专题4.5 相似三角形性质及其应用（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦相似三角形性质及其应用核心知识点，系统梳理对应角相等、对应边成比例及重要线段、周长、面积与相似比的关系，通过9个考点讲练覆盖性质应用、证明、坐标、网格作图等场景，结合中考真题与分层练习，构建完整学习支架。 资料以多样化情境培养核心素养，如实际测量问题（考点6）引导用数学眼光观察现实世界，典例与变式训练（考点3、5）提升推理与运算能力，分层练习适配不同水平，助力课中教学实施与课后学生查漏补缺，强化知识应用与创新意识。

专题4.5 相似三角形性质及其应用 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：相似三角形的性质 1 知识点梳理02：相似三角形的应用 2 优选题型 考点讲练 4 考点1：利用相似三角形的性质求解 4 考点2：证明三角形的对应线段成比例 6 考点3：利用相似求坐标 7 考点4：在网格中画与已知三角形相似的三角形 12 考点5：相似三角形——动点问题 14 考点6：相似三角形实际应用 23 考点7：相似三角形的综合问题 26 考点8：相似三角形的判走与性质综合 37 考点9：重心的有关性质 42 中考真题 实战演练 45 难度分层 拔尖冲刺 53 基础夯实 53 培优拔高 59 知识点梳理01：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 【易错点拨】 要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 【易错点拨】 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点梳理02：相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 【易错点拨】 测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【易错点拨】 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 考点1：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，据此即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，再结合D是的中点可得，进而完成解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴ 又∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质．设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为，利用相似三角形的周长比等于对应边之比的性质，列方程求解即可． 【规范解答】解：设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应边分别是15和23， ∴对应边之比为， ∴ 周长之比也为， 即 ， 解得：， ∴小三角形周长为75，大三角形周长为． 故选：A 【变式训练2】（25-26九年级上·北京·期中）已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， 则对应高的比等于相似比，即， 故答案为：． 考点2：证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【变式训练1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【规范解答】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【变式训练2】（25-26九年级上·上海·月考）如图，在梯形中，，对角线和相交于点的面积为1平方厘米，则的面积为 平方厘米． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得，即可求解． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 考点3：利用相似求坐标 【典例精讲】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【规范解答】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【变式训练1】（2024·湖南常德·一模）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接 (1)求的面积 (2)若点是边上一点，且∽，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解； （2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标． 【规范解答】（1）点为的中点，， ， 把代入得， 反比例函数解析式为， ，  点的横坐标为， 当时，，即， 的面积； （2）∽， ，即，解得， ， 点坐标为． 【变式训练2】（2024·辽宁铁岭·二模）已知，如图，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），于点N，连接CM． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点N的坐标； （3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点N的坐标为或；（3）存在，，，． 【思路点拨】（1）把A、B两点坐标代入解析式求出a、b后可以得解； （2）过点N作NH⊥x 轴于点H，则根据题意可以得到NH及AH的值，再分点M在点A左侧和点 M在点A右侧两种情况分别写出点N坐标即可； （3）由题意可得为直角三角形，所以若以点C，M，N为顶点的三角形与相似，则或，由这两种情况分别求出M的坐标即可． 【规范解答】（1）∵抛物线与x轴交于，两点 ∴，解得： ∴ （2）∵ ∴当x=0时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴在中， 过点N作轴于点H， ∴， 当点M在点A左侧时，N的坐标为 当点M在点A右侧时，N的坐标为 综上，点N的坐标为或 （3）设M点为（x,0）， 则由（2）可得AB=4，， ∵， ∴是直角三角形，∠BCA=90°， 又由2S△CMA=AM×OC=AC×MN得： MN=， ∴若以点C，M，N为顶点的三角形与相似，则： ,即，即6x=6， 所以x=1，此时M为（1，0）； ，即，即， 解之可得：x=0或x=-3， ∴M为（0，0）或（-3，0）， 综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与相似，且M的坐标为（1，0）或（0，0）或（-3，0）． 考点4：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中作格点与相似，使与的相似比； (2)在图②中的上找一点，使将的面积分为．（找出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）分别找到和的中点，再根据三角形中位线得到，则与的相似比； （2）构造平行线将线段三等分即可． 【规范解答】（1）解：如图，M、N分别为、的中点，则， ∴， ∴，与的相似比， ∴即为所求； （2）解：如图，构造平行线三等分线段，交线段于点、，连接、，则，， ∴、即为所求； 【变式训练1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出（顶点均在格点上），使（不包含全等）； (2)请说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理． （1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可； （2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得． 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求作， （2）解：根据网格图可得：， ， ， ∵，， ， ∴2，， ∴． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点均在格点上，仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：在线段上找一个点，使，如图所示： 考点5：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒 (1)当t为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，的面积最大？求面积最大时点的坐标． 【答案】(1)当或时，以，，为顶点的三角形与相似 (2)当时，的面积最大，面积最大时点的坐标为 【思路点拨】（1）由，，，求得，由，，得，再分两种情况讨论，一是，则，所以，求得；二是，则，所以，求得，可知当或时，以，，为顶点的三角形与相似． （2）作于点，则，则，得，则，所以当时，，求，求得，可知当时，的面积最大，面积最大时点的坐标为． 【规范解答】（1）解：、， ，， ， ， 由题意得，， ， 如图1，，则， ， ， ， 解得； 如图2，， ， ， ， ， 解得， 综上所述，当或时，以，，为顶点的三角形与相似． （2）如图3，作于点D， ，， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 当时，的面积最大，面积最大时点的坐标为． 【变式训练1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或4秒或秒 【思路点拨】（1）根据题意，得，，根据相似三角形的性质得，即，求解即可； （2）①过点D作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，设，得，，证明得，得，，分两种情况求解：当时；当时； ②过点作于点，证明四边形是矩形，得，，，在中，，在中，，，分三种情况求解：当时；当时；当． 【规范解答】（1）解：点P沿方向以的速度向由点向点D运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， 点P由点到点D的运动时间为：（秒）， 点由点C到点D的运动时间为：（秒）， 运动时间为t秒， ，， ， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 的值为秒； （2）①过点D作于点， ， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 运动时间为t秒， ∴， 设， ，， ， ， ， ，即， ，， 存在P、A、D为顶点的三角形与相似， 当时， ，即， 解得：， （秒）； 当时， ∴，即， 解得：， （秒）； 综上所述，t的值为秒或秒时，以P、A、D为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， ∴， 在中，， 在中，，， 存在以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得， ， 解得：，， ， （不合题意，舍去），； 当时，得：， ， 解得：， ； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当t的值为秒或4秒或秒时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 【答案】(1)经过秒或秒时，△与△相似 (2)经过秒或秒时，△的面积等于12厘米 【思路点拨】此题是相似形的综合题，考查了三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先设经过秒，△与△相似，则，，，分两种情况，若△△和△△，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案； （2）设经过秒，分、或时，三种情况讨论，根据三角形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可得出的值． 【规范解答】（1）解：由题意得：，，， 设经过秒，△与△相似，则，，， ①若△△，则， 即， ， ②若△△，则， 即， 解得：， 经过秒或秒时，△与△相似； （2）解：，， ， 设时间为秒， 当时，点移动到上，点移动到上， 此时，，， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，点移动到上，点移动到上，过作，垂足为， 此时， ，，， ，， ， △△， ，即，即：， 由题意得， 整理得， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，点移动到上，且有，点移动到上，且， 过作，垂足为， ，， ， △△， ， 即，即：， 由题意得， 整理得， 解得或（舍去）； 综上所述，经过秒或秒时，△的面积等于12厘米． 考点6：相似三角形实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）某校兴趣小组测量学校旗杆的高度．如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，即，，，，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，已知，，该同学手持直角三角板的位置与地面的距离为，点F到旗杆底部的水平距离为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则． 【规范解答】解：根据题意得四边形为矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又， ， ， ， 答：旗杆的高度为 米． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西汉中·期中）小明和小亮决定利用所学知识测量出旗杆的高度如图，小亮在点C处放置一面平面镜，随后沿方向移动2米到达点D处（即米），此时小亮恰好在平面镜中看到旗杆顶端B的像；小明站在点F处时，地面上的点H，小明的头顶G，旗杆顶端B恰好在同一条直线上．经测量得知，小亮眼睛到地面的距离为米，小明的身高米，米，米，已知，，，点A、C、D、F、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明和小亮求出旗杆的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】旗杆的高度为6米 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质． 证明，得到，进而求出，证明，得到，进而计算即可． 【规范解答】解：，， ， 由题意得， ， ，即， ， ，， ， ， ， ，即， 解得， 答：旗杆的高度为6米． 【变式训练2】（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【思路点拨】本题考查的知识点是相似三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证得后，根据相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：，，， ，， ， ，即， ． 故教学楼的高度为． 考点7：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，对角线，点是线段靠近点的三等分点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒，记的面积为，的值为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）由平行四边形的性质可得，，由勾股定理求出，由题意可得，当点在线段上时，即时，作于，此时，，证明，求出，从而可得；当点在线段上时，即，此时，求出，得出；设点到线段的高为，由等面积法求出，由题意可得，求出，，即可得解； （2）根据（1）中计算得出的函数解析式画出图象即可得解； （3）当时，令，解得（负值不符合题意，舍去），当时，令，解得（负值不符合题意，舍去），再结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：∵在中，，，对角线， ∴，，， ∵点是线段靠近点的三等分点， ∴， 如图，当点在线段上时，即时，作于， 此时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 如图，当点在线段上时，即， 此时， ∴， ∴； 综上所述，； 设点到线段的高为， 则， ∴， ∵点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：函数、图象如图所示， 函数性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：当时，令， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 当时，令， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故结合函数图象可得：当时的取值范围为． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，点不在格点上，是与格线的交点．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图1中作的高线； (2)在图2中的边上确定点，连接，使得． (3)在图3中的边上确定点，连结，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查网格作图，三角形的中线、高线的定义，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）找到的格点，连接交于点，则即为所求； （2）由得，进而得，找到格点，易得，推出；则即为所求； （3）找到格点，易得，推出；找到格点，易得，推出，进一步得，即可得到； 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：如图所示：即为所求： 【变式训练2】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在等边中，，分别为，边的中点．为所在平面内一动点（点不在的三边上），且满足，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．    (1)点在直线的右侧时，求的度数； (2)点在直线的右侧时，用等式表示，，的数量关系并证明； (3)将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）根据等边与，得出，再由定点定长得出隐圆，通过圆周角定理与圆心角性质即可求解； （2）通过在上取点M，构造，结合得出，在中解三角形，即可得出； （3）此问涉及比值最值，难度较大，通过将转换为，通过在平面内取点I，构造出，从而找出点I轨迹为直线，则只需求最小值即可得出答案． 【规范解答】（1）解：，证明如下， 法一：如图，连接，，   点E为中点，为等边三角形， ，， ， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， 为等边三角形，， 在与中， ， ， ， ， ； 法二：如图，取中点H，连接，   为等边三角形，为中点， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，点D为中点， ， 点在以点H为圆心，长为半径的圆上， ． （2）解：，理由如下， 如图，在上取点M，连接，使得，设交于点K，   为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点， ，， ，为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段中点， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 在与中， ， ， ． （3）解：最小值为，证明如下， 法一：如图，在平面内取点I，连接、使得且，连接、、，延长交于点P，    由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， D、E、H为中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 点I在线段垂直平分线上， 为中点， ， 为线段的垂直平分线， ，， ， ，， ， 故的最小值为． 法二：如图，以长为半径作，延长交于点J，延长交于点K，连接、，   D、E、H为中点， ，， ， ， 由题意得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故最小值为． 考点8：相似三角形的判走与性质综合 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． (1)若，求的长． (2)求证: 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【思路点拨】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，证明，可得； （2）证明，得到，再根据，可得； 【规范解答】（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ． 【变式训练1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，P，是边上的两个动点，点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动；点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动．它们同时出发，设出发时间为秒． (1) ________（用含的代数式表示）； (2)当________秒时，； (3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查列代数式，平行线分线段成比例，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是第3问注意分段讨论． （1）根据列代数式即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，当时，由此列式求解； （3）按照运动时间进行分类讨论，当时，，当时，过点Q作于点H， 证明，得出，再根据列函数关系式． 【规范解答】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， 解得， 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 当点Q到达点C时，， 当点Q到达点A时，， 当时，如图， ，， ； 当时，如图，过点Q作于点H， ，， ， ， ， ， ， 综上可得，关于的函数关系式为． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是线段上的一点，过点B作轴，交反比例函数的图象于点C，过点A作的垂线交x轴于点D，点E在线段上，且，连接，设点B的横坐标为． (1)求点B的纵坐标（用含t的代数式表示）； (2)若时，求点E的坐标； (3)若的面积为5，点E在反比例函数的图象上，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定． （1）根据题意，先求出直线的表达式，即可得出点的纵坐标代数式； （2）添加适当的辅助线，见解析，通过角度关系，证明出，结合比例，可得出、的长度，故可得点的坐标； （3）由的面积为5，可用表示出点的坐标表达式，结合（2）中点所在图象的表达式，可解出的取值，再得出的值． 【规范解答】（1）解：因为直线的所表示的函数为正比例函数， 假设其表达式为， ∵，故，解得， ∴直线的表达式为， ∵点B在直线上，点B的横坐标为t， ∴点B的纵坐标为． （2）如图，延长交x轴于点N，过A作轴于点M，过点E作于点F． ∵， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，得． （3）∵的面积为5， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵点C，E在反比例函数图像上， 故， 整理可得：， 解得：或（舍去）， ∴当时，， 故的值为． 考点9：重心的有关性质 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，I为重心，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，掌握三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键． 如图：延长交于D，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可． 【规范解答】解：如图：延长交于D， ∵I为重心， ∴是的中线，，即 ∵， ， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江舟山·月考）已知中，，，若为重心，则 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查重心的性质及勾股定理，熟练掌握重心的性质及勾股定理是解题的关键；连接并延长，交于点D，由题意易得点D是的中点，且，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解． 【规范解答】解：如图，连接并延长，交于点D， ∵为重心， ∴点D是的中点，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查三角形重心的性质；根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【规范解答】解：∵D，E分别是的中点，与交于点G． ∴G点为的重心， ∴， 故选：B． 1．（2024·福建漳州·中考真题）如图，在中，M是的中点，且，则的面积为 ． 【答案】72 【思路点拨】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理逆定理，解题的关键在于推出． 记交于点，证明，利用相似三角形性质推出，再结合勾股定理逆定理，推出，根据三角形面积公式求出，进而即可推出的面积． 【规范解答】解：记交于点， 在中，M是的中点，且， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：72． 2．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，在平行四边形中，E是上一点， ，与相交于F，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 证明，利用相似三角形的性质求解． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ，， ∵ ∴， ， ， 故答案为： 3．（2024·贵州贵阳·中考真题）如图，在矩形中，，，点F是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的直角三角形，使点E和点A位于两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是（  ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【思路点拨】当与点重合时和与重合时，根据的位置，可知的运动路径是的长；由已知条件可以推导出是直角三角形，且，在中，求出即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，交于点． ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴当点与点重合时，如图，点在的中点处， ∵， ， 当点运动到上的某处，如图，点此时点在处， ， ， ， ， 即， ， ， 即， ∴点在与夹角的射线上． ∵ F是对角线上的一个动点， ∴当与点重合时，达到最高点，如图． ∴E的运动路径是的长； 当与点重合时， 在中，， 当与重合时，， 在中，； 即点从点到点的运动过程中，点的运动路径长是4． 故选：C． 4．（2024·浙江宁波·中考真题）如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． 根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再由圆周角定理得到，可证，根据面积比等于相似比的平方得到，可设，则，作交于F，证明是等腰直角三角形，得到，则，根据勾股定理求出，即可求出． 【规范解答】解：∵点D是半圆弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 即， ∴， ∴， ∵与的面积比为， 即， 可设，则， 作交于， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A的直线与y轴负半轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)D是直线在第一象限上一点，E为x轴正半轴上一动点，直线交y轴于点F． i）当时，若点D将线段分成两部分，求点E的坐标； ii）当时，试探究是否存在这样的点D，使得与相似？若存在，请求出满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或；存在， 【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解； （2）将线段分成两部分，则或，证明△，则或，即可求解； 可证明只存在这种情况，则，设出点D的坐标，分别表示出的长，再建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴ ∵， ∴点是的中点， ∴， 点将线段分成两部分， ∴或， 如图所示，过点作轴于，则轴，即， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点E的坐标为或； 存在，理由如下： 设， ，且过点， ∴可设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 当时，，即， 由点、、、的坐标得，， ∵点D在线段上，且不与点E和点F重合， ∴， 又∵， ∴当与相似时，只存在这种情况， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴， ∴，, ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴点． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，掌握周长比等于相似比是关键．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比求解即可． 【规范解答】解：∵，相似比为， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，已知，，则下列结论不一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定及性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、∵，∴．故本选项的结论成立； B、∵，∴．故本选项的结论成立； C、∵，∴，∴．故本选项的结论成立； D、∵，， ∴，， ∴，， ∵与不一定相等， ∴不一定成立． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山西晋城·月考）如图，在梯形中，，与交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明出，进而得出，相似三角形面积之比为相似比的平方，即可得出结果． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）某一时刻，测得身高的同学在阳光下的影长为，同时测得旗杆在阳光下的影长为，则旗杆的高为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质，根据同一时刻物高与影长成正比，列出比例式求解． 【规范解答】解：设旗杆的高为，则： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·北京顺义·期中）两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比． 【规范解答】解：已知两个相似三角形的周长比为，因此相似比为． 面积比等于相似比的平方，即． 对应高的比等于相似比，即． 故答案为：，． 6．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，，，，则与的周长之比为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由，可得，根据相似三角形的性质，由，，得，相似比为，然后问题可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴相似比为，则与的周长之比为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，若，，，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了相似三角形性质，直接利用相似三角形性质求解，即可解题． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：9． 8．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 【规范解答】（1）证明：， ， 、， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 9．（25-26九年级上·广东清远·期中）如图，已知，，． (1)实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． (2)应用与证明：在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，按照要求在内部作，射线交线段于点D，即可作答． （2）根据（1）中的，再结合，证明，再代入数值到进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图所示，为所求． （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)线段的长______； (2)当与相似时，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【思路点拨】（1）过点E作于点H，证明四边形是矩形，可得，，在中，利用勾股定理可得的长，即可求解； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：，，且， ∴，， 当时，， 即， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，， 即， 解并检验得（不合题意，舍去）或（是增根，舍去）． 综上，的值为． 培优拔高 11．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，内接于直径为的圆，点在上，和交于点，，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接并延长交圆于点，连接，可得，证明得到，设，则，，证明，得到，利用勾股定理列方程即可解答． 【规范解答】解：如图，连接并延长交圆于点，连接， 则可得为圆的直径， ， ， ， ， ， 所对的圆心角和所对的圆心角之和为， ， ， ， ， ， ， ，即， 设，则，， 如图，连接， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 可得， 解得，， 当时，，与题意不符，故舍去， ，， ， 故选：A． 12．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图是凸透镜成像的光路示意图，，，分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．另一束经过光心的光线与折射光线相交于点．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质． 根据题意可得，，四边形是矩形，得出，，，设，列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】解：根据题意,可得，， , ∴四边形是矩形， ． ， ． ， ， ． 设， ，， ，解得， ，故选B． 13．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】解：∵，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确； 故选D． 14．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】7 【思路点拨】设的延长线交的延长线于点H，作于点M，由，得，由，，推导出，可证明四边形是矩形，因为，，，所以，，，再证明∽，得，则，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：设的延长线交的延长线于点H，作于点M，则， ， ， ∵，， ， 四边形是矩形， ，，点E在边上，， ，，， ， ∽， ， ， ，且， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为： 15．（25-26九年级上·上海·月考）如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．分别过点作，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长与的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，分别过点作，交于点， 则， 由题意得：，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：5． 16．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，已知平行四边形，对角线交于点，连接交于，若，则为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 由题意可知，进而得到，即，，再根据即可求解． 【规范解答】在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 又在平行四边形中， ，， ， 则． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，点在上，点在上，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据得到，再结合相似比是得，再由得，进而得，最后利用等高模型求面积比可得答案． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为： ． 18．（25-26九年级上·山西运城·期中）综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交于点E，连接 独立思考： （1）证明四边形是菱形； 深度探究： （2）如图2，已知点O是线段上的一点（不与端点重合），将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段上，点B的对应点G落在线段上，折痕交于点M，交于点N，连接，若，，，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路点拨】本题为四边形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据翻折的性质及平行线的性质得出相等的角和边，根据等角对等边证明，即可求解； （2）根据条件得出四边形为平行四边形，表示出相关的边，证明，由平行线得出，则，则可得出答案． 【规范解答】（1）证明：是翻折而成的， 故，，， ，则， ， 则，， ∵， ， 四边形为菱形； （2）解：，， 四边形为平行四边形， ， ， 菱形的边长为， ， ， ， ∴， ， ， ． 19．（25-26九年级上·山西运城·期中）综合与实践 四边形的旋转 如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，则A、G、C三点在同一条直线上． (1)______； (2)当矩形绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，与不在同一条直线上，通过证明∽，求与之间的数量关系； (3)当矩形绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图（2）中的与之间的数量关系是否还成立？ (4)数学小组对图形的旋转进行了拓展研究．如图4，在中，，，，E、F分别为边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系． 如图5，把图4中的绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现与仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)成立 (4) 【思路点拨】（1）先求出，再利用平行线分线段成比例即可得解； （2）由旋转可知：，由勾股定理可知，利用边角边证 ，根据对应边成比例即可得解； （3）同（2）中思路； （4）先求出，再证 ，即可得证． 【规范解答】（1）解：由勾股定理可得， ， ， ； 故答案为：； （2）解：由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； （3）解：成立． 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； （4）解：如图4，过F作于点K， 根据题意可知，， 四边形是平行四边形， ，， 在，， ， ， ， 在中，， 如图5， 由旋转可证， ， ， 20．（25-26九年级上·河北邢台·月考）综合与实践 【情境】在综合实践课上，数学老师带领同学们分割长方形木板，如图，长方形木板上已经画好一条分割线，要求再画一条分割线将长方形木板分为4部分，且分割线垂直平分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 嘉嘉：如图1，作的垂直平分线交于点，交于点． 淇淇：如图2，①作的垂直平分线交于点，交于点，②作，③过点作（作图详细过程略）． 【探究】（1）根据嘉嘉的思路利用尺规补全作图．（保留作图痕迹，不写作法） （2）试说明淇淇作法的正确性（证明：垂直平分）． 【拓展】（3）如图3，在长方形中，点在边上，将向右平移得到，点在边上，将向下平移得到，与交于点，，．若，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）作图见解析；（2）见解析；（3） 【思路点拨】本题考查尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的定义，平行线分线段成比例，平移的性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据作垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由长方形得到，因此，进而得到由得到．由得出，即，因此得到垂直平分； （3）如图2，在左侧作，交线段的延长线于点，连接．设与交于点，则，得到①．由平移得到，，，，证明，，得到，从而②，由①和②即可求解． 【规范解答】解：（1）如图1，直线为所求． （2）四边形为长方形， ， ． 又， ， ． ， ， ． 垂直平分， ，， ， ， ， ， 垂直平分． （3）如图2，在左侧作，交线段的延长线于点，连接． 设与交于点， 由平移可知，，，． ，， ， ①． ，， ． ， ， ， ，即． ， ， ． ， ， ， ，即②． 由①和②可得． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 相似三角形性质及其应用 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：相似三角形的性质 1 知识点梳理02：相似三角形的应用 2 优选题型 考点讲练 4 考点1：利用相似三角形的性质求解 4 考点2：证明三角形的对应线段成比例 4 考点3：利用相似求坐标 5 考点4：在网格中画与已知三角形相似的三角形 7 考点5：相似三角形——动点问题 8 考点6：相似三角形实际应用 10 考点7：相似三角形的综合问题 11 考点8：相似三角形的判走与性质综合 13 考点9：重心的有关性质 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 19 知识点梳理01：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 【易错点拨】 要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 【易错点拨】 相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点梳理02：相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 【易错点拨】 测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 【易错点拨】 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 考点1：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练1】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 【变式训练2】（25-26九年级上·北京·期中）已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为 ． 考点2：证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式训练1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·上海·月考）如图，在梯形中，，对角线和相交于点的面积为1平方厘米，则的面积为 平方厘米． 考点3：利用相似求坐标 【典例精讲】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式训练1】（2024·湖南常德·一模）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接 (1)求的面积 (2)若点是边上一点，且∽，求点坐标． 【变式训练2】（2024·辽宁铁岭·二模）已知，如图，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），于点N，连接CM． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求点N的坐标； （3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点4：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的各顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． (1)在图①中作格点与相似，使与的相似比； (2)在图②中的上找一点，使将的面积分为．（找出一个即可） 【变式训练1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出（顶点均在格点上），使（不包含全等）； (2)请说明． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点均在格点上，仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 考点5：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒 (1)当t为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，的面积最大？求面积最大时点的坐标． 【变式训练1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在中，，点P从A点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动． (1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，与相似？ (2)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在边上前进，Q到C后又继续在边上前进，经过几秒钟，的面积等于12厘米2？ 考点6：相似三角形实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）某校兴趣小组测量学校旗杆的高度．如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，即，，，，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，已知，，该同学手持直角三角板的位置与地面的距离为，点F到旗杆底部的水平距离为，求旗杆的高度． 【变式训练1】（25-26九年级上·陕西汉中·期中）小明和小亮决定利用所学知识测量出旗杆的高度如图，小亮在点C处放置一面平面镜，随后沿方向移动2米到达点D处（即米），此时小亮恰好在平面镜中看到旗杆顶端B的像；小明站在点F处时，地面上的点H，小明的头顶G，旗杆顶端B恰好在同一条直线上．经测量得知，小亮眼睛到地面的距离为米，小明的身高米，米，米，已知，，，点A、C、D、F、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明和小亮求出旗杆的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【变式训练2】（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 考点7：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，对角线，点是线段靠近点的三等分点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动，设运动时间为秒，记的面积为，的值为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，点不在格点上，是与格线的交点．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图1中作的高线； (2)在图2中的边上确定点，连接，使得． (3)在图3中的边上确定点，连结，使得． 【变式训练2】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在等边中，，分别为，边的中点．为所在平面内一动点（点不在的三边上），且满足，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．    (1)点在直线的右侧时，求的度数； (2)点在直线的右侧时，用等式表示，，的数量关系并证明； (3)将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出的最小值． 考点8：相似三角形的判走与性质综合 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接． (1)若，求的长． (2)求证: 【变式训练1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，P，是边上的两个动点，点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动；点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动．它们同时出发，设出发时间为秒． (1) ________（用含的代数式表示）； (2)当________秒时，； (3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是线段上的一点，过点B作轴，交反比例函数的图象于点C，过点A作的垂线交x轴于点D，点E在线段上，且，连接，设点B的横坐标为． (1)求点B的纵坐标（用含t的代数式表示）； (2)若时，求点E的坐标； (3)若的面积为5，点E在反比例函数的图象上，求k的值． 考点9：重心的有关性质 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，I为重心，则 ． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江舟山·月考）已知中，，，若为重心，则 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 1．（2024·福建漳州·中考真题）如图，在中，M是的中点，且，则的面积为 ． 2．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，在平行四边形中，E是上一点， ，与相交于F，则 ． 3．（2024·贵州贵阳·中考真题）如图，在矩形中，，，点F是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的直角三角形，使点E和点A位于两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是（  ） A． B． C．4 D． 4．（2024·浙江宁波·中考真题）如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A的直线与y轴负半轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)D是直线在第一象限上一点，E为x轴正半轴上一动点，直线交y轴于点F． i）当时，若点D将线段分成两部分，求点E的坐标； ii）当时，试探究是否存在这样的点D，使得与相似？若存在，请求出满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，已知，，则下列结论不一定成立的是（） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西晋城·月考）如图，在梯形中，，与交于点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）某一时刻，测得身高的同学在阳光下的影长为，同时测得旗杆在阳光下的影长为，则旗杆的高为 ． 5．（25-26九年级上·北京顺义·期中）两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ． 6．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，，，，则与的周长之比为 ． 7．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，若，，，则 ． 8．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 9．（25-26九年级上·广东清远·期中）如图，已知，，． (1)实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． (2)应用与证明：在（1）的条件下，求的长． 10．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)线段的长______； (2)当与相似时，求的值． 培优拔高 11．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，内接于直径为的圆，点在上，和交于点，，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图是凸透镜成像的光路示意图，，，分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．另一束经过光心的光线与折射光线相交于点．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 14．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为 ． 15．（25-26九年级上·上海·月考）如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是 ． 16．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，已知平行四边形，对角线交于点，连接交于，若，则为 ． 17．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，点在上，点在上，，，则 ． 18．（25-26九年级上·山西运城·期中）综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交于点E，连接 独立思考： （1）证明四边形是菱形； 深度探究： （2）如图2，已知点O是线段上的一点（不与端点重合），将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段上，点B的对应点G落在线段上，折痕交于点M，交于点N，连接，若，，，且，求的值． 19．（25-26九年级上·山西运城·期中）综合与实践 四边形的旋转 如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，则A、G、C三点在同一条直线上． (1)______； (2)当矩形绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，与不在同一条直线上，通过证明∽，求与之间的数量关系； (3)当矩形绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图（2）中的与之间的数量关系是否还成立？ (4)数学小组对图形的旋转进行了拓展研究．如图4，在中，，，，E、F分别为边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系． 如图5，把图4中的绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现与仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系． 20．（25-26九年级上·河北邢台·月考）综合与实践 【情境】在综合实践课上，数学老师带领同学们分割长方形木板，如图，长方形木板上已经画好一条分割线，要求再画一条分割线将长方形木板分为4部分，且分割线垂直平分． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 嘉嘉：如图1，作的垂直平分线交于点，交于点． 淇淇：如图2，①作的垂直平分线交于点，交于点，②作，③过点作（作图详细过程略）． 【探究】（1）根据嘉嘉的思路利用尺规补全作图．（保留作图痕迹，不写作法） （2）试说明淇淇作法的正确性（证明：垂直平分）． 【拓展】（3）如图3，在长方形中，点在边上，将向右平移得到，点在边上，将向下平移得到，与交于点，，．若，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $