专题04 圆（期末复习知识清单，13知识&17题型&6易错&5方法清单）九年级数学上学期人教版

该初中数学“圆”单元知识清单系统梳理了圆的核心内容，涵盖13个知识模块，包括圆的定义性质、相关概念、垂径定理、圆心角与圆周角、位置关系、切线及计算问题等，搭建了从基础概念到定理应用再到综合题型的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+方法总结”构建完整体系，如垂径定理标注“知2得3”模型，切线判定总结“有切点连半径证垂直”辅助线口诀，培养几何直观与推理意识。含易错点警示和方法清单，学生可自主梳理知识，教师能据此设计分层教学，提升课堂实效。

专题04 圆（13知识&17题型&6易错&5方法清单） 【清单01】 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【清单02】圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【清单03】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【清单04】圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【清单05】圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【清单06】圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【清单07】点和圆的位置关系 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外 点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上 点在圆内 点在圆的内部 d < r 点P在圆内 【清单08】直线和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离 相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切 相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交 【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 【清单09】切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 【清单10】切线长定理 定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 【清单11】三角形内切圆与外接圆 1.三角形内切圆与外接圆的定义 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2. 三角形内心与外心 圆心的名称 圆心的确定方法 图形 圆心的性质 外心 三角形三边中垂线的交点 1)OA=OB=OC 2)外心不一定在三角形的内部． 内心 三角形三条角平分线的交点 1)到三边的距离相等； 2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3)内心一定在三角形内部． 【清单12】正多边形与圆的有关概念 1. 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 【清单13】弧长和扇形面积 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 S扇形==R 圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高h，圆锥的底面半径r 【题型一】圆的基本性质 【典例1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．弦是直径 【变式2】（24-25九年级上·广西防城港·期末）我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的几何图形，已知为的直径，，四边形是正方形，若的面积为，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（   ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【题型二】垂径定理及应用 【典例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，弦于点M，若，则半径的长为 ． 【变式1】（25-26九年级上·贵州·期末）如图，的半径为5，弦，点C是的中点，连接，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图所示，是一个直径为的圆柱形输油管的横截面，若此时油面宽，则油面的深度为 ． 【题型三】点与圆上一点最值问题 【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】（21-22九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    【变式3】（25-26九年级上·北京·月考）如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为 ． 【题型四】圆周角定理 【典例4】（24-25九年级上·全国·期末）如图， 为 的直径，已知圆周角 ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，为圆心，点在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型五】圆内接四边形 【典例5】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·福建龙岩·一模）如图，四边形内接于，点是的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型六】点与圆的位置关系的判定 【典例6】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 【题型七】三角形的外接圆 【典例7】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示，的顶点均在格点上，点C的坐标为 (1)将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出，并写出点的坐标； (2)请在图中标出的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算的外接圆的面积． 【题型八】直线与圆的位置关系的判定 【典例8】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为，点P是直线l上一点，的长为，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，则直线l与的公共点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式3】（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 【题型九】切线判定与性质综合 【典例9】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·月考）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【变式2】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【变式3】（22-23九年级上·甘肃平凉·期末）如图，内接于，，，与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【题型十】切线长定理的应用 【典例10】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是四边形的内切圆，若，则四边形的周长是（    ） A．22 B．64 C．52 D．44 【题型十一】三角形的内切圆 【典例11】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，与它的内切圆分别相切于点．若的周长为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点O为的外心，点I为的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·云南昭通·期末）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【题型十二】正多边形与圆的综合 【典例12】（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【题型十三】弧长的计算 【典例13】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　） A． B． C． D． 【题型十四】扇形面积的计算 【典例14】（24-25九年级上·广东潮州·期末）若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，正三角形的边长为，点，，分别为，，的中点，以，，三点为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（       ） A． B． C． D． 【题型十五】圆锥的侧面积 【典例15】（24-25九年级上·广东江门·期末）若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的全面积是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【题型十六】不规则图形的阴影面积 【典例16】（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，分别以点B，点C为圆心，以，的长为半径画弧，分别交于点E，点D，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图所示，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型十七】圆锥侧面最短路径问题 【典例17】（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【变式1】（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 1．已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 3．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【题型04 ：圆周角定理】 1．如图，点A，B，C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【题型05：三角形的内切圆】 1．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【题型06 ：求不规则阴影部分面积】 1．如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【题型一】垂径定理及其应用 1.圆中模型“知2得3” 由图可得以下5点： ①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。 2. 常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角 【题型二】三角形外接圆 1、三角形的外心：三角形三边中垂线的交点； 实际画图时只需要画两条中垂线的交点即可！ 2、三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； 常做辅助线：连结三角形内心和顶点的线段 【题型三】切线的判定和性质 切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径； 【题型四】三角形的内切圆 1.三角形的内心：三角形条角平分线的交点； 实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！ 2、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 常做辅助线：作内心到三边的垂线段 【题型五】弧长和扇形的面积 ； 公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆（13知识&17题型&6易错&5方法清单） 【清单01】 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【清单02】圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【清单03】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【清单04】圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【清单05】圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【清单06】圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【清单07】点和圆的位置关系 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外 点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上 点在圆内 点在圆的内部 d < r 点P在圆内 【清单08】直线和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 公共点个数 性质及判定 相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离 相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切 相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交 【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 【清单09】切线的性质与判定 定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．） 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明． 判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． 【清单10】切线长定理 定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解． 【清单11】三角形内切圆与外接圆 1.三角形内切圆与外接圆的定义 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2. 三角形内心与外心 圆心的名称 圆心的确定方法 图形 圆心的性质 外心 三角形三边中垂线的交点 1)OA=OB=OC 2)外心不一定在三角形的内部． 内心 三角形三条角平分线的交点 1)到三边的距离相等； 2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3)内心一定在三角形内部． 【清单12】正多边形与圆的有关概念 1. 正多边形的相关概念 正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 【清单13】弧长和扇形面积 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 S扇形==R 圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高h，圆锥的底面半径r 【题型一】圆的基本性质 【典例1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线定义，由，得出，根据，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．弦是直径 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，正确的了解有关概念及性质是解题的关键． 利用圆的有关概念及性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，故正确，符合题意； B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意； C、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意； D、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·广西防城港·期末）我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的几何图形，已知为的直径，，四边形是正方形，若的面积为，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由题意得，图②所示的图形为轴对称图形，则有，进而将阴影部分的面积转化为，再结合圆的面积为即可求解． 【详解】解：为圆的直径，正方形顶点均在上， 图②所示的图形是轴对称图形， 由轴对称的性质有：， 圆的面积为，， ， 阴影部分的面积． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）淘气没有圆规，用如图所示方法成功画出了圆，他画圆时（   ） A．保持圆心位置不变 B．保持圆的半径不变 C．保持圆心位置和圆的半径不变 D．圆心的位置可以改变 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义．圆是到定点的距离等于定长的所有的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径，确定圆的两个要素是圆心和半径，所以要画了个圆就要保持圆心位置不变，圆的半径不变． 【详解】解：A选项：保持圆心位置不变，如果圆的半径发生变化，则不能画出圆，故A选项不符合题意； B选项：保持圆的半径不变，如果圆心的位置发生变化，则不能画出圆，故B选项不符合题意； C选项：保持圆心位置和圆的半径不变，可以画出一个圆，故C选项符合题意； D选项：圆心的位置可以改变，改变了圆心的位置不能画出一个圆，故D选项不符合题意． 故选：C． 【题型二】垂径定理及应用 【典例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的直径，弦于点M，若，则半径的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，连接，设的半径是，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设的半径是，则，， ∵是的直径，弦于点M， ， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得∶， 即的半径是， 故答案为：5． 【变式1】（25-26九年级上·贵州·期末）如图，的半径为5，弦，点C是的中点，连接，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵点C是的中点， ∴， ∵弦， ∴， ∵的半径为5， 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米． 【答案】145 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得米，设这段弯路的半径是x米，则米，米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵C是上的一点，，垂足为D， ∴米， 设这段弯路的半径是x米，则米， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴这段弯路的半径是145米， 故答案为：145． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图所示，是一个直径为的圆柱形输油管的横截面，若此时油面宽，则油面的深度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是运用垂径定理，勾股定理解决实际问题；过O作于D，交于E，连接，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，再求即可得解． 【详解】解：设圆心为O，过O作于D，交于E，连接， ， ， ， 直径为， ， 在中，， ， 油面的深度为， 故答案为：． 【题型三】点与圆上一点最值问题 【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， 当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值，利用矩形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， ∵， ∴当点E，P，M三点共线时，取得最小值，此时为， ∵点E是上动点， ∴当E与点O重合时，最小，此时为， ∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值， ∵矩形中，，以A为圆心，2为半径作． ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键． 【变式1】（21-22九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】∵， ∴当时，， 解得：， ∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O点为AB的中点，   又∵圆心C坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC长度=， ∵O点为AB的中点，E点为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， 即：OE=BD， ∵D点是圆上的动点， 由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径， ∴BD的最小值为4， ∴OE=BD=2， 即OE的最小值为2， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】3 【分析】作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，   四边形是菱形，，， ，， 、是等边三角形 ， ∴， ， ， ， ，，在一条直线上， 由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小， ∵，、的半径分别为2和1， ，， 的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键． 【变式3】（25-26九年级上·北京·月考）如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为 ． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，得到，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，进一步再求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵D为线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点， ∴线段长度的最大值即是点B与上的点的最大距离， 如图，当点D在线段的延长线上时，即在的直径上，线段的长度取得最大值，    连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的定义及性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，能够通过性质得出点的轨迹是解题关键． 【题型四】圆周角定理 【典例4】（24-25九年级上·全国·期末）如图， 为 的直径，已知圆周角 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据为直径，直径所对的圆周角是直角求得的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等求得的度数即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于度，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直径所对的圆周角等于度得，再根据直角三角形的两锐角互余求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：为直径， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，为圆心，点在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理， 根据圆周角定理解答，即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，得出，即可得到答案． 【详解】如图，连接， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 【题型五】圆内接四边形 【典例5】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和． 根据内接四边形的性质得出的度数，再由点是的中点，得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【变式1】（2025·福建龙岩·一模）如图，四边形内接于，点是的中点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形，平行线的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形，对角互补得，因为点是的中点，所以，结合圆周角定理，得，最后由两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内角四边形，根据圆内接四边形的对角互补，结合平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵E为延长线上一点， ∴； 故选C． 【题型六】点与圆的位置关系的判定 【典例6】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为3，，且， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，理解点与圆的位置关系是解题关键． 连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，与圆的半径相等，即可得出结论． 【详解】解：连接， ，，点O为的中点， ， 的半径为5， 点在上． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先求出，再根据点与圆的位置关系求解即可得． 【详解】解：∵圆心在坐标原点上，点的坐标为， ∴， ∵的半径为， ∴点在内， 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（   ） A．P B．M C．N D．Q 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，，，，， ∴，，,， ∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外． 故选：D． 【题型七】三角形的外接圆 【典例7】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．根据图形作线段的垂直平分线，与的垂线平分线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图： 作线段的垂直平分线，与的垂线平分线交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边是的直径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴斜边是的直径， ∵， ∴； 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图所示，的顶点均在格点上，点C的坐标为 (1)将绕原点O顺时针方向旋转得到对应的，请画出，并写出点的坐标； (2)请在图中标出的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算的外接圆的面积． 【答案】(1)见解析； (2)点M位置见解析，； 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，确定三角形外接圆圆心，两点距离计算公式，圆的面积计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式可得的位置，描出，并顺次连接，再写出的坐标即可； （2）作线段的垂直平分线交于点M，根据网格的特点可得点M的坐标，再利用勾股定理得到的长，再根据圆面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于点M，则， ∵， ∴， ∴的外接圆半径为， ∴的外接圆的面积为． 【题型八】直线与圆的位置关系的判定 【典例8】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为，点P是直线l上一点，的长为，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】考查直线和圆的位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 已知点P在直线l上且，d是圆心到直线的最短距离（垂线段长度），因此．结合半径，分析d的不同情况即可确定位置关系． 【详解】解：圆心O到直线l的距离d是直线l上各点到O的最短距离，由垂线段最短可知． ∵圆的半径， ∴当时，直线与圆相交； 当时，直线与圆相切； 当时，直线与圆相离； ∴直线l与的位置关系可能是相交、相切或相离． 故选：D 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，则直线l与的公共点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可得直线l在外，即可得解，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为6，圆心O到直线l的距离为7， ∴直线l在外， ∴直线l与的公共点的个数是0个， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为1，圆心O到一条直线的距离为2，即， ∴与该直线相离， ∴这条直线可能是， 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 【答案】D 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：若、是方程的两个根， ∴， 解得，， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：D ． 【题型九】切线判定与性质综合 【典例9】（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由知，由可证，根据得，即可得证； （2）设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点在上， ∴， ∴是的切线； （2）解：设， ∵是的切线， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：， 即， ∴， ∵的面积为． 【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定：连接半径，证明半径与直线垂直． 【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·月考）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三线合一、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由三线合一得，根据垂直平分线的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 【变式2】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，C为边的中点，经过点C，与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）在中，，，得到，由C为边的中点，求得，根据切线的性质得到结论； （2）连接OD，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定和性质得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 为边的中点， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：连接， 与相切于点D，与相切， ， 在与中， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【变式3】（22-23九年级上·甘肃平凉·期末）如图，内接于，，，与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，先根据垂径定理可得垂直平分，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的性质即可得证； （2）连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据含度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 垂直平分， ， ， 又 是的半径， 是的切线； （2）如图，连接， ，， ， ， 由（1）已证， ， ， ． 【题型十】切线长定理的应用 【典例10】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，,再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，分别切于A，B， ∴． 同理，可得， ∴的周长 ． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 由，分别为的切线，根据切线长定理得到，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角的度数，求出底角的度数，又为圆的直径，根据切线的性质得到与垂直，可得出为直角，用即可求出的度数． 【详解】∵，分别切于A，B点，是的直径， ， 又∵， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是四边形的内切圆，若，则四边形的周长是（    ） A．22 B．64 C．52 D．44 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解本题的关键．设切点分别为，，，，连接，，，，根据四边形是的外切四边形，得出，，，，证得，再根据，即可得出四边形的周长． 【详解】解：设切点分别为，，，，连接，，，， 四边形是的外切四边形， 由切线长定理可得，，，， ， ， 所以四边形的周长． 故选：D． 【题型十一】三角形的内切圆 【典例11】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，与它的内切圆分别相切于点．若的周长为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据三角形的周长求出，根据切线长定理，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵是的内切圆， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 【变式1】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据切线长定理得出，，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 在中，， ∴ 解得， 即的长度为． 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点O为的外心，点I为的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的内心和外心、圆周角定理、三角形的内角和定理．利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案． 【详解】解：点为的外心，， ， ， 点为的内心， ， ， 故选：A． 【变式3】（23-24九年级上·云南昭通·期末）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．根据题意得到圆形薄板的圆心应是三角形的内心，根据内心的性质解答即可． 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点， 故选：B． 【题型十二】正多边形与圆的综合 【典例12】（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接，，交于，求出中心角，得到为等边三角形，根据垂径定理推论得到，，则，那么，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ， 故选：C． 【点睛】】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型十三】弧长的计算 【典例13】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式； 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，先求出半径，再根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式即可得出答案． 【详解】∵是圆的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期末）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，扇形弧长的计算，理解题意，掌握弧长公式的计算是关键． 根据矩形的性质，等边对等角得到是等腰直角三角形，，，，由弧长公式得到，结合圆的周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长度， 设围成圆锥后，底面圆的半径为， ∴， 解得，， ∴该圆锥底面半径为1， 故选：A ． 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 根据底面周长等于的长，即可求解． 【详解】解：根据题意，的长． 故选：B． 【题型十四】扇形面积的计算 【典例14】（24-25九年级上·广东潮州·期末）若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，正三角形的边长为，点，，分别为，，的中点，以，，三点为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得，，求得圆的半径都是4，再利用求解即可．本题考查等边三角形的性质、扇形的面积公式及勾股定理，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接， 则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即三个圆的半径都是4， 在中，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形，求扇形的面积．先求出正六边形的一个内角的度数，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 【题型十五】圆锥的侧面积 【典例15】（24-25九年级上·广东江门·期末）若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握侧面积公式是解题的关键，根据侧面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的全面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为，根据全面积邓毅底面积加侧面积，解答即可． 本题考查了圆锥的侧面积计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为2， ∴圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为， 故圆锥的全面积为， 故选：C． 【变式3】（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体积、圆锥侧面积和勾股定理，根据大圆柱柱的底面周长为和可求得圆柱的高，再结合小圆柱的体积为可求得小圆柱的底面半径，从而求得圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式解题即可． 【详解】解：大圆柱的底面周长为， 大圆柱的底面半径， ， 大圆柱的高， 又小圆柱的体积为， 小圆柱的底面面积为， 小圆柱的底面半径， 小圆柱中放了一个最大的圆锥， 圆锥的母线长， 该圆锥的侧面积为， 故选：A． 【题型十六】不规则图形的阴影面积 【典例16】（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，分别以点B，点C为圆心，以，的长为半径画弧，分别交于点E，点D，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、等腰直角三角形，根据图形和等腰三角形的性质，可以得到、的度数，和的长，再根据图形可知阴影部分的面积（扇形的面积的面积），然后代入数据计算即可． 【详解】解：作于点F，如图所示， ∵，， ∴点F为的中点，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是：， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·广东惠州·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，根据圆周角定理得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据直角三角形的性质得到，，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，，， ，是半圆弧的三等分点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积 的面积扇形的面积， ， ， 于点， ，， 图中阴影部分的面积 的面积扇形的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积的计算，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图所示，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．由图可知：阴影的面积=半圆的面积的面积-扇形的面积，可根据各自的面积计算方法求出阴影的面积． 【详解】解：在中，， ∴， ∴，，； 所以阴影面积， 故选：B． 【题型十七】圆锥侧面最短路径问题 【典例17】（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 【变式1】（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．    【答案】 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中 ， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB=2OP，则求AB的最小值即为求OP的最小值，当O、P、M三点共线时，OP长度最小. 【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB=2OP，则OP最短时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，OP=OM-MP=，则AB的最小长度为6， 故答案为6. 【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键. 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 1．已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交，；直线和圆相切，；直线和圆相离，（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）求解． 【详解】解：由题意知， ∵的半径为，线段，， ∵点A到圆心O的距离，大于圆的半径， ∴点A在圆的外部， ∵点B到圆心O的距离，等于圆的半径， ∴点B在圆上， ∵点A在圆外，点B在圆上， ∴直线会与圆O相交或相切． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 3．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【答案】D 【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论． 【详解】解：当点O2在点O1的右侧时， 当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M， 则O2M=4， 又∵∠AO2O1=30°， ∴O1O2=2•O2M=8， 当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2， 所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键． 【题型04 ：圆周角定理】 1．如图，点A，B，C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【题型05：三角形的内切圆】 1．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 【题型06 ：求不规则阴影部分面积】 1．如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，掌握扇形面积的计算公式．过作于，判定是等边三角形，得到，求出，于是扇形的面积，由等边三角形的性质得到的长，由勾股定理求出，进而求出的面积，根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过作于， 直径，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， 故选：D． 2．如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键． 根据正方形的性质可得弓形弓形，由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，三点共线    ∵四边形是正方形，点分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴弓形弓形， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【题型一】垂径定理及其应用 1.圆中模型“知2得3” 由图可得以下5点： ①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。 2. 常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角 【题型二】三角形外接圆 1、三角形的外心：三角形三边中垂线的交点； 实际画图时只需要画两条中垂线的交点即可！ 2、三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； 常做辅助线：连结三角形内心和顶点的线段 【题型三】切线的判定和性质 切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径； 【题型四】三角形的内切圆 1.三角形的内心：三角形条角平分线的交点； 实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！ 2、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 常做辅助线：作内心到三边的垂线段 【题型五】弧长和扇形的面积 ； 公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径 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