第03讲 不等式与基本不等式求最值（思维导图+5大知识点+8大题型+过关测试）讲义-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版必修第一册）

该高中数学单元复习讲义通过思维导图与知识点梳理系统构建不等式知识体系，将等式性质、不等式性质、基本不等式等五个知识点按逻辑分层，用框架图呈现性质推导与内在联系，突出基本不等式求最值等核心重难点。 讲义亮点在于题型归纳的递进设计，涵盖大小关系判断、1妙用、实际应用等八种题型，结合例题与变式题培养数学思维与运算能力。过关测试分层设置，基础题巩固知识，综合题提升应用，助力教师精准教学与学生自主复习。

第03讲 不等式与基本不等式求最值 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：等式的基本性质 4 知识点二：不等式的基本性质 4 知识点三：基本不等式 4 知识点四：与基本不等式相关的不等式 4 知识点五：利用基本不等式求最值 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：大小关系的判断 6 题型二：求不等式的范围 6 题型三：利用基本不等式求积的最值 7 题型四：利用基本不等式求和的最值 7 题型五：1妙用 7 题型六：基本不等式的实际应用 8 题型七：二次与二次的商式的最值 9 题型八：基本不等式的恒成立问题 9 05 过关测试 11 知识点一：等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 知识点二：不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即 性质2 如果，，那么.即 ，. 性质3 如果，那么. 由性质3可得， . 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果，，那么；如果，，那么. 性质5 如果，，那么. 性质6 如果，，那么. 性质7 如果，那么（，）. 知识点三：基本不等式 如果，，则 ， 当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （3）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. 知识点五：利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 题型一：大小关系的判断 【例1】（2025·高一·贵州·期末）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【变式1-1】（2025·高一·福建厦门·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一·广东·期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（2025·高一·山东潍坊·期中）已知非零实数满足，则以下不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：求不等式的范围 【例2】（2025·高一·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·山东德州·期中）已知，，则下面正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·湖南邵阳·期中）已知实数a，b满足，则（ ） A． B． C． D． 题型三：利用基本不等式求积的最值 【例3】（2025·高一·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2025·高一·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式3-2】（2025·高一·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为. 题型四：利用基本不等式求和的最值 【例4】（2025·高一·河南新乡·期中）已知正数x，y满足，则代数式最小值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式4-1】（2025·高三·湖南·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．11 D．12 【变式4-2】（2025·高三·湖南·期中）已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·福建宁德·期中）已知且，则的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．8 题型五：1妙用 【例5】（2025·高一·四川广安·期中）已知且，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·广西南宁·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高一·江苏苏州·期中）若，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．16 【变式5-3】（2025·高一·江苏盐城·期中）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 题型六：基本不等式的实际应用 【例6】（2025·高一·四川广安·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【变式6-1】（2025·高一·山东潍坊·期中）某科技公司研发并试生产一款高科技产品，由于精密零部件组装工艺复杂以及芯片性能调试难度较高，生产过程中会有一等品和二等品．根据试生产数据统计，该公司生产这款产品的二等品率与日产量（百台）之间的关系大致满足：，二等品率．已知预计每生产一台一等品可盈利120元，但每生产一台二等品亏损60元． (1)将该公司生产这款产品每天的盈利额（元）表示为日产量（百台）的函数； (2)当日产量为多少百台时，该公司可获得最大日盈利？ 【变式6-2】（2025·高一·湖北十堰·期中）设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． (1)设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相应x的值； 【变式6-3】（2025·高一·天津·期中）经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为7元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 题型七：二次与二次的商式的最值 【例7】（2025·高一·上海·期中）已知，，则的最小值是 【变式7-1】（2025·高二·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【变式7-2】（2025·高一·湖北襄阳·期中）已知实数，满足，，则的最小值为 . 【变式7-3】（2025·高一·广东·期末）已知实数，满足，则的最大值为 ． 题型八：基本不等式的恒成立问题 【例8】（2025·高一·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式8-1】（2025·高一·陕西宝鸡·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式8-2】（2025·高一·贵州遵义·期中）关于x的不等式，对满足的任意正实数都成立，则实数x的最大值为 ． 【变式8-3】（2025·高一·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为 . 1．（2025·高一·广东·期末）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025·高一·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D． 3．（2025·高一·山西晋中·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 4．（2025·高一·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为1 B．函数的最小值为2 C．若且，则的最小值为2 D．函数的最小值为 5．（2025·高一·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·云南昆明·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025·高一·湖南衡阳·月考）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2025·高一·江苏连云港·期中）设为正数，且，则下列选项中正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为6 9．（多选题）（2025·高三·陕西榆林·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 10．（多选题）（2025·高一·山西大同·期中）下列说法中，正确的有（   ） A．对任意实数，都有 B．若，则 C．当且时，的最大值为 D．若为任意实数，则 11．（多选题）（2025·高一·湖南·期中）若正实数满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最小值为9 12．（多选题）（2025·高一·湖南邵阳·期中）下列选项正确的是（ ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为2 C．若正实数，满足，则的最小值为8 D．若，则的最小值为2 13．（多选题）（2025·高一·甘肃兰州·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 14．（2025·高一·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为 元. 15．（2025·高一·陕西汉中·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. (1)若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 16．（2025·高一·江苏连云港·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 17．（2025·高一·河北衡水·月考）已知，，. (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 不等式与基本不等式求最值 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：等式的基本性质 4 知识点二：不等式的基本性质 4 知识点三：基本不等式 4 知识点四：与基本不等式相关的不等式 4 知识点五：利用基本不等式求最值 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：大小关系的判断 6 题型二：求不等式的范围 7 题型三：利用基本不等式求积的最值 8 题型四：利用基本不等式求和的最值 10 题型五：1妙用 11 题型六：基本不等式的实际应用 13 题型七：二次与二次的商式的最值 16 题型八：基本不等式的恒成立问题 17 05 过关测试 19 知识点一：等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 知识点二：不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即 性质2 如果，，那么.即 ，. 性质3 如果，那么. 由性质3可得， . 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果，，那么；如果，，那么. 性质5 如果，，那么. 性质6 如果，，那么. 性质7 如果，那么（，）. 知识点三：基本不等式 如果，，则 ， 当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （3）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. 知识点五：利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 题型一：大小关系的判断 【例1】（2025·高一·贵州·期末）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】当，时，，故A错误； 当，，，时，，故B错误； 当时，可得，故C错误； 若，，则，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（2025·高一·福建厦门·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C错误； 对于D，因为，所以，故D错误； 故选：A． 【变式1-2】（2025·高一·广东·期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 【变式1-3】（2025·高一·山东潍坊·期中）已知非零实数满足，则以下不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A：易知在上单调递增，，故A正确； 对于B：若，则，故不成立，故B错误； 对于C：若，则，故不成立，故C错误； 对于D：，则，故不成立，故D错误. 故选：A. 题型二：求不等式的范围 【例2】（2025·高一·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件，又，故， 所以． 故选：B 【变式2-1】（2025·高一·山东德州·期中）已知，，则下面正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 对于选项A：可得，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为，则，所以，故C错误； 对于选项D：因为，则，所以，故D正确； 故选：D. 【变式2-2】（2025·高一·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 【变式2-3】（2025·高一·湖南邵阳·期中）已知实数a，b满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， ， ， ， ， ， 该方程为关于的一元二次方程，又为实数， ， ， . 故选：A. 题型三：利用基本不等式求积的最值 【例3】（2025·高一·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 【变式3-1】（2025·高一·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【解析】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 【变式3-2】（2025·高一·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 【变式3-3】（2025·高一·天津滨海新·期中）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为. 【答案】D 【解析】对于A：由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由题可知，故，则. 当时，二次函数取得最小值，故B正确； 对于C：， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D错误. 故选：D. 题型四：利用基本不等式求和的最值 【例4】（2025·高一·河南新乡·期中）已知正数x，y满足，则代数式最小值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】由，得， 则，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当且时取等号， 由，解得，因此当时，取得最小值8， 故选：B 【变式4-1】（2025·高三·湖南·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．11 D．12 【答案】C 【解析】可整理为，得， 再由基本不等式可得：，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 【变式4-2】（2025·高三·湖南·期中）已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 【变式4-3】（2025·高一·福建宁德·期中）已知且，则的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．8 【答案】A 【解析】且， ， 当且仅当时取等． 故选：A． 题型五：1妙用 【例5】（2025·高一·四川广安·期中）已知且，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 【变式5-1】（2025·高一·广西南宁·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴， 当且仅当，即，时，取等号， ∴的最小值为. 故选：C. 【变式5-2】（2025·高一·江苏苏州·期中）若，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．16 【答案】B 【解析】因为，所以， 则， 当且仅当时，取最小值9. 故选：B. 【变式5-3】（2025·高一·江苏盐城·期中）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【解析】已知，定义域为， ，故是奇函数， 令，则，因随增大而增大， 且随增大而增大，故在上单调递增， 由条件得：，利用奇函数性质，于是， 由于单调递增，必有，即， 已知，求的最小值： 由基本不等式，，当且仅当时等号成立，故， 当时，，符合条件，故最小值为. 故选：A 题型六：基本不等式的实际应用 【例6】（2025·高一·四川广安·期中）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【解析】（1）根据题意得，当时，； 当时，， 故. （2）当时，，由二次函数的性质可知，当时， 取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，故当时，即每年生产万件该芯片时，公司获得的年利润最大，为万元. 【变式6-1】（2025·高一·山东潍坊·期中）某科技公司研发并试生产一款高科技产品，由于精密零部件组装工艺复杂以及芯片性能调试难度较高，生产过程中会有一等品和二等品．根据试生产数据统计，该公司生产这款产品的二等品率与日产量（百台）之间的关系大致满足：，二等品率．已知预计每生产一台一等品可盈利120元，但每生产一台二等品亏损60元． (1)将该公司生产这款产品每天的盈利额（元）表示为日产量（百台）的函数； (2)当日产量为多少百台时，该公司可获得最大日盈利？ 【解析】（1）由题设， 所以，； （2）当时， 元， 当且仅当，即百台时取等号， 此时，最大日盈利为元，而时， 所以日产量为84百台时，该公司可获得最大日盈利. 【变式6-2】（2025·高一·湖北十堰·期中）设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． (1)设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相应x的值； 【解析】（1），则． 设，则， 由勾股定理得， 可得， 三角形BCE面积， 由，得． 所以x取值范围是． （2）因为， 所以． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 【变式6-3】（2025·高一·天津·期中）经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为7元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【解析】（1）当时，变动成本， 代入利润公式， 当时，变动成本， 代入利润公式， 综上，年利润的函数解析式为； （2）当时， 是开口向下的二次函数， 其对称轴为，且在范围内，则最大利润万元， 当时，， 而，当且仅当时取等号，则最大利润万元， 因此，年产量为9万件时年利润最大，为15万元. 题型七：二次与二次的商式的最值 【例7】（2025·高一·上海·期中）已知，，则的最小值是 【答案】/ 【解析】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 【变式7-1】（2025·高二·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【解析】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 【变式7-2】（2025·高一·湖北襄阳·期中）已知实数，满足，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，，得. 由，得， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 【变式7-3】（2025·高一·广东·期末）已知实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】，， 因为，所以意到，当且仅当时取等号. ，化为， ，当且仅当时取等号，的最大值为2． 故答案为：2． 题型八：基本不等式的恒成立问题 【例8】（2025·高一·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式8-1】（2025·高一·陕西宝鸡·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，且, ∴． 当且仅当时取等号． 若恒成立，∴ ∴， 即得解得． 故答案为：． 【变式8-2】（2025·高一·贵州遵义·期中）关于x的不等式，对满足的任意正实数都成立，则实数x的最大值为 ． 【答案】9 【解析】由题设， 当且仅当时取等号，故， 所以，故实数x的最大值为9. 故答案为：9 【变式8-3】（2025·高一·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】27 【解析】，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 1．（2025·高一·广东·期末）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】若，即，则，A错误； 若，时，则，B错误； 若，则，则，C错误； 若，则，即，D正确． 故选：D 2．（2025·高一·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解析】易知， 当且仅当时，等号成立. 故选：D 3．（2025·高一·山西晋中·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为3， 故选：A 4．（2025·高一·湖北孝感·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为1 B．函数的最小值为2 C．若且，则的最小值为2 D．函数的最小值为 【答案】D 【解析】对于A，因，得，， 当且仅当时，即时等号成立，即的最大值为，故A错误； 对于B，因，， 由可得，方程无解，则，即函数的最小值不是2，故B错误； 对于C，由，，可得，即， 解得因，则得，即无最小值，故C错误； 对于D，设，因，则，，当且仅当，即时等号成立， 也即时，函数的最小值为，故D正确. 故选：D. 5．（2025·高一·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 6．（2025·高一·云南昆明·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】A：若时，，故A错误； B：∵，则，， ∴，则， ∴，即，故B错误； C：∵，所以，. 于是，即，， ∴，故C错误； D：， ∵， ∴，，，， ∴，则，故D正确. 故选：D 7．（2025·高一·湖南衡阳·月考）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 8．（多选题）（2025·高一·江苏连云港·期中）设为正数，且，则下列选项中正确的是（　　） A．的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为6 【答案】AC 【解析】因为为正数，且，，当且仅当时取等号，故A正确； ，当且仅当，即时取等号，故B错误； ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； ， 当且仅当，即时取等号，故D错误． 故选：AC． 9．（多选题）（2025·高三·陕西榆林·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 【答案】BD 【解析】对于A，，，且， 所以， 当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，由，，且，得， 所以，则， 当时，取得最小值，为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，， 因为，所以，所以， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 10．（多选题）（2025·高一·山西大同·期中）下列说法中，正确的有（   ） A．对任意实数，都有 B．若，则 C．当且时，的最大值为 D．若为任意实数，则 【答案】BD 【解析】对于选项A，当时，则，，所以，故A错误； 对于选项B，当时，，根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于选项C，因为且，则，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故C错误； 对于选项D，因为，所以，故D正确. 故选：BD 11．（多选题）（2025·高一·湖南·期中）若正实数满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最小值为9 【答案】ACD 【解析】对于A，， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 12．（多选题）（2025·高一·湖南邵阳·期中）下列选项正确的是（ ） A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值为2 C．若正实数，满足，则的最小值为8 D．若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】对A，当时，，故A错误； 对B，若，则则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，若，，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对D，， 当且仅当时等号成立，但此时无实数解，故取不到最小值2，故D错误. 故选：BC. 13．（多选题）（2025·高一·甘肃兰州·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】A选项，取，满足，但，为假命题. B选项，，则，利用同向可加性，可知，为真命题. C选项，不等式两边同乘，得，为真命题. D选项，，，故， 又，利用同向可乘性，可知，为真命题. 故选：BCD 14．（2025·高一·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为 元. 【答案】 【解析】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 15．（2025·高一·陕西汉中·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在操场内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为，宽为. (1)若育苗区面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为，则，为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大； 【解析】（1）由题意：，，. 因为，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，所用篱笆总长最小. （2）由题意：，，. 所以，当且仅当即时取等号. 所以当m，m时，篱笆所围的育苗区面积最大. 16．（2025·高一·江苏连云港·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 【解析】（1），由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （2）由，由， 知， 当且仅当时，取到最小值； （3）由，，由， 知； 当且仅当时，取到最小值. 17．（2025·高一·河北衡水·月考）已知，，. (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值. 【解析】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又以，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $