专题04 圆（期末复习讲义）九年级数学上学期人教版

该初中数学圆专题复习讲义通过核心考点表格系统梳理知识体系，将圆的认识、垂径定理等10个考点按“定义-性质-应用”逻辑分层，结合思维导图呈现概念关联，突出圆周角定理等重难点与勾股定理等知识的内在联系。 讲义亮点在于“考点-技巧-分层练”三维设计，如垂径定理题型强调“作弦心距构造直角三角形”，切线判定突出“连半径证垂直”的推理逻辑，培养几何直观与推理意识。典例与变式匹配基础通关、重难突破等分层练习，助力学生阶梯式提升，也为教师提供精准教学的资源支持。

专题04 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的认识及相关概念 探索圆的两种定义，确定圆的两大要素，理解并掌握弦、弧、等圆、等弧等概念，并能够从图形中进行识别。 较少单独考查，且难度一般相对较低，注意易错知识的区分即可应对考题。 垂径定理及应用 掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。 高频考查基本模型计算，核心方向是与勾股定理结合构建方程，解决“知二求三”问题。 弧、弦、圆心角 理解弧、弦、圆心角的概念和关系；掌握圆心角与弧、弦的关系公式。 考查核心是“等对等”关系的理解与应用，常作为证明角相等、弧相等、弦相等的关键桥梁。 圆周角、圆周角定理及应用 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明。 此定理是圆几何的“心脏”，高频考查定理本身的应用，核心方向是转化角的关系（特别是指向90°直角）以证明相似、垂直或进行综合计算。 圆内接四边形的性质 掌握并熟练应用其核心性质——对角互补与一个外角等于其内对角，以此解决角度计算与证明问题。 作为圆周角定理的高级推论，核心考查对角互补与外角等于内对角性质的应用，是解决圆中角度计算与证明问题的关键桥梁。 点和圆的位置关系 理解点与圆的位置关系并掌握其运用；理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用；了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及反证法的证明思想。 作为基础概念，直接考查频率不高，但其核心判据是解决与“确定圆心”、“确定半径范围”相关问题的理论基石。 切线的性质与判定 理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系；理解切线的判定定理与性质定理；会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题。 作为圆与直线关系的核心枢纽，必考且常以综合题形式出现，核心是“连半径，证垂直”（判定）和“见切线，连半径”（性质）的思维固化。 正多边形和圆 理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形；理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、 中心角、周长和面积；会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题。 直接考查频率中等，但其“中心-半径-边心距-中心角”的直角三角模型是核心考点，常与弧长、扇形面积及阴影面积计算结合。 弧长和扇形面积 理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积；通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题。 核心考查公式的直接与逆向应用，高频方向是与圆、三角形等图形结合求组合图形（尤其是阴影部分）的面积。 圆锥、圆柱的相关计算 掌握三大核心公式（侧面积、全面积、体积）及其内在联系，并熟练完成“立体图形”与“侧面展开图”之间的信息转化。 核心考查侧面展开图与立体图形的转化，以公式应用为基础，以实际问题和组合体计算为常见出题方向。 知识点01 圆的认识及相关概念 1．圆的定义 （1）描述性定义：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． （2）集合性定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．定点称为圆心，定长称为半径． 2．圆的特征： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 3．与圆有关的概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．如图，AB，AC是弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做直径．如图，AB是直径． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧． 其中大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图中的． （4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等． （6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 4．圆的对称性 （1）轴对称：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴（圆的对称轴有无数条）． 注意：圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线． （2）中心对称：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 知识点02 垂径定理及应用 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．垂径定理应用中常作的辅助线： （1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形； （2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形． 4．垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 知识点03 弧、弦、圆心角 1．圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．弧、弦、圆心角之间的关系 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 3．拓展 （1）圆心到弦的距离叫做弦心距．有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线作为辅助线． （2）在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中如果有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等． 知识点04 圆周角、圆周角定理及应用 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：同一条弧所对的圆周角有无数个，圆心角只有一个． 2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 知识点05 圆内接四边形的性质 1．概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 如图，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD 的外接圆． 注意： （1）所有的三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆； （2）四边形外接圆的圆心到这个四边形各个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径； （3）如果四边形各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点都在一个圆上（四点共圆）． 2．圆内接四边形的性质： （1）圆内接四边形的对角互补． （2）四个内角的和是360°； （3）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 知识点06 点和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r； ①点P在圆内⇔d＜r． 2.符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点07 切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径． （2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 3．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4．在应用切线的判定定理时注意： （1）切线必须满足两个条件： ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． （2）切线的判定定理实际上是从圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． 知识点08 正多边形和圆 1．把圆分成n（n≥3）等份． （1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且这两个圆是同心圆． 3．证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法： （1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可． （2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等． 技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形． 易错点：易把正多边形的内切圆的半径（即边心距）当作正多边形的半径． 4．正多边形的有关概念 （1）中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． （2）半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． （3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． （4）边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距． 5．正多边形的有关计算 （1）中心角：正n边形的每个中心角为． （2）内角：正n边形的每个内角的度数为（或）． （3）外角：正n边形的每个外角为． （4）正n边形的周长l=na（a为边长）． （5）面积：正n边形的面积S=nar=rl（a为边长，r为边心距，l为周长）． 6．正多边形的相关计算技巧： （1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形．有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形； （2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径 的倍． 知识点09 弧长和扇形面积 1.弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． 2.扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2． （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） 4.求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． 5.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点10 圆柱、圆锥的相关计算 1．圆锥侧面展开图： （1）=． （2）圆锥的体积：． 2．圆柱侧面展开图： =． 3．圆柱的体积： ． 题型一 圆的认识及相关概念 易｜错｜点｜拨 圆的对称轴是过直径的直线，而非直径。 【典例1】下列说法中正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦 【典例2】下列说法，其中正确的有（　　） ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧叫做等弧 B．半圆不是弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦 【变式2】下列说法： ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆． 正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 垂径定理及应用 解｜题｜技｜巧 解题思路：将圆中有关线段的问题转化到直角三角形中解决 解题方法：根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，连接半径，利用圆心到弦的垂线段、过弦端点的半径以及弦长的一半构造直角三角形，进而解决问题． 【典例1】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例3】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（　　）cm． A．10 B．14 C．26 D．52 【变式1】如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　） A．13m B．15m C．20 m D．26m 题型三 弧、弦、圆心角 解｜题｜技｜巧 正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系： 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 圆中证明弧、弦、圆心角相等或倍分关系的方法： 在圆中证明弧、弦、圆心角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论. 【典例1】如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（　　） A．56° B．60° C．62° D．28° 【变式1】如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【变式2】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．16 题型四 圆周角、圆周角定理及应用 解｜题｜技｜巧 （1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． （2）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化． （3）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则∠BAC的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° 【变式1】如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　） A．70° B．72° C．80° D．84° 【变式2】如图，在⊙O中，AB平分∠OBC，∠OAB＝26°，则∠AOC的度数为（　　） A．128° B．76° C．52° D．26° 题型五 圆内接四边形的性质 解｜题｜技｜巧 用性质前看前提，用推论时找对边角，牢记“互补”非“相等”。 【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝113°，则∠BAC的度数为（　　） A．13° B．23° C．26° D．30° 【典例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（　　） A．55° B．110° C．130° D．140° 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝80°，则∠D为（　　） A．40° B．80° C．100° D．160° 【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝66°，，连结AC，则∠CAD的度数为（　　） A．28° B．30° C．33° D．35° 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（　　） A．64° B．61° C．62° D．60° 题型六 点和圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 “比较d和r，三步要清晰：小于内，等于上，大于外；遇坐标，用公式；作判断，定圆心。”掌握这个数形结合的核心思想，就能避免绝大部分错误。 【典例1】⊙O的半径为6，同一个平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（　　） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．无法确定 【变式1】⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（　　） A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内 题型七 切线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 【典例1】⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知AB是半⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠A＝20°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 【典例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长． 【变式1】若圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式2】如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB．若∠P＝26°，则∠B的度数为（　　） A．64° B．52° C．42° D．32° 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，，过点C作CE⊥AD于点E． （1）求∠DAB的度数； （2）证明：直线CE是⊙O的切线． 题型八 正多边形和圆 解｜题｜技｜巧 “遇正多边形，先构直角形：中心、边心距、半边加半径。公式用二分之一周长乘以边距，概念分清心角与内角。”抓住“一个中心、一组直角三角形”的通用解法，即可化繁为简。 【典例1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　） A．