)-F(O), Int-0 即w-2-6品-h (15分) 由(2)知n(x)=e-2x+t≥m(ln2)=2-21n2 +t, 所以e0-2xo≥2-2ln2, 所以品-h≥2-2h2. (17分) 小练17函数与导数综合应用（二） 函数零点、极值点等综合问题 1.解：1当1<<2时，由f)<2,可得a<是+ (1分) 令)=是+是，l<x<2 则g(x)在(1,2)上单调递减， 所以g)>g2)=号+日-是， 则ac是， 即a的取值范围为(-○，] (4分) (2)当a=0时，f(x)=-3x2+1, 此时函数∫(x)有两个零点，不符合题意：(5分) 当a≠0时， 数学 因为f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2), 令(x)=0,解得x1=0,=2, a 若a>0, 当>2或x<0时，(x)>0,(x)单调递增： a 当0<r<名时，f)<0,f)单调递减。 又因为f(0)=1>0,f(-1)=-a-2<0, 所以存在x∈（一1,0），使得f(x。)=0,不符合题 意： (10分) 若a<0, 当x<号或x>0时，f(x)<0,x)单调递减： 当2<x<0时，f(x)>0,f(x)单调递增， 又f(0)=1>0,f(1)=a-2<0, 所以要使f(x)存在唯一的零点x0,且x>0, 只需f(名)=a…8-3·亭+1>0， 解得a<-2, 所以a的取值范围是(-∞，一2). (15分) 2.解：1)由f(x)=0,得-号=x1nx 由f(x)有两个零点，可知方程-名=x1nx有两个 不同的正实数根. (1分) 令g(x)=xlnx, 则g'(x)=x(1十2lnx), 令g'(x)>0,解得x>1 e 令g'(x)<0,解得0<x< 所以g(x)在(0，宏)上单调递减：在（定+一）上 单调递增， 所以g)=()=一 (4分) 又因为当x趋向于十∞时，g(x)趋向于十∞，当x 趋向于0时，g(x)趋向于0， 所以要使函数∫(x)有两个零点， 只需一品<号<0， 解得0<a<上 e 所以实数a的取值范围为(0，。). (6分) 1 (2)由(1)知0<x1< x2, 令t=华，则t>1. 由xlnx1=xlnz, 得iln x1=tx(lnt十lnx1), ·33 参考答案及解析 整理得n=一， tIn t (8分) 要证x1十x2>1,只需证x1(t十1)>1， 只需证lnx十ln(t+1)>0, 即运+h(t+)>0: 即证(1-)ln(t+1)十lnt0. (10分) h()=(1-)In(+1)+2In t,t>1, 则h'(t)=-2tln(t+1)十2lnt+1 =-2n(1+2)+1=-2[n(1+2)-2], (12分) 令s=号e(01) 设m()=ln1+)-含， 则)十子-20， 所以m(s)在(0,1)上单调递增， 所以1(s)>m(0)=0, 所以h'(t)<0在(1，十∞)上恒成立， 所以h(t)在(1，十∞)上单调递减， 所以h(t)<h(1)=0, 所以x1十x2>1. (15分) a.解：1)因为fx)=ar-(2a+1)r+2 x∈(0，+∞)， 所以f(x)=ax-(2a+1)+2=ax-1)(x-2」 x (2分) 当a>0时， 若a=则f(x≥0， 所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增， 此时函数f(x)无极值点，不符合题意： (3分) 若0a<分 当0<x<2或x>1时，f()>0: 当2K1<日时，fx)<0. 所以函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，】)上单 调递减，在（日，十∞）上单调递增， 此时函数f(x)有两个极值点，不符合题意；(5分) 若> 当0<x<或x>2时，f()>0: a 当日<x<2时，fx)<0, 所以函数f()在(0，)上单调递增，在（日2）上 参考答案及解析 单调递减，在(2，十∞)上单调递增， 此时函数f(x)有两个极值点，不符合题意；(7分) 当a≤0时， 令(x)>0,解得0<x<2; 令f(x)<0,解得x>2, 所以函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，十∞)上单 调递减， 此时x=2是函数f(x)的极大值点，且是唯一极 值点， 所以a的取值范围是（一∞，0]. (9分) (2)由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在(0,2)上单调递 增，在(2，十∞)上单调递减， 由题可知f(x1)=f(x2),x1≠x2, 不妨令0<x1<2<x2, 要证x<4,只需证<4，且4<2， 即证f(x)<f(年)，即证f(x)-f()<0, (11分) 令g(x)=fx)-f(),x>2, 则g()=fx)-f(生)·(-) =（ax-1)(x-2)+ (-1(生-2 … （ar-1D(x-2)+2(x-2(x-4a) =(ax-1+2,》 T? =x-2.(x-2)[a(x2+2x十4)-x] _(x-2)[a(x+1)2+3a-<0, 所以函数g(x)在(2，十∞)上单调递减， (14分) 所以当x>2时，g(x)<g(2)=0, 因为x2>2, 所以g(x2)<0, 所以)-f(告)<0. 即)<f() 又f(x1)=f(x2), 所以)<f(年)： 所以x1x2<4得证. (17分) 4.解：(1)由题可得f(x)=3z2十2bx十c, f(x)在(-∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减 函数， 当x=0时，f(x)取到极大值， ∴f(0)=0,解得c=0. (4分) ·34 数学 (2).f(2)=0,.d=-4(b+2), ∴.f(x)=3x2十2bx=0的两个根分别为1=0， 2b 3· (6分) :f(x)在（一o∞，0）上是增函数，在[0,2]上是减函 数，且f(x)=0有三个根a,B,2, w=-学>2长-3 ∴.f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b>2. (10分) (3):a,B,2是方程f(x)=0的三个根， 可设f(x)=(x-a)(x-B)(x-2), .f(x)=x3-(2+a十B)x2+(2a+23+aB)x -2a3, ÷日88 a十B=-b-2, og--td. (13分) ∴.|a-B|=V(a十B)'-4a3=√(-b-2)2+2d= √(b+2)2-8(6+2)=√(b-2)2-16. .b<-3,|a->3, ∴.|a一β的取值范围是(3，十∞) (17分) 5.解：(1)由f(x)=x3十ax2+bx十c, 得f(x)=3x2+2a.x十b. 因为f(0)=c,f(0)=b, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y=bx十c, 则b=-4,c=1, 所以f(x)=3x2+2ax-4, 又f(-2)=8-4a=0,则a=2. (4分) 经检验，f(x)在x=一2时取得极大值，满足题意， 故a=2,b=-4,c=1. (5分) (2)当a=b=4时，f(x)=x3+4x2+4x十c, 所以f(x)=3x2十8x十4. 令f(x)=3x2+8x十4=0， 解得x=-2或x=一号 f(x)与'(x)在R上的变化情况如下： 2 -2 21 2 3 x -2) (-2,- 3 f'(x) 0 0 3 f(x) C 27 且x趋向于-∞时，f(x)趋向于一∞；x趋向于十∞ 时，f(x)趋向于十o. (7分) 所以要使函数f(x)=x3十4x2十4x十c有三个不同 数学 的零点， 「c>0, 则需 器a.g得0器 27 所以c的取值范围为(o,器)。 (9分) (3)当△=4a2-12b<0时，f(x)=3x2+2ax+b> 0,f(x)单调递增， 此时函数f(x)不可能有三个不同的零点；(11分) 当△=4a2-12b=0时，f(x)=3x2+2ax+b≥0， f(x)单调递增， 此时函数f(x)不可能有三个不同的零点；(13分) 综上所述，若函数f(x)有三个不同的零点，则必有 △=4(a2-3b)>0. 故a一3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件. (15分) 当a=b=4,c=0时，a2-3b>0, 此时f(x)=x3十4x2十4x=x(x十2)2只有两个不 同的零点， 所以a2-3b>0不是函数f(x)有三个不同零点的充 分条件 所以a-3b>0是函数f(x)有三个不同零点的必要 不充分条件： (17分) 6,解：(1)由题意可知，对于任意x∈(0，十∞)，都有 ax'<x(1-In x), 所以a<(-lnx) (1分) x min 令F(x)=1-ln工，x∈(0，十oo), x 则F(x)=nx2 x2 当x∈(0，e)时，F(x)<0,F(x)单调递减； 当x∈(e,十o∞)时，F'(x)>0,F(x)单调递增， 所以F(x)mim=F(e2)=- 1 e 所以实数a的取值范围为(-©，-亡)： (5分) (2)由题可知函数y=g(x)一有两个零点x1,x2, 所以1(1-lnx1)=2(1-lnx2),且x1,x2>0, 1+ln 11+ln 1 整理得一 x2 1 (7分) xL Ty 设函数h(x)=1+ln(x>0), 则h'(x)=二nx x2, 当0<x<1时，h(x)>0,h(x)单调递增： 当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 令a- 1,b=1,0<a<1<b. 则h(a)=h(b). (10分) 设函数G(x)=(2-x)(1十lnx)-x[1+ln(2 ·3 参考答案及解析 x)],其中0x1, 则G(x)=-1h[x2-x)]+(2+2若x-2 >0, 所以G(x)在区间(0,1)上单调递增， 所以G(x)G(1)=0, 所以(2-x)(1十lnx)<x[1+ln(2-x)], 所以l+lnx<1+ln(2-x x 2-x 即h(a)=1+lna<1+l2-a=h(2-a),14分) 2-a 又h(a)=h(b),且0<a<1<b, 所以h(b)<h(2-a),且2-a>1, 又h(x)在(1，十∞)上单调递减， 所以b>2-a, 所以之2 即1+1>2 (17分) 小练18任意角和孤度制、三角函数的概念 1.C【解析】令-2025°+k·180°<0°，解得k< 11子，因为k∈.所以当k=1时，集合A=aa= -2025°+k·180°，k∈Z}中的最大负角a为-2025 +11×180°=-45°，故选C. 2.B【解析】终边落在阴影部分的角为十km≤a≤ (k十1)π，k∈Z,即终边落在阴影部分（包括边界）的角 。的集合是{a管+如<a<(k+1)kEZ小故 选B. 3.B【解析】在△ABC中，因为A为钝角，所以B为锐 角，所以cosA<0,tanB>0,所以点P(cosA,tanB) 在第二象限.故选B. 4.D【解析】因为a是锐角，所以a∈(0，受)，所以2a ∈(0，π)，所以cos2a∈(-1,1)，tan2a∈(-o∞，0) U(0,十oo),sin2a∈(0,1].故选D. 5.D【解析】因为a是第一象限角，所以2kπ<a<2kπ 十受，k∈7，所以km<受<m十平，k∈Z,当k=0 时，0<号<牙，属于第一象限角：当k=1时，π<号 <平，属于第三象限角综上，号是第一或第三象限 角.故选D 6.A【解析】设扇形的圆心角为a,半径为r,弧长为， 期十=6所以6-2由2g2>0.可得 0<<3,所以扇形的面积为S==(3-r)r≤ (3十)=号，当且仅当3-=，即r=号时取拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练17函数与导数综合应用（二）一 函数零点、极值点等综合问题 (考试时间：30分钟满分：98分) 1.(15分，教材改编题)已知函数f(x)=ax3 -3x2+1. 3.(17分)已知函数f(x)=2ar2-(2a十1)z (1)若f(x)<2在区间(1,2)上恒成立，求a +2lnx(a∈R). 的取值范围； (1)若f(x)有唯一极值点，求a的取值 (2)若f(x)存在唯一的零点x,且x0>0, 范围； 求a的取值范围. (2)当a≤0时，若f(x1)=f(x2),x1丰x2, 求证：x1x2<4. 2.(15分)已知函数f(x)=2xnx+有两个 零点x1,x2(0<x1<x2). (1)求实数a的取值范围； (2)证明：x1十x2>1. 33 4.(17分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d6.(17分)已知函数f(x)=ax2,g(x)= 在（一∞，0）上是增函数，在[0,2]上是减函 x(1-In x). 数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为 (1)若对于任意x∈(0，+∞)，都有f(x)< a,3,2. g(x),求实数a的取值范围； (1)求c的值； (2)若函数y=g(x)-m有两个零点x1, (2)求证：f(1)>2: ,求证：1+1>2 (3)求a一的取值范围. 12 5.(17分，教材改编题)设函数f(x)=x3+ ax2+bx+c. (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切 线方程为y=-4x+1,且f(x)在x=-2 时有极值，求a,b,c的值； (2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同的 零点，求c的取值范围； (3)求证：a2-3b>0是f(x)有三个不同零 点的必要不充分条件. —34