(6)导数的概念及其几何意义、导数的运算-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (六)导数的概念及其几何意义、导数的运算 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.函数f(x)=2x2-sinx在[0，π]上的平均变化率为 A.1 B.2 C. D.2π 2.已知)是定义在R上的可导函数若n2+f2=名，则了(2) 2h B.一 1 A.-1 C.1 D 3.简谐运动是最基本也最简单的机械振动，其在声学、电子学、光学等领域有着重要的应用.经典 力学的观点认为，当物体进行简谐运动时，其所受的合力与位移成正比.运用经典力学的理论进 一步推演可知，简谐运动的位移x是关于时间t的正弦函数，若某质点做简谐运动，其位移 x(m)关于时间(s)的关系式为x=2c0s(得1+），则该质点的初速度大小为 1 A.6 m/s B.3 6 m/s C.若m/s D.号m/s 4.已知函数y=f(x)的图象如图所示，f(x)是函数f(x)的导函数，则 A.2f(2)<f(4)-f(2)<2f(4) B.2f'(4)<2f'(2)<f(4)-f(2) C.2f'(2)<2f(4)<f(4)-f(2) D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f(2) 5.已知A是函数f(x)=xe+3图象上的一点，点B在直线l:x一y一3=0上，则AB的最小 值是 A.7V2e-2 B.3 2e C.22 D.3√2 6.已知函数f(x)=e十(x一a)2-1,若f(x)有零点，则a的取值范围为 A.(-0∞，2] B.(-∞，4] C.(-o,ln(2√2-2)+√2-1] D.(0,ln(22-2)+√2-1] 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论正确的是 A.若y=2026x,则y'=2026rln2026 B.皆兰·则y二 C.若y=G,则y=1 D.若y=ln(3x-1),则y=3z— 3 2 8.设奇函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称，则 A.f'(x)=f(-x) B.f(1+x)+f(-1-x)=2 C.4是f(x)的一个周期 D.f'(9)=1 班级 姓名 分数 题号 1 2 5 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知函数f(x)=x2+2f'(2)x-2lnx,则f(2) 10.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存 在时，f)=f0)+f0x+f02+02,千+0+其中fe表示fe n! 的2阶导数，即为f(x)的导数，fm)(x)(n≥>3)表示f(x)的n阶导数，即为f"-1)(x) (n≥3)的导数.n!表示n的阶乘，即n!=1×2×3×…×n.该公式也称为麦克劳林公式.根据 该公式估算sin1的值为 .(精确到小数点后两位) 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程1（单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式 l(t)=2t2+3t. (1)求1关于t的导数，并解释它的实际意义； (2)当t=5s时，求运动员的滑雪速度； (3)当运动员的滑雪路程为44m时，求此时的滑雪速度. 三一轮复习40分钟周测卷六 数学第2页（共4页） A 12.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系Oy中，动点M到x轴的距离等于到点(0，)的距离，记M的轨迹为曲 线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点P(一1，yo)为曲线C上的一点，曲线C在点P的切线交直线y=一1于点Q,过P作 直线QP的垂线交C于点N,求△PQN的面积. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 若斜率为k的两条平行直线l1,l2,曲线C:y=f(x)满足以下两条性质：(I)l1,2分别与曲线C 至少有两个切点；（Ⅱ）曲线C上的所有点都在11，l2之间或两条直线上，则称直线11,12为曲线 C的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k),已知 曲线C:f(x)=mx+nsin x. (1)判断m=0,n=1时，曲线C是否存在“双夹线”？并说明理由； (2)若m=1,n=-1,则4：y=x十1和l2:y=x-1是否是函数y=f(x)的一对“双夹线”？若 是，求此时d(k)的值；若不是，请说明理由； (3)对于任意的正实数m,n,函数y=f(x)是否都存在“双夹线”？若是，求d(k)的所有取值构 成的集合；若不是，请说明理由. 轮复习40分钟周测卷六 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（六） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) 0 ② ③④ 6 ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 平均变化率 易 0.82 2 选择题 导数的极限定义 易 0.75 3 选择题 5 导数与瞬时速度 易 0.72 利用导数的儿何意 4 选择题 中 0.60 义比较大小 利用导数的儿何意 选择题 0.40 义求最值 书 利用导数的几何意 6 选择题 0.25 义研究零点问题 选择题 6 导数的运算 易 0.75 利用导数研究抽象 8 选择题 6 中 0.40 函数 利用导数求解析式 9 填空题 5 易 0.82 中的参数 利用泰勒公式估算 10 填空题 0.35 近似值 分 导数实际意义的 11 解答题 易 0.72 应用 导数与抛物线的 12 解答题 15 中 0.45 综合 13 解答题 20 导数的新定义问题 L 难 0.28 叁考答案及解析 一、选择题 =limf2+h）-f2)=2limf2+h)-f22=1. h 2h 1.D【解析】平均变化率为f(π)-f(0) π-0 故选C. =2x-0-(02-0)=2元，故选D. π0 3.B【解析】由x=20(行+否），可得=-子· 2.C【解析】由导数的定义，f(2) sin(否+号)，易得该质点的速度为u(0)=1 ·21· ·数学· 参考答案及解析 -号s如（告计罗）0(0）=一，所以该质点的初 1 6 a=xo+2e 即 由-学+1=c,可解得e0 速度大小为m故进B 0十1=0 A 4.A【解析】因为f(x)在[2,4]上为单调递增函数， 2√2-2，所以a=x十 2e6=ln(2√2-2)+2-1， 由导数的意义可知，f(2),f(4)为曲线在x=2,4 所以a的取值范围为(-o,ln(2√2-2)十√2-1].故 处切线的斜率，所以f(2)<∫(4)，又由斜率的定 选C 义可知k=f(4)二f(2)=f(4),f(2)表示制线 4-2 2 二、选择题 的斜率，所以f(2)<4),2)<f(4),即 7.ACD【解析】易知A正确；对于B,y= 2f(2)<f(4)-f(2)<2f(4).故选A. 1 5.D【解析】由题得f'(x)=(1十x)e',设f(x) xe十3在点A(xo,xoe0十3)处的切线与l:x-y-3 =0平行，则(1十xo)eo=1,令t(x)=(1十x)e y=()'=()y=子x专-，故C正确：对 2√ 1,显然t(0)=0,则t'(x)=(2十x)e,当x<-2 于D,y=3故D正确放选ACD 时，t(x)<0,当x>-2时，t(x)>0,故t(x)= 8.ACD【解析】f(x)是R上的奇函数，因此f(-x)= (1十x)e一1在(-∞，-2)上单调递减，在 -f(x),求导得-f(-x)=-f(x),即f'(-x)= (一2，十∞)上单调递增，当x<-2时，t(x)<0恒 (x),A正确：由'(x)的图象关于点(1,1)成中心 成立，易知t(x)=(1十x)e-1只有1个零点，即 对称，得f(1十x)十f(1-x)=2,B错误；因为 0,所以x=0,故A点坐标为(0,3)，|AB|的最小值 f(1+x)十f(1-x)=2,所以f'(-x)十f(2十x) 为点A(0,3)到直线l:x一y一3=0的距离，即 =2,又f(x)=f(-x),所以f(x)十f(2十x)=2, 」-3-3=32.故选D, /1+1 于是有f(x十2)+f(x+4)=2,所以f(x十4)= 6.C【解析】令f(x)=0,得e=-(x-a)2+1,当a f(x),所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期，C ≤0时，y=e与y=-(x-a)2十1显然有公共点，即 正确；在f(1十x)十f(1一x)=2中，令x=0,得 f(x)有零点，当a>0时，临界条件为曲线h(x)= f(1)十f(1)=2,即f(1)=1,又f'(x)是周期为4 -(x一a)2十1与g(x)=e有一个公共点，如图，设 的周期函数，所以∫(9)=f(1)=1,D正确.故 两曲线相切于点P, 选ACD. 三、填空题 9.-3【解析】因为f(x)=x2十2f(2)x-2lnx,则 g(x)=e f(2)=2x+2r2)-兰，令x=2,可得f2)=4 +2f(2)-1,解得f(2)=-3. 10.0.84【解析】令f(x)=sinx,则f(x)=cosx, f"(x)=-sin x,f)(x)=-cos x,f)(x)= h)=-(x-a)2+1 sinx,故f(0)=0,f'(0)=1,f'(0)=0,f3(0)= 切点的横坐标为xo,h'(x)=-2(x一a),g'(x)=e, 一1，…，由麦克劳林公式得，sinx=正一斋十引 2(rw-a)=e'0 则利用导数的儿何意义可知 无+…，所以sin1=1-+六+…≈084， -(x-a)2+1=e0 ·22· 高三一轮复习A ·数学· 四、解答题 I- 11.解：(1)由已知得1(t)=4t十3， 2 解得 它的实际意义是运动员滑雪时在t时刻的瞬时速 y-4 y=2 度 (3分) (2)因为l'(t)=4t十3， 即N(号，)， (14分) 所以1(5)=4×5十3=23， 所以△PQN的面积为2|PQ·|PN| 所以当t=5s时，运动员的滑雪速度为23m/s. (8分) =2×√(-1-8)+(+1) (3)由题意得2t十3t=44, 解得1=4或1=艺（会去）， (10分) ×√-1-》+（只-）-2盟 (15分) 因为1(t)=4t十3， l3.解：(1)曲线C:f(x)=sinx, 所以1(4)=4×4十3=19， 由正弦函数的图象可知：l1:y=-1和2：y=1为曲 所以当运动员的滑雪路程为44m时，此时的滑雪速 线C的一对“双夹线”， 度为19m/s. (13分) 故曲线C存在“双夹线” (3分) 12.解：(1)设M(x,y), (2)曲线C:f(x)=x-sinx, 由题意可得y-√+(), 则f(x)=1-cosx, (3分) 令f(x)=1,即cosx=0, 化简得y=x2+4 1 当x=一受时y=-乏十1， 所以动点M的轨迹方程为y=x2十 (5分) 故点(-乏，-受+1)是曲线C与4的一个切点： (2)由(1)可知y=2x, 当x=-1时，可得y=号y=一2， 当=受时y-受+1， 即切点坐标为P(-1,),切线斜率为-2，(1分) 故点（经，要+1）是曲线C与，的一个切点， ∴.直线与曲线C至少存在两个切点，(6分) 所以直线QP方程为y一是 =-2(x+1), 同理可得当x=受时，y=受一1， 即y=-2x- (9分) 故点（受，受-1）是曲线C与，的一个切点： 令y=-1,可得x=名， 当x=受时y=罗-1， 即Q(g,-1), 故点（受，受-1）是曲线C与：的-个切点， 由题意可知直线PN的斜率km=子， (11分) 直线2与曲线C至少存在两个切点， 则直线PN的方程为y一是=宁(x+1) 令g(x)=x十1，h(x)=x-1, 17 g(x)-f(x)=x+1-x+sinx=1+sinx≥0， 即y=2x+4 则g(x)≥f(x): 1 y= 又f(x)-h(x)=x-sinx-x+1=1-sinx≥0， 4 联立 则f(x)≥h(x), y=x2十4 山和2是函数y=∫(x)的一对“双夹线”， ·23· ·数学· 参考答案及解析 d(k)= 1-(-1)1 =2. (10分) 令h（x)=mx十n,g1(x)=mx-n, √1+（-1)9 h(x)-f(x)=mx+n-mx-nsin x (3)f(x)=mx+nsin x, =n(1-sinx)≥0， 则f(x)=m十cosx, 则h(x)≥f(x), “f(受)=m,当x=受时，（受）=+， 又f(x)-g1(x)=x十nsin x-m.x+n =n(1+sinx)≥0， 则过点（受，"受+n)的切线方程为y=m十 则f(x)≥g1(x), 当x=受时（受）=m,(受）=四+n, ∴f(x)在两条直线之间， (18分) 故对于任意的正实数，n,函数y=f(x)都存在 则过点（受，四+n)的切线方程也为y=mx十， “双夹线”， .直线y=mx十n与f(x)至少存在两个切点； d(k)=12mL>0. m+1 (14分) 则d(k)的所有取值构成的集合为(0，十∞). 同理可得，直线y=mx一n与f(x)相切于点 (20分) (-受，-受-n)和(，3-n). .直线y=x-n与f(x)至少存在两个切点 (15分) ·24·