36° B．60° C．65° D．72° 【典例2】如图，将正五边形ABCDE绕它的中心O顺时针旋转一定角度α（α＞0），可以使边BA与AE重合，则α的最小值为（　　） A．108° B．36° C．180° D．72° 【典例3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形ABCDEF的面积． 【变式1】正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（　　） A． B． C． D．6 【变式2】如图，正六边形ABCDEF的边长是2，点P是AD上的一动点，PB+PC的最小值是 　　 ． 【变式3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4． （1）求点O到AB的距离； （2）求正六边形ABCDEF的面积． 题型九 弧长和扇形面积 解｜题｜技｜巧 “公式分母要记清（弧长180，面积360），n是度数不带单位。阴影面积用割补，黄金公式是捷径。”抓住 “比例思想” 和 “割补转化” 两大核心，即可破解绝大多数题目。 【典例1】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（　　） A．π B．π C．π D．π 如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【典例3】如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　） A．π B．2π C． D．2π﹣2 【典例4】如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行． （1）求证：点D是的中点． （2）若AC＝OD＝6，求阴影部分（弓形AC）的面积． 【变式1】已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（　　） A． B．π C． D．π 【变式2】已知扇形的圆心角为120°，其半径为3，则该扇形的面积为　　 ． 【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板可按如图方式剪下一个边长为1的正方形，则阴影部分图形的面积之和为　　 ．（结果保留π） 【变式4】如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE． （1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π） （2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数． 题型十 圆锥、圆柱的相关计算 【典例1】在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm，求裁剪的面积． 【典例2】把一个圆柱侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是10厘米，那么圆柱的高是（　　）厘米． A．62.8 B．31.4 C．15.7 D．20 【变式1】一个圆锥的母线为4cm，底面圆的直径为2cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2 【变式2】如图，把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加了80cm2，已知圆柱的高是10cm，那么圆柱的底面积是 　　 cm2.（结果保留π） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，已知是圆的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 4．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 5．半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 6．已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 7．如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ． 8．北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（   ）． A．5 B． C．6 D． 3．如图，是的直径，C，D是上的点，过点C作的切线交的延长线于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 7．如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 8．如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 ． 4．已知，为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图，在中，点，位于直线异侧，．求的度数； 若的半径为，，求的长． 【逆向思考】 （2）如图，为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 5．如图，已知为的直径，F为上一点，点C是劣弧的中点，过点作于点，延长交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的认识及相关概念 探索圆的两种定义，确定圆的两大要素，理解并掌握弦、弧、等圆、等弧等概念，并能够从图形中进行识别。 较少单独考查，且难度一般相对较低，注意易错知识的区分即可应对考题。 垂径定理及应用 掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。 高频考查基本模型计算，核心方向是与勾股定理结合构建方程，解决“知二求三”问题。 弧、弦、圆心角 理解弧、弦、圆心角的概念和关系；掌握圆心角与弧、弦的关系公式。 考查核心是“等对等”关系的理解与应用，常作为证明角相等、弧相等、弦相等的关键桥梁。 圆周角、圆周角定理及应用 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明。 此定理是圆几何的“心脏”，高频考查定理本身的应用，核心方向是转化角的关系（特别是指向90°直角）以证明相似、垂直或进行综合计算。 圆内接四边形的性质 掌握并熟练应用其核心性质——对角互补与一个外角等于其内对角，以此解决角度计算与证明问题。 作为圆周角定理的高级推论，核心考查对角互补与外角等于内对角性质的应用，是解决圆中角度计算与证明问题的关键桥梁。 点和圆的位置关系 理解点与圆的位置关系并掌握其运用；理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用；了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及反证法的证明思想。 作为基础概念，直接考查频率不高，但其核心判据是解决与“确定圆心”、“确定半径范围”相关问题的理论基石。 切线的性质与判定 理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系；理解切线的判定定理与性质定理；会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题。 作为圆与直线关系的核心枢纽，必考且常以综合题形式出现，核心是“连半径，证垂直”（判定）和“见切线，连半径”（性质）的思维固化。 正多边形和圆 理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形；理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、 中心角、周长和面积；会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题。 直接考查频率中等，但其“中心-半径-边心距-中心角”的直角三角模型是核心考点，常与弧长、扇形面积及阴影面积计算结合。 弧长和扇形面积 理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积；通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题。 核心考查公式的直接与逆向应用，高频方向是与圆、三角形等图形结合求组合图形（尤其是阴影部分）的面积。 圆锥、圆柱的相关计算 掌握三大核心公式（侧面积、全面积、体积）及其内在联系，并熟练完成“立体图形”与“侧面展开图”之间的信息转化。 核心考查侧面展开图与立体图形的转化，以公式应用为基础，以实际问题和组合体计算为常见出题方向。 知识点01 圆的认识及相关概念 1．圆的定义 （1）描述性定义：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． （2）集合性定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．定点称为圆心，定长称为半径． 2．圆的特征： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 3．与圆有关的概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．如图，AB，AC是弦． （2）直径：经过圆心的弦叫做直径．如图，AB是直径． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧． 其中大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图中的． （4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等． （6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 4．圆的对称性 （1）轴对称：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴（圆的对称轴有无数条）． 注意：圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线． （2）中心对称：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 知识点02 垂径定理及应用 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．垂径定理应用中常作的辅助线： （1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形； （2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形． 4．垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 知识点03 弧、弦、圆心角 1．圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．弧、弦、圆心角之间的关系 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 3．拓展 （1）圆心到弦的距离叫做弦心距．有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线作为辅助线． （2）在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中如果有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等． 知识点04 圆周角、圆周角定理及应用 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：同一条弧所对的圆周角有无数个，圆心角只有一个． 2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 知识点05 圆内接四边形的性质 1．概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 如图，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD 的外接圆． 注意： （1）所有的三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆； （2）四边形外接圆的圆心到这个四边形各个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径； （3）如果四边形各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点都在一个圆上（四点共圆）． 2．圆内接四边形的性质： （1）圆内接四边形的对角互补． （2）四个内角的和是360°； （3）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 知识点06 点和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r； ①点P在圆内⇔d＜r． 2.符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点07 切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径． （2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 3．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4．在应用切线的判定定理时注意： （1）切线必须满足两个条件： ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． （2）切线的判定定理实际上是从圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． 知识点08 正多边形和圆 1．把圆分成n（n≥3）等份． （1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且这两个圆是同心圆． 3．证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法： （1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可． （2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等． 技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形． 易错点：易把正多边形的内切圆的半径（即边心距）当作正多边形的半径． 4．正多边形的有关概念 （1）中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． （2）半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． （3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． （4）边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距． 5．正多边形的有关计算 （1）中心角：正n边形的每个中心角为． （2）内角：正n边形的每个内角的度数为（或）． （3）外角：正n边形的每个外角为． （4）正n边形的周长l=na（a为边长）． （5）面积：正n边形的面积S=nar=rl（a为边长，r为边心距，l为周长）． 6．正多边形的相关计算技巧： （1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形．有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形； （2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径 的倍． 知识点09 弧长和扇形面积 1.弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． 2.扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2． （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） 4.求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． 5.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点10 圆柱、圆锥的相关计算 1．圆锥侧面展开图： （1）=． （2）圆锥的体积：． 2．圆柱侧面展开图： =． 3．圆柱的体积： ． 题型一 圆的认识及相关概念 易｜错｜点｜拨 圆的对称轴是过直径的直线，而非直径。 【典例1】下列说法中正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦 【答案】D 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【解答】解：A、错误．弦不一定是直径． B、错误．弧是圆上两点间的部分． C、错误．优弧大于半圆． D、正确．直径是圆中最长的弦． 故选：D． 【典例2】下列说法，其中正确的有（　　） ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆的有关概念进项分析即可． 【解答】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误； ②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确； ③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误； ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确． 故选：B． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧叫做等弧 B．半圆不是弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦 【答案】D 【分析】利用等弧的定义、直径的定义、弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意； B、半圆是弧，故错误，不符合题意； C、过圆心的弦是直径，故错误，不符合题意； D、直径是弦，正确，符合题意， 故选：D． 【变式2】下列说法： ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆． 正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意； ②弦不一定是直径，错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； ④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意， 正确的有3个， 故选：C． 题型二 垂径定理及应用 解｜题｜技｜巧 解题思路：将圆中有关线段的问题转化到直角三角形中解决 解题方法：根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，连接半径，利用圆心到弦的垂线段、过弦端点的半径以及弦长的一半构造直角三角形，进而解决问题． 【典例1】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得，在Rt△AOC中，由勾股定理即可得到答案． 【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8， ∴， 在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4， 由勾股定理可得：． 故选：C． 【典例2】如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AD＝BD＝8，∠ADO＝90°，再利用勾股定理计算出OD，然后计算OC﹣OD即可． 【解答】解：连接OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝8，∠ADO＝90°， 在Rt△ADO中，∵OA＝OC＝10，AD＝8， ∴OD6， ∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4． 故选：C． 【典例3】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（　　）cm． A．10 B．14 C．26 D．52 【分析】设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解方程可得半径，进而可得直径． 【解答】解：如图所示： 由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm， ∵AB＝48cm， ∴BDAB48＝24（cm）， 设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm， 在Rt△OBD中， r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26， 所以2r＝52， 故选：D． 【变式1】如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，根据垂径定理得到AM＝BM＝8，再根据勾股定理得到82+（16﹣r）2＝r2，解方程求出r＝10，然后计算CD﹣CM即可． 【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BMAB＝8， 在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10， ∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4． 故选：A． 【变式2】如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　） A．13m B．15m C．20 m D．26m 【答案】A 【分析】如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H． 根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H． 由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH＝10﹣2＝8，则AE＝EH，EF＝EH﹣HF． 由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣HF）2，解得AE＝13m． 故选：A． 题型三 弧、弦、圆心角 解｜题｜技｜巧 正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系： 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 圆中证明弧、弦、圆心角相等或倍分关系的方法： 在圆中证明弧、弦、圆心角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论. 【典例1】如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（　　） A．56° B．60° C．62° D．28° 【答案】A 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【解答】解：由圆周角定理可知：， ∵∠BAC+∠BOC＝84°， ∴， 解得∠BOC＝56°， 故选：A． 【变式1】如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【解答】解：由题意可得：∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．16 【分析】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OF． ∵DE⊥AB， ∴DE＝EF，， ∵点D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴AC＝DF＝12， ∴EFDF＝6，设OA＝OF＝x， 在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2， 解得x， ∴AB＝2x＝15， 故选：C． 题型四 圆周角、圆周角定理及应用 解｜题｜技｜巧 （1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． （2）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化． （3）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则∠BAC的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° 【答案】A 【分析】连接BC，根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝∠ADC＝75°， ∴∠BAC＝90°﹣75°＝15°， 故选：A． 【变式1】如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　） A．70° B．72° C．80° D．84° 【答案】C 【分析】直接利用圆周角定理求解． 【解答】解：∵∠AOB和∠C所对的弧都是， ∴∠AOB＝2∠C＝2×40°＝80°． 故选：C． 【变式2】如图，在⊙O中，AB平分∠OBC，∠OAB＝26°，则∠AOC的度数为（　　） A．128° B．76° C．52° D．26° 【分析】根据半径OA＝OB，得∠OBA＝∠OAB＝26°，再根据AB平分∠OBC，得∠ABC＝∠OBA＝26°，最后根据圆周角定理得∠AOC＝2∠ABC＝52°． 【解答】解：∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝26°， ∵AB平分∠OBC， ∴∠ABC＝∠OBA＝26°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝52°． 故选：C． 题型五 圆内接四边形的性质 解｜题｜技｜巧 用性质前看前提，用推论时找对边角，牢记“互补”非“相等”。 【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝113°，则∠BAC的度数为（　　） A．13° B．23° C．26° D．30° 【答案】B 【分析】由圆内接四边形的性质推出∠ADC+∠B＝180°，求出∠B＝67°，由圆周角定理得到∠ACB＝90°，由直角三角形的性质得到∠BAC＝90°﹣67°＝23°． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∵∠ADC＝113°， ∴∠B＝67°， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣67°＝23°． 故选：B． 【典例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（　　） A．55° B．110° C．130° D．140° 【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出∠B的度数，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数． 【解答】解：∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠B＝180°﹣110°＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°． 故选：D． 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝80°，则∠D为（　　） A．40° B．80° C．100° D．160° 【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝80°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣80°＝100°， 故选：C． 【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝66°，，连结AC，则∠CAD的度数为（　　） A．28° B．30° C．33° D．35° 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据圆心角、弧、弦的关系得到AD＝CD，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠B＝66°， ∴∠ADC＝180°﹣66°＝114°， ∵， ∴AD＝CD， ∴∠CAD（180°﹣114°）＝33°， 故选：C． 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（　　） A．64° B．61° C．62° D．60° 【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD，根据邻补角的概念求出∠DCE即可． 【解答】解：∵∠BOD的度数为122°， ∴∠ABOD＝61°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝119°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝61°， 故选：B． 题型六 点和圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 “比较d和r，三步要清晰：小于内，等于上，大于外；遇坐标，用公式；作判断，定圆心。”掌握这个数形结合的核心思想，就能避免绝大部分错误。 【典例1】⊙O的半径为6，同一个平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（　　） A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小即可判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为6，且OP＝7＞6， ∴点P在圆外． 故选：A． 【变式1】⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（　　） A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内 【答案】B 【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系． 【解答】解：∵⊙O的半径分别为3，点P到圆心O的距离为5， ∴d＞r， ∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外． 故选：B． 题型七 切线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 【典例1】⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案． 【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为4， ∵3＜4，即：d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离． 故选：D． 【典例2】如图，已知AB是半⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠A＝20°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】连接OC，得出，再根据切线的定义得出∠OCD＝90°，即可解答． 【解答】解：连接OC， ∵∠A＝20°，OA＝OC， ∴∠COD＝40°， ∵CD切⊙O于点C， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D＝90°﹣40°＝50°， 故选：C． 【典例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长． 【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论； （2）设半径为x，在直角三角形ODC中，根据勾股定理列方程即可求出半径． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AC＝CD， ∴∠A＝∠ADC． ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠ADC+∠BDO＝90°． ∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°． 又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵CD＝AC， ∴CD＝4， 设半径为x，则OC＝x+2， 在直角三角形ODC中， OC2＝OD2+CD2，即（x+2）2＝x2+42， ∴x＝3． ∴半径的长为3． 【变式1】若圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意得出d＝r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【解答】解：若圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径， 即d＝r， 所以线l与⊙O的位置关系是相切， 故选：C． 【变式2】如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB．若∠P＝26°，则∠B的度数为（　　） A．64° B．52° C．42° D．32° 【答案】D 【分析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠POA，再根据圆周角定理求出∠B． 【解答】解：如图，连接OA， ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∵∠P＝26°， ∴∠POA＝90°﹣26°＝64°， 由圆周角定理得：∠B∠POA64°＝32°， 故选：D． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，，过点C作CE⊥AD于点E． （1）求∠DAB的度数； （2）证明：直线CE是⊙O的切线． 【答案】（1）∠DAB＝60°； （2）证明见解答． 【分析】（1）连接OD、OC，由，得∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，因为OD＝OA，所以△AOD是等边三角形，则∠DAB＝60°； （2）由CE⊥AD于点E，得∠E＝90°，再证明OC∥AD，则∠OCE＝180°﹣∠E＝90°，即可证明直线CE是⊙O的切线． 【解答】（1）解：连接OD、OC， ∵， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC180°＝60°， ∵OD＝OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°， ∴∠DAB的度数是60°． （2）证明：∵CE⊥AD于点E， ∴∠E＝90°， ∵∠BOC＝∠DAB＝60°， ∴OC∥AD， ∴∠OCE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC， ∴直线CE是⊙O的切线． 题型八 正多边形和圆 解｜题｜技｜巧 “遇正多边形，先构直角形：中心、边心距、半边加半径。公式用二分之一周长乘以边距，概念分清心角与内角。”抓住“一个中心、一组直角三角形”的通用解法，即可化繁为简。 【典例1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　） A．36° B．60° C．65° D．72° 【答案】D 【分析】连接OA，OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OA，OC， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠AOC2＝144°， ∴∠APC∠AOC＝72°， 故选：D． 【典例2】如图，将正五边形ABCDE绕它的中心O顺时针旋转一定角度α（α＞0），可以使边BA与AE重合，则α的最小值为（　　） A．108° B．36° C．180° D．72° 【答案】D 【分析】连接OB、OA、OE，根据正五边形的性质求出∠AOB，得到答案． 【解答】解：如图，连接OB、OA、OE， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB＝∠AOE72°， ∴边BA与AE重合，则α的最小值为72°， 故选：D． 【典例3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形ABCDEF的面积． 【答案】（1）正六边形的边心距为； （2）． 【分析】（1）连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于H，证明△COD等边三角形，利用三角函数即可求解； （2）根据正六边形ABCDEF的面积＝6S△COD即可求解． 【解答】解：（1）连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于H，则∠OHC＝∠OHD＝90°， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD＝60°， ∴∠COH＝30°，△COD为等边三角形， ∴，CD＝OC＝4， ∴圆心O到CD的距离， 即正六边形的边心距为； （2）正六边形ABCDEF的面积． 【变式1】正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接OA，OB，OA交BF于G，求出中心角，得到△AOB为等边三角形，根据垂径定理推论得到OA⊥BF，BF＝2BG，则∠GBO＝30°，那么，由勾股定理得，即可求解BF． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OA交BF于G， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴AB＝AF＝6，，OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴AB＝AF＝OA＝OB＝6，∠AOB＝60°， ∵AB＝AF， ∴， ∴OA⊥BF，BF＝2BG， ∴∠BGO＝90°， ∴∠GBO＝30°， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，正六边形ABCDEF的边长是2，点P是AD上的一动点，PB+PC的最小值是 　　 ． 【答案】4． 【分析】连接BF、CF，CF与AD交于点P，连接PB，根据正六边形的性质得到点B与点F关于AD对称，求出CF，得到答案． 【解答】解：如图，连接BF、CF，CF与AD交于点P，连接PB， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴点B与点F关于AD对称， 此时，PB+PC的最小，最小值是CF， ∵正六边形ABCDEF的边长是2， ∴CF＝4， ∴PB+PC的最小值是4， 故答案为：4． 【变式3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4． （1）求点O到AB的距离； （2）求正六边形ABCDEF的面积． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，先求出∠AOB＝60°，再由三线合一定理得到∠AOH＝30°，最后根据余弦的定义计算即可； （2）先解直角三角形得到AH＝2，则AB＝4，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【解答】解：（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB＝360°÷6＝60°， ∵OA＝OB＝4， ∴∠AOH＝30°， ∴， ∴点O到AB的距离为； （2）在Rt△AOH中，AH＝OA•sin∠AOH＝2， ∴AB＝2AH＝4， ∴正六边形ABCDEF的面积． 题型九 弧长和扇形面积 解｜题｜技｜巧 “公式分母要记清（弧长180，面积360），n是度数不带单位。阴影面积用割补，黄金公式是捷径。”抓住 “比例思想” 和 “割补转化” 两大核心，即可破解绝大多数题目。 【典例1】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（　　） A．π B．π C．π D．π 【答案】A 【分析】利用弧长公式计算即可． 【解答】解：弧长π， 故选：A． 如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB＝80°，再利用扇形面积公式计算即可． 【解答】解：由圆周角定理可知∠AOB＝2∠ACB＝80°， 根据扇形面积公式计算可得： ， 故选：A． 【典例3】如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　） A．π B．2π C． D．2π﹣2 【答案】C 【分析】根据图形得出△AOC、△OBC、△OBD都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出OC，再分别求出扇形COE，扇形OFE，扇形EOD和△OBD的面积即可． 【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°， ∴∠AOC＝∠ACO＝45°， 同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2， 由勾股定理得：OC2， ∴阴影部分的面积S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD） ＝[]+[] ＝ππ﹣2 2， 故选：C． 【典例4】如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行． （1）求证：点D是的中点． （2）若AC＝OD＝6，求阴影部分（弓形AC）的面积． 【分析】（1）连接BC交OD于E，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据平行线的性质得出∠OEB＝∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理得出即可； （2）连接OC，过O作OF⊥AC于F，根据等边三角形的判定得出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOC＝60°，解直角三角形求出OF，再分别求出扇形AOC和△AOC的面积即可． 【解答】（1）证明：连接BC交OD于E， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC∥OD， ∴∠OEB＝∠ACB＝90°， 即OD⊥BC， ∵OD过圆心O， ∴， 即点D是的中点； （2）解：连接OC，过O作OF⊥AC于F， ∵AC＝OD＝6， ∴OC＝OA＝AC＝6， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵OC＝OA，OF⊥AC， ∴∠COFAOC＝30°， ∴CFOC3， 由勾股定理得：OF3， ∴阴影部分的面积S＝S扇形AOC﹣S△AOC6π﹣9． 【变式1】已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（　　） A． B．π C． D．π 【答案】D 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：lπ． 故选：D． 【变式2】已知扇形的圆心角为120°，其半径为3，则该扇形的面积为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，其半径为3， ∴S扇形3π． 故答案为：3π． 【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板可按如图方式剪下一个边长为1的正方形，则阴影部分图形的面积之和为　　 ．（结果保留π） 【答案】π﹣1． 【分析】先求出扇形的半径，再根据阴影部分图形的面积等于扇形的面积减去正方形的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接OD， ∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝1， ∵∠AOB＝45°， ∴OB＝AB＝1， 由勾股定理得：OD， ∴阴影部分图形的面积之和为12π﹣1． 故答案为：π﹣1． 【变式4】如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE． （1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π） （2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数． 【分析】（1）利用扇形面积公式和三角形面积公式求得即可； （2）由SAS证△EAB≌△DAC可得∠AEB＝∠ADC＝110°，证△EAD为等边三角形，则∠AED＝60°，继而得出答案． 【解答】解：（1）∵AD＝AE＝1，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴S△ADE， ∴S阴影； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴∠DAE＝60°，AE＝AD， ∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC， ∴∠EAB＝∠DAC， 在△EAB和△DAC中， ， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴∠AEB＝∠ADC＝110°， ∵∠DAE＝60°，AE＝AD， ∴△EAD为等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝110°﹣60°＝50°． 题型十 圆锥、圆柱的相关计算 【典例1】在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm，求裁剪的面积． 【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可． 【解答】解：圆锥的侧面积2π×40×50＝2000π（cm2）， 所以裁剪的面积为2000πcm2． 【典例2】把一个圆柱侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是10厘米，那么圆柱的高是（　　）厘米． A．62.8 B．31.4 C．15.7 D．20 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面展开图特征可知，这个正方形的边长等于圆柱的底面周长和高，据此即可解答问题． 【解答】解：底面周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米）， 所以高也是62.8厘米， 答：圆柱的高是62.8厘米： 故选：A 【变式1】一个圆锥的母线为4cm，底面圆的直径为2cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A．4πcm2 B．6πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2 【答案】A 【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：圆锥的侧面积为：π×2×4＝4πcm2， 故选：A． 【变式2】如图，把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加了80cm2，已知圆柱的高是10cm，那么圆柱的底面积是 　　 cm2.（结果保留π） 【答案】4π． 【分析】增加的表面积是2个以圆柱底面半径和圆柱的高为边长的长方形的面积，用80除以2求出一个长方形的面积，再除以圆柱的高，即可求出圆柱的底面半径；运用圆的面积公式S＝πr2求出底面积． 【解答】解：80÷2＝40（平方厘米） 40÷10＝4（厘米） 圆柱的底面积是4π（平方厘米）， 故答案为：4π． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，已知是圆的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）和三角形内角和定理，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 利用直径所对的圆周角是直角，结合三角形内角和定理求出∠B的度数． 【详解】解：∵是圆的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ∵在中，，， ∴， 故选：C． 2．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，根据内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：∵是四边形的外接圆， ∴． 故选：D． 3．已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，理解题意是解决本题的关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，即可判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为5，的半径为6，且， ∴点P在圆内． 故选：A． 4．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 5．半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：弧长， 故选：． 6．已知的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法（比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系）是解题的关键．先明确圆的半径和圆心到直线的距离，再通过比较两者的大小来确定直线与圆的位置关系． 【详解】解：的半径，圆心到直线的距离， ， 直线与相离， 故答案为：相离． 7．如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题由圆内接四边形对角互补得，从而得出的度数，再由与互补计算． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正六边形性质，正六边形中心角计算等．根据题意可知正六边形的六个中心角均相等，再利用除法算式计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（   ）． A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，理解垂径定理的作用是解题的关键．由垂径定理求得，中利用勾股定理即可求得半径． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， 设圆的半径为， ， ， ， ， ， 解得，． 故选：A． 3．如图，是的直径，C，D是上的点，过点C作的切线交的延长线于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．连接，根据切线的性质可知，再由直角三角形的性质得出的度数，由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正六边形的性质与坐标旋转变换，解题的关键是先确定点的位置，再利用旋转求对应点坐标． 先根据正六边形的边长和角度性质找出点的位置，再依据绕原点顺时针旋转的坐标，计算出点旋转后的对应点坐标． 【详解】解：由、可知， 正六边形的中心在原点，边长为4，即 正六边形的中心角为，点在第一象限，    旋转到，如图所示， 此时，， 在中，，， 在第四象限， 旋转后对应点坐标为． 故选D． 5．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算． 连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积． 【详解】解：连接，过作于． ∵ 四边形是菱形，， ∴ ，， 又， ∴ ， 由得，则， ∴，， 即,解得，即， ∴菱形的面积． 扇形的面积， ∴ 阴影面积， 故选：C． 6．如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 7．如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 8．如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转可知，，则可得，，则，再由，可得，即可得． （2）阴影部分的面积可用求得． 【详解】（1）解：由旋转可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】作，于E，于M，连接．在中，，则，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，的值最小，最小值为． 【详解】解：作，于E，于M，连接． ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 2．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 3．点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质、弧长公式以及动点问题，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接，先证明，可得当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处，当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，再根据弧长公式计算路径长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接， ∵是的直径， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处， 当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的， 已知，则半圆的半径， 点运动路径是以为圆心，为半径的， 所以点的运动路径长为． 故答案为：． 4．已知，为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图，在中，点，位于直线异侧，．求的度数； 若的半径为，，求的长． 【逆向思考】 （2）如图，为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理． 根据，结合圆周角定理求的度数； 构造直角三角形，根据勾股定理可以求出，，根据线段之间的关系求出的长度； 只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可． 【详解】 解：，， ， ； 解：如下图所示，连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角中，， ． 证明：如下图所示，延长交圆于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． 5．如图，已知为的直径，F为上一点，点C是劣弧的中点，过点作于点，延长交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的值为2，理由见解析 【分析】本题考查了圆的性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的相关定理及全等三角形的判定方法． （1）连接，，由点C是劣弧FB的中点得到，由，从而得到，，即可求解角度； （2）通过连接，证明垂直于来判定切线； （3）构造全等三角形以及，利用线段关系推导常数的值即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵点C是劣弧的中点， ，则， ∵， ， ， ， ∵， ， ， 又∵， 是等边三角形，， 在 中，； （2）证明：连接，如图 ∵为的直径， ， ， ∴， ， ， ∵平分， ， ， ∴， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：存在常数，使得的值为2，理由如下， 过点作于点，如图， 则， ， 在和中， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ， ， ， 即， ∴存在常数，使得的值为2． 20 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $