专题13 空间几何体与体积表面积计算5大题型（专题专练）（上海专用） 2026年高考数学二轮复习讲练测

专题13 空间几何体与体积表面积计算 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01简单几何体的概念和性质 题型02表面积 题型03体积 题型04求角与距离 题型05综合运用 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1.中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列， 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽， 抗弯截面系数 (1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明； (2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理． 2．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（    ）    ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ） A． B． C． D． 4．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺. A． B． C． D． 01简单几何体的概念和性质 1.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同． 你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线． ． 2．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 3．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，ABCD是四面体.已知，，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（   ） A．①，②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②都错误 02表面积 5．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 6．某圆锥高为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为 7．已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为 . 8．已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 9．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ． 03体积 10．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 11．如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为 . 12．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱与底面成角为，则该棱锥体积为 . 13．已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为 . 14．已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ． 04求角与距离 15．如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 16．顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 ．（精确到） 17．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 18．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）      19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 . 05综合运用 20．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 21．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则 ． 22. ，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 23．如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 24．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为； ③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为． 以上所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 2．若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ． 4．如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有 条.    5．已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 6．圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为 ． 7．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 8．已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 9．设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的体积为 10．圆柱容器内部盛有高度为2的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为 ． 11．对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义： 0~10 10~25 25~50 50~100 ①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨 小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级 ．（只填入雨水等级所对应的序号） 12．正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是 ． 13．图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    14．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则 . 15．如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 .    16．如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（    ） A． B． C．2 D． 17．已知正四面体的棱长为6，设集合，点平面，则表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 18．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 19．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，． 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A比图B最多节省的彩绳长度为 ． 20．如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    21．如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 . 22．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设： 假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥； 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上； 假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计． 截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位） 23．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ． 24．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 . 25．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为 ． 26．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2． (1)求该圆锥侧面展开图的圆心角； (2)设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的大小． 27．如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点． (1)判断直线与的关系，并说明理由； (2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积． . 28．将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 29．设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”. (1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”； (2)求圆柱体的“球形比例系数”范围； (3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 空间几何体与体积表面积计算 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01简单几何体的概念和性质 题型02表面积 题型03体积 题型04求角与距离 题型05综合运用 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1.中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列， 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽， 抗弯截面系数 (1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明； (2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理． 【答案】(1)矩形截面的梁的截面形状最好. (2)答案见解析 【解析】（1）解：假设截面面积均为正常数， 可得，，， 所以， 又因为，所以，所以, 综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好. （2）解：由， 可得， 可得 极大值 所以，当时，取得最大值， 此时，当，于是， 因为的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践总总结的经验的实用价值， 考虑到所处的时代，从历史辩证的角度，其观点代表了我国古代在工程技术方面已经达到了较高的水平. 2．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（    ）    ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的，    即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确； 对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C， 由题意可得M为母线的中点，则,    故椭圆的长轴长为,②正确； 对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点P到底面距离相等，    则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为， 则设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程，得， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误； 对于④，如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线与底面圆的一个交点为H，    则，则, 设抛物线方程为，则， 即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误， 故正确的命题有2个， 故选：B 3．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体中，当顶点为时，三棱锥、、、 、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：C．    4．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球的表面积. 故选：C. 01简单几何体的概念和性质 1.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同． 你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线． ． 【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚 【解析】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小， 所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”； 假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”. 故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚. 2．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【解析】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 3．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则    确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下：    将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 4．如图，ABCD是四面体.已知，，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（   ） A．①，②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②都错误 【答案】A 【解析】在如图所示的平行六面体中， 设，，，，，，则由余弦定理有： ，，， ，，， 由得，， 将上面6个式子代入化简可得： ①， 类似地，由得，， 代入上面6个式子化简可得： ②， 得： 故，从而，即， 故①正确； 而由已知条件无法推出，则AC与BD不一定相等， 故②正确； 故选：A. 02表面积 5．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 6．某圆锥高为1，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为 【答案】 【解析】由母线与底面所成的角为，得该圆锥轴截面是等腰直角三角形，而该圆锥的高为1， 即轴截面是等腰直角三角形斜边上的高为1，因此底面圆半径，母线， 所以该圆锥的表面积为. 故答案为： 7．已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为 . 【答案】 【解析】由，斜边为,则, 由此可以得到底面的半径为， 故侧面积. 故答案为：. 8．已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为 . 【答案】 【解析】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 9．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ． 【答案】 【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，， 易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，，且点为边上的中点， 设内切圆的圆心为，由于， 故， 设内切圆半径为，则， 解得，其表面积为. 故答案为：. 03体积 10．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【解析】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 11．如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为 . 【答案】 【解析】由题意，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体是以为底面半径，为高的两个共底面圆锥， 所以旋转体的体积为. 故答案为： 12．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱与底面成角为，则该棱锥体积为 . 【答案】 【解析】设正三棱锥为，正三角形的中心为，则底面， 正三棱锥的底面是正三角形，边长为，， 侧棱与底面所成的角为， 侧棱与底面成角为，， 在中，，，， ， ， 故答案为：.    13．已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为 . 【答案】/ 【解析】过作于，则， 因为平面，所以平面， 在中，， 可得， 从而棱台的高， 所以四棱台的体积为： 故答案为：. 14．已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为 ． 【答案】 【解析】设正三角形的外接圆半径为. 根据正弦定理可得，，所以. 设球O的半径为，则，. 所以球O的体积为. 故答案为：. 04求角与距离 15．如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为 . 【答案】 【解析】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 16．顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 ．（精确到） 【答案】 【解析】 由圆锥底面半径为，，则， 又在圆锥的侧面展开图中，， 因此在中，， 故在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为线段的长， 故答案为：. 17．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当平面与四面体的一条棱的中点相交时， 不妨设平面过棱的中点，此时点到平面的距离相等， 且平面平面，如图（1）所示 此时到平面的距离可能与到平面的距离相同，此时有1不同的值； 不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时， 如图（2）所示，此时点到平面的距离相等，且到平面的距离相等， 且到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值； 不妨设平面过棱的中点，且过分别为的三等分点时， 如图（3）所示，此时点到平面的距离相等， 其中到平面的距离与到平面的距离不相等，此时有2不同的值； 不妨设平面过棱的中点，过的靠近的三等分点，过靠近点的三等分点，此时到平面的距离不同，到平面的距离不同， 且到平面的距离两两之间都可能不同，此时有3个不同的值； 又因为四个点均不在平面上，也不在平面的同侧， 所以不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面的同侧）， 所以的所有不同值的个数组成的集合为. 故选：B. 18．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    【答案】 【解析】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：.    19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接、、、， 因为点为棱的中点，所以，又且， 所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面，连接，， 则，， 因为底面为菱形，且，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以， 将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点， 则， 又， 在中， 即， 所以， 即线段、的长度和的最小值为. 故答案为： 05综合运用 20．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为3； 若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 故答案为： . 21．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则 ． 【答案】 【解析】如图所示，因为，且 则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得, 在直角中，可得，即. 故答案为：. 22. ，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 【答案】1 【解析】在三棱锥中，两两垂直，且， 则，解得 ，又， 因此， 当且仅当时取等号，由恒成立，得， 于是，解得，所以正实数的最小值为1. 故答案为：1 23．如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ） ①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当为中点时，， ， 平面，平面， 平面平面，平面，，同理，，平面, 所以平面，即平面，故①正确； 当与重合时，在平面上，在平面外，故②不正确； 如图，点是线段的中点，由对称性可知， 由勾股定理可知易知， 球心到距离为， 则被球截得的弦长为 故③正确； 当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是， 面积为，故④正确. 故选：D. 24．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为； ③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为． 以上所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①如图，由条件可知，，点是直径的两个端点， ，所以是钝角， ，当时，的面积最大，最大值是，故①错误； ②， ，当时，的最大值是， 所有三棱锥的最大值是，故②正确； ③设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径， 中，根据正弦定理可得， ，得， ，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误.    故选：B 1．已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 【答案】C 【解析】设底面边长为a，则正四棱锥的体积，解得. 故选：C 2．若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①由题意作图如下：    由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下：    由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下：    由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 3．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】 【解析】已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1， 因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形， 所以底面圆半径为1，所以母线长等于. 故答案为：. 4．如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有 条.    【答案】 【解析】    连接六个侧面的面对角线及， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而所以共面，不是异面直线， 又与相交，所以与也不是异面直线， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为, 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 故答案为： 5．已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ． 【答案】 【解析】由点C在以AB为直径的球面上，得， 所以. 故答案为： 6．圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为 ． 【答案】 【解析】球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径，即半径为， 所以球的表面积． 故答案为：. 7．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 【答案】/ 【解析】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为， 则由题意得，，则， 则. 故答案为： 8．已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 【答案】 【解析】平面截圆锥所得轴截面为边长2的正三角形，说明圆锥底面直径为2，母线长为2，故底面半径. 圆锥的侧面积为. 故答案为：. 9．设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的体积为 【答案】 【解析】由棱锥为正三棱锥，得，， 而⊥，⊥，由勾股定理得， 即圆锥的底面圆半径为，高为， 则该圆锥的体积为. 故答案为：. 10．圆柱容器内部盛有高度为2的水，若放入一个圆锥（圆锥的底面与圆柱的底面正好重合）后，水恰好淹没圆锥的顶部，则圆锥的高为 ． 【答案】3 【解析】设圆柱的底面半径为r，圆锥的高为，则有， 解得. 故答案为：3. 11．对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义： 0~10 10~25 25~50 50~100 ①小雨 ②中雨 ③大雨 ④暴雨 小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级 ．（只填入雨水等级所对应的序号） 【答案】中雨 【解析】设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得， 所以积水厚度为，所以. 所以一天的雨水属于中雨. 故答案为：中雨. 12．正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是 ． 【答案】3 【解析】画出正三棱锥的图形如图， 三角形的中心为，连接，球的球心在上，连接， 取的中点，连接，则，，， ，所以，，， 底面三角形的高为，底面三角形的边长为，，． 故答案为：3 13．图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【答案】41 【解析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 14．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则 . 【答案】 【解析】设斜三棱柱的高为，， 则，， ，则. 故答案为：. 15．如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 .    【答案】 【解析】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个， 所以面积为. 故答案为：.   . 16．如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 如上图正四棱锥，为底面中心，为球心，为球体与的切点， 又，故各侧面均为等边三角形， 若侧面三角形边长为，则，，， 显然△△，故，则. 故选：B. 17．已知正四面体的棱长为6，设集合，点平面，则表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作平面于点， 则， 因为，则， 则表示的区域为以为圆心，2为半径的圆及其内部， 面积为， 故选：C. 18．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（    ） ①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【解析】由题意知，故, 设外心为，则为BC的中点，设外心为，当P、O位于平面ABC同侧时，如图， 则平面，平面， 平面，平面， ，， ，平面，平面， 又因为，则平面，即，，，四点共面， 则平面， 连接，则为二面角的平面角， 二面角的大小为，， 而，，因为平面，平面， 故，而，则， 在中，， 则，故，即三点共线， 且是的中点； 则，故①是真命题； 又， 点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截的优弧， 同理，当P、O位于平面ABC异侧时，点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆被BC截的劣弧， 轨迹长度为，故②真命题． 故选：A． 19．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，． 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A比图B最多节省的彩绳长度为 ． 【答案】 【解析】对于图（A），沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为； 对于图（B），彩绳长度的最小值为， 因为，所以图A比图B最多节省的彩绳长度． 故答案为：. 20．如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ，点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为    【答案】 【解析】连接，依题意平面，而平面， 所以，，是的中点，则， 由于，所以， 则三角形是等边三角形，三角形是等腰直角三角形，    将三角形和三角形展开在同一个平面，如下图所示，    连接，交于，在三角形中， 由余弦定理得 ， 所以的周长最小值为. 故答案为： 21．如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 . 【答案】 【解析】在中，，则， 由斜边与扇形的弧相切，扇形半径， 阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥， 挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球， 所以所求体积为. 故答案为： 22．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设： 假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥； 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上； 假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计． 截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位） 【答案】120 【解析】由题意可知，圆锥的底面半径为，高为， 圆锥的底面半径为，高为， 因为， 所以，制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜. 故答案为：120. 23．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ． 【答案】 【解析】由题意知，为等腰三角形，且， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，所以旋转体的表面积． 故答案为：. 24．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 . 【答案】 【解析】易知四棱锥的底面积， 高为， 所以四棱锥的体积为， 长方体为， 因此该模型的体积为， 所以该模型所需原料的质量为. 故答案为： 25．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为 ． 【答案】/// 【解析】 如图，该多面体可以看做由一个棱长为的正方体截去8个如①三棱柱和8个如②四棱锥和12个如③三棱柱构成， ①为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为： ②为底面为以棱长为和1的矩形，高为的四棱锥其体积为： ③为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为： 所求多面体体积为： 故答案为：. 26．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2． (1)求该圆锥侧面展开图的圆心角； (2)设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由圆锥性质可知平面，易知高，底面半径，可得母线长， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角大小. （2）取的中点为，连接，，如下图所示： 因为为线段的中点，所以，因此（或其补角）就是直线与直线所成的角， 又，即，，且，平面，，即平面， 所以平面，即； 在直角中，易知，，，，因此 即直线与直线所成的角的大小为. 27．如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点． (1)判断直线与的关系，并说明理由； (2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积． 【答案】(1)相交；理由见解析 (2) 【解析】（1）如图1，连结. 因为分别是的中点，所以，且. 由正四棱柱的性质可知，，且， 所以，四边形是平行四边形， 所以，，且， 所以，且. 所以，四边形是梯形， 所以，直线与相交. （2） 如图2，连结，则即为直线与底面ABCD所成角，即， 则在中，有. 设，由题意知，则， 在中，有， 所以. 所以，四棱柱的全面积为. 28．将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 【答案】(1)选项见解析，①答案见解析；②答案见解析 (2) 【解析】（1）选择甲方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减， ∴当时，. 选择乙方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减 ∴当时，. 选择丙方案：①， ②该正四棱锥的高， ， 令，则， 当时，；当时，. 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 所以当时，. （2）甲乙丙中总面积一样，由于乙的方案是不需要盖，所以相应的侧面积多了， 因此凭直觉猜想乙的体积最大，可以猜想：. 29．设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”. (1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”； (2)求圆柱体的“球形比例系数”范围； (3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由. 【答案】(1)正方体“球形比例系数”，正四面体的“球形比例系数”. (2) (3)存在，该题答案不唯一，比如该几何体由圆柱和一个半球组合而成， 底面半径相同，圆柱的高约为半径的1.95倍. 【解析】（1）设球的半径为，正方体的棱长为，正四面体的棱长为， 则，正方体的系数为， 正四面体的表面积为， 如图，设为正三角形的中心，连接， 连接，设正四面体的棱长为，则， 故．则其体积为， 则正四面体的系数为 所以，正方体“球形比例系数”， 正四面体的“球形比例系数”. （2）设圆柱底面半径为，高为，则全面积为，体积为， 于是，设， 则，当时，；当时，； 即时，单调递减；时，单调递增. 即时，圆柱体的系数最小为， 所以，圆柱体的球形比例系数的值域为. （3）考虑圆柱和半球的组合体，底面重合，半径为，圆柱的高为， 于是组合体的全面积，体积 ， ，而，当时，， 注：上海试卷可以使用计算器. 故存在球形比例系数为的几何体，其由圆柱和一个半球组合而成， 底面半径相同，圆柱的高约为半径的1.95倍. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $