2.2 基本不等式（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

基本不等式 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 3 对勾函数 ① 概念 形如的函数. ② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称， 在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增. ④ 与基本不等式的关系 由图很明显得知当时，时取到最小值， 其与基本不等式时取到最小值是一致的. 【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解 情况1 一正： 求函数的最值. 情况2 二定：定值 求函数的最值. 情况3 三等：取到等号 求函数的最值. 【题型二】基本不等式运用的常见方法 方法1 直接法 【典题1】设，则三个数、、 (　　) ．都大于4 至少有一个大于4 至少有一个不小于4 至少有一个不大于4 【典题2】设，下列不等式中等号能成立的有(　　) ① ； ② ； ③ ； ④ ； A．个 B．个 C．个 D．个 【典题3】已知实数，满足，则的最大值为 . 巩固练习 1 (★★) 已知为实数，且，则的最小值为 2(★★)若实数满足，则的最小值为 3(★★) 已知实数，则的最大值为　 　． 4(★★) [多选题]下列说法正确的是(　　) 的最小值是 的最小值是 的最小值是 的最大值是 方法2 凑项法 【典题1】若，则函数的最小值为 . 【典题2】若，则的最小值是　 　． 【典题3】设，则的最小值是　 　． 巩固练习 1(★) 函数的最小值是(　　) 2(★★) 若，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 3(★★★) 若正数满足，则的最大值为　 　． 方法3 凑系数 【典题1】若，则的最大值是　 　． 【典题2】已知为正数，，则的最大值为　 　． 巩固练习 1 (★) 当时，则的最大值为 . 2 (★) 设，则函数的最大值为 . 方法4 巧法 【典题1】已知，，，则的最大值是　 ． 【典题2】已知，，且，则的最小值是　 ． 【典题3】设，，若，则的最小值为 　 ． 巩固练习 1(★★) 若，，且，则的最小值是　 　． 2(★★★) [多选题]设，，且，则下列结论正确的是(　　) A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．恒成立 3(★★★) 已知正实数，满足，则的最小值为　 　． 4(★★★) 已知，则的最小值是　 　． 方法5 换元法 【典题1】若，则的最大值为　 . 【典题2】若，，则的最大值　 . 巩固练习 1 (★★) 若，则的最大值为(　　) ． ． ． 2 (★★) 函数的最小值为　 　． 3(★★★) 已知，，，则的最大值为　 　． 4(★★★) 设是正实数，且，则的最小值是　 . 5(★★★★) 设实数满足，则的最小值是 . 方法6 不等式法 【典题1】已知，且，则的取值范围是　 . 【典题2】 已知，，，则的取值范围是 . 巩固练习 1(★★) 已知，，若，则的最大值为　 　． 2(★★) 若实数满足，则的最大值___________． 3(★★) 若正实数满足，则的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 基本不等式 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 3 对勾函数 ① 概念 形如的函数. ② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称， 在第