专题4.8 相似三角形（章节复习）（知识梳理+31个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

该初中数学相似三角形章节复习讲义通过知识梳理模块系统构建知识体系，以框架图形式呈现13个核心知识点，从比例线段、相似三角形判定与性质到常见几何模型（如“A”型、一线三直角）及位似图形，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于31个考点的“典例精讲+变式训练”设计，如动点问题（考点14）培养推理意识，实际应用（考点15测量高度）体现模型意识，结合中考真题与基础夯实、培优拔高分层练习，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题4.8 相似三角形（章节复习） （知识梳理+31个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：比例线段定义 2 知识点梳理02：比例线段的性质 2 知识点梳理03：平行线分线段成比例定理 3 知识点梳理04：平行线分线段成比例推论 3 知识点梳理05：黄金分割 3 知识点梳理06：相似多边形的性质 3 知识点梳理07：相似三角形的判定 3 知识点梳理08：相似三角形的性质 4 知识点梳理09：相似三角形的应用 4 知识点梳理10：常见几何模型 4 知识点梳理11：位似图形的定义 4 知识点梳理12：位似图形性质 5 知识点梳理13：位似图形的画法： 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：比例线段 5 考点2：比例的性质 6 考点3：成比例线段 7 考点4：黄金分割 7 考点5：由平行判断成比例的线段 8 考点6：由平行截线求相关线段的长或比值 10 考点7：利用两角对应相等判定相似 11 考点8：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 12 考点9：相似三角形的判定综合 14 考点10：选择或补充条件使两个三角形相似 15 考点11：利用相似三角形的性质求解 17 考点12：利用相似三角形的性质求解 18 考点13：在网格中画与已知三角形相似的三角形 20 考点14：相似三角形——动点问题 22 考点15：相似三角形实际应用 25 考点16：相似三角形的综合问题 27 考点17：相似三角形的判走与性质综合 33 考点18：重心的有关性质 37 考点19：相似多边形 42 考点20：相似图形 44 考点21：相似多边形的性质 45 考点22：求位似图形的对应坐标 46 考点23：位似图形的识别 48 考点24：判断位似中心 49 考点25：位似图形相关概念辨析 51 考点26：求两个位似图形的相似比 52 考点27：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 54 考点28：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 56 考点29：在坐标系中画位似图形 58 考点30：在坐标系中画位似中心 60 考点31：坐标与图形综合 62 中考真题 实战演练 64 难度分层 拔尖冲刺 70 基础夯实 70 培优拔高 73 知识点梳理01：比例线段定义 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点梳理02：比例线段的性质 （1）基本性质：； （2）合比性质：⇔＝； （3）等比性质：； 知识点梳理03：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示， 如右图：若l3∥l4∥l5，则，. 知识点梳理04：平行线分线段成比例推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 即如下图所示，若∥，则，. 知识点梳理05：黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 知识点梳理06：相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 知识点梳理07：相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． (3) 三边对应成比例的两个三角形相似． (4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 知识点梳理08：相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边成比例． （2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． （3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 知识点梳理09：相似三角形的应用 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 知识点梳理10：常见几何模型 “A”型 斜“A”型 “母子型”字型 “X”型 斜“X”（蝴蝶）型 射影定理模型 一线三直角型 一线三等角 知识点梳理11：位似图形的定义 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 知识点梳理12：位似图形性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 知识点梳理13：位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 考点1：比例线段 【典例精讲】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）4和5的比例中项是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比例中项的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．若，则b是a，c的比例中项，据此解答即可． 【规范解答】解：设4和5的比例中项为b， 则， ． 故答案为． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了比例线段，理解题意是关键；设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 考点2：比例的性质 【典例精讲】（2025·四川成都·一模）若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据比例的性质进行计算，即可得出答案． 【规范解答】解：， 设，， ． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了比例的性质，设，则，，，根据已知等式建立关于k的方程，解方程求出k的值，再计算的值即可． 【规范解答】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 考点3：成比例线段 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·期中）若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（   ）cm A．15 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【规范解答】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知4是x和8的比例中项，则 ． 【答案】2 【思路点拨】根据比例中项的定义，列出方程求解． 本题考查了比例中项，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：由题意，4是x和8的比例中项， 则， 即， 解得， 故答案为：2． 考点4：黄金分割 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的倍，较长的线段原线段的倍．根据黄金分割点的定义，知是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段原线段的倍，可得，计算即可． 【规范解答】解：线段，点是黄金分割点，， ． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为）．如图，银杏叶主脉可看作线段，P是黄金分割点（），若这片银杏叶主脉的长度为，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割的定义是解题的关键．先根据黄金分割的定义确定与的数量关系 ，再代入的长度计算的长度即可求解． 【规范解答】解：由黄金分割的定义 知：， ， 故选：A． 考点5：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【规范解答】解： ， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【规范解答】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 考点6：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（25-26九年级上·山西晋城·月考）如图，，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握平行线分线段成比例定理并能运用来求解． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C 【变式训练】（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的值是 ． 【答案】/0.4 【思路点拨】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 考点7：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． （2）解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽·期中）下列各组图形不一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个含有内角的等腰三角形 C．两个含有内角的等腰三角形 D．两个含有内角的直角三角形 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据对应角相等判断各组图形是否一定相似． 【规范解答】解：A、等腰直角三角形角均为、、，对应角相等，一定相似； B、含有内角的等腰三角形中，必为顶角，底角均为，对应角相等，一定相似； C、含有内角的等腰三角形中，可能为顶角或底角，导致角组合可能不同（如、、或、、），对应角不一定相等，不一定相似； D、含有内角的直角三角形，角均为、、，对应角相等，一定相似， 故选：C． 考点8：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）根据垂线的定义得到，可证，根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，即，根据得到，进而可证． 【规范解答】（1）证明：，交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）证明：四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 即， ∵ ． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，在等腰直角，，，点在上． (1)尺规作图：作出将绕点顺时针方向旋转后得到的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】（）分别以点和点为圆心,和的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，易证，得到，即得到，故即为所求； （）利用旋转的性质可得，，，即得，再根据相似三角形的判定定理即可证明； 本题考查了旋转作图，相似三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：由旋转得，，，， ∵，， ∴． 考点9：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 B．所有的菱形都相似 C．在同一时刻，在平坦的地面上，身高相同的两个人在太阳光下的影长相同 D．某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次一定能够中奖3次 【答案】C 【思路点拨】本题考查了矩形的判定、相似图形的定义、平行投影的性质及概率的意义，解题的关键是准确掌握各知识点的核心概念与性质． 分析各选项，根据矩形判定，对角线互相平分且垂直的四边形是菱形而非矩形；根据相似图形定义，菱形对应角不一定相等，故不都相似；根据平行投影性质，同一时刻太阳光下身高相同的人影长相同；根据概率意义，中奖概率是可能性，抽奖10次不一定中奖3次． 【规范解答】解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，此选项不符合题意； B、菱形的对应角不一定相等，故不是所有菱形都相似，此选项不符合题意； C、同一时刻太阳光下（平行投影），身高相同的两个人影长相同，此选项符合题意； D、中奖概率30%是可能性，抽奖10次不一定中奖3次，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【规范解答】解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 考点10：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在和中，，添加一个条件： （写出一个即可）后，可使． 【答案】（或或） 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【规范解答】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐一分析即可判断． 【规范解答】解：A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似可知：，故A不符合题意； B、根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可知：，故B不符合题意； C、根据有一组直角边和一组斜边对应成比例的两个直角三角形相似可知：， 故C不符合题意； D、给的四条线段不是对应边，故此不能证明和相似，故D符合题意． 故选：D． 考点11：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如果两个相似三角形的对应边长之比为，则它们的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比即对应边长之比，据此即可求解． 【规范解答】解：∵两个相似三角形的对应边长之比为， ∴相似比为， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴面积比为． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在梯形中，，与交于点O，，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明出，进而得出，相似三角形面积之比为相似比的平方，随即得出结果． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点12：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（23-24九年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【思路点拨】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·月考）已知二次函数的图象经过，，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)① 【思路点拨】（1）用待定系数法解题即可； （2）①先求出直线的解析式，过点P作轴交于点E，设P点的横坐标为x，则表示的长，根据解题即可；②过点P作轴交于点M，设P点的横坐标为x，表示的长，利用解题． 【规范解答】（1）解：把，代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①当时，， ∴， 设的解析式为，代入得： ，解得 ∴ 如图，过点P作轴交于点E， 设P点的横坐标为x，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大为； ②如图，过点P作轴交于点M， 设P点的横坐标为x，则，， ∴， ∵轴 ∴ ∴ ∴当时，最大，最大为． 考点13：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图是由边长为的小正方形组成的的网格，已知格点，即三个顶点都在小正方形顶点处的三角形，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列各题（要求保留作图痕迹，不要求写做法和结论）． (1)在图中，画，使点在格点上，且与相似；（只需画出一种即可） (2)在图中，线段上找一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路点拨】本题考查了作图-相似变换，熟记相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定作图； （2）取格点，连接交于点，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，点即为所求． 证明：∵， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上， ，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图—相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可； （2）取格点，连接，交于点D，取格点H，K，连接，交于点E，即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 考点14：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋城·期中）综合与探究 如图，在中，，，，点是边上一点，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)的长为__________cm． (2)如图1，当为何值时，？ (3)如图2，连接，，当为何值时，？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）由推出，进而解题； （3）过点作于点，证明∽，进而解题． 【规范解答】（1）解：由勾股定理知，； 故答案为：5； （2）解：由题意知，， ， ， ，即，解得， ； （3）解：如图，过点作于点，则， 由题意，得，则， 根据（2）可知， ，， ， ． ， ． ， 又， ∽， ，即，解得． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，， ， ，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【规范解答】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 考点15：相似三角形实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·河北衡水·月考）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，此时矩形面积最大，最大面积是 【思路点拨】本题是相似形的应用，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）设正方形的边长为，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设，利用相似三角形的性质求出，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【规范解答】解：（1）设正方形的边长为， 则， ∵四边形是正方形， ，即， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； （2）设， 四边形是矩形， ，即，， ，， ，即， ， 矩形面积， 当时，此时最大，最大值为2400， ∴当时，此时矩形面积最大，最大面积是． 【变式训练】（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，小倩同学在晚上由路灯走向路灯，当她走到点时，发现她身后的影子的顶部刚好接触路灯的底部．当她向前再步行到达点时，发现她身前的影子的顶部刚好接触到路灯的底部．已知小倩同学的身高是，两个路灯的高度都是． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小倩同学走到路灯处时，头的顶部为，此时她在路灯下影子的长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边成比例求出线段的长度． (1)由对称性质可知，设，可知，根据相似三角形对应边成比例可得方程，解方程即可求出，根据线段之间的关系即可求出两个路灯之间的距离； (2)设，根据可得关于的方程，解方程即可求出影长的长度． 【规范解答】（1）解：由对称性质可知， 设， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的根， ， ； （2）解：设， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的根， 的长是． 考点16：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【规范解答】（1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 【变式训练】（25-26九年级上·广东深圳·期中）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①；②；见解析；（3）BH或． 【思路点拨】（1）根据四边形是菱形，得，，，，由，得到，所以，由此即可求解； （2）①根据菱形的性质，结合题意得到，在四边形中，，，，，即可求解； ②由菱形的性质得到，，则三点共线，，由①知，则，结合相似三角形的判即可求解； （3）根据题意得，分两种情况讨论：①当，时，，，，即，又，，设，则，，，列式求解；②当，时，同理可得，设，则，，列式求解即可． 【规范解答】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，　 ∵， ∴， ∵， ∴，即； ②，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 由①，知， ∴， ∴； （3）或， 同（2）①可得， ∵， ∴， 分两种情况讨论：①当，时，如题图3所示， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当，时，如解图所示， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， 设，则， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 考点17：相似三角形的判走与性质综合 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，对角线交于点O，点分别为的中点，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由矩形性质得到，根据中位线得到，，继而得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，， ， ∵点，分别为，的中点 ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·河南郑州·期中）中，，，中，，． (1)如图，当点在中点处时，与数量关系为______；位置关系为______． (2)如图，若不在中点时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请就图进行证明；若不成立，请说明理由． (3)若，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2或或或 【思路点拨】（1）由，，得，可得，，得，即得； （2）（1）中结论成立．设直线与直线交于点M，证明，得，，可得，得，即得； （3）由已知可得，分当为斜边时，，当点M在延长线上与当点M在延长线上时，当为斜边时，当在延长线上时与当点在延长线上时，共两大类，四小类情形解答． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：，成立，理由： 设直线与直线交于点M， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． （3）解：设直线与直线交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴当为斜边时，， 则， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点M在延长线上时， ， ∴； 当点M在延长线上时， ， ∴； 当为斜边时，， ∵， ∴， ∴、C、A三点在同一条直线上， ∵， ∴当在延长线上时， ； 当点在延长线上时， ． 综上，的长为2或或或． 考点18：重心的有关性质 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）我们知道：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心． (1)如图1，尺规作图，求作的重心； (2)如图2，D为内一点，连结．若． ①求证：D为的重心； ②若，，求的最大值． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解② 【思路点拨】（1）结合重心是三角形的中线的交点，故先作出线段，的垂直平分线，得出中点，再连接，得出中线，最后得出的重心， （2）①结合中线与面积的关系，得出结合，则，即三点共线，同理三点共线，即点是中线与中线的交点，所以D为的重心； ②当点在的垂直平分线上时，即点在点的位置上，此时有最大值，即的长度，记圆心为，连接，证明是等边三角形，得，，根据为的重心，，在中，把数值代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：的重心D如图所示： ； （2）解：①分别取上的中点，连接，如图所示： ∵点是上的中点， ∴ ∵， ∴， 即， 依题意，是的中线， ∴ 即， 则三点共线， ∵点分别是上的中点， ∴ ∵， ∴， 即， 依题意，是的中线， ∴， 即， 则三点共线， 即点是中线与中线的交点， 即D为的重心； ②依题意，，，当点在的垂直平分线上时，即点在点的位置上，如图所示： 此时有最大值，即的长度， 记圆心为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 则， ∴， ∵为的重心， ∴， 在中，． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， 在中，，．以为边向下作等边三角形，点P为的重心，则的最大值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】连接、，由等边三角形和重心的性质，易得是顶角为的等腰三角形．将绕点B顺时针旋转得到，连接、，可以证出，且，因此越大，就越大．根据两点之间，线段最短，可得最大值为，也就是，从而得到的最大值． 【规范解答】解：如图，连接并延长交于点E，连接、，将绕点B顺时针旋转得到，连接、，作垂足为G， ∵点P是的重心， ∴点E是的中点，且， ∵是等边三角形， ∴点P也是的内心、外心和垂心，，， ∴，，， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， ∵由绕点B顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴越大，就越大． ∵，， 又∵两点之间，线段最短， ∴，即， 当F、B、C三点共线时，取到最大值，此时． 故答案为：． 考点19：相似多边形 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键．根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，此项不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，此项符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，此项不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，此项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【思路点拨】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 【规范解答】解：四边形与四边形相似，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 考点20：相似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·山西运城·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【规范解答】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正方形 【答案】D 【思路点拨】本题考查相似图形的判断，根据相似多边形的定义：对应角相等且对应边成比例的两个图形相似，分析各选项，只有两个正方形满足一定相似的条件． 【规范解答】解：两个正方形的所有角均为，对应角相等，且所有边均相等，对应边成比例， 两个正方形一定相似； 其他选项不一定相似： A、两个菱形对应角不一定相等； B、两个矩形对应边不一定成比例； C、两个等腰梯形对应角和对应边都不一定对应成比例； 故选：D． 考点21：相似多边形的性质 【典例精讲】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，矩形矩形，若，，则矩形与矩形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的相似比等于对应边的比即可得解，熟练掌握相似多边形的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵矩形矩形，且，， ∴矩形与矩形的相似比为， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图所示，若四边形 四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是 ． 【答案】18 【思路点拨】本题主要考查了相似图形的性质，相似多边形面积的比等于相似比的平方，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 由，可得四边形与四边形的面积比等于，已知四边形的面积是，代入即可求解． 【规范解答】解：∵四边形 四边形， ∴，即， ∴， 故答案为：18． 考点22：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似，点的对应点分别是点，且与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【思路点拨】本题考查了画位似图形，熟练掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键． 先连接原点和的三个顶点，再根据位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，结合网格的特点，分别找出点、、，再依次连接，得，即可作答． 【规范解答】解：依题意，如图所示即为所求： 由图可知，点的坐标为． 【变式训练】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在平面直角坐标系中，有四边形，现以点O为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比为． (1)画出四边形； (2)直接写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)或 【思路点拨】本题考查的是在坐标系内画位似图形，位似图形的性质，矩形的性质，掌握位似图形的性质并进行画图是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C，O的位似对应点，，，O，再顺次连接即可； （2）根据的位置可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，四边形即为所求． （2）解：根据图形可得：或． 考点23：位似图形的识别 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列图形中，不含有位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【规范解答】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，、、三个图形中的两个图形都是位似图形；中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【思路点拨】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【规范解答】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 考点24：判断位似中心 【典例精讲】（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【思路点拨】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【规范解答】解：连接、并延长，如图：交点即为它们的位似中心， ∴它们的位似中心为， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，与是位似图形，位似中心为M． (1)画出点M的位置； (2)与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查利用位似作图，可以根据位似图形的定义，结合位似图形的作法进行解答． （1）连接交于点； （2）根据位似比为1∶2，分两种情况画出； 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求， （2）解：如图所示，即为所求 考点25：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，与位似，位似中心是点O，且，若的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为， ∵的面积是8， ∴的面积为2． 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【规范解答】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 考点26：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，已知与是位似图形，点O是位似中心，若是的中点，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握位似图形的性质． 根据线段中点的性质得出，根据位似图形的性质得出，然后得出对应线段成比例，即可求解． 【规范解答】解：∵点是的中点， ∴， ∵与是位似图形，点O是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴与的周长比为， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查位似图形的性质，掌握“位似图形的面积比等于位似比的平方”是解题的关键；先计算位似比再根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行计算即可． 【规范解答】∵ ， ∴， ∴． ∵与是位似三角形，位似中心为O， ∴，且相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为． 考点27：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【思路点拨】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【规范解答】（1）解：如图，把绕点逆时针方向旋转得到，即为所求； （2）如图，在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； （3）的面积为． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了作位似图形，位似图形的性质掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质作图即可； （2）根据与的相似比为，可得面积之比． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求 （2）解： 与的相似比为， ． 故答案为：． 考点28：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（25-26九年级上·河南平顶山·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先根据位似中心的性质，求出两三角形的位似比，然后根据相似三角形的周长之比等于位似比解答即可． 本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，与位似，原点是位似中心． ∴位似比为， ∵的周长表示为，则的周长表示为． 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，是边长为1的小正方形网格，菱形的四个顶点坐标均在格点上，已知． (1)画出该平面直角坐标系，菱形的顶点C、D的坐标分别为C（______，______），D（______，______）． (2)以坐标原点O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，得到菱形，请在第二象限画出菱形，并求出的值． 【答案】(1)见解析；5；；2； (2)见解析； 【思路点拨】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，写出坐标系中点的坐标等等，正确建立坐标系是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系，进而可得点C和点D的坐标； （2）把A、B、C、D的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方可得答案． 【规范解答】（1）解：坐标系如下所示，则； （2）解：如图所示，四边形即为所求， ∵以坐标原点O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，得到菱形， ∴菱形与菱形的位似比为， ∴． 考点29：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．请你以原点为位似中心，画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，且点、在轴的下方． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查画位似图形，根据位似图形的性质找到对应点，然后顺次连接即可画得图形． 【规范解答】解：如图所示，即为所求． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出使它与的相似比为，并写出点的坐标． (2)用无刻度直尺在线段上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析； (2)见解析 【思路点拨】本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，相似三角形的判定与性质，无刻度作图． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后顺次连接即可，然后写出即可； （2）将点往右平移2格得到点，点往左平移4格得到点，然后连交于点，点为所求．此时，则，故，即． 【规范解答】（1）解：如图即为所求；点； （2）解：如图，点即为所求；（其它方法合理即可） 考点30：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了位似三角形的性质，求一次函数解析式，根据点B和点E的坐标可得直线即为直线，利用待定系数法求出直线解析式，再根据位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心即可求出答案． 【规范解答】解：∵，， ∴直线即为直线， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵位似三角形的对应顶点的连线所在的直线交于位似中心， ∴点H即为直线和直线的交点， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，熟记位似中心的概念是解题的关键． 连接，交于，根据位似中心的概念得到点为位似中心，证明∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，得到点的坐标． 【规范解答】 解：如图，连接，交于，则点为位似中心， 由题意可知：，，， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴位似中心点的坐标为， 故答案为：． 考点31：坐标与图形综合 【典例精讲】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，过经原点O，并与两坐标轴交于A、D两点，已知，点D的坐标为，则点A的横坐标为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理解直角三角形，以及坐标与图形，解决本题的关键是要正确添加辅助线，将已知条件集中到中解直角三角形．连接，根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系可证为直径，由圆周角定理得到，在中，根据勾股定理计算可得的长，得到点A的横坐标，即可求解． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴为的直径，即点C在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∴点A的横坐标为2． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，已知点 都在反比例函数的图象上，点都在x轴上，都是等边三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题属于探索规律的问题，熟悉等边三角形的性质以及反比例函数的特点是解题的关键； 如图，过点 作轴于点C，过点作轴于点D，过点作轴于点E，设的长度为t，则的坐标为，则，设的长度为m，同理得到，则的坐标表示为， 得，依次即可求解. 【规范解答】解：如图，过点 作轴于点C，过点作轴于点D，过点作轴于点E， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 设的长度为t，则的坐标为， 把代入得，解得或（舍去）， ∴， ∴， 设的长度为m，同理得到，则的坐标表示为， 把代入得，解得或 （舍去）， ∴， ∴， 设的长度为n，同理，为，的坐标表示为， 把 代入得， ∴， ∴， 故答案为：. 1．（2024·安徽安庆·中考真题）如图，有一块三角形余料，它的面积为，边．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为 ． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．设加工成的正方形零件的边长为 ，过点作于，交于点，先根据的面积求出高，证明，得到，代入数值求出即可． 【规范解答】解：设加工成的正方形零件的边长为 ， 过点作于，交于点， 的面积为，边， ， 解得， 四边形是正方形， ， ， ， 解得， 故选：C． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，分别是▱两边的中点，连接，交于点，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 连接交于，得到，因为、是平行四边形两边中点，在中，根据三角形中位线定理，能推出这样就构造出了相似三角形和由于是中点，可知，再依据相似三角形对应边成比例，得出利用与的关系以及，通过代换计算出结果． 【规范解答】解：连接交于点 连接交于点 四边形是平行四边形， ， 、分别是平行四边形两边的中点， 设， 在中， 是中点，是中点， 是中点， ， 又， ， ，即， 又， 故答案为： 3．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质． 根据矩形的性质得到，，，证明，得到，证明，得到，进而计算即可． 【规范解答】解：∵矩形， ∴，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2024·陕西铜川·中考真题）如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式，然后根据比例的性质求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2024·上海·中考真题）如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据，得出，证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）证明为等腰直角三角形，得出，，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，即可证明． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ． 基础夯实 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，锐角中，，是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】此题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法结合题目中的已知信息找到图中存在的相似三角形即可． 【规范解答】解：①，， ， ， ； ②，， ， ， ， ； ③，， ， ； 有3个三角形与相似． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东清远·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查比例的基本性质． 根据比例的基本性质，对各选项进行分析判断即可． 【规范解答】解：A．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； B．由可得，符合已知条件，原式子正确，符合题意； C．由可得，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意； D．由可得，即，不符合已知条件，原式子不正确，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为 ． 【答案】18 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．根据，设，则，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，求解即可． 【规范解答】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限中画出，使与的相似比为，点的对应点分别为点，并写出点的坐标． 【答案】见解析；． 【思路点拨】本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，掌握这些是解题的关键． 利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以2得到点的坐标，然后描点画图即可． 【规范解答】解：如图：即为所求， 点的坐标为． 培优拔高 6．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 【答案】C 【思路点拨】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接 ，又因点在上是一动点，由边与边关系 ，只有当点在直线上时的 和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【规范解答】解：设，则；过 点作，且 连接，当点、、 三点共线时，的最值小；如图： ∵ ∴四边形是平行四边形 由点、、三点共线， ∴ 由四边形是矩形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵， 在 中，由勾股定理得： 又∵，则， ∴ 解得∶， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在锐角中，，，为高，是的中点，连接，，．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④与四边形的面积比是．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据垂直定义可得，从而可证，利用相似三角形的性质即可判断①；利用三角形的内角和可以求出，从而求出，再利用直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，，进而可得，然后再利用平角定义求出，即可判断②；在和中，分别利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后进行计算即可判断③；根据直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，再利用①的结论可证，从而利用相似三角形的性质即可判断④． 【规范解答】解：，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ，是的中点， ，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， 故②正确； 在中，， 在中，， ， ∵无法确定，即无法确定， ∴不一定等于，即不一定等于， 故③不正确； ，， ， ， ，， ， ， 与四边形的面积比是， 故④正确， 综上所述，上列结论正确的有， 故选：D． 8．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，点在上，点在的延长线上，连接，分别交于点，，，若，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是能熟练运用相似三角形的判定与性质．先根据平行四边形的性质得到，又有，，进而判定，根据相似三角形的性质可得、的长，再由可得，，故，，推出，代入、的长即可解答． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定及性质；过点作轴交于，相似三角形的判定及性质，由反比例函数比例系数的几何意义得，即可求解． 【规范解答】解：过点作轴交于点， 点是的中点， ， ， 轴， ， ， ， ， 设反比例函数的关系式为（）， ， ， ， 解得， 反比例函数的关系式为， 故答案为：． 10．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点D坐标为 【思路点拨】（1）设，将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴于点，直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）过点作轴于点，交于点，同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于点，， 设，将点代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， 当时，面积的最大值为2； （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 在中，， ，轴， ， ， ， 又， ， ，即， ， 当时，取得最大值为， ； （4）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.8 相似三角形（章节复习） （知识梳理+31个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：比例线段定义 2 知识点梳理02：比例线段的性质 3 知识点梳理03：平行线分线段成比例定理 3 知识点梳理04：平行线分线段成比例推论 3 知识点梳理05：黄金分割 3 知识点梳理06：相似多边形的性质 3 知识点梳理07：相似三角形的判定 4 知识点梳理08：相似三角形的性质 4 知识点梳理09：相似三角形的应用 4 知识点梳理10：常见几何模型 4 知识点梳理11：位似图形的定义 5 知识点梳理12：位似图形性质 5 知识点梳理13：位似图形的画法： 5 优选题型 考点讲练 5 考点1：比例线段 5 考点2：比例的性质 6 考点3：成比例线段 6 考点4：黄金分割 6 考点5：由平行判断成比例的线段 6 考点6：由平行截线求相关线段的长或比值 7 考点7：利用两角对应相等判定相似 7 考点8：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 8 考点9：相似三角形的判定综合 9 考点10：选择或补充条件使两个三角形相似 9 考点11：利用相似三角形的性质求解 10 考点12：利用相似三角形的性质求解 10 考点13：在网格中画与已知三角形相似的三角形 11 考点14：相似三角形——动点问题 12 考点15：相似三角形实际应用 13 考点16：相似三角形的综合问题 14 考点17：相似三角形的判走与性质综合 15 考点18：重心的有关性质 17 考点19：相似多边形 17 考点20：相似图形 18 考点21：相似多边形的性质 19 考点22：求位似图形的对应坐标 19 考点23：位似图形的识别 20 考点24：判断位似中心 21 考点25：位似图形相关概念辨析 22 考点26：求两个位似图形的相似比 22 考点27：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 23 考点28：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 24 考点29：在坐标系中画位似图形 25 考点30：在坐标系中画位似中心 26 考点31：坐标与图形综合 26 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 29 基础夯实 29 培优拔高 30 知识点梳理01：比例线段定义 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点梳理02：比例线段的性质 （1）基本性质：； （2）合比性质：⇔＝； （3）等比性质：； 知识点梳理03：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示， 如右图：若l3∥l4∥l5，则，. 知识点梳理04：平行线分线段成比例推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 即如下图所示，若∥，则，. 知识点梳理05：黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 知识点梳理06：相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 知识点梳理07：相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． (3) 三边对应成比例的两个三角形相似． (4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 知识点梳理08：相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边成比例． （2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． （3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 知识点梳理09：相似三角形的应用 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 知识点梳理10：常见几何模型 “A”型 斜“A”型 “母子型”字型 “X”型 斜“X”（蝴蝶）型 射影定理模型 一线三直角型 一线三等角 知识点梳理11：位似图形的定义 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 知识点梳理12：位似图形性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 知识点梳理13：位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 考点1：比例线段 【典例精讲】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）4和5的比例中项是 ． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（   ）    A． B． C． D． 考点2：比例的性质 【典例精讲】（2025·四川成都·一模）若，则的值为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则 ． 考点3：成比例线段 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·期中）若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（   ）cm A．15 B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知4是x和8的比例中项，则 ． 考点4：黄金分割 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的银杏叶，也蕴含着最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为）．如图，银杏叶主脉可看作线段，P是黄金分割点（），若这片银杏叶主脉的长度为，则的长约为（    ）． A． B． C． D． 考点5：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，已知直线，直线 分别与直线交于A、B、C三点，直线 分别与直线交于D、E、F三点，与交于 点O，若，则的长是 ． 考点6：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（25-26九年级上·山西晋城·月考）如图，，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的值是 ． 考点7：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽·期中）下列各组图形不一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个含有内角的等腰三角形 C．两个含有内角的等腰三角形 D．两个含有内角的直角三角形 考点8：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，在等腰直角，，，点在上． (1)尺规作图：作出将绕点顺时针方向旋转后得到的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 考点9：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 B．所有的菱形都相似 C．在同一时刻，在平坦的地面上，身高相同的两个人在太阳光下的影长相同 D．某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次一定能够中奖3次 【变式训练】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为 ． 考点10：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在和中，，添加一个条件： （写出一个即可）后，可使． 【变式训练】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 考点11：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如果两个相似三角形的对应边长之比为，则它们的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在梯形中，，与交于点O，，，则的值为 ． 考点12：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（23-24九年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，，，，．求的长．    【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·月考）已知二次函数的图象经过，，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点，若，求的最大值． 考点13：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图是由边长为的小正方形组成的的网格，已知格点，即三个顶点都在小正方形顶点处的三角形，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列各题（要求保留作图痕迹，不要求写做法和结论）． (1)在图中，画，使点在格点上，且与相似；（只需画出一种即可） (2)在图中，线段上找一点，使． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上， ，且． 考点14：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋城·期中）综合与探究 如图，在中，，，，点是边上一点，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)的长为__________cm． (2)如图1，当为何值时，？ (3)如图2，连接，，当为何值时，？ 【变式训练】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，， ， ，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 考点15：相似三角形实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·河北衡水·月考）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形，边，高． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在和上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【变式训练】（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，小倩同学在晚上由路灯走向路灯，当她走到点时，发现她身后的影子的顶部刚好接触路灯的底部．当她向前再步行到达点时，发现她身前的影子的顶部刚好接触到路灯的底部．已知小倩同学的身高是，两个路灯的高度都是． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小倩同学走到路灯处时，头的顶部为，此时她在路灯下影子的长为，求的长． 考点16：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【变式训练】（25-26九年级上·广东深圳·期中）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 考点17：相似三角形的判走与性质综合 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，对角线交于点O，点分别为的中点，则的面积为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·河南郑州·期中）中，，，中，，． (1)如图，当点在中点处时，与数量关系为______；位置关系为______． (2)如图，若不在中点时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请就图进行证明；若不成立，请说明理由． (3)若，当是直角三角形时，请直接写出的长． 考点18：重心的有关性质 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）我们知道：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心． (1)如图1，尺规作图，求作的重心； (2)如图2，D为内一点，连结．若． ①求证：D为的重心； ②若，，求的最大值． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， 在中，，．以为边向下作等边三角形，点P为的重心，则的最大值为 ． 考点19：相似多边形 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·课后作业）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【变式训练】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 考点20：相似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·山西运城·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个正方形 考点21：相似多边形的性质 【典例精讲】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，矩形矩形，若，，则矩形与矩形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图所示，若四边形 四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是 ． 考点22：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似，点的对应点分别是点，且与的相似比为，并写出点的坐标． 【变式训练】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，在平面直角坐标系中，有四边形，现以点O为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比为． (1)画出四边形； (2)直接写出点的坐标． 考点23：位似图形的识别 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）下列图形中，不含有位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 考点24：判断位似中心 【典例精讲】（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，与是位似图形，位似中心为M． (1)画出点M的位置； (2)与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 考点25：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，与位似，位似中心是点O，且，若的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 ． 考点26：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，已知与是位似图形，点O是位似中心，若是的中点，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·广东茂名·月考）如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为 ． 考点27：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 考点28：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（25-26九年级上·河南平顶山·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，是边长为1的小正方形网格，菱形的四个顶点坐标均在格点上，已知． (1)画出该平面直角坐标系，菱形的顶点C、D的坐标分别为C（______，______），D（______，______）． (2)以坐标原点O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，得到菱形，请在第二象限画出菱形，并求出的值． 考点29：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．请你以原点为位似中心，画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，且点、在轴的下方． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出使它与的相似比为，并写出点的坐标． (2)用无刻度直尺在线段上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹） 考点30：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，与是位似三角形．三角形的顶点坐标分别为，，，，，，则位似中心的坐标为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ． 考点31：坐标与图形综合 【典例精讲】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，过经原点O，并与两坐标轴交于A、D两点，已知，点D的坐标为，则点A的横坐标为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，已知点 都在反比例函数的图象上，点都在x轴上，都是等边三角形，则点的坐标为 ． 1．（2024·安徽安庆·中考真题）如图，有一块三角形余料，它的面积为，边．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为 ． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，分别是▱两边的中点，连接，交于点，则的值为 ． 3．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西铜川·中考真题）如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2024·上海·中考真题）如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． (1)求证：； (2)如果，求证：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，锐角中，，是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26九年级上·广东清远·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，则的长为 ． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限中画出，使与的相似比为，点的对应点分别为点，并写出点的坐标． 培优拔高 6．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在锐角中，，，为高，是的中点，连接，，．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④与四边形的面积比是．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，点在上，点在的延长线上，连接，分别交于点，，，若，，则的值为 ． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为 ． 10．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $